... 1
1
cos
1
2
1
cos
1
2
= tan
2
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bấtđẳngthức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2
+ cos
2
= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 ... Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.sin =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(
2
1
++
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 ... +
2
3
=
( )
[ ]
2
3
1
2
1
+β+α−βα−β+α )sinsincos(cos.coscos
G.NTH
4
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bấtđẳng thức: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt
=+
=
cosR1b
sinR1a
với...
... c + d) 4.
1
8
=
1
8
.
Vậy BĐT đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra a = b = c = d =
1
4
.
Bài toán 2. (Mỹ, 2003). Cho các số thực dơng a, b, c. Chứngminh rằng
22
222222
(2 ) (2 ) (2 )
8
2()2()2()
abc ... + f(b) + f(c) 4(a + b + c) + 12 = 24.
BĐT (2.2) đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra ở (2.2) a = b = c = 1. Từ đó BĐT
(2.1) đúng và đẳngthức xảy ra a = b = c.
Bài toán 3. (Mở rộng bài toán ... BĐT đúng. Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
hoặc (a, b, c) là một hoán vị bất kỳ của (1, 0, 0).
Nhận xét cách giải: Đây là bài toán rất khó và đặc biệt là đẳngthức xảy ra...
... thức Côsi” dành để trình
bày về bấtđẳngthức Côsi.
Bấtđẳngthức Côsi là bấtđẳngthức quan trọng nhất và có nhiều ứng dụng nhất
trong chứngminhbấtđẳng thức. Trong chương này chúng tôi ...
22
n
nn
n
nnnnn
aaa
aaaaaaaaa
n
++
+++
³+³, nên bất
đẳng thức đúng khi n bằng một luỹ thừa của 2.
· Giả sử bấtđẳngthức đúng với n số không âm, ta chứngminhbấtđẳngthức đúng
với
1n-
số không âm. Thật ... để sử dụng có hiệu quả bấtđẳngthức Côsi.
Chương 2 “Phương pháp sử dụng bấtđẳngthức Bunhiacopski” trình bày các
ứng dụng của bấtđẳngthức Bunhiacopski và bấtđẳngthức Bunhiacopski mở rộng....
... pháp chứngminhbấtđẳngthức và ứng dụng của
bất đẳngthức )) *#!86?#fr-*#
6?#r? ;*6@
C: Kết luận
C%=#% &F. ; ;?6O
?!I6K ((một số phơng pháp chứngminhbất
đẳng thức và ứng dụng củabất đẳng ... nội dung của đề tài
i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bấtđẳngthức
Z@.%-+[%
Z?.%-+\%
Z@.3%Q%-+[%
Z?.3%Q%-+\%
2, Một số tính chất cơ bản của bấtdẳngthức :
-]L\%[^\%[
%-_L\%%\^\\
H;`*6a(@a(a(%a(BDa(
bcddeR]cR
f
Gi¶i ... AC+
<
9<Zz1[
2
AB AC+
11 . Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứngminhbấtđẳng thức
nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù
của mỗi bài toán mà sử dụng...
... 0989966850
Đổi Biến Để ChứngMinhBất ĐẳngThức
Đôi khi chứngminh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song
không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứngminh BĐT, có nhiều ... đưa về biến mới thì bài toán trở nên
dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứngminh BĐT được dễ
dàng hơn.
Sau đây là một số ví dụ :
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số ... x z y x z y x z
⇔ + + + + + ≥ + + =
÷ ÷
÷
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a b c⇔ = =
VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả...
...
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx
Bài 4: Giải các bất phương trình sau.
1) 5
x
+ 12
x
> 13
x
2) x (x
8
+ x
2
+16 ) > 6 ( 4 - x
2
)
Bài 5 : Chứngminh các bấtđẳngthức sau :
1) e
x
> 1+x với x...
... pháp chứngminhbấtđẳngthức và ứng dụng của
bất đẳngthức )) *#!86?#fr-*#
6?#r? ;*6@
C: Kết luận
C%=#% &F. ; ;?6O
?!I6K ((một số phơng pháp chứngminhbất
đẳng thức và ứng dụng củabất đẳng ... nội dung của đề tài
i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bấtđẳngthức
Z@.%-+[%
Z?.%-+\%
Z@.3%Q%-+[%
Z?.3%Q%-+\%
2, Một số tính chất cơ bản của bấtdẳngthức :
-]L\%[^\%[
%-_L\%%\^\\
H;`*6a(@a(a(%a(BDa(
bcddeR]cR
f
A: ... AC+
<
9<Zz1[
2
AB AC+
11 . Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứngminhbấtđẳng thức
nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù
của mỗi bài toán mà sử dụng...
...
ABCV
là tam giác đều.
Nhận xét: Qua cách chứngminh trên ta nghĩ tới lớp các bấtđẳngthức trong
tam giác mà dấu bằng xảy ra khi là tam giác đều. Chúng liên quan đến hàm số
có đạohàm phụ thuộc ... Chứngminhbấtđẳngthức
Bất đẳngthức là một dạng toán khó và cũng có rất nhiều phơng pháp để
giải bài toán này. Phơng pháp đạohàm là một phơng pháp giải đợc ... lớp bài toán bấtđẳng thức.
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1: Cho
0
2
x
< <
. Chứngminh rằng :
a.
<sin ;x x
b.
>
tan .x x
Giải:
a. Xét hàm số
( ) sinf...
... trình ta đợc :
- Kiến thức : Biến đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bất đẳng
thức đúng hoặc bấtđẳngthức đà đợc chứngminh là đúng .
- Một số bấtđẳngthức thờng dùng :
(A
B)
2
... về
bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng
thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứngminhbấtđẳng thức.
Có nhiều phơng pháp để chứngminhbấtđẳng ... Bấtđẳngthức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a
a
b
b
3. Phơng pháp 3: dùng bấtđẳngthức quen thuộc .
- Kiến thức : Dùng các bấtđẳngthức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất
đẳng thức...
... đpcm.
Bài 7: Cho n
+
Ζ∈
chứngminh rằng :
xx
n
−
1
<
ne2
1
với mọi
( )
1;0
∈
x
Giải
Hướng dẫn học sinh chứngminhbấtđẳngthức tương tương với chứngminhbấtđẳngthức
( )
xx
n
−1
2
...
2
1
2
x
xe
x
++>
với
0
>∀
x
đpcm.
Bài 3: Chứngminh rằng
6
3
x
x −
<
xx
<
sin
với
0
>
x
Giải
Ta hướng dẫn cho học sinh chứngminhbấtđẳngthức
⇔
chứngminh
<
−>
xx
x
xx
sin
6
sin
3
...
⇔
x
x
xx
x <
+
<−
1
2
2
,
0
>∀
x
đpcm.
Chứng minhbấtđẳng thức, tìm GTLN, GTNN
của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác
Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0)
Đặt...
... đpcm.
Bài 7: Cho n
+
Ζ∈
chứngminh rằng :
xx
n
−
1
<
ne2
1
với mọi
( )
1;0
∈
x
Giải
Hướng dẫn học sinh chứngminhbấtđẳngthức tương tương với chứngminhbấtđẳngthức
( )
xx
n
−1
2
... (sin
4
+ sin
2
cos
2
+ cos
4
) 0
Bất đẳngthức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
Chứng minhbấtđẳng thức, tìm GTLN, GTNN
của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác
Dạng 1: Sử dụng điều kiện ... ).cos( - )+ sin(- ).cos(-)
sin( - )+ sin(- )
Biểu thức cần chứngminh đúng
Ví dụ 3: a, b, c R, chứngminh (ab + 1) (bc + 1) (ca + 1) 0
Chứng minh:
ca1
a - c
.
bc1
cb
.
ab1
ba
ca1
a - c
bc1
cb
ab1
ba
++
−
+
−
=
+
+
+
−
+
+
−
Đặt...