Tích chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân dạng Fouruer và ứng dụng

Bài viết này đưa ra một số tích chập mới liên kết với biến đổi tích phân dạng Fourier cùng với hàm trọng Hermite và xem xét một số ứng dụng của chúng. Đặc biệt, bài báo thu được điều kiện cần và đủ cho tính giải được của phương trình tích phân dạng chập và đưa ra công thức nghiệm hiển trong L1 (i) cho phương trình đã đưa ra.

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.2 (2013) TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURUER VÀ ỨNG DỤNG GENERALIZED CONVOLUTIONS ASSOCIATED WIHT THE INTEGRAL TRANSFORMS OF FOURIER TYPE AND THE APPLICATIONS Bùi Thị Giang Học viện Kỹ thuật Mật mã Phan Đức Tuấn Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Bài báo đưa số tích chập liên kết với biến đổi tích phân dạng Fourier với hàm trọng Hermite xem xét số ứng dụng chúng Đặc biệt, báo thu điều kiện cần đủ cho tính giải phương trình tích phân dạng chập đưa công thức nghiệm hiển L1 ( ¡ ) cho phương trình đưa Từ khóa: tích chập; tích chấp suy rộng; biến đổi tích phân; biến đổi Fourier; phương trình tích phân ABSTRACT This paper provides new generalized convolutions associated with the integral transforms of Fourier type with Hermite weight - function and considers their applications In particular, the necessary and sufficient condition for solvability of the integral equations of convolution type is obtained and the solutions in explicit form in L1 ( ¡ ) of the equations are given Key words: convolution; generalized convolution; integral transforms; Fourier transforms; integral equation Mở đầu Việc sử dụng biến đổi tích phân để giải phương trình vi tích phân đời sớm liên tục phát triển ngày Có vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết phải kể đến biến đổi tích phân Fourier, Hartley Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập liên kết với biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ XX Những năm gần có nhiều báo biến đổi tích phân tích chập liên kết với biến đổi tích phân công bố [4, 6, 7, 8] Biến đổi tích phân Fourier, Fourier ngược Hartley xác định bởi: ( Ff )( x) = 2 ( F −1 f )( x) =  ¡ 2 f ( y )e − ixy dy,  ¡ f ( y )eixy dy, f ( y ) cas(xy )dy, 2 ¡ ( H f )( x) = f ( y )cas( − xy )dy 2 ¡ ( H1 f )( x) = Đây biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật (xem [1, 2, 3]) Theo quan sát chúng tơi biến đổi Fourier, Fourier ngược biến đổi Hartley tổ hợp tuyến tính hai biến đổi Tc , Ts sau: F = Tc − iTs , F −1 = Tc + iTs , H1 = Tc + Ts , H = Tc − Ts , Tc , Ts xác định 2 (Ts f )( x ) = 2 (Tc f )( x ) =  ¡  ¡ f ( y ) cos xydy, f ( y ) sin xydy Điều đưa đến cho chúng tơi ý tưởng xét biến đổi tích phân (Tf )( x) = 2  ¡ f ( y)[cos xy + 2sin xy]dy, (0.1) gọi biến đổi tích phân dạng Fourier Điều kiện để tích phân (0.1) tồn hàm f  L1 (¡ ) Do đó, báo chúng tơi ln xét hàm không gian f  L1 (¡ ) Bài báo chia làm bốn phần Phần nội dung báo Phần biến đổi ngược T xây dựng tám tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T , T −1 Phần ứng dụng tích chập xây dựng Phần TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC vào giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Gaussian Đặc biệt, Định lý thu điều kiện cần đủ để phương trình xét có nghiệm đưa cơng thức nghiệm tường minh Tích chập suy rộng Hàm Hermite định nghĩa n ( x) = ( −1) e n x d n − x2 e , (n ¥ ) dx Định lý sau cho ta hàm Hermite hàm riêng biến đổi T ứng với trị riêng 1,  Định lý Cho n  r (mod 4), r   (−1) n (Tn )( x) =  r −1 (−1) 2 n  TẬP 3, SỐ (2013) chứng minh Từ Định lý 1, ta thấy 0 hàm riêng biến đổi T Do đó, ta chọn 0 làm hàm trọng xây dựng tám tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T , T −1 sau: Định lý Nếu f , g  L1 (¡ ) biến đổi tích phân (0.6),(0.7), (0.8), (0.9)là tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T , T −1 với hàm trọng Hermite thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng 0 ( f  g )( x) = T ,T ,T r {0, 2} (0.2) r {1,3} Chứng minh Khi biến đổi F , F −1 T xét khơng gian L1 (¡ ) , ta có f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v)   ¡ ¡ 4 5 + 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v) (0.6) 2 − 0 ( x − u − v)]dudv, 0 T ( f  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x )(Tg )( x ) T ,T ,T 1 T = ( + i ) F + ( − i ) F −1 (0.3) 2 0 (f Mặt khác, ( Fn )( x) = ( −i )n n ( x) ¡ (T f )( y )[cos xy + sin xy ]dy, Chứng minh Khi biến đổi F , F T −1 g )( x) = (f T ,T ,T 4  ¡ ¡ f (u ) g (v) [−  ( x + u + v) + 11  ( x + u − v) 0 T( f −1 xét không gian L1 (¡ ) , ta có 1 1 T −1 = ( + i ) F + ( − i ) F −1 (0.5) 4 Kết hợp (0.3), (0.5) F = I (xem −1 −1 [5]) ta thu TT = I T T = I Định lý  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x )(T −1g )( x ) (0.8) 5 + 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 8 g ( x)[cos xy + sin xy ]dx, (0.4) −1 (0.7) T ,T ,T −1 ¡ 0 −1  f (u ) g (v) ¡ 0 f ( x ) = f ( x ) hầu khắp nơi ¡ Khi ta gọi biến đổi ngược T (T g )( y ) l = 2 ¡ 11 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 8 T( f   + f ( x) = 2 4 [−  ( x + u + v ) +  ( x + u − v ) ( F −1n )( x) = i nn ( x) (xem [5]) Thay vào (0.3) ta thu (0.2) Định lý chứng minh Định lý Nếu f  L1 (¡ ), (Tf )  L1 (¡ )  g )( x) = T ,T ,T −1  g )( x ) = 0 ( x )(T −1 f )( x )(Tg )( x) T ,T −1 ,T UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION 0 (f Đổi biến số y = t  u  v tích phân (0.12), ta thu f (u ) g (v) T ,T ,T 4 ¡ ¡ [0 ( x + u + v) + 50 ( x + u − v)  −1 g )( x) = −1 (0.9) (2 )3 + 50 ( x − u + v) + 50 ( x − u − v)]dudv, 0  −1 T( f T ,T ,T Bổ đề Nếu f , g  L1 (¡ )  f (u ) g (v) cos x(u + v)dudv ¡ =  (2 )3 0 ( x) 2 ¡ ¡  (0.10) (2 )3  ¡ (cos xy + 2sin xy) dy (0.11) ta có = (2 )  ¡ = f (u) g (v)cos x(u + v)dudv ¡ ¡  f (u ) g (v) cos x(u + v)dudv (2 )3  ¡ (2 )3 ¡ ¡    [cos x(t + u + v) ¡ 0 | ( f  g )( x) |dx T ,T ,T | f (u ) || g (v) || 0 ( x + u + v) | dudvdx 8 ¡ ¡ ¡ + | f (u ) || g (v) || 0 ( x + u − v) | dudvdx 8 ¡ ¡ ¡ + | f (u ) || g (v) || 0 ( x − u + v) | dudvdx 8 ¡ ¡ ¡ + | f (u ) || g (v) || 0 ( x − u − v) | dudvdx 8 ¡ ¡ ¡  + Bây ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa Sử dụng Bổ đề 1, ta có 0 ( x)(Tf )( x)(Tg )( x)  ( x) = f (u ) g (v)(cos xu + 2sin xu ) 2 ¡ ¡ ¡ (cos xv + 2sin xv)dudv = ¡ (0.12) + 2sin x(t + u + v) + cos x(t − u − v) + 2sin x(t − u − v)]0 (t ) f (u ) g (v)dtdudv 0 ( x) 4 ¡  f (u ) g (v)[−3cos x(u + v) ¡ + 5cos x(u − v) + 4sin x(u + v)]dudv [cos xt + 2sin xt ] cos x(u + v)0 (t ) f (u ) g (v)dtdudv = 0 ( f  g )  L1 (¡ ) Thật 0 (t )[cos xt + 2sin xt ]dt ¡ ¡  f (u ) g (v)[ 0 ( y − u − v) − 0 ( y + u + v)]dudv Chứng minh bổ đề Sử dụng Định lý 1,  f (u ) g (v)[ 0 ( y − u − v) + 0 ( y + u + v)]dudv Chứng minh (0.11) hoàn toàn tương tự (0.10) Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý Ta chứng minh tích chập (0.6) Trước tiên, ta ¡ ¡ 0 ( x) 2 ¡ (cos xy + 2sin xy )dy ¡   ¡ ¡ T ,T ,T f (u ) g (v) sin x(u + v)dudv ¡ = (cos xy + sin xy) dy f (u ) g (v)[ 0 ( y − u − v) + 0 ( y + u + v)]dudv   ¡ ¡   g )( x ) = 0 ( x )(T −1 f )( x )(T −1g )( x ) −1 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: 0 ( x) 2 ¡ VOL.3, NO.2 (2013) = (2 )3  ¡ (cos xy + 2sin xy ) f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v) ¡ ¡ 5 + 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v) 2  TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC 0 − 0 ( x − u − v)]dudvdy = T ( f  g )( x) T ,T ,T Các tích chập (0.7), (0.8), (0.9) chứng minh hồn tồn tương tự phép chứng minh tích chập (0.6) Định lý chứng minh Đổi vai trò T T −1 Định lý ta thu hệ sau: Hệ Nếu f , g  L1 (¡ ) biến đổi tích phân (0.13), (0.14), (0.15), (0.16) tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T −1 , T với hàm trọng Hermite thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng 0 (f −1 T −1 ,T ,T g )( x) = −1 4  ¡ [−  ( x + u + v ) +  ( x + u − v ) (0.13) 8 11 + 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 8 0 −1 T (f g )( x ) = 0 ( x )(T f )( x )(T g )( x ) −1  T −1 ,T −1 ,T −1 0 (f  T −1 ,T −1 ,T g )( x) = 4 −1  ¡ ¡ f (u ) g (v) [−  ( x + u + v ) +  ( x + u − v ) 2 − 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 2 0 T −1 ( f  g )( x ) = 0 ( x )(T −1 f )( x )(Tg )( x ) −1 −1 T ,T ,T 0 (f  −1 T ,T ,T f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v)   ¡ ¡ 4 (0.15) − 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v) 2 + 0 ( x − u − v)]dudv, = 0  T −1 ,T ,T −1  T = −1 g )( x) ,T ,T 11 f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v) (0.16)   ¡ ¡ 4 5 + 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v ) 2 + 0 ( x − u − v )]dudv, 0  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x )(Tg )( x ) T −1 ( f T −1 ,T ,T Ứng dụng giải phương trình tích phân Xét phương trình   ¡ ¡ [ p(u )0 ( x + u + v) (0.17) + q(u )0 ( x − u − v)] (v)dudv = f ( x),  £ , hàm p, q, f  L1 (¡ ) hàm cho trước  hàm cần tìm L1 ( ¡ ) Phương trình (0.17) gọi phương trình tích phân dạng chập với nhân Gaussian Phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, Y học Sinh học (xem [4]) Đặt A1 =  + 0 [10(Tp) − 40(T −1 p) − 22(Tq) (0.14) + 40(T −1q)], B1 = 0 [−40(Tp) + 11(T −1 p) + 40(Tq) − 5(T −1q)], A2 = 0 [−2(Tp) − 10(T −1 p) − 10(Tq) + 10(T −1q)], B2 =  + 0 [−10(Tp) + 40(T −1 p) + 10(Tq) + 8(T −1q)], D = A1 B2 − A2 B1 ; D1 = (Tf ) B2 − (T −1 f ) B1 ; D2 = (T −1 f ) A1 − (Tf ) A2 g )( x) −1 T −1 ( f 0 (f  ( x) + f (u ) g (v) ¡ TẬP 3, SỐ (2013) g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x)(T −1g )( x) (0.18) Định lý Cho p, q, f  L1 ( ¡ ) Giả sử D( x )  với x thuộc ¡ , D1 D  L1 ( ¡ ) Phương trình (0.17) có nghiệm thuộc L1 (¡ ) (T −1 D1 D ) = (T D2 D )  L1 ( ¡ ) Khi đó, nghiệm phương trình (0.17) xác định cơng thức sau  ( x ) = (T D2 D )( x ) (0.19) Chứng minh Từ tích chập (0.6) (0.9)và (0.13) - (0.16), ta có: UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION   ¡ 0 0 T ,T ,T T ,T ,T −1 = 10( f  g ) − 40( f 0 − 40( f = 40( f  T ,T −1 ,T  T −1 ,T −1 ,T −1  T −1 ,T ,T −1  ( x ) = (T (0.20)   T −1 ,T −1 ,T g) g )   [ p(u) (v) ( x − u − v)dudv = ¡ 0 0 −22( f  g ) + 40( f T ,T ,T 0 −5( f  −1 T ,T ,T +10( f  −1 g ) + 40( f T ,T ,T g ) = 8( f −1 0  T −1 ,T ,T −1 0 −1 T −1 ,T ,T g ) − 10( f −1 g ) )( x ) ) = (T D2 D )  L1 ( ¡ ) D2 D )( x ) (0.23) A1 ( x)(T )( x) + B1 ( x)(T −1 )( x ) = (Tf )((0.21) x ) (0.24) T ,T ,T g ) + 10( f −1 0  T −1 ,T −1 ,T g) 0  g ) T −1 ,T ,T T , T −1 vào hai vế phương trình (0.17), sử dụng (0.20), (0.21) đẳng thức nhân tử hóa tương ứng, ta thu hệ phương trình  A1 ( x )(T )( x ) + B1 ( x )(T  )( x ) = (Tf )( x )  ,  −1 −1   A2 ( x )(T )( x ) + B2 ( x )(T  )( x ) = (T f )( x ) −1 (0.22) (T )( x ), (T −1 )( x ) hàm cần tìm Các định thức hệ (0.22) xác định (0.18) Từ D( x )  với x thuộc ¡ , suy D1 ( x ) D( x ) thu Do 0 Điều kiện cần Giả sử phương trình (0.17) có nghiệm   L1 ( ¡ ) Áp dụng biến đổi (T )( x ) = ta (T ), (T −1 ) thỏa mãn hệ phương trình (0.22) ¡ D1 D 2, D2 D Suy   L1 (¡ ) Áp biến đổi T , T −1 vào hai vế (0.23) ta thu D1 ( x ) D2 ( x ) −1 (T )( x ) = D ( x ) , (T  )( x ) = D ( x ) Như 0  )( x ) = (T  ( x ) = (T −1 DD )( x ) = (T 0 T −1 ,T ,T lý Điều kiện đủ Xét hàm g) T ,T −1 ,T −1 g ) − 2( f Định −1 D1 D Do vậy, (T −1 g) 0 g ) − 10( f 0   g ) + 11( f 0 − 10( f Theo [ p (u ) (v)0 ( x + u + v)dudv ¡ VOL.3, NO.2 (2013) , (T −1 )( x ) = D2 ( x ) D( x ) Phương trình (0.24) viết lại  T   ( x) +   [ p(u )0 ( x + u + v)  ¡ ¡  + q(u )0 ( x − u − v)] (v)dudv ) = (Tf )( x) Suy hàm  ( x ) thỏa mãn phương trình (0.17) hầu khắp nơi ¡ Định lý chứng minh Kết luận Bài báo đưa biến đổi tích phân dạng Fourier, chứng minh tích khả nghịch biến đổi ngược; xây dựng tám tích chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân đưa ra; thu điều kiện cần đủ để phương trình tích phân dạng chập với nhân Gaussian có nghiệm đưa công thức nghiệm tường minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bracewell R N (1986), The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, N Y [2] Bracewell R N (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Oxford [3] Garcia-Vicente F (2000), Delgado J M., and Rodriguez C., “Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gaussian detector kernel”, Phys Med and Biol., 45(3), 2000, pp 645 - 650 [4] Giang B T., and Tuan N M (2010), “Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type”, Complex Var Elliptic Equ., 55(4), 2010, pp 331-345 [5] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N Y [6] Tuan N M., and Huyen N T T (2010), “The solvability and explicit solutions of two integral equations via generalized convolutions”, J Math Anal Appl., 369, 2010, pp 712-718 [7] Tuan N M., and Tuan P D (2009), “Generalized convolutions relative to the Hartley transforms TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 3, SỐ (2013) with applications”, Sci Math Jpn, 1(70), 2009, pp 77 - 89 [8] Tuan N M., and Tuan P D (2012), “Operator properties and Heisenberg uncertainty principles for a un-unitary integral operator”, Integral Transforms and Special Functions, 23(1), 2012, pp - 12 ... dựng tám tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T , T −1 sau: Định lý Nếu f , g  L1 (¡ ) biến đổi tích phân (0.6),(0.7), (0.8), (0.9)là tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T , T −1 với hàm... f , g  L1 (¡ ) biến đổi tích phân (0.13), (0.14), (0.15), (0.16) tích chập suy rộng liên kết với biến đổi T −1 , T với hàm trọng Hermite thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng 0 (f −1 T... nghịch biến đổi ngược; xây dựng tám tích chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân đưa ra; thu điều kiện cần đủ để phương trình tích phân dạng chập với nhân Gaussian có nghiệm đưa công thức