Chập liên kết với biến đổi fourier phân thứ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1.PGS TS Nguyễn Minh Tuấn 2.GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2019 LÍI CAM OAN Tỉi xin am oan ¥y l trẳnh nghiản ựu ừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn ừa GS TSKH PhÔm Ký Anh v PGS TS Nguyạn Minh TuĐn CĂ kát quÊ ừa luên Ăn l mợi v hữa tứng ữủ bố bĐt ký trẳnh n o khĂ Nghiản ựu sinh PhÔm Th ThÊo ii i LI CM èN Vợi tĐt Ê lỏng biát ỡn sƠu s ừa mẳnh, tổi xin ÷đ gûi líi £m ìn ¸n hai ng÷íi th y Ăng kẵnh, GS TSKH PhÔm Ký Anh v PGS TS Nguyạn Minh TuĐn Tổi may mn ữủ l m nghiản ựu sinh dữợi sỹ hữợng dăn ừa GS TSKH PhÔm Ký Anh, ngữới th y-nh khoa hồ lợn m tổi luổn kẵnh trồng Trong suốt quĂ trẳnh nghiản ựu v ho n thiằn luên Ăn, tổi luổn nhên ữủ sỹ hộ trủ kp thới, sỹ h bÊo v hữợng dăn tên tẳnh, hi tiát ừa Th y Tổi may mn ÷đ l m hå trá õa th y tỉi, PGS TS Nguyạn Minh TuĐn, tứ nhỳng ng y u tiản tổi ỏn l sinh viản Ôi hồ , tổi l m khõa luên tốt nghiằp, rỗi sau õ l luên vôn ThÔ s v suốt nhỳng nôm thĂng tổi l nghiản ựu sinh dữợi mĂi nh khoa ToĂn Cỡ Tin hồ , trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản H Nởi Chng ữớng mữới nôm Đy, tổi trững th nh hồ têp, viằ v nghiản ựu khoa hồ nhớ sỹ dẳu dt, sỹ h dÔy, sỹ ởng viản khẵ h lằ ừa Th y Tổi xin gỷi lới Êm ỡn hƠn th nh án Ă th y ỉ, ¡ anh hà th nh vi¶n õa Seminar "GiÊi số phữỡng trẳnh vi phƠn" thuở bở mổn ToĂn hồ Tẵnh toĂn v ToĂn ựng dửng, trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia H Nởi; Seminar "GiÊi tẵ h Ôi số v Ă phữỡng phĂp toĂn sỡ Đp", trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia H Nởi Tổi hồ họi ữủ rĐt nhiÃu suốt quĂ trẳnh tham gia hai Seminar, biằt nhớ nhỳng ỵ kián õng gõp v trao êi khoa hå nhúng l n tỉi tr¼nh b y bĂo Ăo tÔi hai Seminar, tổi mợi õ thº ho n th nh b£n luªn ¡n n y Tỉi ng xin gûi líi £m ìn h¥n th nh tợi Ă anh h em nghiản ựu sinh huyản ng nh To¡n ùng dưng, Khâa 2013-2016 v· nhúng trđ, hia s´ v gióp ï hå tªp, ỉng vi» ng nh÷ sèng Tỉi xin £m ìn Ban giĂm hiằu trữớng Ôi hồ Kián trú H Nởi  ho tổi ỡ hởi ữủ hồ têp v nghiản ựu, Êm ỡn Ă anh h em ỗng nghiằp tĂ tÔi Bở mổn ToĂn, trữớng Ôi hồ Kián trú H Nởi  luổn tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi ho tỉi st thíi gian tỉi l m nghi¶n ùu sinh Ci ịng, tỉi mn b y tä láng biát ỡn vổ hÔn án gia ẳnh ừa mẳnh, nhỳng ngữới luổn yảu thữỡng v ừng hở tổi vổ iÃu kiằn biằt, tổi muốn Êm ỡn hỗng tổi, ngữới ln £m thỉng, san s´ nhúng khâ kh«n ịng tỉi, trđ tỉi st nhúng n«m th¡ng qua º tỉi â thº ho n th nh luªn ¡n n y Mư lư Líi am oan i Líi £m ỡn ii BÊng kỵ hiằu M u Kián thự huân b 11 1.1 Cỡ s lỵ thuyát h m Dira delta 11 1.1.1ành ngh¾a h m Dira delta 11 1.1.2CĂ tẵnh hĐt ừa h m Dira delta 13 1.2 Bi¸n êi Fourier phƠn thự 15 1.2.1nh nghắa bián ời Fourier phƠn thự .15 1.2.2Php tẵnh toĂn tỷ tờng quĂt 21 1.2.3Bián ời Fourier phƠn thự mt ph¯ng thíi gian-t n sè .23 1.3 CĂ nh lỵ tẵ h v hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự .27 1.4 Ùng döng 32 1.4.1Lå nhi¹u miÃn Fourier phƠn thự .32 1.4.2Lồ tối ữu miÃn Fourier phƠn thự 35 1.4.3LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu .36 Chêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự 42 2.1 Chêp khổng õ h m trồng 42 2.1.1nh lỵ hêp 42 2.1.2 CĂ tẵnh hĐt ỡ b£n 43 2.1.3 B§t ¯ng thự Young v Ôi số Wiener 44 2.2 Chêp õ h m trồng dÔng hirp 46 2.3 Chêp õ h m trồng liản quan án h m Gauss v h m Hermite 53 2.3.1CĂ nh lỵ hêp 53 2.3.2 CĂ tẵnh hĐt ì b£n 55 2.3.3Chùng minh 56 2.3.4BĐt ng thự hêp dÔng Young 60 ng dửng 67 3.1 CĂ lợp phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp .67 3.1.1CĂ phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp 68 3.1.2Phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi nhƠn Hermite .75 3.2 LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n mi·n Fourier ph¥n thù 80 3.2.1nh lỵ lĐy mău 80 3.2.2Mæ phäng 84 3.3 Lå nh¥n mi·n Fourier ph¥n thù 86 3.3.1Lå nh¥n mi·n Fourier ph¥n thù .86 3.3.2Mỉ phäng 88 K¸t luên ừa luên Ăn 92 Danh mử Ă trẳnh liản quan án luên Ăn 94 T i liằu tham khÊo 95 BÊng kỵ hiằu Têp Ă số tỹ nhiản Z Têp Ă số nguyản R Têp Ă số thỹ FT Bián ời Fourier FRFT Bián ời Fourier phƠn thự LCD Bián ời hẵnh t tuyán tẵnh WD PhƠn phèi Wigner δ(x) H m Dira delta (h m xung ỡn v) Hn(x) a thự Hermite bê n: vợi(x) =n (−1) d x dx H − n φn(x) H m Hermite bª n: φn(x)n=∈e Hn(x) N x2 ψ(x) Hm ei(x−ax2) ζ(x) η(x) Hm Hm ) e1i(−x−ax 2 e− x −iax Lp(R) ∫ →C: e x2 e 2 p |f (x)| dx < +∞, Φn(x) n n H m e−i2ax φn(x) Khæng gian ¡ h m số f:R R tẵ h phƠn lĐy theo o Lebesgue (1 ≤ p < +∞) ǁ.ǁp N Danh mử Ă trẳnh liản quan án luên Ăn P K Anh, L P Castro, P T Thao, N M Tuan (2017), "Two new onvolutions for the fra tional Fourier transform", Wireless Personal Communi ations 92 (2), pp 623 637 (Trong danh mö SCIE) P K Anh, L P Castro, P T Thao, N M Tuan (2017), "Inequali- ties and onsequen es of new onvolutions for the fra tional Fourier transform with Hermite weights", AIP Pro eedings 1798, 020006 (Trong danh mö S opus) P K Anh, L P Castro, P T Thao, N M Tuan (2019), "New sam- pling theorem and multipli ative filtering in the FRFT domain", Sig- nal, Image and Video pro essing, DOI: 10.1007/s11760-019-01432-5 (Trong danh mö SCIE) P T Thao, N M Tuan, "Convolution theorem and Wiener algebra asso iated with the FrFt" (submitted) T i li»u tham kh£o [1℄ T Alieva, V Lopez, F Agullo-Lopez, L.B Almeida (1994), "The fra tional Fourier transform in opti al propagation problems", J Modern Opt 41, pp 1037-1044 [2℄ L.B Almeida (1994), "The fra tional Fourier transform and time- frequen y representation", IEEE Trans Sig Pro 42, pp 3084 3091 [3℄ L.B Almeida (1997), "Produ t and onvolution theorems for the fra tional Fourier transform", IEEE Signal Pro essing Letters 4(1), pp 15 17 [4℄ G.E Andrews, R Askey, R Roy (1999), Spe ial Fun tions, En ylopedia of Mathematis and its Appli ations, Cambridge University Press, Cambridge [5℄ B Barshan, B Ayrulu (2002), "Fra tional Fourier transform pre- pro essing for neural networks and its appli ation to obje t re og- nition", Neural Networks 15(1), pp 131 140 [6℄ W Be kner (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Math 102, pp 159-182 [7℄ H.J Bras amp, E.H Lieb (1976), "Best onstants in Young's in- equality, its onverse and its generalization to more than three fun tions", Adv Math 20, pp 151-173 [8℄ R.N Bra ewell (1986), The Fourier Transform and its Appli a- tions, M Graw-Hill Press, New York [9℄ E Chu (2008), Dis rete and Continuous Fourier Transforms: Anal- ysis, Appli ations and Fast Algorithms, CRC Press [10℄ L Cohen (1989), "Time-frequen y distributions-A review", Pro IEEE 77(7), pp 941 981 [11℄ D Cui (2009), "Dual digital watermarking algorithm for image based on fra tional Fourier transform", Pro eedings of the Se ond Pa ifi -Asia Conferen e on Web Mining and Web-based Appli a- tion (WMWA 09), Wuhan, China, June 7, pp 51 54 [12℄ A.S Demidov (2001), Generalized Fun tions in Mathemati al Physi s : Main Ideas and Con epts , Nova Publishers [13℄ B Deng, R Tao, Y Wang (2006), "Convolution theorems for the linear anoni al transform and their appli ations", S i China Inf S i 49 (5), pp 592 603 [14℄ I Djurovi , S Stankovi , I Pitas (2001), "Digital watermarking in the fra tional Fourier transformation domain", J Network Com- put Appl 24(2), pp 167 173 [15℄ M.F Erden, M.A Kutay, H.M Ozaktas (1999), "Appli ations of the fra tional Fourier transform to filtering, estimation and restora- tion", Pro eedings of the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Pro essing (NSIP 99), Antalya, Turkey, pp 481 485 [16℄ B.Z Li, R Tao, Y Wang (2007), "New sampling formulae for the fra tional Fourier transform", Signal Pro essing 87, pp 983-990 [17℄ F Gar ½a-Vi ente, J M Delgado, C Peraza (1998), "Experimental determination of the onvolution kernel for the study of the spatial response of a dete tor", Med Phys 25, pp 202-207 [18℄ F Gar ½a-Vi ente, J M Delgado, C Rodriguez (2000), "Exa t analyti al solution of the onvolution integral equation for a general profile fitting fun tion and Gaussian dete tor kernel", Phys Med Biol 45, pp 645-650 [19℄ B.T Giang, N.V Mau, N.M Tuan (2009), "Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their onvolutions", Integral Equations Operator Theory 65, pp 363 386 [20℄ B.T Giang, N.V Mau, N.M Tuan (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometri variables and appli ations", Math Na hr 283, pp 1758 1770 [21℄ F Hlawats h, F.G Bourdeaux-Bartels (1992), "Linear and quadrati time-frequen y signal representations", IEEE Signal Pro ess Mag 9(2), pp 21 67 [22℄ M.A Kutay, H.M.Ozaktas, O Arikan, L Onural (1997), "Optimal filtering in fra tional Fourier domain", IEEE Trans Signal Pro ess 45(5), pp 11291143 [23℄ S.-G Liu, H.-Y Fan (2009), "Convolution theorem for the three- dimensional entangled fra tional Fourier transformation dedu ed from the tripartite entangled state representation", Teoret Mat Fiz 161(3), pp 459 468 [24℄ A.C M Bride, F.H Kerr (1987), "On Namia's fra tional order Fourier transform", IMA J Appl Math 39, pp 159 175 [25℄ D Mendlovi , H.M Ozaktas (1993), "Fra tional Fourier transforms and their opti al implementation: I", J Opt So Amer A 10, pp 1875 1881 [26℄ V Namias (1980), "The fra tional Fourier transform and its appliation to quantum me hani s", J Inst Math Appl 25, pp 241 265 [27℄ S.C Pei, J.J Ding (2001), "Relations between fra tional operations and time-frequen y distributions, and their appli ations", IEEE Trans Signal Pro ess 49(8), pp 1638 1655 [28℄ S.C Pei, M.H Yeh, C.C Tseng (1999), "Dis rete fra tional Fourier transform based on orthogonal proje tions", IEEE Trans Signal Pro ess 47(5), pp 1335 1348 [29℄ H.M Ozaktas, D Mendlovi (1993), "Fra tional Fourier transforms and their opti al implementation: II", J Opt So Amer A 10, pp 2522 2531 [30℄ H.M Ozaktas, B Barshan, D Mendlovi (1994) , "Convolution and filtering in fra tional Fourier domains", Opti al Review 1(1), pp 15 16 [31℄ H.M Ozaktas, B Barshan, D Mendlovi , L Onural (1994), "Con- volution, filtering, and multiplexing infra tional Fourier domains and theirrelation to hirp and wavelet transform", J Opt So Amer A 11(2), pp 547 559 [32℄ H.M Ozaktas, O Ar kan, M.A Kutay, G Bozda g (1996), "Digi- tal omputation of the fra tional Fourier transform", IEEE Trans Signal Pro essing 44, pp 2141 2150 [33℄ H.M Ozaktas, Z Zalevsky, M.A Kutay (2001), The Fra tional Fourier Transform with Appli ations in Opti s and Signal Pproessing, John Wilay and Sons, New York [34℄ W Rudin (1991), Fun tional Analysis, 2nd edit., M Graw-Hill, New York [35℄ Q Ran, H Zhang, J Zhang, L.Tang, J Ma (2009), "Defi ien ies of the ryptography based on multiple- parameter fra tional Fourier transform", Opti s Letters 34(11), pp 1729 1731 [36℄ K K Sharma, S D Joshi (2005), "Fra tional Fourier transform of bandlimited periodi signals and its sampling theorems", Opti s Comm 256, pp 272-278 [37℄ A.K Singh, R Saxena (2012), "On Convolution and Produ t The- orems for FRFT", Wireless Personal Comm 65(1), pp 189 201 [38℄ A Stern (2006), "Sampling of linear anoni al transformed sig- nals", Signal Pro ess 86, pp 1421 1425 [39℄ R Tao, B Deng, W.-Q Zhang, Y Wang (2008), "Sampling and sampling rate onversion of bandlimited signals in the fra tional Fourier transform domain", IEEE Trans Signal Pro ess 56 (1), pp 158 171 [40℄ E.C Tit hmarsh (1986), Introdu tion to the Theory of Fourier In- tegrals, 3rd edit., Chelsea Publishing Co., New York [41℄ D Wei, Q Ran (2013), "Multipli ative filtering in the fra tional Fourier domain", Signal, Image and Video Pro essing 7(3), 575 580 [42℄ D Wei, Q Ran, Y Li, J Ma, L Tan (2009), "A onvolution and produ t theorem for the linear anoni al transform", IEEE Signal Pro ess Lett 16(10), pp 853 856 [43℄ D Wei, Q Ran, Y Li (2012), "Sampling of fra tional bandlim- ited signals asso iated with fra tional Fourier transform", Inter J Light Ele tron Opt 132(2), pp 137-139 [44℄ F.Q Yu, Z.K Zhang, M.H Xu (2006), "A digital watermarking algorithm for image based on fra tional Fourier transform", Proeedings of the 2006 IEEE Conferen e on Industrial Ele troni s and Appli ations, Singapore, pp [45℄ X.G Xia (1996), "On bandlimited signals with fra tional Fourier transform", IEEE Signal Pro ess Lett 3(3), pp 72 74 [46℄ A.I Zayed (1998), "A onvolution and produ t theorem for the fra tional Fourier transform", IEEE Signal Pro essing Letters 5(4), pp 102 103 [47℄ A.I Zayed, A.G Gar ½a (1999), "New sampling formulae for the fra tional Fourier transform", Signal Pro ess 77, pp 111 114 ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... −π/2 bián ời Fourier phƠn thự l n lữủt tr th nh bián ời Fourier v Fourier ngữủ Nghiản ựu ừa luên Ăn ữủ giợi hÔn trữớng hủp bián ời Fourier phƠn thự vợi gõ khổng l ừa Bián ời Fourier phƠn thự... (1) = e 1.2 Bián ời Fourier phƠn thự 1.2.1 nh nghắa bián ời Fourier phƠn thự Trữợ i án nh nghắa ừa bián ời Fourier phƠn thự, bián ời ÷đ bi¸t ¸n nh÷ l mët mð rëng õa bi¸n êi Fourier, hóng tỉi s³