Một số quá trình ngẫu nhiên phân thứ và ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HC T NHIấN NGUYN TIN DNG số trình ngẫu nhiên phân thứ ứng dụng tài LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN NGUYN TIN DNG số trình ngẫu nhiên phân thứ ứng dụng tài Chuyờn ngnh: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hµ Néi - 2011 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Tiến Dũng iii Lời cảm ơn Trước tiên xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Trần Hùng Thao, người Thày hướng dẫn, đào tạo tơi nghiên cứu khoa học nhiệt tình, giúp tơi ngày có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận án Tiếp theo muốn bày tỏ lời cảm ơn tới thành viên Bộ môn Xác suất Thống kê thường xuyên giúp việc trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học Đặc biệt muốn cảm ơn GS.TS Nguyễn Văn Hữu, người cho tham gia xê mi na Tốn tài ơng cho lời nhận xét quý báu Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng sau đại học tạo điều kiện để nghiên cứu tốt giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận án Cuối cùng, tơi xin gửi lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, người hiểu đứng bên cổ vũ Hà nội, 03/2011 NCS: Nguyễn Tiến Dũng Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 Chuyển động Brown phân thứ 1.1 Định nghĩa tính chất 1.2 Tính chất nhớ lâu fBm 1.3 Biểu diễn Volterra fBm 1.4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo 1.4.1 1.4.2 11 Tích phân phân thứ tất định 11 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ 15 Phương pháp xấp xỉ semimartingale 17 2.1 Các kết xấp xỉ 17 2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ 19 2.2.1 2.2.2 Định nghĩa tích phân 19 Một lớp trình ngẫu nhiên khả tích 25 2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ 2.3.1 Các trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ 26 27 2.3.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ với hệ số dịch chuyển đa thức .32 2.3.3 Các trình hồi phục trung bình hình học phân thứ 38 2.4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiên phân thứ .46 Các ứng dụng Tài 49 3.1 Mơ hình quản lý tài sản nợ bảo hiểm 49 3.2 Mơ hình Black-Scholes phân thứ 52 3.2.1 Mở rộng kết xấp xỉ .54 3.2.2 Mơ hình Black-Scholes phân thứ xấp xỉ 59 Kết luận 68 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo Phụ lục 71 77 A Tính tốn Malliavin 77 A.1 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô 77 A.1.1 Tích phân Itơ lặp .77 A.1.2 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itơ .79 A.2 Tích phân Skorohod 79 A.2.1 Tích phân Skorohod 80 A.2.2 Các tính chất tích phân Skorohod 82 A.2.3 Tích phân Skorohod mở rộng tích phân Itơ .83 A.3 Đạo hàm Malliavin 83 A.3.1 Tính tốn đạo hàm Malliavin 84 A.3.2 Đạo hàm Malliavin tích phân Skorohod 85 B Bổ đề Gronwall 87 Bảng ký hiệu h.c.c hội hầu chắn L2(Ω) Khơng khả tíchgian biến ngẫu nhiên bình phương ∥.∥ Chuẩn khơng gian L (Ω) Γ(α) Hàm Gamma N (0, 1) Biến ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn P −→ hội tụ theo xác suất L2(Ω) −−−→ ucp C λ [a, b] hội tụ L (Ω) hội tụ theo xác sut Khụng gian cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn Hăolder liờn tục h.c.c đoạn [a, b] Cλ− [a, b] ∩ Cµ[a, b] 0