Một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ BƯỚC NHẢY DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hồng Thị Phương Thảo MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội - 2015 Lài cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Các so li¾u, ket qua nêu lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khác Nghiên cÉu sinh Hoàng Th% Phương Thao Lài cam ơn Trong q trình HQ c t¾p nghiên cúu đe hồn thành đưoc lu¾n án Tien sĩ tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ tù thay cô giáo, ban bè đong nghi¾p gia đình tơi Ngưịi đau tiên tơi muon gui lịi cam ơn chân thành nhat PGS TS Tran Hùng Thao, ngưòi Thày hưóng dan, đào tao tơi nghiên cúu khoa HQ c rat nhi¾t tình Thày khơng chi giúp tơi ngày có thêm niem say mê nghiên cúu khoa HQc, thày cịn cho tơi rat nhieu lịi khun cu®c song Tiep theo tơi muon bày to nhung lịi cam ơn tói thành viên B® mơn Xác suat Thong kê , Khoa Toán Cơ Tin HQ c thưịng xun giúp tơi, cho tơi nhung lịi khun chân thành q trình làm ban lu¾n án Đ¾c bi¾t tơi đưoc tham gia xê mi na cna B® mơn Xác suat Thong kê, qua xê mi na tơi trau doi, mo r®ng thêm kien thúc thay b® mơn ln cho tơi nhung lịi nh¾n xét q báu q trình HQ c t¾p nghiên cúu cna Đong thịi, tơi xin gui lòi cam ơn sâu sac đen Ban giám đoc Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, Ban giám hi¾u Trưịng Đai HQ c Khoa HQ c tn nhiên, Ban chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Phịng sau đai HQc tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi nghiên cúu tot giúp tơi hồn thành thn tuc bao v¾ lu¾n án Cuoi cùng, tơi xin gui lịi cám ơn đen nhung ngưịi thân gia đình, HQ hàng, ban bè thân thiet, nhung ngưịi ln bên canh đ®ng viên giúp đõ tơi, đe tơi hồn thành luắn ỏn ny H nđi, 01/2015 NCS: Hong Th% Phng Thao Mnc lnc Lài cam đoan Lài cam ơn Bang ký hi¾u Ma đau Các kien thÉc chuan b% 12 1.1 Quá trình điem 12 1.1.1 Q trình điem m®t bien .13 1.1.2 Quá trình điem nhieu bien 13 1.1.3 Quá trình Poisson ngau nhiên kép hay trình Poisson có đieu ki¾n 14 1.1.4 Đ¾c trưng Wantanabe 15 1.2 Quá trình Poisson 16 1.3 Quá trình Poisson phúc hop 18 1.4 Tích phân ngau nhiên đoi vói q trình có bưóc nhay 21 1.5 Cơng thúc Itơ đoi vói q trình có bưóc nhay 22 1.5.1 Cơng thúc Itơ đoi vói q trình Poisson tiêu chuan23 1.5.2 Cơng thúc Itơ đoi vói q trình Poisson phúc hop23 1.5.3 Trong trưòng hop tőng quát 24 1.6 Quá trình ngau nhiên phân thú 26 1.6.1 Chuyen đ®ng Brown phân thú 26 1.6.2 Xap xi L2-semimartingale 27 1.6.3 Tích phân ngau nhiên phân thú phương trình vi phân ngau nhiên phân thú 28 Q trình có bưác nhay tốn rui ro tín dnng 30 2.1 Mơ hình có bưóc nhay đieu khien boi m®t martingale Poisson 32 2.1.1 2.1.2 Phá san tai thòi điem t cơng ty có m®t khoan no L 33 2.2 Mơ hình có bưóc nhay đieu khien boi m®t chuyen đ®ng Phá san có n khoan no L1, L2, , Ln 34 Brown m®t q trình Poisson 36 2.2.1 Xác suat phá san cơng ty có m®t khoan no 38 2.2.2 Phá san cơng ty có nhieu khoan no 39 2.3 Mơ hình có bưóc nhay đieu khien boi m®t chuyen đ®ng Brown m®t trình Poisson phúc hop 42 2.3.1 Cơng ty có m®t khoan no 44 2.3.2 Trưịng hop cơng ty có nhieu khoan no 47 Quá trình có bưác nhay q trình phân thÉ 3.1 Các q trình phân thú có bưóc nhay 3.1.1 55 55 Chuyen đ®ng Brown phân thú hình HQc có bưóc nhay 56 3.1.2 Q trình Ornstein-Uhlenbeck phân thú có bưóc nhay 59 3.1.3 Phương trình vi phân ngau nhiên phân thú có bưóc nhay 61 3.2 Ưóc lưong đ® bien đ®ng ngau nhiên phân thú vói quan sát q trình có bưóc nhay 66 3.2.1 Xap xi ngau nhiên phân thú .67 t 3.2.2 Ưóc lưong V 70 s,1 3.2.3 Ưóc lưong Vt Vt s 73 s,2 3.2.4 Sn hđi tu cna Vt s túi nghiắm Vt .74 3.2.5 Ưóc lưong đ® bien đ®ng Vt 75 Danh mnc cơng trình khoa lu¾n án Tài li¾u tham khao HQC CUA tác gia liên quan đen 78 79 Bang ký hi¾u P- h.c.c Sn hđi hau chac chan L2(, F, P ) Tắp lóp tương đương hàm hop bìnhcác phương kha tích ǁ.ǁ Γ(α) N (0, 1) Chuan không gian L2(Ω, F, P ) Hàm Gamma Bien ngau nhiên có phân phoi chuan tac L2 − lim C(S) Sn h®i tu L2 Không gian hàm ngau nhiên liên tuc không gian S Không gian hàm ngau nhiên b% ch¾n S Phan nguyên cna x C b (S) [x] Ma đau M®t q trình có bưóc nhay m®t q trình ngau nhiên mà quy đao cna b% gián đoan boi bưóc nhay Ve m¾t l%ch su đau tiên, ngưịi ta nghiên cúu cỏc hắ đng lnc ngau nhiờn ieu khien boi chuyen đ®ng Brown mà lịi giai q trình có quy đao liên tuc Tuy nhiên úng dung thnc te thỡ nhieu cỏc hắ đng lnc ay khơng phan ánh sn thnc nhung sn ki¾n quan sát đưoc Thay vào ngưịi ta nh¾n thay q trình có bưóc nhay đáp úng đưoc tot sn mơ ta hi¾n tưong Chang han, q trình có bưóc nhay đóng vai trị het súc quan TRQNG tat ca lĩnh vnc tài Đóng góp cho sn phát trien cna mơ hình ngau nhiên có bưóc nhay phai ke đen nhung thành tnu cna lý thuyet Semimartingale ca lnc tính tốn hi¾n đai cna cơng ngh¾ thơng tin Q trình có bưóc nhay đơn gian nhat q trình có m®t bưóc nhay GQI T m®t thịi điem ngau nhiên, thơng thưịng m®t thịi điem dùng úng vói m®t b® LQc (Ft , t ≥ 0) Xt = 1{T ≤t}, (1) q trình có giỏ tr% bang trúc mđt sn kiắn no xay tai thịi điem T bang sau Nó mơ ta thịi điem phá san cna mđt cụng ty viắc mụ hỡnh húa rni ro tín dung Tiep theo q trình có giá tr% nguyên có cõ bưóc nhay chi bang 1, GQi trình đem (Xt , t ≥ 0) Đó q trình mơ ta so bien co xay khoang thòi gian tù đen t Quá trình đem đien hình trình Poisson (Nt , t ≥ 0), Nt có phân phoi Poisson vói tham so the Vt − Vt = −b ∫ ||Vt − ||b s Vt || ≤ s (Vs − Vs )ds + σ||Bt − Bt || t H,s H (Vs − Vs )ds|| + σ||Bt − Bt || Tù đ%nh lý 1.2 chương ta có, ||Vt − Vt || ≤ ∫ t s ||Vs − Vs s ||ds + b σC(α)s α + , (3.2.16) ||.|| chuan thơng thưịng L2(Ω, F, P ) Áp dung bő đe Gronwall cho (3.2.16) ta se thu đưoc ket qua sau ||Vt − Vst || ≤ σC(α)s α + b et Và tù ta de dàng thay rang sup 0≤t≤ s α + ||Vt − Vt || ≤ σC(α)s b eT (3.2.17) T t Do v¾y ta có V s −→ Vt đeu theo t ∈ [0, T ] L2(Ω, F, P ) 3.2.5 Ưác lưang đ® bien đ®ng Vt Vói ket qua có o có the tìm đưoc ưóc lưong cho đ® bien đ®ng ngau nhiên tn theo mơ hình (3.2.1) đ %nh lý sau Đ%nh lý 3.7 Ưác lưang trang thái t t Vˆt cua đ® bien đ®ng ngau nhiên Vt ˆs,1 t s ›→ sn h®i tn + h®i tn đeu theo t ∈2 [0, T Vˆ s = V giái han L cua ] ˆs,2 V Chúng minh Theo tính chat cna kì vQNG có đieu ki¾n ta có Neu Vt s −→L2 Vt ∈ L2 s ›→ Y E(V ts|FYt ) −→L2 E(V |F t t) s ›→ Và đánh (3.2.17) ta có sn h®i tu đeu đ%nh lý Ket lu¾n kien ngh% Ket luắn: Nham nghiờn cỳu mđt so dang cna cỏc quỏ trỡnh ngau nhiờn cú búc nhay, mđt mắt chúng tơi xét m®t so q trình von lịi giai cna phương trình vi phân ngau nhiên có bưóc nhay úng dung đe mo r®ng mơ hình Merton ve rni ro tài chính, m¾t khác chúng tơi đưa cách xây dnng q trình có bưóc nhay gan vói q trình phân thú xét q trình vi phân ngau nhiên phân thú có bưóc nhay, đong thịi khao sát tốn ưóc lưong trang thái toi ưu cna đ® bien đ®ng ngau nhiên phân thú vói quan sát q trình có bưóc nhay Các ket qua thu đưoc gom có: 1.Mo r®ng mơ hình Merton cő đien ve rni ro tín dung thành mơ hình đieu khien boi m®t martingale rịi rac martingale Poisson hay trình Poisson đoi TRQNG Tìm đưoc xác suat phá san cho mơ hình trũng cú mđt hoắc nhieu khoan no 2.Tiep tuc mo r®ng Merton cho trưịng hop mơ hình đưoc đieu khien boi hai nguon ngau nhiên gom m®t chuyen đ®ng Brown m®t q trình Poisson Xác suat phá san đưoc ưóc lưong cho hai trưịng hop có m®t nhieu khoan no phai tra 3.Mo r®ng nua cho mơ hình đieu khien boi hai nguon ngau nhiên mơ hình đưoc đieu khien boi m®t chuyen đ®ng Brown m®t q trình Poisson phúc hop xác đ%nh đưoc xác suat phá san, ngồi cịn xét trưịng hop riêng úng vói trưịng hop riêng cna trình Poisson phúc hop 4.Xây dnng đưoc trình ngau nhiên phân thú có bưóc nhay trưòng hop tőng quát xét ca hai trưòng hop cu the q trình chuyen đ®ng Brown hình HQc phân thú có bưóc nhay q trình Ornstein-Ulhenbeck phân thú có bưóc nhay 5.Xác đ%nh đưoc phương trình cho trang thái toi ưu cna đ® bien đ®ng ngau nhiên cna mđt hắ đng lnc trờn c so quan sỏt m®t q trình có bưóc nhay tőng qt, q trình điem ngau nhiên M®t so kien ngh%: Trong thịi gian tói chúng tơi se tiep tuc nghiên cúu nhung van đe sau: 1.Mo r®ng tốn Merton cho m®t so mơ hình tőng qt 2.Tính tốn rni ro phá san cna m®t tő chúc tài dna trờn mđt du liắu cú san: kiem tra sn phù hop mơ hình, l¾p trình cơng thúc 3.Tìm ưóc lưong đ® bien đ®ng cho m®t so mơ hình có bưóc nhay Danh mnc cơng trình khoa HQC cua tác gia liên quan đen lu¾n án Thao H T P (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jumps Processes", E ast-West J of Mathematics, 15(2),pp 101- 106 2.Thao H T P (2014), "A Note on Jumps-Fractional Processes", E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp 14-24 3.Thao H T P and Thao T H (2012), "A Note on A Model of Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathematical Sciences, 6(89-92), pp 4457-4461 4.Thao H T P and Thao T H (2012), "Estimating Fractional Stochastic Volatility", T he International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 82(38), pp 1861 - 1869 5.Thao H T P and Hoang V Q (2015), ”A Merton Model of Credit Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applications & Probability Letters, 2(2), pp 1-7 Tài li¾u tham khao [1] Alịs E., Mazet O., and Nualart D (2000), "Stochastic calculus with respect to fractional Brownian motion with Hurst paramenter less than 12”, Stochastic Processes and Their Applications 86(1), pp 121139 [2] Berg T (2010), "From actual to risk-neutral default probabilities: Merton and Beyond", T he Journal of Credit Risk 6(1), pp 55-86 [3] Biagini F., Hu Y., Øksendal B., Sulem A (2002), "A stochastic maximum principle for processes driven by a fractional Brownian motion", Stoch Proc Appl 100, pp 233-254 [4] Bielecki T., Jeanblan M and Rutkowski M (2009), Credit Risk Modeling, Center for Study of Insurance and Finance, Osaka University [5] Bystrom H (2007), "Merton for Dummies: A Flexible Way of Mod- elling Default Risk", Research Paper Series, 112, Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney [6] Carmona P., Coutin L., and Montseny G (2003), "Stochastic inte- gration with respect to fractional Brownian motion", Ann Inst H Poincaré Probab Statist 39(1), pp 27-68 [7] Coutin L (2007), "An Introduction to Stochastic Calculus with Re- spect to Fractional Brownian motion", Séminaire de Probabilités XL, Springer-Verlag Berlin Heidelberg pp 3-65 [8] Cont R., Tankov P (2003), Financial Modelling With Jump Pro- cesses, Chapman and Hall, CRC Press [9] Cyganowski S., Grume L., Kloeden P E (2012), "MAPLE for Jump-Diffusion Stochastic Differential Equations in Finance", Prepient, Feb Decreusefond L and [10] Uă stuănel A S (1999), "Stochastic analysis of the fractional Brownian motion", Potential Anal.,10(2), pp 177-214 [11] Duncan T E., Hu Y., Duncan P B (2000), "Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion", SIAM Control and Optimization 38(2), pp 582-612 [12] Feyel D., De la Pradelle A (1996), "Fractional integrals and Brow- nian processes", Potential Analysis, 10, pp 273-288 Gihman I I., Skorohod A.V [13] (1972), Stochastic Differential Equa- tions, Springer [14] Giesecke K and Lisa R G (2004), "Forecasting Default in Face of Uncertainty", T he Journal of Derivatives, Fall, pp 11-25 [15] Wiener integral", pp 157-169 Ito K (1951), "Multiple J Math Soc Japan, 3, [16] Jacques J., Manca, R (2007), Semi-Markov Risk Models For Fi- nance, Insurance and Reliability, Springer [17] Kloeden P E and Platen E (1995), Numerical Solution of Stochas- tic Differential Equations, Springer Lamberton D., Lapeyre B [18] (2000), Introduction to Stochastic Cal- culus Applied to Finance, Chapman & Hall/CRI [19] Léon (1993), "Fubini theorem for anticipating stochastic integrals in Hilbert space", Appl Math Optim 27(3), pp 313-327 [20] Lin S M., Ansell J., Andreeva G (2010), "Merton Models or Credit Scoring: Modelling Default of A Small Business", W orking pa- per, Credit Reseach Centre, Management School Longleftarrow & E conomics, The University of Edinburgh, U.K Loève M (1963), [21] Probability Theory, D.Van Nostrand Company, third Edition [22] Lyons T (1994), "Differential Equations Driven by Rough Signals (I): An Extension of an Inequality of L.C Young", Mathematical Research Letters 1, pp 451-464 [23] Mandelbrot B., van Ness J (1968), "Fractional Brownian motions, Fractional Noises and Applications", J SIAM Review 10(4), pp 422-437 [24] Nualart D., Alòs E., Mazet O (2000), "Stochastic Calculus with respect to Fractional Brownian Motion with Hurst Parameter less than 1/2", J Stoc Proc Appl.86, 131-139 [25] Nualart D., Ră¸scanu A (2002), "Differential equations driven by fractional Brownian motion", Collectanea Mathematica 53, pp 55- 81 [26] Privault on N Stochastic (2003), Finance", http://www.ntu.edu.sg/home/nprivault/indext.html "Notes Protter P (1990), Stochastic Integration and Differential Equations, [27] Berlin-Springer [28] Revuz D and Yor M (1999), Continuous martingales and Brownian motion, Springer, Berlin Heidelberg New York, third edition [29] Roger M (2004), "Merton Robert C on putting theory into prac- tice", CFA Magazine, July-August, pp 34-37 Tran Hùng Thao (2003), "A note on Fractional Brownian Motion", [30] V ietnam J Math.31(3), 255-260 [31] Tran Hùng Thao Estimation of (1991), "Optimal State a Markov from Point Process Observations", Annales Scientifiques de l’Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II Fasc 9, pp 1-10 [32] Tran Hùng Thao (2013), "A Practical Approach to Fractional Stochastic Dynamics", J Comput., Nonlinear Dyn 8,pp 1-5 [33] Tran Hùng Thao (2006), "An approximate approach to fractional analysis for finance", Nonlinear Analysis 7, pp 124-132 [34] Tran Hùng Thao (2013), "On some Classes of Fractional Stochastic Dynamical Systems", E ast-West J of Math 15(1), 5469 Tran Hùng Thao, Christine T A E´ volution des cours (2003)," gouvernée par un processus de type ARIMA fractionaire", S tudia [35] Babes-Bolyai, Mathematica 38(2), 107-115 [36] Tran Hùng Thao, Nguyen Tien Dũng (2010), "A Note on Optimal State Estimation for A Fractional Linear System", Int J Contemp Math Sciences 5(10), pp 467-474 [37] Tran Hùng Thao Tran TRQng Nguyên (2003), "Fractal Langevin Equation", Vietnam Journal of Mathematics 30(1), pp 8996 [38] Tran Hùng Thao, Plienpanich T (2007), "Filtering for Stochastic Volatility from Point Process Observation", VNU Journal of Science 23, pp 168-177 [39] Hoàng Th% Phương Thao (2014), "A Note on Jumps- Fractional Pro- cesses", E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp 14-24 Hoàng [40] Th% Phương Thao (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jumps Processes", E ast-West J of Mathematics 15(2),pp 101-106 [41] Hoàng Th% Phương Thao, Tran Hùng Thao (2012), "A Note on A Model of Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathe- matical Sciences 6(89-92), pp 4457-4461 [42] Hoàng Th% Phương Thao, Tran Hùng Thao (2012), "Estimating Fractional Stochastic Volatility", T he International Journal of Con- temporary Mathematical Sciences 82(38), pp 1861 - 1869 [43] Hoàng Th% Phương Thao, Vương Quân Hoàng (2015), ”A Merton Model of Credit Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applica- tions & Probability Letters 2(2), pp 1-7 [44] Økendal B (2008), Stochastic Calculus for Fractional Brownian Mo- tion and Applications, Springer [45] Øksendal B (2003), Stochastic Differential Equations, Sixth edition, Springer [46] Shiryaev A N (1999), Essentials of Stochastic Finance Facts, Mod- els, Theory,World Scientific [47] Springer, 2nd edition Shiryaev A N (1996), Probability, New York- [48] Skorohod A V (1975), "On a generalization of the stochastic inte- gral", Teor Verojatnost Primenen 20(2), pp 223238 [49] Finance II, Springer Shreve S R (2003), Stochastic Calculus for ... ta se xem xét ky ve trình Poisson 1.2 Quá trình Poisson + trình Poisson tiêu chuan Nt,sơt cap ∈ R Quá có bưóc nhay Quá cóthay bưóc nhay nhat c? ?trình ích nhat q vàlàquy đaotrình khơng đői giua... chuan b% 12 1.1 Quá trình điem 12 1.1.1 Q trình điem m®t bien .13 1.1.2 Quá trình điem nhieu bien 13 1.1.3 Quá trình Poisson ngau nhiên kép hay q trình Poisson có đieu ki¾n 14... dung tài chúng tơi ket hop ca hưóng trên, so phân tích lịi giai cna phương trình vi phân ngau nhiên có bưóc nhay the hi¾n giá tr% tài san cna m®t cơng ty Đó q trình có dang sau 1 .Quá trình ngau nhiên