Ước lượng trong chứng minh bất đẳng thức

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN FECMA-ƯỚC LƯỢNG Tiếp tuyến: Với tính nhất hình học dễ thấy rằng khi tiếp tuyến ( ) tt d tại một ñiểm trên ñồ thị ( ) xfy = ngoại trừ ñiểm uốn, thì luôn luôn tồn tại lân cận ( ) β α , sao cho ( ) tt dxf ≥ khi lân cận ñó nằm trong giới hạn lồi và ( ) tt dxf ≤ lân cận ñó nằm trong giới hạn lõm. Trong trường hớp với ý ñồ ta giải bằng cách b a x = và hiển nhiên trong những bài toán mà ñẳng thức xảy ra khi cba = = thì rõ ràng ta viết phương trình tiếp tuyến tại ( ) ( ) 1;1 f .Để chứng tỏ những ưu ñiểm của cách giải này, chúng ta xét những ví dụ sau ñây [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . 2 222 22 2 22 2 22 2 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ Giải Ta sẽ chứng minh 0 > x thì. 16 311 12 2 2 − ≥ ++ x xx x thật vậy . Nếu 11 3 0 << x thì bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng . Nếu 11 3 ≥ x thì ta có . ( ) ( ) 2 24 31112256 −++≥ xxxx ( ) ( ) 0939141 2 2 ≥−+− xxx luôn luôn ñúng 11 3 ≥x Từ ñó ta chọn x lần lượt là a c c b b a ,, vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta ñược. ∑∑ − ≥ ++ cycliccyclic ba baba a 16 311 2 22 2 2 2 22 2 cba baba a cyclic ++ ≥ ++ ⇒ ∑ Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . ( ) cba c ca ac b bc cb a ab ba ++≤ + − + + − + + − 4 6 29 6 29 6 29 2 33 2 33 2 33 Giải Ta sẽ chứng minh 0 > x thì. 15 6 129 2 3 −≤ + − x x x x thật vậy . Bất ñẳng ñẳng thức viết lại . ( ) ( ) ( ) 00 6 11 15 6 129 2 2 2 3 >∀≤ + +−− =+− + − x xx xx x xx x Từ ñó ta chọn x lần lượt là a c c b b a ,, vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta ñược. ( ) ∑∑ −≤ + − cycliccyclic ba aab ba 5 6 29 2 33 ( ) cba aab ba cyclic ++≤ + − ⇒ ∑ 4 6 29 2 33 Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . 3 22 3 22 3 22 3 cba a ca c c c bc b b b ab a a ++ ≥ ++ + ++ + ++ Giải Ta sẽ chứng minh 0 > x thì. 3 12 1 2 3 − ≥ ++ x x x x thật vậy . Bất ñẳng ñẳng thức viết lại . ( ) ( ) ( ) 0 13 11 3 12 1 2 2 2 3 ≥ ++ +− = − − ++ xx xxx xx x Từ ñó ta chọn x lần lượt là a c c b b a ,, vào bất ñẳng thức trên ta ñược. ∑∑ − ≥ ++ cycliccyclic ba baba a 3 2 22 3 3 22 3 cba baba a cyclic ++ ≥ ++ ⇒ ∑ Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho các số thực không âm cba ,, thoả 1 = + + cba .Chứng minh rằng . 3211113 222 +≤++++++++≤ ccbbaa Giải Áp dụng bất ñẳng thức Mincowsky ta có . 2 22 2 2 3 3 2 3 4 3 2 1 1         +       +++≥+       +=++ ∑∑ cbaaaa cycliccyclic 131 2 ≥++⇒ ∑ cyclic aa Đẳng thức xảy ra khi 3 1 === cba Ta lại có [ ] 1,0 ∈ ∀ a thì ( ) 1131 2 +−≤++ aaa thật vậy, ta viết lại như sau ( ) ( ) 01223 ≥−−⇔ aa Tương tư ta có ( ) ( ) 1131,1131 22 +−≤+++−≤++ cccbbb Cộng vế theo vế ta ñược 321 2 +≤++ ∑ cyclic aa Đẳng thức xảy ra khi 1,0 = = = cba và các hoán vị [Lê Khánh Sỹ]. Cho các số thực 7 ,, 321 ≤ n xxxx và 2 2 1 n x n k k = ∑ ≥ = . Chứng minh rằng . 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 22 3 3 2 2 2 2 1 1 n x x x x x x x x n n ≤ + + ++ + + + + + + + + Giải Với 7 ≤ x ta luôn có : ( ) ( ) ( ) 0 125 127 25 432 1 1 2 2 2 ≤ + −− = − − + + x xxx x x 25 432 1 1 2 x x x − ≤ + + ⇒ ∑∑ == −≤ + + ⇒ n k n k k k x n x x 11 2 25 4 25 32 1 1 5 6 1 1 1 2 n x x n k k k ≤ + + ⇒ ∑ = Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho các số thực dương cba ,, .Chứng minh rằng . ( ) ( ) ( ) ( ) cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + 4 9 222 Giải Bất ñẳng thức trên là thuần nhất vì ( ) ( ) cbafttctbtaf ,,,, 1− = Do ñó không mất tính tổng quát của bài toán ta chuẩn hóa 9 = + + cba . Vậy bài toán ñược viết lại . ( ) 4 1 9 2 ≥ − ∑ cyclic a a với 9 = + + cba Dễ thấy . ( ) ( ) 9,0 12 1 18 9 2 ∈∀−≥ − a a a a ( ) ( ) 4 1 9 12 3 18 9 2 2 ≥ − ⇒ − + + ≥ − ⇒ ∑ ∑ cyclic cyclic a a cba a a Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho các số thực dương cba ,, thoả 1 2222 =+++ dcba .Chứng minh rằng . ( ) 6 1111 ≥+++−       +++ dcba dcba Giải Từ hệ thức ( ) 001620 2 1 2 >∀≥+       − xxx Suy ra 4 11 5 1 , 4 11 5 1 22 +−≥−+−≥− bb b aa a , 4 11 5 1 , 4 11 5 1 22 +−≥−+−≥− dd d cc c Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh. [Ví dụ]. Cho các số thực dương dcba ,,, thoả 1 = + + + dcba .Chứng minh rằng . ( ) 8 1 6 22223333 ++++≥+++ dcbadcba Giải Bài toán trên có thể viết lại như sau. Với các số thực dương t z y x , , , thoả mãn ñiều kiện 4 = + + + tzyx thì ta có ( ) ( ) 846 22223333 ++++≥+++ tzyxtzyx Thật vậy từ hệ thức. ( ) ( ) 0,0861 2 >∀≥+− mmm ta thay m lần lượt cho các biến thì ( ) 1010246 23 −++≥ ⇒ xxx Và ( ) 1010246 23 −++≥ yyy ( ) 1010246 23 −++≥ zzz ( ) 1010246 23 −++≥ ttt Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = = tzyx hay 4 1 ==== dcba . Ước lượng ñánh giá Bằng cách phân hoạch ñều của bất ñẳng thức , và ñẳng thức xảy ra khi nào ? lúc ñó ta sẽ nhận xét và ñánh giá nó , tuy nhiên chúnh ta cũng có thể sai lầm do nó không phải là tổng quát của một cách giải nào. [Lê Khánh Sỹ]. Cho ba số dương cba ,, thoả 1 = abc . Chứng minh rằng. 1 111 444444 ≤ ++ + ++ + ++ b a c a c b c b a Giải Ta chọn số thực α sao cho ααα α c b a a c b a ++ ≤ ++ − 1 44 1 ( ) 441 cbacb +≤+⇔ − ααα ( ) ( ) 44 1 cbbccb +≤+⇔ − α αα Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn 234 − = α ta tìm ñược ngay 2 = α do ñó ta có 22244 22244 22244 1 1 1 c b a c b a c cba b acb cba a cba + + ≤ + + ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ Ta lại có cbacba ++≥++ 222 với 1 = abc Vậy bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = cba [Lê Khánh Sỹ]. Cho các số thực dương n aaaa , ,,, 321 thoả 1,3,;1,,1, , 321 ≥≥=∀= knnjiaaaa n . Chứng minh rằng. 1 1 1, ,1 ≤               + ∑ ∑ = ≠= n ii n jii k ij aa Giải Ta chọn số thực α sao cho ∑∑ = − ≠= ≤ + n i i j n jii k ij a a aa 1 1 ,1 1 α α         +≤⇔ ∑∑ ≠= − = n jii k ijj n i i aaaa ,1 1 1 αα ∑∑ ≠= − ≠= ≤⇔ n jii k ij n jii i aaa ,1 1 ,1 αα ∑∑ ∏ ≠=≠= − ≠= ≤         ⇔ n jii k i n jii i n jii i aaa ,1,1 1 ,1 α α Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn ( ) ( ) kn = + − − α α 11 ta tìm ñược ngay n nk 1 − + = α do ñó ñể bất ñẳng thức ñúng thì ta cần chứng minh ∑∑ = − −+ = −+ ≥ n i n nk i n i n nk i aa 1 1 1 1 1 Bất ñẳng thức trên luôn ñúng vì theo bất ñẳng thức hoán vị thì ∑ ∏ ∑ = − −+ = = −+ ≥ n i n nk i n n I i n i n nk i aaa 1 1 1 1 1 1 và 1 1 = ∏ = n I i a [Ví dụ]. Cho ba số thực dương cba ,, thoả 1 = abc . Chứng minh rằng. 1 111 442442442 ≤ ++ + ++ + ++ b a c a c b c b a Giải Ta chọn số thực α sao cho ααα α c b a a c b a ++ ≤ ++ −2 442 1 ( ) 442 cbacb +≤+⇔ − ααα ( ) ( ) 44 2 cbbccb +≤+⇔ − α αα Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn 434 − = α ta tìm ñược ngay 3 8 = α do ñó ta có 3 8 3 8 3 8 3 2 442 3 8 3 8 3 8 3 2 442 3 8 3 8 3 8 3 2 442 1 1 1 cba c bac cba b acb cba a cba ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ Vậy ta cần chứng minh 3 2 3 2 3 2 3 8 3 8 3 8 cbacba ++≥++ Bất ñẳng thức trên luôn ñúng vì ta có ( ) ( ) 1, 222 2 888 =++≥++ xyzzyxxyzzyx Vậy bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = cba [Ví dụ]. Cho ba số thực dương cba ,, . Chứng minh rằng. 2 3 22 2 22 2 22 2 ≥ + + + + + b a c a c b c b a Giải Thật ra ñây chỉ là biến thể của Nesbitt mà ta chứng minh rồi ! Ta chọn số thực α sao cho         ++ ≥ + ααα α cba a cb a 2 3 22 2 ( ) 222 3222 cbacba +≥++ − αααα Ta lại có 3 2 3 3 αα ααα babba ≥++ 3 2 3 3 αα ααα cacca ≥++ Cộng vế theo vế và ñồng nhất với giả thiết ta ñược 3 = α do ñó ta có         ++ ≥ +         ++ ≥ +         ++ ≥ + 333 3 22 2 333 3 22 2 333 3 22 2 2 3 2 3 2 3 cba a ba c cba b ac b cba a cb a Cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong. [Lê Khánh Sỹ]. Cho ba số dương cba ,, thoả 1 = abc . Chứng minh rằng. 1 333333 ≤ + + + + + + + + b a c c a c b b c b a a Giải Ta chọn số thực α sao cho ααα α c b a a c b a a + + ≤ + + 33 ( ) 441 cbacb +≤+⇔ − ααα ( ) ( ) 33 1 cbbccb +≤+⇔ − α αα Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn 233 − = α ta tìm ñược ngay 3 5 = α do ñó ta có 3 5 3 5 3 5 3 5 33 3 5 3 5 3 5 3 5 33 3 5 3 5 3 5 3 5 33 cba c bac c cba b acb b cba a cba a ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh. [Ví dụ]. Cho ba số thực dương cba ,, . Chứng minh rằng. ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ≥ ++ + ++ + ++ bac c acb b cba a Giải Ta chọn số thực α sao cho ( ) ααα α cba a cba a ++ ≥ ++ 3 3 3 Bất ñẳng thức ñúng thì hiển nhiên ñúng với 1 = = cb do ñó suy ra ( ) ( ) 82 32 2 3 +≥+ aaaa αα ( ) ( ) ( ) 2212 332 334: 2: aaaaf aaaaf +++−= ′ ++−= +− + αα αα αα Ta cần có ( ) ( ) 20334:1 = ⇔ = + + + − = ′ α α α f Với 2 = α ta ñược ( ) 222 2 3 3 3 cba a cba a ++ ≥ ++ 2 2 22 3 11         + +≤       + + ⇒ a cb a cb 2 3 2 1 11             + +≤       + + ⇒ a cb a cb ( ) 02 2 2 ≥− ⇒ tt với a cb t + = luôn luôn ñúng . Tóm lại ta ñược ( ) 222 2 3 3 3 cba a cba a ++ ≥ ++ Xây dựng tương tự các bất ñẳng thức còn lại và cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong. [Turkey 2007]. Cho ba số thực dương cba ,, thoả 1 = + + cba . Chứng minh rằng. ca bc ab b b ca a a bc c c ab ++ ≥ ++ + ++ + ++ 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 222 Giải ( ) ( ) abcabccbaabcaccb cabcab ab ccab 222 22 1 22222 2 2 +≥++++ ++ ≥ ++ 22222 2 abcaccb ≥+ luôn luôn ñúng Xây dựng tương tự các bất ñẳng thức còn lại và cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong. [Moldova]. Cho các số thực [ ] 1,0, ,, 21 ∈ n xxx .Chứng minh rằng. 3 1 12 1212 33 2 2 3 1 1 ≤ −++ ++ −++ + −++ n n xSn x xSn x xSn x Trong ñó 33 1 3 1 n xxxS +++= Giải Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau [ ] ( ) nii xxxxSnnix +++≥−++=∈∀ , ,312,;1,1,0 21 3 Do ñó ta xây dựng bài toán như sau ( ) ( ) ( ) ( ) i nn xnS nS xxxxxx −++≤ += ++++++≤+++ 12 2 2 22, ,3 33 2 3 121 Vậy bài toán chứng minh xong . [Crux-Mathematicorum]. Cho các số thực [ ] 1,0, ,, 621 ∈ xxx . Chứng minh rằng. 5 3 5 55 5 6 3 6 5 2 3 2 5 1 3 1 ≤ +− ++ +− + +− xS x xS x xS x Trong ñó 5 6 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 xxxxxxS +++++= Giải Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau [ ] ( ) 3 6 3 2 3 1 5 3 5 5,6;1,1,0 xxxxSix ii +++≥+−=∈∀ Do ñó ta xây dựng bài toán như sau ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 2323 3 5 5 5 6 5 2 5 1 3 6 3 2 3 1 +−≤ += ++++++ ≤+++ i xS S xxx xxx Vậy bài toán chứng minh xong . [Lê Khánh Sỹ]. Cho các số thực [ ] 1,0, ,, 21 ∈ n xxx , ni ,1=∀ và hai số tự nhiên 1 ≥ ≥ β α . Chứng minh rằng. ( ) ( ) ( ) α β β βα β βα β βα α β α β α β ≤ −+ − + ++ −+ − + + −+ − + n n x n S x x n S x x n S x 1 11 2 2 1 1 Trong ñó ααα n xxxS +++= 21 Giải Áp dụng GMAM − cho α số dương ta có β βαβ ααα α xxxx ≥+++++++ − 434 2144 344 21 1 11 ( ) βα αβαβ xx ≥−+ Do ñó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) βββ βββααα βα β α β βα αβαβ αβαβ n nn xxx n S xxxnxxx xx +++≥ − + +++≥−++++ ≥−+ 21 2121 Vì [ ] 1,0, ,, 21 ∈ n xxx nên ta suy ra ( ) ( ) ββββ β α β β α ni xxxx n S +++≥−+ − + 1 21 Hay ( ) ( ) βββ β α β α β β βα n i i i xxx x x n S x +++ ≤ −+ − + 1 21 Cho i chạy từ n ,1 và cộng theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh. Bài tập hướng dẫn. [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . 3 2 2 2 22 3 22 3 22 3 cba a c c c b b b a a ++ ≥ + + + + + Hướng dẫn : 0 > ∀ x thì ta luôn có . 9 47 2 2 3 − ≥ + x x x [Ví dụ]. [...]... trên ta ñi ch ng minh b ñ sau (3 − 2 x )2 2 3 x 2 + (3 − x ) (7 x 2 ( ≥ )( ) 1 7 x 2 − 44 x + 44 v i 0 < x < 3 49 ) − 44 x + 44 4 x 2 − 6 x + 9 − 49(3 − 2 x ) ≤ 0 2 (x − 1)2 (28 x 2 − 126 x − 45) ≤ 0 [Ví d ] Cho ba s th c dương a, b, c Ch ng minh r ng a b+c + b c+a + c a+b ≥ 3 (a + b + c ) 2 Hư ng d n : B t ñ ng th c trên là thu n nh t do ñó ta chu n hóa a + b + c = 6 khi ñó ta c n ch ng minh 0 < x < 6... th c không âm a, b, c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Ch ng minh r ng a b c + + ≤ 2 1 + bc 1 + ca 1 + ab Hư ng d n : Ư c lư ng a 2a ≤ 1 + bc a + b + c [Ví d ] Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn abc = 1 và n ≥ 1 Ch ng minh r ng a ≤ a + bn + c n n+2 3 a b n+ 2 3 +b n+2 3 +c n+2 3 [Ví d ] Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn abc = 1 và 0 < n ≤ 1 Ch ng minh r ng 1 ≤ a +b+c a n a 1+ 2 n 3 +b 1− n 3 1+ 2 n 3... 54  1 1 + x 2 ≤  10   1 ≥ 2−x 1 + x 2 2  [Olympic BaLan] 3 và tho a + b + c = 1 Ch ng minh r ng 4 a b c 9 + + ≤ 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 10 Cho các s th c a, b, c ≥ − Hư ng d n : x 36 x + 3  3 5 ≤ x ∈ − ;  thì ta luôn có 2 1+ x 50  4 2 [Ví d ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng 1 1 1 9 1 1   1 + + + ≥ 4 + +  a b c a+b+c a+b b+c c+a Hư ng d n : B t ñ ng th... ta chu n hóa a + b + c = 3 khi ñó quay v bài ti p tuy n quen thu c [Ví d ] Cho ba s dương a, b, c tho a + b + c = 3 Ch ng minh r ng 1 2a + 1 2 1 + 2b + 1 2 1 + 2c 2 + 1 ≥ 3 Hư ng d n : 1 0 < x < 3 thì ta có 2x + 1 2 ≥ − 2 3x + 5 3 9 [Ví d ] Cho a, b, c là các s th c dương.Ch ng minh r ng (b + c − a )2 + (a + c − b )2 + (a + b − c )2 2 2 2 3a 2 + (b + c ) 3b 2 + (a + b ) 3c 2 + (a + b ) ≥ 9 a2 + b2...Cho a, b, c là các s th c dương.Ch ng minh r ng 3 3 a b c a2 + 3 b2 + 3 c2 + + ≥ 3 2 a+b 3 b+c 3 c+a Hư ng d n : ∀x > 0 thì ta luôn có 3 3 2x3 x3 + 1 ≥ 5x 2 − 1 4 [Ví d ] Cho hai b s dương a1 , a2 , a3 , , an ; b1 , b2 , b3 , , bn tho a1 + a2 + a3 + + an = b1 + b2 + b3 + + bn = 1 Ch ng minh r ng 2 2 2 a12 a2 a3 an 1 + + + + ≥ a1 + b1 a 2 + b2 a3 + b3 a n + bn... a n + bn 2 Hư ng d n : x > 0 thì ta có x2 3x + 1 ≥ x +1 4 [Ví d ] Cho ba s dương a, b, c Ch ng minh r ng 5b 3 − a 3 5c 3 − b 3 5a 3 − c 3 + + ≤ a+b+c ab + 3b 2 bc + 3c 2 ac + 3c 2 Hư ng d n : x > 0 thì ta có 5 x 3 − 13 ≤ 2x − 1 x + 3x 2 [Ví d ] Cho các s th c a, b, c ∈ [0,1] và tho a + b + c = 1 Ch ng minh r ng 5 1 1 1 27 ≤ + + ≤ 2 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 10 Hư ng d n : Ta luôn có ∀x ∈ [0,1] thì : . phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = = tzyx hay 4 1 ==== dcba . Ước lượng ñánh giá Bằng cách phân hoạch ñều của bất ñẳng thức , và ñẳng thức. 1212 33 2 2 3 1 1 ≤ −++ ++ −++ + −++ n n xSn x xSn x xSn x Trong ñó 33 1 3 1 n xxxS +++= Giải Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau [ ] ( ) nii xxxxSnnix