Phương pháp lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2020 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Một số bất đẳng thức 1.1 Bất đẳng thức Jensen 3 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Bất đẳng thức 1.1.3 Ví dụ 1.2 Bất đẳng thức AM-GM 1.2.1 Bất đẳng thức 1.2.2 Ví dụ 1.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.3.1 Bất đẳng thức 1.3.2 Ví dụ 1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 11 1.4.1 Bất đẳng thức 11 1.4.2 Ví dụ 12 ii Đẳng thức bất đẳng thức lượng giác 2.1 Bất đẳng thức lượng giác 14 14 Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức 3.1 23 Chứng minh bất đẳng thức tam giác 3.1.1 Chứng minh bất đẳng thức tam giác nhọn 3.1.2 3.2 23 23 Chứng minh bất đẳng thức tam giác khác 28 Chứng minh bất đẳng thức đại số 35 3.2.1 Cơ sở lý thuyết 35 3.2.2 Ví dụ 40 3.3 Sử dụng lượng giác hóa tốn cực trị 56 3.4 Một số đề thi học sinh giỏi 62 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Toán sơ cấp lĩnh vực mà kết chuyên gia sáng tạo tương đối đầy đủ hoàn thiện Chính việc nghiên cứu để thu kết có ý nghĩa điều khó Khi đọc số tài liệu Bất đẳng thức gặp số toán đại số mà giải chúng chuyển thành toán lượng giác Trong chương trình Tốn học phổ thơng, chun đề lượng giác đóng vai trị cơng cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số hình học Trong thực tiễn, lượng giác đặc trưng lượng giác chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc Trung học phổ thơng, đồng thời ứng dụng ln hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên Mục tiêu luận văn "Phương pháp lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức" nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thơng Luận văn, ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, tác giả nhắc lại số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Chebyshev Chương Đẳng thức Bất đẳng thức lượng giác Chương trình bày công thức lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thường gặp Chương Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày sở lý thuyết chứng minh bất đẳng thức tam giác phương pháp lượng giác hóa Đồng thời, sưu tầm đề tốn bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi có sử dụng phương pháp lượng giác hóa Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán quý Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 20 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Bình Định, tháng năm 2020 Học viên Phạm Văn Linh Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức bản, làm tảng cho chương sau 1.1 1.1.1 Bất đẳng thức Jensen Hàm lồi Định nghĩa 1.1 ([2]) Hàm số f (x) gọi hàm lồi (a, b) ⊂ R với x1 , x2 ∈ (a, b) cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) Định lý 1.2 Nếu f (x) khả vi cấp (a, b) f (x) ≥ f (x) hàm lồi 1.1.2 Bất đẳng thức Định lý 1.3 (Jensen, [2]) Nếu y = f (x) hàm lồi khoảng (a, b) n với x1 , , xn ∈ (a, b) số thực α1 , , αn ≥ 0, αi = i=1 f (α1 x1 + + αn xn ) ≤ α1 f (x1 ) + + αn f (xn ) Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp theo n Với n = bất đẳng thức theo định nghĩa Giả sử bất đẳng thức với n ≥ Ta chứng minh bất đẳng thức cho n + Xét x1 , , xn , xn+1 ∈ (a, b) số thực n+1 α1 , α2 , , αn , αn+1 ≥ 0, αi = i=1 Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức f (α1 x1 + + αn xn + αn+1 xn+1 ) αn αn+1 ≤ α1 f (x1 ) + + (αn + αn+1 ) f xn + xn+1 αn + αn+1 αn + αn+1 Vì f (x) hàm lồi nên αn+1 αn xn + xn+1 αn + αn+1 αn + αn+1 f ≤ αn+1 αn f (xn ) + f (xn+1 ) αn + αn+1 αn + αn+1 Vậy n+1 n+1 f ≤ αi x i i=1 i=1 1.1.3 αi f (xi ) Ví dụ Ví dụ 1.4 Cho a > 1, x1 , , xn ∈ (0, 1) với x1 + + xn = Chứng minh n i=1 Giải Xét hàm y = f (x) = a x1 + x1 x+ x a n2 + ≥ na−1 a Ta có y =a 1− x x+ x a−1 , 23 y =a x+ x x a−1 12 + a(a − 1) − x a−2 x+ ≥ x Suy y = f (x) hàm lồi Chọn α1 = = αn = Áp dụng bất đẳng n thức Jensen ta có α1 f (x1 ) + + an f (xn ) = n =f hay n i=1 1.2 1.2.1 n (xi + i=1 n a ) ≥ f (α1 x1 + + αn xn ) xi n = f( ) = n xi i=1 xi + xi a +n n a = n2 + n (n2 + 1)a ≥ na−1 ✸ Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức so sánh trung bình cộng trung bình nhân số thực khơng âm phát biểu sau Định lý 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM, [2]) Cho a, b số khơng âm Khi a+b √ ≥ ab Chứng minh Với a = 0, b = bất đẳng thức luôn Với a, b > 0, ta chứng minh sau: a+b √ ≥ ab √ ⇔a + b ≥ ab √ ⇔a − ab + b ≥ a √ √ ⇔( a − b)2 ≥ Suy định lý chứng minh Định lý tổng quát cho n số: Định lý 1.6 Cho a1 , a2 , , an thực khơng âm ta có √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức cho n số khơng âm bất đẳng thức với 2n số khơng âm Ta có √ a1 + a2 + + a2n √ √ ≥ ( n a1 a2 an + n an+1 an+2 a2n ) ≥ a1 a2 a2n 2n nên bất đẳng thức n luỹ thừa Giả sử bất đẳng thức với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức với n − số không âm Thật vậy, đặt A = a1 + a2 + + an−1 , an = A n−1 Ta có A+ A ≥ n−1 n a1 · a2 an−1 A n−1 suy A ≥ (n − 1) · √ n a1 a2 an−1 Kết hợp ba điều suy bất đẳng thức AM-GM với n nguyên dương (n ≥ 2) 60 Giải Từ điều kiện ta có 1 1 · + ·c+c· =1 a b b a (3.39) Theo Dạng 4, ta đặt A B C = tan , = tan , c = tan ; A, B, C ∈ (0; π) a b 2 Từ giả thiết (3.39) Định lý (2.2) (i), ta có A + B + C = π Với cách đặt trên, ta có tan C2 1 A B Q= + + = cos + cos + sin C 2 + tan2 A2 + tan2 B2 + tan2 C2 = (cos A + cos B + sin C) + 2√ 3 ≤ + Suy √ 3 + 1, max Q = A=B= C= π 2π hay a=b=2+ √ c = √ ✸ Ví dụ 3.35 Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca + abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ P = ab + bc + ca + √ ab + bc + √ ca Giải Theo Dạng 9, ta đặt √ √ √ π bc = cos A, ca = cos B, ab = cos C; A, B, C ∈ 0; Từ điều kiện toán, ta có cos2 A + cos2 B + cos2 C + cos A cos B cos C = (3.40) 61 Từ giả thiết (3.40) Định lý 2.2 (ii) ta có A + B + C = π P = cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2(cos A + cos B + cos C) = 4(1 − cos A cos B cos C) + + sin = + sin A B C sin sin 2 A B C sin sin − cos A cos B cos C 2 Vậy P = A = B = C = π ≥ hay a = b = c = ✸ Ví dụ 3.36 Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a + b + c + = 4abc Tìm giá trị lớn biểu thức √ √ 4bc − 4ca − 1 Q= + + bc ca ab Giải Từ điều kiện ta có 1 1 + + +2 = 4bc 4ca 4ab 8abc Do a, b, c ba số thực dương, suy 1 , , ∈ (0; 1) 4bc 4ca 4ab Theo Dạng 9, ta đặt 1 π √ = cos A, √ = cos B, √ = cos C; A, B, C ∈ 0; ca bc ab Từ điều kiện toán, ta có cos2 A + cos2 B + cos2 C + cos A cos B cos C = (3.41) Từ giả thiết (3.41) định lý (2.2) (ii) ta có A + B + C = π Với cách đặt ta có √ √ 4bc − 4ca − 1 Q= + + bc ca ab 62 =4 cos2 A · − + cos2 B · cos A − + cos2 C cos B =2 sin 2A + sin 2B − sin2 C + (3.42) Mặt khác sin 2A + sin 2B − sin2 C ≤ sin C − sin C = −2 sin C − 2 + 1 ≤ (3.43) 2 Từ (3.42) (3.43) suy Q≤2· +4=5 nên max Q = 3.4 A=B= C= π 5π 12 √ ⇔ a = b = 33 √ c = + ✸ Một số đề thi học sinh giỏi Bài (Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, TP Hà Nội, 2011-2012) Chứng minh tam giác √ a b c + + ≥ hb hc Giải Ta có b c 2R sin A a 2R sin B 2R sin C + + = + + hb hc 2R sin B sin C 2R sin C sin A 2R sin A sin B sin A sin B sin C + + = sin B sin C sin C sin A sin A sin B (3.44) Theo bất đẳng thức AM – GM a b c sin A sin B sin C + + ≥3 hb hc sin2 A sin2 B sin2 C =3 sin A sin B sin C (3.45) 63 Dấu (3.45) xảy A = B = C Theo bất đẳng thức tam giác √ 3 sin A + sin B + sin C ≤ (3.46) Dấu (3.46) xảy A = B = C Từ (3.44) (3.46) suy √ b c a + + ≥ hb hc Dấu xảy ∆ABC ✸ Bài (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình, 20152016) Chứng minh tam giác ABC ta có sin B C A B C √ A + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 2 2 2 Giải Xét hàm số f (x) (0; π) sau x x f (x) = sin + tan ; 2 x 1 f (x) = cos + ; 2 cos2 x x sin x f (x) = − cos4 > 0, ∀x ∈ (0; π) x cos nên f (x) hàm lồi (0, π) Theo bất đẳng thức Jensen, ta có f (A) + f (B) + f (C) A+B+C ≥f 3 A B C A B C ⇒ sin + sin + sin + tan + tan + tan 2 2 2 A+B+C A+B+C + tan ≥3 sin 6 A B C A B C √ ⇒ sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 2 2 2 Dấu xảy ∆ABC ✸ 64 Nhận xét Nói riêng, tam giác ta có A B C + sin + sin ≤ , 2 2 B C √ A tan + tan + tan ≥ 2 π π Nhờ việc xét hàm lồi f (x) = sin + tan , ta có bất đẳng thức 2 sin Bài (Chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2017-2018, Bà Rịa-Vũng Tàu) Cho ba số thực dương a, b, c cho a2 + b2 + c2 + abc = Chứng minh a (b + 2)(c + 2) + b (c + 2)(a + 2) + c (a + 2)(b + 2) ≥ Giải Theo Bất đẳng thức AM - GM, ta có a (b + 2)(c + 2) ≥ 2a b+c+4 Tương tự cho hai số hạng lại Vậy nên, ta cần chứng minh 2a 2b 2c + + ≥ b+c+4 c+a+4 a+b+4 Theo Bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức, ta có 2a 2b 2c 2(a + b + c)2 + + ≥ b+c+4 c+a+4 a+b+4 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) Vậy nên, ta cần chứng minh 2(a + b + c)2 ≥ 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) Theo giả thiết, ta có 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − a2 − b2 − c2 = (a + b + c)2 − (4 − abc) Nên Bất đẳng thức viết lại (a + b + c)2 + ≥ 4(a + b + c) + abc 65 Vì a2 + b2 + c2 + abc = nên theo Dạng tồn tam giác nhọn ABC cho a = cos A; b = cos B; c = cos C Bất đẳng thức cần chứng minh cos A + cos B + cos C − ≥ √ cos A cos B cos C Vì cos A + cos B + cos C = + sin A2 sin B2 sin C2 nên Bất đẳng thức viết lại sin A2 sin B2 sin C2 ≥ √ cos A cos B cos C ⇔ (1 − cos A)(1 − cos B)(1 − cos C) ≥ cos A cos B cos C Ta có Bất đẳng thức sau (1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) ≤ 3+ 3 = 27 nên ta cần chứng minh 27 cos A cos B cos C 8 cot A cot B cot C ≤ ⇔ sin A sin B sin C 27 Sử dụng công thức cộng sin, ý sin(A + B) = sin C Ta − cos2 A − cos2 B − cos2 C ≥ cot A cot B cot C sin A sin B sin C = cot A cot B cot C(cot A + cot B)(cot B + cot C)(cot C + cot A) Sử dụng Bất đẳng thức AM - GM kết hợp với kết sau cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = ta cot A cot B cot C(cot A + cot B)(cot B + cot C)(cot C + cot A) 66 [2(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)]3 = ≤ 27 27 Do bất đẳng thức chứng minh ✸ Bài (Chọn HSG quốc gia, Thái Nguyên, 2014 - 2015) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh √ + + x2 1 + y2 +√ ≤ + z2 Giải Với điều kiện x + y + z = xyz, ta nhớ đến công thức lượng giác tam giác tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = Do đó, theo Dạng ta đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C, với A, B, C ba góc tam giác Khi đó, ta cần chứng minh cos A + cos B + cos C ≤ Thật vậy, vài phép biển đổi lượng giác, với ý cos B+C π A = cos − 2 = sin A , ta có cos A + cos B + cos C B−C B+C A + cos cos 2 A B−C A = − 2 sin2 − cos sin +2 2 2 √ √ A A B−C =−2 · sin − · sin · √ cos + 2 2 =2 − sin2 67 B−C B−C 1 + √ cos +2 + cos2 2 2 √ A B−C B−C =−2 sin − √ cos − sin2 + 2 2 ≤ +2= 4 +2 ✸ Bài toán giải xong Bài (Mathematical Reflections, 2007) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh y+z + x z+x + y x+y ≥ z 16(x + y + z)3 3(x + y)(y + z)(z + x) Giải Bất đẳng thức cho viết thành (x + y)(z + x) + (x + z) x(x + y + z) (y + z) +(x + y) (x + y)(y + z) y(x + y + z) (y + z)(z + x) 4(x + y + z) √ ≥ z(x + y + z) Ta đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y, p = a+b+c Bất đẳng thức viết lại dạng a bc +b p(p − a) ca +c p(p − b) ab 4p 2(a + b + c) √ ≥√ = p(p − c) 3 Dễ dàng thấy tồn tam giác ABC có cạnh tương ứng a, b, c bán kính đường trịn ngoại tiếp R Theo Dạng 10, ta viết điều cần chứng minh thành a b c 2(a + b + c) √ + + ≥ cos A2 cos B2 cos C2 68 A B C ⇔ sin + sin + sin ≥ √ (sin A + sin B + sin C) 2 √ A B C sin + sin + sin ⇔ 2 2 A A B B C C ≥ sin · cos + sin · cos + sin · cos 2 2 2 Áp dụng Bất đẳng thức Chebyshev sin ≤ ≤ · A B B C C A · cos + sin · cos + sin · cos 2 2 2 A A sin cos 2 √ √ 3 A A sin = sin 2 2 ✸ Ta có điều phải chứng minh Bài (Romania, 2005) Cho số thực dương a, b, c thoa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = Chứng minh ab + bc + ca ≤ Giải Kết hợp giả thiết, ta đưa Bất đẳng thức dạng Cauchy-Schwarz (ab + bc + ca) ≤ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 Ta chuẩn hóa ab + bc + ca = Theo Dạng 6, ta đặt a = tan A2 , b = tan B2 , c = tan C2 , A + B + C = π, a, b, c > (a + b)(b + c)(c + a) = A B tan + tan 2 = sin A+B A cos cos B2 69 = cos C2 = cos A2 cos B2 cos A2 cos B2 cos C2 Như ta cần chứng minh ≥ cos2 A2 cos2 B2 cos2 C2 √ B C 3 A ⇔ cos cos cos ≤ 2 Hiển nhiên ✸ Ta có điều phải chứng minh Bài (Olympic 30-4 Toán 10, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM, 2010) Cho số thực a, b, c ≥ thỏa mãn a + b + c + = abc Chứng minh bc a2 − + ca b2 − + ab √ 3 c2 − ≤ abc Giải Giả thiết cho tương đương √ bc + √ ca + √ ab 1 + · √ · √ · √ = ca bc ab Dễ thấy 1 0< √ ,√ ,√ ≤1 bc ca ab nên theo Dạng 9, ta đặt 1 √ = cos A, √ = cos B, √ = cos C ca bc ab Khi ta có cos A cos B = c cos C = ⇒ 2= ab c c cos A cos B cos C Tương tự = a2 cos B cos C cos A , 2= b cos C cos A cos B 70 Khi ta cần chứng minh 1− + a ⇔ 1− cos A cos B cos C 1− + b + 1− √ 3 1− ≤ c cos B cos C cos A 1− cos Ccos A cos B √ 3 ≤ Lại đặt cos2 A = x, cos2 B = y, cos2 C = z, ta chứng minh Bất đẳng thức mạnh xy yz zx − − 3− z x y ≤ √ 3 2 ⇔ xy zx xy + + ≥ z y z Điều ln xy yz zx + + ≥ x + y + z = cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ z x y Ta có điều phải chứng minh ✸ 71 Kết luận Luận văn “Phương pháp lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức” đạt số kết sau: Nhắc lại số kiến thức lượng giác số bất đẳng thức kinh điển Đưa tốn có lời giải bất đẳng thức lượng giác tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác thường số tam giác đặc biệt tam giác có a + c ≥ 2b, tam giác có b + c ≥ 3a, tam giác loại tam giác loại hai Ở cuối chương tác giả đưa hệ thống tập đề nghị Các toán bất đẳng thức lượng giác luận văn biểu thị qua đại lượng R, r, p Đây cách nhìn khác lượng giác Một số toán bất đẳng thức lượng giác luận văn đưa toán nhận dạng tam giác toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác Các toán đưa luận văn bất đẳng thức có tính đối xứng yếu tố tam giác 72 Trong thời gian tới, tác giả mong muốn nghiên cứu bất đẳng thức đối xứng phận bất đẳng thức không đối xứng tam giác Tuy nhiên, thời gian kiến thức hạn chế, cách tiếp cận thiếu khoa học nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận quan tâm, góp ý từ thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 73 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vasile Cirtoaje, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Phân loại phương pháp giải toán Bất đẳng thức, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010 [2] Nguyễn Văn Mậu, Bất Đẳng Thức, Định Lý Áp Dụng, NXB Giáo Dục, 2006 [3] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo Dục, 2007 [4] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức, NXB Tri thức, 2012 [5] Nguyễn Thượng Võ, Tuyển tập 300 toán hệ thức lượng tam giác, NXB Trẻ, 1998 [6] Trương Ngọc Đắc, Một số ứng dụng bất đẵng thức lượng giác tam giác, Kỷ yếu Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi khu vực Duyên hải, 74 Nam Trung Bộ Tây Nguyên, Quy Nhơn, 20 − 21/4/2013 (Nguyễn Văn Mậu, Trần Đức Minh chủ biên), trang 24-42 [7] Lại Thị Quỳnh Nguyên, Một số ứng dụng lượng giác Đại số Giải tích, Kỷ yếu Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi, Trường Phổ thông vùng cao Việt Bắc, Thái Nguyên, 02- 03/11/2012, trang 66-91 [8] Nguyễn Vũ Lương, Một số giảng toán tam giác, NXBĐHQG Hà Nội, 2006 [9] Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo Dục, 2007 [10] Tạ Duy Phương, Phương trình bậc ba hệ thức hình học lượng giác tam giác, NXB Giáo dục Việt Nam, 2019 Tiếng Anh [11] Z Cvetkovski, Inequalities Theorems, Techniques and Selected Problems, Springer, 2012 [12] T Andresscu, Z Feng , Mathematical Olympiads Problems and Solutions from Around the World, Mathematical Association of America, Washington DC, 2000 ... đẳng thức tam giác chứng minh đẳng thức đại số từ lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức tốn tìm cực trị 3.1 Chứng minh bất đẳng thức tam giác 3.1.1 Chứng minh bất đẳng thức tam giác nhọn Trong. .. 14 Chương Đẳng thức bất đẳng thức lượng giác Chương trình bày đẳng thức bất đẳng thức lượng giác dùng chương trình phổ thơng 2.1 Bất đẳng thức lượng giác Trong việc chứng minh bất đẳng thức đại... 1.4.1 Bất đẳng thức 11 1.4.2 Ví dụ 12 ii Đẳng thức bất đẳng thức lượng giác 2.1 Bất đẳng thức lượng giác 14 14 Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức