Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ đề thi hsg toán lớp 8 theo hình thức trắc nghiệm điền kết quả và tự luận. ĐỀ 1 Từ bài 1> bài 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả; bài 11, 12, 13 phải trình bày bài giải Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bài 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số nguyên : A= x(x+1) (x+2) (x+3) + 1 Bài 4: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: yx2 +yx +y =1. Bµi 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: Bài 6: Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = Tính giá trị của biểu thức P = Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H. Tính tổng : Bài 8: Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E là trung điểm của AB. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Tính số đo góc DBK.
ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12, 13 phải trình by bi gii Bài 1: Giải phơng trình: x 1 x x 1 2014 2015 2016 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc A = 27 12 x x2 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số nguyên : A= x(x+1) (x+2) (x+3) + Bi 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: yx2 +yx +y =1 x2 x x2 x Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x x x2 x 1 + + = x y z 1 Tính giá trị biểu thức P = x y z Bài 6: Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H Tính tổng : AH BH CH AA' BB ' CC ' Bài 8: Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E trung điểm AB Nối D với E Vẽ tia Dx vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Tính số đo góc DBK x x 3y Bài 9: Cho: 3y- x=6 Tính giá trị biểu thức: A= y x Bài 10: Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2020 y 2020 z 2020 32021 x2 Bài 11: a) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = víi x khác x4 6y b) Giải phương trình: y 10 y y y Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Bài 13: Cho số a; b; c tho¶ m·n : a + 2b + 3c = Chøng minh r»ng : a2 + 4b2 + 9c2 � ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12 phải trình bày giải Bµi 1: Giải phơng trình: 4x 12.2x + 32 = Bài 2: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = Bài 3: Tìm giá trị nguyên x để phân thức có giá trị số nguyên: A �2 �x x x 11x x 5 � x 1 � � x 1� Bài 4: Cho biểu thức: A � �: x x x x � � � � Tìm giá trị nguyên x để A nhn giỏ tr nguyờn Bài 5: Giải phơng trình: 31 .1 1 1.3 2.4 3.5 x( x 2) 16 1 0 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Bài 7: Hai c¹nh cđa hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đờng cao có độ dài 5cm Tính độ dài đờng cao thứ hai Bi 8: Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF Tính góc DEF Bài 9: T×m sè dư phÐp chia cđa biĨu thøc Bài 6: Cho x, y, z đôi khác x x x x 8 2016 cho ®a thøc x 10 x 21 Bài 10: Cho 6a - 5b = T×m giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Bi 11: Cho x, y, z số lớn b»ng Chøng minh r»ng: 1 � x2 y xy Bài 12: Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao 12(m), AC BD, BD=15(m) a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Chứng minh BD2 = DE.DH Từ tính độ dài DE b/ Tính diện tích hình thang ABCD ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12 phải trình bày giải Bµi 1: Giải phơng trình: 2x(8x-1)2(4x-1)=9 Bi 2: Tỡm giỏ tr nhỏ biểu thức A = a 2a 3a 4a Bài 3: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 a, 4a b a b c b) x4 – 30x2 + 31x – 30 = Bµi 5: Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, b c số nguyên Biết đa thức x4 + 6x2+25 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1) Bài 6: Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x + y + z = x + y + z = Tính tổng: S = x 2014 + y 2015 + z 2016 Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung ®iĨm cđa BD, BC, CD Cho AB = 4cm, tÝnh cạnh tứ giác AMNI Bi 8: Cho tam giác ABC, ba đờng phân giác AN, BM, CP cắt t¹i O Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lƯ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm Bài 9: Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị đợc phân số nghịch đảo phân số đà cho Tìm phân số Bi 10: Cho a, b > a+b = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2 Bi 11: Giải phơng trình với nghiệm số nguyªn: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bài 12: Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 13 x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y x (với x y dấu) �x y � x2 y b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = � � y x �y x � (với x �0, y �0 ) ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12,13 phải trình bày bi gii Bài 1: Có hình vuông hình trên: Bi 2: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A x x 2017 , ( x kh¸c 0) 2017 x Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( ac) + ab ( c+d) ( a-b) Bài 4: Cho a + b +c = TÝnh: a3 +a2c – abc + b2c + b3 = Bµi 5: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta mt s chớnh phng Bi 6: Tỡm x,ynguyên dơng, bit : x2-y2+2x-4y-10=0 Bài 7: Cho hai dãy số 2;4;6;………… ;200 3;6;9;………… ; 300 Hỏi có số trùng từ hai dãy số Bài 8: Có hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng số tự nhiên mà có diện tích 2016 đvdt Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A có AB=6cm; AC=8cm I giao điểm đường phân giác tam giác vẽ IK vng góc với BC K Tính độ dài đoạn IK Bài 10: Cho a, b > a+b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2 x Bài 11: Cho biÓu thøc: y = ( x 2004) ; ( x>0) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bi 12: Cho hỡnh vuụng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Tổng số hình vng có hình sudoku : N = 1² + 2² + 3² + 4² + + 9² = 285 Công thức tổng quát : N(n) = 1² + 2² + 3² + 4² + + n² = n³/3 + n²/2 + n/6 Cơng thức tổng bình phương n số tự nhiên đầu tiên, n= số đơn vị cạnh hình vng lớn Bài 1: điểm a, Tính: Ta có: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = theo gi¶ thiÕt) VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = ( ®pCM) b, 1,5 ®iĨm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bài 2: Điểm Đặt t = 2004 y Bài toán đa tìm x để t bé Ta cã t = = Ta thÊy: ( x 2004) x 2.2004 x 20042 = 2004 x 2004 x x 2004 x 2004 2 2 = 2004 x 2004 x (1) Theo bÊt đẳng thức Côsi cho số dơng ta có: x 2004 2 x2 + 20042 2004 x 2004 x (2) DÊu “ =” x¶y x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t Vậy giá trị bé t = x =2004 VËy ymax= 1 Khi x= 2004 2004t 8016 Bài 3: Điểm a, Nhân vế phơng trình với 2.3.4 ta đợc: (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8 Vế trái số nguyên liên tiếp khác nên thừa số phảI dấu ( + )hoặc dÊu ( - ) Suy ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 10 (1) Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) (-10) (-9) (-8) (2) Tõ phơng trình (1) 12x -1 = 11 x = ( thoả mÃn) Từ phơng trình (2) 12x -1 = - x= VËy x=1 tho¶ mÃn phơng trình Bi 3(1,5 im): Gi abcd l số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a 0 12 suy x Z (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1) Câu 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo, cắt O Tính diƯn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diƯn tÝch tam gi¸c BOC 169 cm2 diện tích tam giác AOD 196 cm2 Câu 6: Theo đề ta phải tÝnh diƯn B C tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm O SAOD = 196 cm2 Ta nhận thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD A đờng cao tơng ứng nhau) D Suy SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ta rót r»ng: tû sè diƯn tÝch hai tam giác có chung đờng cao tỷ số hai đáy tơng ứng Do đó: S ABO AO S AOD => SABO.SCOD = SBOC.SAOD S BOC OC S COD Mà SABO = SCOD nên: S2ABO = SAOD SBOD = 169.196 = 132 142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) ( BA' A' C ) AH S S AHC AH AHB Bài 7.Ta có : A' A S ABC AH BC BH S AHB S BHC Tương Tự: BB' S (2) ABC (1) S S AHC CH CHB (3) CC S ABC Từ (1); (2); (3) ta có: 2( S AHB S BHC S CHA ) AH ' BH CH 2 = S ABC AA' BB ' CC ' Bài Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 1/2 Từ chứng minh:CK=ED (1) E B EB=BC (2) A BED BCK =135 (3) từ: (1);(2);(3)suy ra: BED BCK (cg.c ) EBD CBK C D I DBK 90 G K H M Bài 11 Biến đổi phương trình về: (3 y 1)( y 3) (3 y 1)(3 y 1) 1 } 3 Đkxđ: y {3; ; 3y+1=-2y+6 y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm y=1 Từ giả thiết ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c (x2-2x+5 ) (x2+bx+c) mà b; c số nguyên nên b=-2; c=5 Khi P(1) =12-2.1+5 =4 Bài 12 H C B F O A E K D Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành � KDC � Ta có: � ABC � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g g ) � Chứng minh : AFD : AKC ( g g ) CH CK � CH CD CK CB CB CD � AF AK � AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g g ) � Mà : CD = AB � CF AH CD AC CF AH � AB AH CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 1 � 1� Bµi 13 ( Ta cã: �a2 ��0 � a2 a �0 � a2 �a 4 � 2� 1 b2 �b ; c2 �c T¬ng tù ta cịng cã: 4 Céng vÕ víi vế bất đẳng thức chiều ta đợc: a2 b2 c2 3 �a b c V× a b c nªn: a2 b2 c2 � 4 DÊu “=” x¶y a = b = c = Bài (1đ) Tìm giá trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc A 27 12 x x2 2 x2 27 12 x x 12 x 36 x A �1 x 9 x2 x A đạt giá trị nhỏ nhÊt lµ -1 � x hay x = x 36 x 12 x x 3 27 12 x 4 �4 x2 x2 x 9 x 0x Bài 2: a A đạt GTLN A = lµ x2 x x2 x x2 x x2 x Tìm đợc nghiệm phơng trình x1 = 0; x2= -1 (1.5 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức B= x2 với x # giải tìm đợc B max = 1/2 x = 1 x4 ( 1, ®iĨm ) ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12,13 phải trình bày giải Bµi 1: cho a số có hai chữ số, b số có ba chữ số, trung bình cộng ba số a, b 402 500 tìm b a b c 1 bc ca ab a 2b 2c b 2c 2a c 2a 2b Tính M bc ac ba x x x x 2014 2016 x Bài 3: Tìm x biết Bài 2: cho ba số a, b, c thỏa mãn 2 � � 1� � Bài 4: Cho x +3x+1=0 Tính B �x � �x � � x� � x � Bµi 5: Giải phương trình: x x x 2 � � � � 1� � � 1� �x � �x � �x ��x � x � x� � x � � x � � x� Bài 6: Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn 3xy x 15y 44 Bài 7: Cho ba số x, y, z thỏa m·n x y z Tìm giá trị lớn B xy yz zx Bài 8: Cho f x �1 � �2 � �2015 � x3 A f � � f � � f � � Tính �2016 � �2016 � �2016 � 3x 3x Bài 9: giải phương trình 1+x+x2+x3+………….+x2017=0 Bài 10: Giải phương trình: a) x3 – 5x2 + 8x – = 2 Bài 11 : a) Cho số m, n, p thỏa mãn : m n p b) � �1 4� � x (x 1) �x x � 1 m2 n p2 Tính giá trị biểu thức A = m4 + n4 + p4 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 + 2y2 – 2x – 4y + = Bài 12 : Cho hình thang ABCD (AB//CD AB < CD) có đường phân giác góc A, B, C, D cắt O Gọi H, K hình chiếu vng góc O AB, DC � BOC � 90o a) Chứng minh: AOD b) Chứng minh: AH.DK = BH.CK c) Gọi E giao điểm đường thẳng AD BC, EH cắt CD F Chứng minh: CF = DK AEB đồng dạng CBF (g-g) E A � AB2 AE.CF � AC2 AE.CF AE AC � AC CF AEC đồng dạng CAF (c-g-c) AEC đồng dạng CAF � CAF � mà � AEC � AEC � EAO � ACF � EAO � EOF O B D C � 1200 1800 DAC F 3xy x 15y 44 � x 5 3y 1 49 x, y nguyên dương x + 5, 3y + nguyên dương lớn Thỏa mãn yêu cầu Bài Toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có: x2 �x � �� � 3y � y2 � Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = B xy z x y xy � x y � x y � � xy 3 x y x y x2 y2 xy 3x 3y 2 2 � y 3� 3y 6y � y 3� 3 � x � x y 1 �3 � � � � � � � y 1 � y � x 0� x y z � � � �x y z Dấu = xảy Vậy giá trị lớn B x = y = z = ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12,13 phải trình bày giải Bµi 1: Với giá trị nguyên x để biểu thức : N=( x x x x x 2012 ) x x2 x2 x2 có giá trị nguyên ? Bài 2: a) Tìm dư phép chia : (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2012 cho x2 + 8x + 12 b) Tìm dư phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 � x �1 x 3 x Bi 3: Giải phơng tr×nh: a) �2 � x 3 2 1 1 b) = +b+ ab x a x (x ẩn số) Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y xy x y b) Biết xy = 11 x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2 Bµi 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab(a b) ac(a c) bc(2a b c) Bài 6: Cho x + y = x y �0 Tính giá trị biểu thức A= 2 x y x y 2 y 1 x 1 x y 3 Bài 7: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = Bài 8: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình sau: x x x2 x yx2 +yx +y =1 b 2đ a 2đ Câu (4 điểm) b 2đ x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = y2 (x – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = 4 y (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = Có giá trị x,y,z là: (1;2;1) a) Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A số phương 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Dễ thấy a a a(a 1)(a 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 0.5 Xét hiệu A (a1 a2 a2016 ) (a a a 3 2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a13 a1 ) ( a23 a2 ) (a2016 a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng chia hết cho Do A chia hết cho 0.5 0.5 0.5 C D I H O E F 0,5 A Câu (6 điểm ) a 2đ K M B ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vậy AE BC 0,5 0,5 b 2đ c 1,5đ Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vuông H có HO đường trung tuyến 0,5 1 � HO AC DM 2 0,5 ∆DHM vuông H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK AB (KAB) IK đường trung bình hình thang ABFD 0,5 0,5 0,5 0,5 AD BF AM BM AB � IK (không đổi) 2 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định 0,5 Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB (a+b+c)2= a b c ab ac bc 0 Câu (2 điểm ) 2 0,5 a a a a 2bc a ab ac bc (a b)( a c) 0,5 Tương tự: b2 b2 b 2ac (b a)(b c ) c2 c2 c 2ac (c a )c b) 0,5 a2 b2 c2 P a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 (a b)( a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)( a c)(b c ) 1 (a b)( a c)(b c ) 0,5 Lưu ý : Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12,13 phải trình bày giải Bµi 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: Bài 2: a) Tìm giá trị lớn biẻu thức: M yx2 +yx +y =1 2x x2 b) Cho a, b > a+b = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thứcM = (1+ ) + (1+ )2 a b Bi 3: Giải phơng trình: (x+1)4 + (x+3)4 = 16 Bài 4: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b) Cho a > b > so s¸nh sè x , y víi :x = 1 a 1 a a2 ; y= 1 b b b2 Bài 5: Giải phơng trình: x + x + x = 14 Bi 6: Với giá trị a b đa thức f(x) =x 4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =x2+4-3x Bi 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo, cắt O TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diƯn tích tam giác BOC 169 cm diện tích tam giác AOD 196 cm2 Bi 8: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 x x2 x x2 x x2 x x y z yz zx xy 1 Bài 10: Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz + + = x y z 1 Tính giá trị biểu thức P = x y z Bài 9: Cho x,y,z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 11: a)Chứng minh a,b,c số hữu tỷ ab+bc+ac=1 (1+a2)(1+b2)(1+c2) bình phương số hữu tỉ x y2 z2 x y2 z2 b)Tìm x,y,x biết : Bài 12 : a Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z b Chứng minh : x5 – x + khơng số phương với x Z+ Bài 13 : Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H �BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a/Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB b/Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM c/Tia AM cắt BC G Chứng minh: 1) GB HD BC AH HC Đặt y = x + ta phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 � 2y4 + 12y2 + = 16 � y4 + 6y2 -7 = Đặt z = y2 ta phương trình: z2 + 6z – = có hai nghiệm z1 = z2 = -7 y2 = có nghiệm y1 = ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3 y2 = -7 khơng có nghiệm 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 C©u 4: (1,5 ®’) Ta cã x,y > vµ x 1 a 1 1 y 1 a 1 a 2 a a a b2 b 1 1 Vì a> b > nên vµ VËy x < y a b a b Câu 5: 1/ Xét khoảng x < -2 ,ta cã: -3x + = 14 � x = - 2/ -2 �x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 � x = (lo¹i) � x = 10 (lo¹i) 3/ �x < 3, ta cã : x + = 14 16 4/ x �3 , ta cã: 3x – = 14 x = Vậy phơng trình có nghiệm lµ x = - vµ x= 16 Bài (2 điểm) Chia f(x) cho g(x) Ta có : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4 = x2+1 d (a-3)x + b+4 (1 ®iĨm) f(x): g(x) vµ chØ sè d b»ng không Từ suy (1 điểm ) a-3=0 => a=3 b+4=0 => b=-4 Câu 6: Theo đề ta phải tính diện B C tích tam giác ABO, biết SBOC = 169 cm2 SAOD = 196 cm2 O Ta nhận thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD đờng cao tơng ứng nhau) D A Suy SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ta rót r»ng: tû sè diƯn tÝch hai tam giác có chung đờng cao tỷ số hai đáy tơng ứng Do đó: S ABO AO S AOD => SABO.SCOD = SBOC.SAOD S BOC OC S COD Mà SABO = SCOD nên: S2ABO = SAOD SBOD = 169.196 = 132 142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) 1 1 1 1 Có ( x y z ) = + 2( xy xz yz ) x y z ( )2 = p + zyx vậyP+2=3 xyz suy P = + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) CE CB Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC= ADC 135 (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) Nên AEB 45 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE AB m BM BE AD � � (do BEC ~ ADC ) BC BC AC mà AD AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH � � nên (do ABH Đồng dạng BC AC AC AB BE Ta có: Do BHM đồng dạng CBA) BEC (c.g.c) suy ra: BHM BEC 135 AHM 45 Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC Suyra: GB AB , GC AC ABC ~ DEC nên Do đó: AB ED AH HD AC DC HC HC (DE//AH) GB HD GB HD GB HD � � GC HC GB GC HD HC BC AH HC ĐỀ Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12,13 phải trỡnh by bi gii Bài 1: Tỡm giá trị ca x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Bài 2: Cho a,b, c, lµ số dơng Tìm giá trị nhỏ P= (a+ b+ c) a b c ( ) Bi 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a10 + a5 + Bi 4: a) Rót gän biĨu thøc : A = 1 1 + + +……….+ (3n 2)(3n 5) 2.5 5.8 8.11 b) Tìm số a, b, c cho :§a thøc x + ax + b chia hết cho (x 4) Bài 5: Tìm a, b ®Ĩ: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + Bài 6: Với giá trị a b đa thøc f(x) =x 4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x Bài 7: Cho tam gi¸c ABC, ba đờng phân giác AN, BM, CP cắt O Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lƯ víi 4,7,5 TÝnh NC biÕt BC = 18 cm Bài 8: T×m hai số biết a Hiệu bình phơng số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 b Hiệu bình phơng số tự nhiên lẻ liên tiếp 40 Bi 9: a)Tìm số nguyên dơng n để n5 +1 chia hết cho n3 +1 b)Giải toán n số nguyên Bi 10: Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung ®iĨm cđa BD, BC, CD Cho AB = 4cm TÝnh cạnh tứ giác AMNI 2 Bi 11: a) Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc 2 Chứng minh a b c b) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài 12 : a Tìm x biết: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 b Chứng minh P 1 1 1 2 100 Bài 13 : H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chøng minh r»ng OM = ON b, Chøng minh r»ng 1 AB CD MN c, Biết SAOB= 20182 (đơn vị diện tích); SCOD= 20192 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Giá trị nhỏ A = Khi: y- = x- y- = => x=7 y=1 Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1) bcx +acy + abz =0 ab ac bc x2 y z x2 y2 z2 4 Tõ (2) xy xz yz a b2 c2 a b2 c Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta cã: P=1+ D abz acy bcx 4 2 xyz F a a b b c c a b a c b c 3 b c a c a b b a c a c b x y Mặt khác y x 2 víi mäi x, y d¬ng P 3+2+2+2 =9 VËy P = a=b=c Bµi (3®): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) C b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) C©u 1 ( 1 = ( A= 1 1 + - +…….+ ) 5 3n 3n n 1 )= 3n 6n 10 - Câu Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 đợc đa thức d suy a = ; b = - 16 Bµi 4: a) A B C N AN phân giác A Nên NB AB NC AC 0,3đ Theo gi¶ thiÕt ta AB BC AC AB Nªn AC cã NB BC 5.BC NC 10(cm) NC NC 0,2® 0,5® b) BM phân giác thiết ta nên B MC BC MA BA 0,3đ Theo giả có: AB BC AC BC BA 0,2® MC MC MA 3.11 � � AC 11(cm) MA MA MC 11 Nên 0,5đ c) Vì AN,BM,CP đờng phân giác tam giác ABC Nên 0,5® Do ®ã BN MC AP AB BC AC 1 BC MA PB AC AB BC BN AB MC BC AP AC ; ; BC AC MA BA PB AB b) Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc, D a 2 råi từ ta tìm đợc: b C E I J F Q P A M Bµi (5 ®iĨm) B B A O M N C D a, (1,5 ®iĨm) LËp ln ®Ĩ cã OM OD AB BD LËp ln ®Ĩ cã OD OC DB AC , 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® ON OC AB AC OM ON OM = ON AB AB b, (1,5 ®iĨm) OM DM OM AM (1), xÐt ADC ®Ĩ cã AB AD DC AD 1 AM DM AD 1 Tõ (1) vµ (2) OM.( ) AB CD AD AD 1 Chøng minh t¬ng tù ON ( ) 1 AB CD XÐt ABD ®Ĩ cã tõ ®ã cã (OM + ON) ( 0,5 ® (2) 0,5 ® 0,5 ® 1 1 ) 2 AB CD AB CD MN b, (2 ®iĨm) 0,5 ® B Chøng minh ®ỵc S AOD S BOC 0,5 ® S AOB S DOC ( S AOD ) 0,5 N M ® Thay sè ®Ĩ cã 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009 2 Do ®ã SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 0,5 40172 (đơn vị DT) đ S AOB OB S BOC OB S S AOB BOC S AOB S DOC S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC A Bài (3 điểm) D I C a,(1 điểm) Chứng minh đợc tứ giác AMNI hình thang Chứng minh đợc AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân b,(2điểm) AM = 0,5 ® cm ; BD = 2AD = cm 3 Tính đợc AD = BD cm 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® cm DC = BC = cm , MN = DC cm 3 Tính đợc NI = AM = Tính đợc AI = cm Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 2 0,5 ® 0,5 ® 2 0,5đ 2 2 a b 2ab b c 2bc c a 2ac 4a 4b 4c 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a b 2ac) (b c 2bc) (a c 2ac) 0 Biến đổi để có (a b) (b c) (a c) 0 (*) Vì (a b) 0 ; (b c) 0 ; (a c) 0 ; với a, b, c nên (*) xảy (a b) 0 ; (b c) 0 (a c) 0 ; Từ suy a = b = c Bài 3: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 ĐKXĐ: x �2009; x �2010 Đặt a = x – 2010 (a �0), ta có hệ thức: a 1 a 1 a a 19 a a 19 � a 1 a 1 a a 49 3a 3a 49 � 49a 49a 49 57a 57a 19 � 8a 8a 30 � a � 2 � 2a 1 42 � 2a 3 2a � � (thoả ĐK) � a � 4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4023 4015 x = giá trị cần tìm 2 C©u 2: (2.5®) a (1.5®) BiÕn ®ỉi: n5 + n3 + n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + (0.5®) (n + 1) (n – 1) (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25®) n – n – n + (vì n + ) (0.25đ) Nếu n = ta đợc chia hết cho (0.25đ) Nếu n > n < n(n – 1) + = n2 – n +1 Do xảy quan hệ n – chia hÕt cho n – n +1 tập hợp số nguyên dơng Vậy giá trị n tìm đợc (0.25đ) b n – n – n +1 n(n – 1) n2 – n + n2 – n n – n + ( n2 – n + 1) – n2 – n + n2 – n + 1 (0.5đ) Có hai trờng hợp: n2 n + = n(n – 1) = n = n = Các giá trị thoả mÃn đề (0.25đ) n2 n + = - n2 – n + = v« nghiƯm VËy n = 0, n = hai số phải tìm Vy x = ĐỀ 10 Từ 1-> 10 thí sinh cần ghi kết quả; 11, 12, 13 phải trỡnh by bi gii Bài 1: Giải phơng trình: x 1 x x x 2012 2012 2012 2011 2010 Bi 2: Giải phơng trình: x x 38 x x 0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Bài 3: Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính S = a2 + b 2012 + c 2013 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18 Bµi 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - Bài 6: Giải phương trình: ( x x) 4( x x) 12 Bài 7: Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2011 Với giá trị x y M đạt giá trị nhỏ Bài 8: Cho đa thức P(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2013 Q(x) = x2 + 10 + 21 Tìm số dư phép chia P cho Q Bài 9: Tìm GTNN: x 5y xy x y 2015 3( x 1) x x x 1 x 14 x x 36 Bài 11: Cho biểu thức A = 3 x 19 x 33 x Bài 10: Tìm GTLN: a) Tìm giá trị x để biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Bài 12: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F;G;H trung điểm cạnh AB, BC; CD; DA M giao điểm CE DF a Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vuông b Chứng minh DF CE MAD cân c Tính diện tích MDC theo a Bµi 13: Cho số dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: � 1� � 1� � 1� P = �a � �b � �c � � a�� b�� c Câu 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo, cắt O Tính diện tÝch tam gi¸c ABO biÕt diƯn tÝch tam gi¸c BOC 169 cm2 diện tích tam giác AOD 196 cm2 Câu 6: Theo đề ta phải tính diƯn B C tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm O SAOD = 196 cm2 Ta nhËn thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD A đờng cao tơng ứng nhau) D Suy SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ta rót r»ng: tû sè diƯn tÝch hai tam giác có chung đờng cao tỷ số hai đáy tơng ứng Do đó: S ABO AO S AOD => SABO.SCOD = SBOC.SAOD S BOC OC S COD Mà SABO = SCOD nên: S2ABO = SAOD SBOD = 169.196 = 132 142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) ( BA' A' C ) AH S S AHC AH AHB Bài 7.Ta có : (1) A' A S ABC AH BC BH S AHB S BHC Tương Tự: BB' S (2) ABC S S AHC CH CHB (3) CC S ABC Từ (1); (2); (3) ta có: 2( S AHB S BHC S CHA ) AH ' BH CH 2 = S ABC AA' BB ' CC ' Bài Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 1/2 Từ chứng minh:CK=ED (1) E EB=BC (2) B A BED BCK =135 (3) từ: (1);(2);(3)suy ra: BED BCK (cg.c ) EBD CBK DBK 90 C D I G K H M Bài 11 Biến đổi phương trình về: (3 y 1)( y 3) (3 y 1)(3 y 1) 1 } 3 Đkxđ: y {3; ; 3y+1=-2y+6 y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm y=1 Từ giả thiết ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c (x2-2x+5 ) (x2+bx+c) mà b; c số nguyên nên b=-2; c=5 Khi P(1) =12-2.1+5 =4 Bài 12 a2 b2 c2 3 �a b c V× a b c nªn: a2 b2 c2 � 4 DÊu “=” x¶y a = b = c = Câu Hìn 3.5 h điểm vẽ đ E A B H M F N D a 1.2 điể m b điể m c 0.7 điể m C G Chứng minh: EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng Kết luận Tứ giác EFGH Hình vuông � FDC � VBEC VCFD(c.g c ) � ECB mà VCDF vuông C � DFC � 900 � DFC � ECB � 900 �VCMF vuông M � CDF Hay CE DF Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG DF � GN//CM mà G trung điểm DC nên � N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến � MAD cân A VCMD : VFCD ( g g ) � CD CM FD FC 2 S �CD � �CD � Do : VCMD � �� SVCMD � �.SVFCD SVFCD �FD � �FD � Mà : SVFCD CF CD CD CD Vậy : SVCMD CD FD Trong VDCF theo Pitago ta có : �1 � DF CD CF CD � BC � CD CD CD 4 �2 � Do : SVMCD CD 1 CD CD a 5 CD 4 Bài (1đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cđa biĨu thøc A 27 12 x x2 2 x2 27 12 x x 12 x 36 x A �1 x 9 x2 x 9 A đạt giá trị nhỏ -1 x hay x = x 36 x 12 x x 3 27 12 x 4 �4 x2 x2 x 9 x 3 0�x A đạt GTLN A = x2 x x2 x x2 x x2 x Bài 2: a Tìm đợc nghiệm phơng trình x1 = 0; x2= -1 (1.5 điểm) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc x2 B= víi x # giải tìm đợc B max = 1/2 th× x = 1 x4 ( 1, ®iĨm ) Phương trình cho tương đương với: x 1 x2 x3 x 2012 1 1 2012 2012 � 2012 2011 2010 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 1 1 � ( x 2013)( ) � x 2012 2011 2010 2012 2011 2010 2013a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = � a; b; c � 1;1 � a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) �0 � a3 + b3 + c3 �1 � a;b;c nhận hai giá trị � b2012 = b2; c2013 = c2; � S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + �1 Vậy minA = x = 5; y = -3 Câu (4 điểm): a) Tìm GTNN: P= x 5y xy x y 2015 3( x 1) x x x 1 2 a) P = x 5y xy x y 2015 (2 điểm) b) Tìm GTLN: Q= P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 �2010 => Giá trị nhỏ P = 2010 x ; y 3( x 1) (2 điểm) x x x 1 3( x 1) = x ( x 1) ( x 1) b) Q = = 3( x 1) = ( x 1)( x 1) = x 1 Q đạt GTLN x đạt GTNN Mà x 1 => x đạt GTNN x = => GTLN C x = ... 2009 x 2009 x x 2 010 x 2 010 2009 x 2009 x x 2 010 x 2 010 19 49 ĐKXĐ: x �2009; x �2 010 Đặt a = x – 2 010 (a �0), ta có hệ thức: a 1... 2009 x 2009 x x 2 010 x 2 010 19 2 2009 x 2009 x x 2 010 x 2 010 49 b Chứng minh raèng P 1 1 1 2 100 Bài 13 : H×nh thang ABCD (AB... 2ab HẾT Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - SBD: PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HÀ NỘI HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán Câu Phần a 2đ Câu
