Luyện thi Đại Học Chuyên đề tích phân

Luyện thi Đại Học Chuyên đề tích phân

1 Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx 111Cxdxx 0ln xCxxdx Cedxexx 10lnaCaadxaxx Cxxdx sincos Cxxdx cossin Cxdxxtancos12 Cxdxxcotsin12 Cbaxabaxd1 1111Cbaxadxbax0ln1xCbaxabaxdx Ceadxebaxbax1 Cbaxadxbax sin1cos Cbaxadxbax cos1sin Cbaxadxbaxtan1cos12 Cbaxadxbaxcot1sin12 Cudu 111Cuduu0ln uCuudu Cedueuu 10lnaCaadxauuCuudu sincos Cuudu cossin Cuduutancos12 Cuduucotsin12 I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b/af[u(x)]u (x)dxò ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx=. Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b. Bƣớc 3. b/af[u(x)]u (x)dx f(t)dtba=òò. Ví dụ 7. Tính tích phân 2eedxIx ln x=ò. Giải Đặt dxt ln x dtx= Þ = 2x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ = 2211dtI ln t ln 2tÞ = = =ò. Vậy I ln 2=. 2 Vớ d 8. Tớnh tớch phõn 430cos xI dx(sin x cos x)p=+ũ. Hng dn: 443 3 200cos x 1 dxI dx .(sin x cos x) (tan x 1) cos xpp==++ũũ. t t tan x 1=+ S: 3I8=. Vớ d 9. Tớnh tớch phõn 312dxI(1 x) 2x 3=++ũ. Hng dn: t t 2x 3=+ S: 3I ln2=. Vớ d 10. Tớnh tớch phõn 103xI dx1x-=+ũ. Hng dn: t 322213 x t dtt81x(t 1)-=ị++ũL; t t tan u= L S: I 3 23p= - +. Chỳ ý: Phõn tớch 103xI dx1x-=+ũ, ri t t 1 x=+ s tớnh nhanh hn. 2. i bin s dng 1 Cho hm s f(x) liờn tc trờn on [a;b], tớnh ()baf x dx ta thc hin cỏc bc sau: Bc 1. t x = u(t) v tớnh /()dx u t dt. Bc 2. i cn: , x a t x b t. Bc 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )baf x dx f u t u t dt g t dt. Vớ d 1. Tớnh tớch phõn 12201I dx1x=-ũ. Gii t x sin t, t ; dx cos tdt22ppộự= ẻ - ị =ờỳởỷ 1x 0 t 0, x t26p= ị = = ị = 66200cos t cos tI dt dtcos t1 sin tppị = =-ũũ6600dt t 066pppp= = = - =ũ. 3 Vy I6p=. Vớ d 2. Tớnh tớch phõn 220I 4 x dx=-ũ. Hng dn: t x 2sin t= S: I =p. Vớ d 3. Tớnh tớch phõn 120dxI1x=+ũ. Gii t 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt22ổửppữỗ= ẻ - ị = +ữỗữữỗốứ x 0 t 0, x 1 t4p= ị = = ị = 442200tan t 1I dt dt41 tan tpp+pị = = =+ũũ. Vy I4p=. Vớ d 4. Tớnh tớch phõn 3120dxIx 2x 2-=++ũ. Hng dn: 3 1 3 12200dx dxIx 2x 2 1 (x 1)--==+ + + +ũũ. t x 1 tan t+= S: I12p=. Vớ d 5. Tớnh tớch phõn 220dxI4x=-ũ. S: I2p=. Vớ d 6. Tớnh tớch phõn 3120dxIx 2x 2-=++ũ. S: I12p=. 3. Cỏc dng c bit 3.1. Dng lng giỏc Vớ d 11 (bc sin l). Tớnh tớch phõn 2230I cos x sin xdxp=ũ. Hng dn: t t cosx= S: 2I15=. 4 Vớ d 12 (bc cosin l). Tớnh tớch phõn 250I cos xdxp=ũ. Hng dn: t t sin x= S: 8I15=. Vớ d 13 (bc sin v cosin chn). Tớnh tớch phõn 2420I cos x sin xdxp=ũ. Gii 224 2 2 2001I cos x sin xdx cos x sin 2xdx4pp==ũũ2220011(1 cos 4x)dx cos2x sin 2xdx16 4pp= - +ũũ 2220011(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)16 8pp= - +ũũ320x 1 sin 2xsin 4x16 64 24 32pổửpữỗ= - + =ữỗữỗốứ. Vy I32p=. Vớ d 14. Tớnh tớch phõn 20dxIcos x sin x 1p=++ũ. Hng dn: t xt tan2=. S: I ln 2=. Biu din cỏc hm s LG theo tan2at: 22 2 22 1 2sin ; cos ; tan .1 1 1t t ta a at t t 3.2. Dng liờn kt Vớ d 15. Tớnh tớch phõn 0xdxIsin x 1p=+ũ. Gii t x t dx dt= p - ị = - x 0 t , x t 0= ị = p = p ị = ( )00( t)dttI dtsin( t) 1 sin t 1 sin t 1ppp-pị = - = -p - + + +ũũ00dt dtIIsin t 1 2 sin t 1ppp= p - ị =++ũũ ( )( )2200dt dtttt24cossin cos2422pppp==p-+ũũ200td2 4 ttan2 t 2 2 4cos24ppổửpữỗ-ữỗữữỗổửốứp p pữỗ= = - = pữỗữữỗổửốứpữỗ-ữỗữữỗốứũ. Vy I =p. Tng quỏt: 5 00xf(sin x)dx f(sin x)dx2ppp=òò. Ví dụ 16. Tính tích phân 220072007 20070sin xI dxsin x cos xp=+ò. Giải Đặt x t dx dt2p= - Þ = - x 0 t , x t 022pp= Þ = = Þ = ( )( ) ( )200702007 20072sin t2I dxsin t cos t22pp-Þ = -pp- + -ò220072007 20070cos tdx Jsin t cos tp==+ò (1). Mặt khác 20I J dx2pp+ = =ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I4p=. Tổng quát: 22nnn n n n00sin x cos xdx dx , nsin x cos x sin x cos x 4pp+p= = Î++òòZ. Ví dụ 17. Tính tích phân 620sin xI dxsin x 3 cos xp=+ò và 620cos xJ dxsin x 3 cos xp=+ò. Giải I 3J 1 3- = - (1). ( )6600dx 1 dxI J dx2sin x 3 cos xsin x3pp+ = =p++òò Đặt t x dt dx3p= + Þ =1I J ln 34+= (2). Từ (1) và (2)3 1 3 1 1 3I ln 3 , J ln 316 4 16 4--= + = -. Ví dụ 18. Tính tích phân 120ln(1 x)I dx1x+=+ò. Giải Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt= Þ = + x 0 t 0, x 1 t4p= Þ = = Þ = ()442200ln(1 tan t)I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt1 tan tpp+Þ = + = ++òò. Đặt t u dt du4p= - Þ = - t 0 u , t u 044pp= Þ = = Þ = 6 0404I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du4ppộ ổ ửựpữỗờỳị = + = - + -ữỗữữỗờỳốứởỷũũ 44001 tan u 2ln 1 du ln du1 tan u 1 tan uppổ ử ổ ử-ữữỗỗ= + =ữữỗỗữữữữỗỗố ứ ố ứ++ũũ ( )4400ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I4ppp= - + = -ũũ. Vy I ln 28p=. Vớ d 19. Tớnh tớch phõn 4x4cos xI dx2007 1pp-=+ũ. Hng dn: t xt=- S: 2I2=. Tng quỏt: Vi a > 0, 0a>, hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ ]; - a a thỡ x0f(x)dx f(x)dxa1aa-a=+ũũ. Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn Ă v tha f( x) 2f(x) cos x- + =. Tớnh tớch phõn 22I f(x)dxpp-=ũ. Gii t 22J f( x)dxpp-=-ũ, x t dx dt= - ị = - x t , x t2 2 2 2p p p p= - ị = = ị = - [ ]2222I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dxpppp--ị = - = ị = + = - +ũũ 2202cos xdx 2 cos xdx 2ppp-= = =ũũ. Vy 2I3=. 3.3. Cỏc kt qu cn nh 7 i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì aaf(x)dx 0-=ò. ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì aaa0f(x)dx 2 f(x)dx-=òò. iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 22nn00(n 1)!!, n !!cos xdx sin xdx(n 1)!!.,n !! 2ppí-ïïïïï==ìï-pïïïïỵòònếu n lẻ nếu n chẵn. Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =. Ví dụ 21. 211010!! 2.4.6.8.10 256cos xdx11!! 1.3.5.7.9.11 693p= = =ò. Ví dụ 22. 21009!! 1.3.5.7.9 63sin xdx . .10!! 2 2.4.6.8.10 2 512pp p p= = =ò. II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Cơng thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ( ) ( )/ / / ///uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + Þ = + ( )b b ba a ad uv vdu udv d(uv) vdu udvÞ = + Þ = +ò ò ò b b b bbbaaa a a auv vdu udv udv uv vd = + Þ = -ò ò ò ò. Cơng thức: bbbaaaudv uv vdu=-òò (1). Cơng thức (1) còn đƣợc viết dƣới dạng: bbb//aaaf(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx=-òò (2). 2. Phƣơng pháp giải tốn Giả sử cần tính tích phân baf(x)g(x)dxò ta thực hiện Cách 1. Bƣớc 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx== (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm ngun hàm v(x) và vi phân /du u (x)dx= khơng q phức tạp. Hơn nữa, tích phân bavd phải tính được. Bƣớc 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: 8 i/ Nếu gặp b b baxa a aP(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dxò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)=. ii/ Nếu gặp baP(x) ln xdxò thì đặt u ln x=. Cách 2. Viết lại tích phân bb/aaf(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=òò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1x0I xe dx=ò. Giải Đặt xxuxdu dxdv e dxve==ííïïïïÞìì=ïï=ïïîî (chọn C0=) 1111x x x x0000xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - =òò. Ví dụ 2. Tính tích phân e1I x ln xdx=ò. Giải Đặt 2dxduu ln xxdv xdxxv2íï=ï=íïïïïÞììïï=ïïî=ïïî eee22111x 1 e 1x ln xdx ln x xdx2 2 4+Þ = - =òò. Ví dụ 3. Tính tích phân 2x0I e sin xdxp=ò. Giải Đặt xxu sin xdu cos xdxdv e dxve==ííïïïïÞììïï==ïïîî 22x x x22000I e sin xdx e sin x e cos xdx e JppppÞ = = - = -òò. Đặt xxu cos xdu sin xdxdv e dxve==-ííïïïïÞìì=ïï=ïïîî 22x x x2000J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 IpppÞ = = + = - +òò 22e1I e ( 1 I) I2pp+Þ = - - + Þ =. Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 9 Ví dụ 7. Tính tích phân 240I cos xdxp=ò. Hƣớng dẫn: Đặt tx=20I 2 t cos tdt 2pÞ = = = p -òLL. Ví dụ 8. Tính tích phân e1I sin(ln x)dx=ò. ĐS: (sin 1 cos1)e 1I2-+=. III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân baI f(x) dx=ò, ta thực hiện các bước sau Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1x 2x b f(x) + 0 - 0 + Bƣớc 2. Tính 1212b x x ba a x xI f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +ò ò ò ò. Ví dụ 9. Tính tích phân 223I x 3x 2 dx-= - +ò. Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2x 3x 2-+ + 0 - 0 ( ) ( )12223159I x 3x 2 dx x 3x 2 dx2-= - + - - + =òò. Vậy 59I2=. Ví dụ 10. Tính tích phân 220I 5 4 cos x 4 sin xdxp= - -ò. ĐS: I 2 3 26p= - -. 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ]baI f(x) g(x) dx=±ò, ta thực hiện Cách 1. Tách [ ]b b ba a aI f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên. 10 Cỏch 2. Bc 1. Lp bng xột du chung ca hm s f(x) v g(x) trờn on [a; b]. Bc 2. Da vo bng xột du ta b giỏ tr tuyt i ca f(x) v g(x). Vớ d 11. Tớnh tớch phõn ( )21I x x 1 dx-= - -ũ. Gii Cỏch 1. ( )2 2 21 1 1I x x 1 dx x dx x 1 dx- - -= - - = - -ũ ũ ũ 0 2 1 21 0 1 1xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx--= - + + - - -ũ ũ ũ ũ 0 2 1 22 2 2 21 0 1 1x x x xx x 02 2 2 2--ổ ử ổ ửữữỗỗ= - + + - - - =ữữỗỗữữỗỗố ứ ố ứ. Cỏch 2. Bng xột du x 1 0 1 2 x 0 + + x 1 0 + ( ) ( ) ( )0 1 21 0 1I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx-= - + - + + - + - +ũ ũ ũ ( )1202110x x x x 0-= - + - + =. Vy I0=. 3. Dng 3 tớnh cỏc tớch phõn { }baI max f(x), g(x) dx=ũ v { }baJ min f(x), g(x) dx=ũ, ta thc hin cỏc bc sau: Bc 1. Lp bng xột du hm s h(x) f(x) g(x)=- trờn on [a; b]. Bc 2. + Nu h(x) 0> thỡ { }max f(x), g(x) f(x)= v { }min f(x), g(x) g(x)=. + Nu h(x) 0< thỡ { }max f(x), g(x) g(x)= v { }min f(x), g(x) f(x)=. Vớ d 12. Tớnh tớch phõn { }420I max x 1, 4x 2 dx= + -ũ. Gii t ( )( )22h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +. Bng xột du x 0 1 3 4 h(x) + 0 0 + ( )( )( )1 3 4220 1 380I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx3= + + - + + =ũ ũ ũ. Vy 80I3=. Vớ d 13. Tớnh tớch phõn { }2x0I min 3 , 4 x dx=-ũ. [...]... cos xx xx , biết rằng ln2 4 F 2. Tính các tích phân sau: 9 Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Hƣớng dẫn: Đặt tx= 2 0 I 2 t cos tdt 2 p Þ = = = p - ị LL . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx= ị . ĐS: (sin 1 cos1)e 1 I 2 -+ = . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải tốn 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ị , ta thực hiện các bước... dx C= 2 0 2 ln2 x dx 3. Tính các tích phân sau: A= 3 3cos 0 sin x e xdx B= 4 1 ln e x dx x C * = 23 2 5 4 dx xx D * = 2 1 1 -1 x dx x 4. Tính các tích phân sau: I= 1 sin(ln ) e x dx x J= 4 2 6 sin cot dx xx K= 10 1 lg xdx L= ln 5 ln 3 23 xx dx ee M= 2 22 0 sin 2 cos 4sin xdx xx N= 2 2 1 -9 dx x C= 2 22 0 sin 2 (1 cos ) x dx x 5. Tính các tích phân sau: A= 1 2 0 4- dx x B= 3 2 3 3 dx x ... f(x)dx f(x)dx= = - + ị ị ị ị . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ò . Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2 x 3x 2-+ + 0 - 0 ( ) ( ) 12 22 31 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = ịị . Vậy 59 I 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx p = - - ò . ĐS: I 2 3 2 6 p = - - . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ] b a I f(x) g(x) dx=± ò , ta thực... Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- trên đoạn [ ] ; ab . Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx b a - ị . 4 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ị . Hƣớng dẫn: Đặt t sin x= ĐS: 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 42 0 I cos x sin xdx p = ị . Giải 22 4 2 2 2 00 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 pp == òò 22 2 00 11 (1... 3 Vậy I 6 p = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx=- ò . Hƣớng dẫn: Đặt x 2sin t= ĐS: I =p . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1x = + ò . Giải Đặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 22 ổử pp ữ ỗ = ẻ - ị = + ữ ỗ ữ ữ ỗ ốứ x 0 t 0, x 1 t 4 p = Þ = = Þ = 44 2 2 00 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t pp +p Þ = = = + ịị . Vậy I 4 p = . Ví dụ 4. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 - = ++ ị .... 1 22 00 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) == + + + + òò . Đặt x 1 tan t+= ĐS: I 12 p = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4x = - ị . ĐS: I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 - = ++ ò . ĐS: I 12 p = . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lƣợng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 23 0 I cos x sin xdx p = ò . Hƣớng dẫn: Đặt t cosx= ĐS: 2 I 15 = . 12 Với [ ] 22 x... 4 pp + p = = Ỵ ++ ịị Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x p = + ò . Giải I 3J 1 3- = - (1). ( ) 66 00 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 pp + = = p + + ịị Đặt t x dt dx 3 p = + Þ = 1 I J ln 3 4 += (2). Từ (1) và (2) 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 = + = - . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1x + = + ị .... 2x sin 4x 16 64 24 32 p ổử p ữ ỗ = - + = ữ ỗ ữ ỗ ốứ . Vy I 32 p = . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 p = ++ ò . Hƣớng dẫn: Đặt x t tan 2 = . ĐS: I ln 2= . Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 p = + ị . Giải Đặt x t dx dt= p - Þ = - x 0 t , x t 0= Þ... trục Ox và x=0, x= 3 . 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x 3 2x 2 +4x 3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x= /3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình... - - òò 14 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y f(x), x a, x b= = = và trục hồnh là b a S f(x) dx= ị . Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a f(x) dx ị . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e= = = và Ox. Giải Do . lấy tích phân từng phần. 9 Ví dụ 7. Tính tích phân 240I cos xdxp=ò. Hƣớng dẫn: Đặt tx=20I 2 t cos tdt 2pÞ = = = p -òLL. Ví dụ 8. Tính tích phân. ln x=. Cách 2. Viết lại tích phân bb/aaf(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=òò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1x0I xe dx=ò. Giải Đặt