Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014 Mnc lnc Ma đau Lài cam ơn Bang kí hi¾u Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m ban 1.2 Nói r®ng đ® đo 10 1.2.1 Phương pháp nói r®ng đ® đo Lebesgue .11 1.2.2 Đ® đo Lebesgue đ® đo Lebesgue- Stieltjes 13 1.2.3 Đ® đo Hausdorff khơng gian Metric 14 1.3 Hàm đo đưoc 15 1.4 Các khái ni¾m cna giai tích hàm 17 1.4.1 Đ%nh lý Stone –Weierstrass 17 1.4.2 Các lóp đơn đi¾u cna hàm so .19 Tích phân theo quan điem cua lý thuyet đ® đo 21 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tưong .21 2.2 Chuyen giói han dưói dau tích phân Lebesgue 24 2.3 Tích phân Riemann tích phân Lebesgue R 29 2.3.1 M®t so tính chat cna tích phân 31 Tích phân: Cách tiep c¾n theo giai tích hàm 34 3.1 Tích phân sơ cap trung bình Daniell 34 3.1.1 Tích phân Daniell 35 3.1.2 Trung bình Daniell 37 3.1.3 Các đ%nh lý h®i tu theo trung bình 41 3.2 Mo r®ng tích phân 44 3.3 Tính đo đưoc Daniell 47 3.3.1 Tính đo đưoc 48 3.3.2 Tính đo đưoc khơng gian mêtric 52 3.4 Sn tương đương giua kha tích Daniell kha tích Lebesgue-Caratheodory 53 3.5 Tính chat Maximality .59 Tài li¾u tham khao 63 Ma đau Lý thuyet đ® đo tích phân nen tang xây dnng cho nhieu môn khoa HQc chuyên ngành như: Lý thuyet xác suat, giai tích hàm e chương trình đào tao đai HQc, cao HQc bưóc đau nghiên cúu ve lý thuyet đ o, tớch phõn Trong luắn ny se su dung ket qua ban ve đ® đo tích phân o b¾c Đai HQc Cao HQc đe nghiên cúu sâu ve Tích phân theo quan iem đ o Ngoi ra, luắn trung nghiờn cúu ve cách tiep c¾n tích phân theo quan điem cna giai tích hàm Ta biet rang lóp hàm kha tích Riemann rat hep bao gom hàm so mà t¾p điem gián đoan có the bo qua đnơc Cịn hàm so đo đưoc tőng qt nói chung có the khơng kha tích Riemann (ví du hàm so Dirichlet) Đe vưot qua đưoc sn han che ay, Lebesgue chia mien lay tích phân thành t¾p nho, moi t¾p bao gom nhung điem úng vói giá tr% gan cna f (x), theo quan điem ban Lebesgue xây dung m®t khái ni¾m tích phân tőng qt hơn, áp dung cho tat ca hàm so đo đưoc b% ch¾n Ngồi ra, chuyen giói han dưói dau tích phân cna tích phân Lebesgue khơng can địi hoi khat khe ve ieu kiắn hđi tu eu nh tớch phõn Riemann, tự đưa đưoc nhieu ket qua quan TRQNG tớnh hđi tu n iắu, hđi tu b% lm trđi Tuy nhiên, neu muon mo r®ng đ%nh nghĩa tích phân vào nhung lĩnh vnc phúc tap xét tính tuyen tính, tích phân khơng gian Banach tích phân Lebesgue g¾p khó khăn Do đó, lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu phương pháp tiep c¾n tích phân bang giai tích hàm, su dung tính tuyen tính cau trúc liên tuc cna tích phân sơ cap đe xây dnng tích phân Daniell Σ I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h Khi I∗ có đưoc tính chat như: I∗ hàm khơng giam; I∗ tuyen tính; I∗ hàm σ - c®ng tính dưói Ngồi ra, tương úng vói tích phân I∗ trung bình Daniell ∗ ǁ.ǁ : RΩ → [0, ∞] cho boi f ›→ I ∗ (|f |) vói tính chat ban nh tớnh thuan nhat tuyắt oi, tớnh cđng tớnh dúi em oc Cỏc inh lý hđi tu n iắu, hđi tu b% tr®i theo trung bình de dàng đưoc chúng minh Đieu đ¾c bi¾t cna tích phân Daniell xây dnng tích phân trưóc roi mói đ %nh ngha khỏi niắm đ o Khi ú, đ o Lebesgue đat đưoc tích phân cna hàm chi tiêu Các tính chat ban σ – c®ng tính, tính đo đưoc cna t¾p Borel h¾ qua cna tích phân Tính đo đưoc Daniell mơ ta cau trúc đ%a phương cna q trình kha tích Daniell su dung tích phân Daniell de dàng chúng minh đưoc đ%nh lý bieu dien Riesz cho phiem hàm tuyen tính b% ch¾n khơng gian C(X) cna hàm liên tuc khơng gian tơpơ compact X Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương 1: Kien thÉc chuan b% Chương trình bày nhung kien thúc ban ve đ® đo, mo r®ng đ® đo kien thúc ban ve giai tích hàm làm so đe xây dnng n®i dung chương tiep theo Chương 2: Tích phân theo quan điem đ® đo Chương trình bày cách xây dnng tích phân cna hàm đo đưoc - tích phân Lesbegue, đ%nh lý ve chuyen giói han dưói dau tích phân, tích phân Riemann tích phân Lebesgue R m®t so tính chat cna tích phân Chương 3: Tích phân: Tiep c¾n bang giai tích hàm Chương phan cna lu¾n văn, trình bày cách xây dnng tích phân Daniell, trung bình Daniell tính chat, khái ni¾m đo đưoc Daniell, sn tương đương giua kha tích Lebesgue kha tích Daniell, tính chat maximality cna trung bình Daniell Lài cam ơn Trưóc trình bày n®i dung cna lu¾n văn tác gia xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói PGS.TS Phan Viet Thư ngưịi t¾n tình hưóng dan tác gia Cùng tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, thay tő b® mơn "Lý thuyet xác suat thong kê tốn hQc" trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên t¾n tình day bao tác gia suot q trình HQc t¾p tai trưịng Đong thịi tác gia gui lịi cam ơn tói đong nghi¾p Khoa Khoa HQc Cơ ban, ban giám hi¾u trưòng Đai HQc Sao Đo giúp đõ tao đieu ki¾n tot nhat đe tác gia hồn thành khóa hQc Nhân d%p tác gia xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên tơi cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ tác gia Cam ơn ban lóp góp ý giúp đõ tác gia lu¾n văn Do lan đau mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc han che ve ngoai ngu, thòi gian nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna q thay ban ĐQc Hà n®i, tháng 08 năm 2014 Tác gia luắn Nguyen Th% Huắ Bang kớ hiắu Mà: Tắp tat ca cỏc - o oc M([a, b]): σ - đai so Lebesgue sinh boi [a, b] MR: Lóp hàm thnc đo đưoc M: Lóp t¾p đo đưoc cna Ω M(ǁ.ǁ): T¾p hop tat ca trung bình E trùng vói ǁ.ǁ E+ L1(, F,à): Tắp hop cỏc hm kha tớch Lebesgue Ω L1(ǁ.ǁ): T¾p hop hàm kha tích đoi vói trung bình ǁ.ǁ Cho E m®t dàn véctơ đóng vói phép ch¾t cut ho¾c dàn vành đó: E : Bao đóng cna E u E : Bao đóng đeu cna E E ↑ := h ∈ R : ∃ {φn} ⊂ E thoa mãn h = supn φn Σ cna tat ca dàn đóng chúa E dàn đóng bé nhat chúa E E Σ: Giao F: σ - đai so t¾p cna Ω F := ,f ∈ RΩ : ǁfǁ < ∞, dàn véctơ đóng vói phép ch¾t cut neu x ∈ A A(x) := hàm chi tiêu cna t¾p A neu x ∈/ A Chương Kien thÉc chuan b% Chương se h¾ thong lai kien thúc ve đ® đo, phương pháp nói r®ng đ® đo, hàm đo đưoc, đ%nh lý Stone –Weierstrass, đ%nh lý ve lóp hàm thnc Các kien thúc se đưoc su dung nhieu o chương sau Các n®i dung cna phan tác gia tham khao chn yeu tài li¾u [1], [3], [4], [6], [8] 1.1 Các khái ni¾m ban %nh ngha 1.1 Mđt hap cỏc F cua Ω m®t đai so neu (i) ∅ ∈ F (ii) Neu A ∈ F Ac = Ω\A ∈ F (iii) Neu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F F GQI m®t σ - đai so neu thóa mãn (i), (ii) đieu ki¾n (iii)’ Neu Ai ∈ F S ∞ Ai F i=1 ∈ Neu F σ - đai so c¾p (Ω, F) GQI không gian đo đưoc Đ%nh nghĩa 1.2 T¾p hap S t¾p cua Ω đưac GQI nua vành neu: (i) ∅ ∈ S ∗ Đ%nh lý 3.18 Gia su rang (E,I) m®t tích phân sơ cap ǁ.ǁ trung bình Daniell, A ∈ M neu chs neu ∗ ∗ ǁEǁ = ǁE ∩ Aǁ + ǁE\Aǁ ∗ (3.13) vái MQI E ⊂ Ω Chúng minh Đ¾t M∗ t¾p hop tat ca t¾p thoa mãn (3.13), ta se chúng to rang M∗ trùng vói hQ tat ca t¾p đo đưoc M ∗ Đieu ki¾n can: Gia su A ∈ M cho E ⊂ Ω Neu ǁEǁ = ∞, (3.13) thoa mãn ∗ theo tính c®ng tính dưói Neu ǁEǁ < ∞ theo đ%nh lý 3.7 có L1 s B ⊂ E ∗ ∗ thoa mãn ǁEǁ = ǁBǁ Bő đe 3.7 chúng to rang ca B ∩ A B\A kha tích Theo tính c®ng tính dưói cna trung bình đ%nh lý 3.9 ∗ ∩ ∗ ∗ ∗ ǁ1 ∩ǁ = ǁ1 \ ≤ ǁ1 ǁ + = 1ΣE E A ∗ = I (1B∩A ) + I 1B\A B =A I (1B ) = ǁ1E ǁ A ǁ \+ ∗ B AE Vì v¾y A ∈ M∗ Đieu ki¾n đn: Thnc hi¾n lai bưóc chúng minh cna đ%nh lý 1.7 ta se chúng to đưoc rang M∗ σ - đai so Theo đ%nh nghĩa , rõ ràng A ∈ M∗ neu chi neu Ac ∈ M∗ Ta chúng to rang M∗ hop đem đưoc, đn xét dãy t¾p {An }n∈N ⊂ M∗ đơi m®t khơng giao Ta chúng to bang quy nap rang ∗ ǁEǁ Σ = n n k= k= ∗ ǁE ∩ Ak ǁ + ǁE ∩ ( [ Ak )c ǁ∗ (3.14) Vói MQI E ⊂ Ω Vói n = 1, theo đ%nh nghĩa Gia thiet m¾nh đe thoa mãn vói n ≥ Tù An+1 ∈ M∗ n n \ \ ǁE ∩ ( k=1 A )ǁ = ǁE ∩ ( c k ∗ A ) ∩ An+1 ǁ + ǁE ∩ ( c k k=1 ∗ n+1 = ǁE ∩ An+1 ǁ + ǁE ∩ ( \ n \ k=1 Ack)ǁ∗ Ac ) ∩ Ac ǁ∗ k n+1 k=1 Theo tính vung chac ǁE ∩ ( cc∗ Sn Ak) cǁ ∗ ≥ ǁE ∩ S∞( k= Ak) ǁ Do theo (3.14) ∗ tính c®ng tính dưói đem đưoc cna trung bình ǁ.ǁ , ∞ n Σ ∗ [ ∗ ǁEǁ = n→ lim ( k= ǁE ∩ Ak ǁ + ǁE ∩ (k=1 ∞ c ∗ ∞ Ak ) ǁ ) ∞ ≥ Σ ∗ ǁE ∩ Ak ǁ + ǁE ∩ ( k=1 [ Ak ǁ∗ + ǁE ∩ ( ∗ k= [ Ak )c ǁ∗ k=1 ≥ ǁEǁ Do Ak )c ǁ∗ k=1 ∞ ∞ ≥ ǁE ∩ [ ∞ ∪ Ak ∈ M∗ , ta ket lu¾n rang M∗ σ - đai so k=1 Gia su A ∈ M∗ cho E ∈ L1 Chúng minh đieu ki¾n can chúng to rang M∗ chúa t¾p kha tích Do E ∩A ∈ M∗ Theo đ%nh lý 3.7 có L1 ⊃ A∩E thoa ∗ ∗ mãn ǁE ∩ Aǁ = ǁBǁ Tù ∗ ∗ ǁBǁ = ǁB ∩ (E ∩ A)ǁ + ǁB\ (E ∩ A)ǁ ∗ = ǁBǁ + ǁB\ (E ∩ A)ǁ ∗ ∗ ∗ chúng to rang ǁB\ (E ∩ A)ǁ = Vì v¾y, E ∩ A ∈ L1 Bő đe 3.7 suy A ∈ M ∗ Bo đe 3.9 Cho µ∗ (3.12) cho ǁ.ǁ trung bình Daniell Thì ∗ ǁ.ǁ = µ∗ ∗ Chúng minh Theo đ%nh nghĩa, µ∗ = ǁ.ǁ R Gia su µ∗ (A) < ∞ có dãy n {An} ⊂ R thoa mãn A ⊂ S n n An Σ I (An) < µ (A) + ε Nó chúng to tù sn h®i tu S b% tr®i cna Daniell rang B ⊂ An ∈ R ∩ L1 Cùng vói đ%nh lý 3.7 có nghĩa rang ∗ µ∗ (A) = inf {I (B) :A ⊂ B ∈ R} = ǁAǁ Đ%nh lý sau se tóm lưoc ket qua cna muc ∗ Đ%nh lý 3.19 (Daniell Stone) Cho (E, I) m®t tích phân sơ cap ǁ.ǁ ∗ trung bình Daniell cua M t¾p hàm đo đưac đoi vái ǁ.ǁ Thì ∗ σ (E ) ⊂ M µ = ǁ.ǁ xác đ%nh m®t đ® đo khơng gian đo đưac (Ω, M) thóa mãn ∗ µ (E) = I (E) = ǁEǁ , E ∈ M I (f ) = ∫ fdµ vái f ∈ L1 ⊃ E I má r®ng Daniell cua (E, I) Ngồi ra, µ xác đ%nh nhat σ vành Rσ (E ) vành tao bái f −1 (B) : f ∈ E, B ∈ B (R\ {0}) Neu có m®t hàm dương thnc sn f ∈ L1(Ω,Σ σ (E ) , µ) Rσ (E ) = σ (E ) Gia su X m®t khơng gian Hausdorf compac đ%a phương I m®t phiem hàm tuyen tính dương C00(X) Ket qua đưoc trình bày sau chúng to rang (E ,I) tích phân sơ cap Bo đe 3.10 Gia su I m®t phiem hàm tuyen tính dương E = C00(X) Neu dãy {fn } ⊂ C0+ fn \0 theo tùng điem Ifn \ 0 Chúng minh Đ%nh lý Dini suy rang fn \0 đeu Do K = supp (f1 ) compact Có g ∈ C00(X) thoa mãn K ≺ g ≤ Khi đó, cho ε > có N thoa mãn n ≥N có suy ≤ fn(x) < Vì v¾y ε 1∈+XI(g) g(x), ∀x εI(g) ≤ I(fn) < < ε, n 1+ > N.I(g) Cho G, F K tương úng t¾p hop t¾p mo, đóng X ∗ Đ%nh lý 3.20 Cho ǁ.ǁ trung bình Daniell (E,I ) ∗ (i) ǁKǁ < ∞, ∀K ∈ K (ii) Vái MQI G ∈ G ∗ ∗ Σ ǁGǁ = sup {I (φ) : ≤ φ ≺ G} = sup ǁKǁ : K s K ⊂ G (iii) Trung bình Daniell c®ng tính G (iv) F ⊂ M túc t¾p đóng đo đưac (3.15) Chúng minh (i) Đ¾t G s G ⊃ K vói G ∈ K Theo đ%nh lý Urysohn, có φ ∈ E vói ∗ ∗ K ≺ φ ≺ G Do ǁKǁ ≤ ǁφǁ = I (φ) < ∞ (ii) Đau tiên ta chúng minh thúc bên phai Đ¾t E + s φ ≤1G Vói moi Σ Σ n ∈ N ta có rang Kn = φ ≥n ⊂ φ > = Gn Theo đ%nh lý Urysohn có n+ fn ∈ E thoa mãn Kn ≺ fn ≺ Gn Rõ ràng ≤ φn ≤ fnφ ≺ G φn = fnφ φ Cho ε > có N đn lón thoa mãn I (φ) < I (φN ) + ε ≤ sup {I (ψ) : ≤ ψ ≺ G} + ε Bieu thúc bên trái cna (3.15) đưoc chúng minh Neu ≤ φ ≺ G K s K ∗ ∗ ∗ = supp (φ) ⊂ G ǁφǁ = I (φ) ≤ ǁKǁ ≤ ǁGǁ suy bieu thúc o ve phai đưoc chúng minh (iii) Cho G, GJ ∈ G ròi Theo tính c®ng tính dưói đem đưoc ǁG ∪ ∗ ∗ ∗ GJǁ ≤ ǁGǁ + ǁGJǁ M¾t khác neu ≤ φ ≺ G ≤ φJ ≺ GJ ≤ φ + φJ ≺ G ∪ GJ Do Σ Σ I φ + φJ = I (φ) + I φJ ≤ G ∪ GJ ∗ ∗ ∗ ∗ Vì v¾y ǁGǁ + ǁGJ ǁ ≤ ǁG ∪ GJ ǁ (iv) Ta se chúng minh rang MQi F ∈ F thoa mãn đieu ki¾n đo đưoc Caratheodory- Daniell (3.13) Vói E ⊂ X bat kỳ, đ¾t E ⊂ G ∈ G Tù G\F t¾p mo, tù (3.15) đ%nh lý D.0.15 có dãy {Vn} ⊂ G vói {Vn} ⊂ K thoa mãn Vn ⊂ Vn ⊂ Vn+1 ⊂ G\F ∗ ∗ ǁVn ǁ ǁG\F ǁ Phan (iii) chúng to rang ǁGǁ ∗ ≥ ǁG\∂Vnǁ = G\Vn ∗ ∗ ∗∗ + ∗ ǁVnǁ ≥ ǁG ∩ Fǁ∗ + ǁVnǁ ∗ ∗ ∗ ∗ Khi n ∞ ǁGǁ ≥ ǁG ∩ F ǁ + ǁG\F ǁ ≥ ǁE ∩ F ǁ + ǁE\F ǁ Do theo (3.7) ta ket lu¾n rang ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ǁEǁ = infǁGǁ : E ⊂ G ∈G ≥ ǁE ∩ F ǁ + ǁE\F ǁ ≥ ǁEǁ Nó chúng to rang t¾p đóng đo đưoc, σ(F ) =B(X) Mđt trung bỡnh trờn RX hoắc mđt đ® đo ngồi P(X) đưoc GQI quy neu tính quy ngồi (3.7) quy (3.15) đưoc thoa mãn Đ%nh lý 3.21 (Đ%nh lý bieu dien Riesz) Gia su I m®t phiem hàm tuyen tính dương C00 (X) Khi ton tai nhat đ o Radon àI chớnh quy u xỏc đ %nh m®t σ - đai so MI ⊃ B(X) thóa mãn I (f ) = ∫ fdµI, f ∈ C00 (X) X ∗ Neu thêm đieu ki¾n I liên tnc µI huu han vái ǁIǁ = µI (X) = ǁXǁ Chúng minh Theo bő đe 3.10 (E, I) tích phân sơ cap Theo đ%nh lý 3.19 µ quy M ⊃ B(X) Tù đ%nh lý Daniell Stone suy đieu phai chúng minh Neu I liên tuc, túc neu |I (f )| ≤ ǁIǁ ǁfǁu vói f ∈ E tù tính quy ∗ suy µI (X) ≤ ǁI (X)ǁ Ngưoc lai, |I (f )| = ∫ X fdµI ≤ ǁfǁu µI (X), túc ǁIǁ ≤ µI (X) Đ%nh lý 3.22 (Đ%nh lý Lusin): Cho f m®t hàm phúc đo đưac Neu A ∈ M, µ (A) < ∞ {f = 0} ⊃ Ac vái MQI ε > có g ∈ C00 (X) thóa mãn µ ({f ƒ= g}) < ε (3.16) Ngồi neu f b% ch¾n có the chQN g đe ǁgǁu ≤ ǁf ǁu Chúng minh Phan đau có tù đ%nh nghĩa đo đưoc Daniell cna hàm phúc Chúng minh m¾nh đe trên, gia su: R = ǁfǁu < ∞, xét ánh xa ϕ C cho boi ϕ R (z) = z1{|z|≤R} (z) +z |z| Neu g J ⊂ C00 (X) thoa mãn µ ({f g}) < ε xác đ%nh g = ϕ (g) ǁgǁu ≤ ǁf ǁu tù {f ƒ= g} ⊂ {f ƒ= g J }, (3.16) đưoc thoa mãn H¾ qua 3.3 Cho f A đ%nh lý Lusin Có m®t dãy {gn} ⊂ C00 (X) thóa mãn ǁgnǁu ≤ ǁfǁu gn → f µ - hau chac chan Đ%nh lý 3.23 (Vitali - Caratheodory) Gia su f ∈ L1 (µ) ∩ RΩ Vái MQI ε > ton tai hàm u ≤ f ≤ v thóa mãn u v tương úng hàm nua liên ∫ tnc nua liên tnc dưái (v − u) dµ < ε 3.5 Tính chat Maximality Ø Neu ǁ.ǁ ǁ.ǁ hai trung bình dàn véctơ E đóng vói phép ch¾t cut, Ø Ø ǁf ǁ ≤ ǁf ǁ vói MQI f ∈ RΩ , chúng to rang L (ǁ.ǁ ) ⊂ L (ǁ.ǁ) 1 ∗ Khi ǁ.ǁ = ǁ.ǁ trung bình Daniel cna tích phân sơ cap (E , I ), m®t câu ∗ hoi tn nhiên đưoc đ¾t có trung bình khác b% tr®i boi ǁ.ǁ , mà trung bình tao HQ lón hàm kha tớch sn hđi tu b% chắn oc thoa mãn Ta se thay rang trung bình Daniel trung bình maximal (E , I ) ∗ thoa mãn ǁφǁ = I (|φ|) vói MQI φ ∈ E Nó có nghĩa rang trung bình Daniel cung cap mo r®ng nho nhat cna tích phân sơ cap mà dãy Cauchy h®i tu sn h®i tu b% tr®i đưoc thoa mãn Bo đe 3.11 Gia su rang E hap cỏc hm b% chắn v l mđt dn véctơ đóng vái phép ch¾t cnt ho¾c vành Neu ǁ.ǁ ǁ.ǁ Ø Ø trung bình Ø thóa mãn ǁφǁ ≤ ǁφǁ vái MQI φ ∈ E , ǁf ǁ ≤ ǁf ǁ vái MQI f ∈ E Σ Ø Chúng minh Cho f ∈ L1(ǁ.ǁ ), gia su {φn} ⊂ E h®i tu đen f theo trung bình Ø ǁ.ǁ Thì cng hđi tu theo trung bỡnh . Vỡ vắy, ỉ Ø ǁ.ǁ = lim ǁφnǁ ≥ lim ǁφǁ = ǁfǁ n n Σ S Cho h ∈ E Σ + {h ƒ= 0} ⊂ {φn ƒ= 0} vói MQI {φn } ⊂ E Nó chúng to rang n E Σ n ∩ L1 (ǁ.ǁ) hn = (h ∧ n) 1{|φk |>1/n} h k=1 Ø ỉ Theo %nh lý hđi tu n iắu h = sup ǁhnǁ ≤ sup ǁhnǁ = ǁhǁ Vói tùy ý Σ n n h∈E , Ø Ø ǁhǁ = ǁ|h|ǁ ≤ ǁ|h|ǁ = ǁhǁ Ø Bo đe 3.12 Vái MQI trung bình ǁ.ǁ cua E ton tai trung bình maximal ǁ.ǁ trùng vái ǁ.ǁ E+ Chúng minh Cho M(ǁ.ǁ) t¾p hop tat ca trung bình E trùng vói ǁ.ǁ E+ Xác đ%nh ǁf ǁ Rõ ràng ǁ.ǁ Ø Ø b b = sup{ǁf ǁ : ǁ.ǁ ∈ M (ǁ.ǁ)} (3.17) trùng vói ǁ.ǁ E Tính thuan nhat tuy¾t đoi, tính vung de dàng đưoc chúng minh Nó cịn chúng to rang ǁ.ǁ c®ng tính dưói đem b đưoc Cho {fn } m®t dãy cna hàm khơng âm Thì, vói MQI ǁ.ǁ ∈ M(ǁ.ǁ) chúng to rang Σ ǁ fn ǁb ≤ Σ b ǁfn ǁ ≤ Σ ǁfn ǁ b Bang cách lay supremum vưot qua ǁ.ǁ ∈ M (ǁ.ǁ), có đưoc ǁ Σ fn ǁØ ≤ Σ Ø ǁfn ǁ n n M®t trung bình ǁ.ǁ E maximal neu trùng vói (3.17) Ket qua tiep theo đ¾c trưng cho MQI trung bình maximal cna E Ø Đ%nh lý 3.24 Gia su ǁ.ǁ trung bình maximal cua E Thì Ø ǁf ǁ = inf{ǁhǁ ♦ Ø : |f | ≤ h ∈ E Σ } (3.18) Chúng minh Kí hi¾u boi ǁ.ǁ bieu thúc ve phai cna (3.18) Rõ ràng, ǁ.ǁ Ø h®i tu đen ǁ.ǁ đong ý vói ǁ.ǁ đưoc rang ǁ.ǁ ♦ ♦ ♦ E Σ Vì v¾y, de dàng kiem tra đong nhat tuy¾t đoi, thoa mãn tính vung Neu ta ♦ chúng to đưoc rang ǁ.ǁ c®ng tính dưói đem đưoc, (3.18) se đưoc Σ ♦ chúng to l¾p túc Gia su ǁfn ǁ < r < ∞ ton tai hàm hn ∈ E Σ Σ Ø thoa mãn |fn | ≤ hn ǁfn ǁ < r n n n n chúng to rang Σ Σ Σ Σ Tù đó, | fn | ≤ |fn | ≤ hn hn ∈ E Σ , tính c®ng tính dưói cna Ø ǁ.ǁ Σ ǁ Σ fn ǁ♦ ≤ ǁ n n V¾y ǁ Σ hn ǁØ ≤ n Σ ǁhn ǁ Ø