Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TIẾN DŨNG số trình ngẫu nhiên phân thứ ứng dơng tµi chÝnh LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội-2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYN TIN DNG số trình ngẫu nhiên phân thø vµ øng dơng tµi chÝnh Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hµ Néi - 2011 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Tiến Dũng i Lời cảm ơn Trước tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS.TS Trần Hùng Thao, người Thày hướng dẫn, đào tạo nghiên cứu khoa học nhiệt tình, giúp tơi ngày có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận án Tiếp theo muốn bày tỏ lời cảm ơn tới thành viên Bộ môn Xác suất Thống kê thường xuyên giúp việc trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học Đặc biệt muốn cảm ơn GS.TS Nguyễn Văn Hữu, người cho tơi tham gia xê mi na Tốn tài ơng ln cho tơi lời nhận xét quý báu Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học tạo điều kiện để tơi nghiên cứu tốt giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận án Cuối cùng, xin gửi lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, người hiểu đứng bên cổ vũ Hà nội, 03/2011 NCS: Nguyễn Tiến Dũng ii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Mở đầu Chuyển động Brown phân thứ 1.1 Định nghĩa tính ch 1.2 Tính chất nhớ lâu fBm 1.3 Biểu diễn Volterra fB 1.4 Tích phân ngẫu nhiên phâ 1.4.1 1.4.2 Phương pháp xấp xỉ semimartingale 2.1 Các kết xấp xỉ 2.2 Tích phân ngẫu nhiên phâ 2.2.1 2.2.2 2.3 Phương trình vi phân ngẫ 2.3.1 iii 2.3.2 2.3.3 2.4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiê Các ứng dụng Tài 3.1 Mơ hình quản lý tài sản 3.2 Mơ hình Black-Scholes p 3.2.1 3.2.2 Kết luận Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Phụ lục A Tính toán Malliavin A.1 Khai triển nhiễu loạn Wi A.1.1 A.1.2 A.2 Tích phân Skorohod A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.3 Đạo hàm Malliavin A.3.1 iv A.3.2 Đạo hàm Malliavin tích phân Skorohod B Bổ đề Gronwall v h.c.c L (Ω) ∥.∥ Γ(α) N (0, 1) P −→2 L (Ω) −−−→ ucp C [a, b] Khơng gian q trình ngẫu nhiờn -Hăolder liờn tc h.c.c trờn on [a, b] vi Mở đầu Trong nhiều thập kỷ qua lý thuyết tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Wiener có phát triển rực rỡ lý thuyết lẫn thực hành Gần đây, người ta bắt đầu khám phá lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên với nhiễu Wiener (hay tổng qt nhiễu martingale nhiễu có tính chất Markov) khơng đủ để mơ tả nhiều tốn thực tiễn viễn thông, định giá tài sản hay chủ thể có tính chất "nhớ lâu" Và nhu cầu tự nhiên nảy sinh cần tìm trình ngẫu nhiên thay cho nhiễu Wiener để khắc phục điều Chuyển động Brown phân thứ (fBm) trình ngẫu nhiên Mặc dù fBm đề cập đến A N Kolmogorv [33] từ năm 1940 phải đến năm 1968, sau báo Madelbrot biểu diễn hiển fBm áp dụng [38], fBm dần bắt đầu thu hút tác giả khác quan tâm nghiên cứu Khó khăn việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên fBm fBm khơng phải semimartingale q trình Markov Do tính tốn ngẫu nhiên Itô cổ điển áp dụng ta cần xây dựng hẳn lý thuyết cho hệ động lực ngẫu nhiên điều khiển fBm Trong khoảng 16 năm trở lại đây, tức năm 1995, tính tốn ngẫu nhiên fBm đạt phát triển rực rỡ Một loạt báo xuất nhằm giải tốn tính tốn ngẫu nhiên: xây dựng định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ, công thức Itô phân thứ, tồn tính nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, toán lọc tối ưu, kết luận thống kê trình phân thứ, vv Các hướng nghiên cứu tóm tắt nh sau: ă (i) Phng phỏp tớnh toỏn Malliavin: Decreusefond & Ustăunel (1995, 1999), Coutin & Decreusefond (1999), Alos, Mazet & Nualart (1999, 2000) vv Bài toán tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ mở, dạng tuyến tính đơn giản (ii) Phương pháp tính tốn Wick: Duncan, Hu & Pasik-Duncan (2000) sử dụng tích Wick thay cho tích thơng thường tổng Rie-mann định nghĩa tích phân H = họ nhận tích phân Itơ cổ điển Có thể nói định nghĩa thành công theo nghĩa mở rộng tích phân Itơ cổ điển, nhiên hướng nghiên cứu sử dụng tốn ứng dụng cơng thức định nghĩa tích phân khơng phù hợp với ý nghĩa ứng dụng tài (Bjork & Hult (2005)) (iii) Phương pháp tính tốn theo quỹ đạo: Lyons (1994) sử dụng phương pháp "phân tích quỹ đạo thơ" để xây dựng tích phân chứng minh tồn nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên sơ đồ lặp Picard Zăahle (1998, 1999) s dng cỏc tớnh toỏn phõn thứ tất định để mở rộng tích phân Lebesgue-Stieltjes cổ điển áp dụng tới fBm, tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên chứng minh Nualart & Ră¸scanu (2002) cho H> Về phương diện ứng dụng mà bật ứng dụng Tài chính, fBm công cụ phù hợp để mô tả diễn biến q trình giá phái sinh có tính chất "nhớ lâu" Giữa số lượng lớn báo xuất bản, kể đến báo bật Rogers (1997), [18] Dung N T (2008), "A class of fractional stochastic differential equations", Vietnam Journal of Mathematics, 36(3), pp 271-279 [19] Dung N T (2011), "Fractional stochastic differential equations: a semimartingale approach", Stud Univ Babe¸s-Bolyai Math LVI(1), ap 141-155 [20] Dung N T (2011), "Semimartingale approximation of Fractional Brownian motion and its applications", Computers and Mathemat-ics with Applications, 61(7), pp 1844-1854 [21] Dung N T (2011), "Fractional Geometric mean reversion processes", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 380, ap 396-402 [22] Dung N T and Thao T H (2010), " An approximate approach to fractional stochastic integration and Its applications", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 24(1), pp 57-67 [23] Dung N T and Thao T H (2010), "On a fractional stochastic Landau-Ginzburg equation", Applied Mathematical Sciences, 4(7), ap 317-325 [24] Fernique X (1997), "Fonctions aléatoires gaussiennes, vecteurs aléatoires gaussiens", Université de Montréal Centre de Recherches Mathématiques, Montreal, QC [25] Feyel D and de la Pradelle A (1996), "Fractional integrals and Brownian processes", Potential Analysis, 10, pp 273-288 [26] Gihman I I and Skorohod A.V (1972), Stochastic Differential Equations Springer [27] Hu, Y., Øksendal, B., Sulem, A (2003), "Optimal portfolio in a fractional Black and Scholes market", Infin Dimens Anal Quantum Probab Relat 6, pp 519-536 73 [28] Hurst, H E (1951), "Long-term storage capacity in reservoirs", Trans Amer Soc Civil Eng., 116, pp 400-410 [29] Hurst, H E., Black, R P., Simaika, Y M (1965), Long Term Storage in Reservoirs An Experimental Study Constable, London [30] Itô K (1951), "Multiple Wiener integral", J Math Soc Japan, 3, pp 157-169 [31] Jacques, J and Manca, R (2007), Semi-Markov Risk Models For Finance, Insurance and Reliability Springer [32] Kloeden P E and Platen E (1995), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer [33] Kolmogorov, A N (1940), "The Wiener spiral and some other interesting curves in Hilbert space", Dokl Akad Nauk SSSR, 26, pp 115-118 [34] Léon (1993), "Fubini theorem for anticipating stochastic integrals in Hilbert space", Appl Math Optim., 27(3), pp 313-327 [35] Lim S C and Sithi V M (1995), "Asymptotic properties of the fractional Brownian motion of Riemann-Liouville type", Physics Letters A, 206, pp 311-317 [36] Liptser R S and Shiryaev A N (2001), Statistics of Random Processes, I General Theory, Vol.5 of Stochastic Modelling and Applied Probablility Springer, New York, second edition, 2001 [37] Lyons T (1994), "Differential Equations Driven by Rough Signals (I): An Extension of an Inequality of L.C Young", Mathematical Research Letters, 1, pp 451-464 [38] Mandelbrot B., van Ness J (1968), "Fractional Brownian motions, Fractional Noises and Applications", J SIAM Review, 10(4), pp 422437 74 [39] Nualart D and Ră¸scanu A (2002), "Differential equations driven by fractional Brownian motion", Collectanea Mathematica, 53, pp 5581 [40] Nunno G D., Øksendal B., Proske F (2009), Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance, Springer [41] Protter, P (1990) Stochastic Integration and Differential Equations, Berlin-Springer [42] Revuz D and Yor M (1999), Continuous martingales and Brow-nian motion, Springer, Berlin Heidelberg New York, third edition [43] Rogers, L C G (1997), "Arbitrage with fractional Brownian motion", Mathem Finance, 7, pp 95-105 [44] Thao T H (1991), "Optimal State Estimation of a Markov from Point Process Observations", Annales Scientifiques de l’Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II Fasc 9, pp 1-10 [45] Thao T H (2003), "A Note on Fractional Brownian Motion",Vietnam Journal of Mathematics, 30(3), pp 255-260 [46] Thao T H (2006), "An approximate approach to fractional anal-ysis for finance", Nonlinear Analysis, 7, pp 124-132 [47] Thao T H and Thomas-Agnan C (2003), "Evolution des cours gouvernée par un processus de type ARIMA Fractionnaire", Studia Univ Babes-Bolyai, Mathematica, XVIII(2), pp 125-137 [48] Thao T H., Dung N T (2010) , "A Note on Optimal State Es-timation for A Fractional Linear System", Int J Contemp Math Sciences, 5(10), pp 467-474 [49] Thao, T.H and Nguyen , T.T (2003), "Fractal Langevin Equation", Vietnam Journal of Mathematics, 30(1), pp 89-96 75 [50] Tvedt J (1995), Market Structure, Freight Rates and Assets in Bulk Shipping Dr Oecon Dissertation, Norwegian School of Economics and Business Administration, Bergen, Norway [51] Zăahle M (1998), "Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus, Part I", Probab Theory Related Fields, 111, pp 333-372 [52] Zăahle M (2001), "Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus, Part I", Mathematische Nachrichten, 225(1), pp 145-183 [53] Øksendal B (2003), Stochastic Differential Equations, Sixth edi-tion, Springer [54] Samko, S G., Kilbas, A A and Marichev, O I (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Yverdon [55] Schoutens W (2000), Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials, Volume 146 of Lecture Notes in Statistics Springer-Verlag, New York [56] Shiryayev A N (2001), "On arbitrage and replication for fractal models", Preprint, MaPhySto, Aahus [57] Shiryaev, A N (1996), Probability New York-Springer, 2nd edition [58] Skorohod A V (1975), "On a generalization of the stochastic integral", Teor Verojatnost Primenen., 20(2), pp 223-238 [59] Yor, M., Jeanblanc, M., and Chesney, M (2009), Mathematical Methods for Financial Markets Springer 76 Phụ lục A Tính tốn Malliavin Phụ lục giới thiệu sơ lược tích phân Skorokhod đạo hàm Malliavin Chứng minh định lý tìm thấy [40] A.1 A.1.1 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itơ Tích phân Itơ lặp Cho W chuyển động Brown tiêu chuẩn không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P ) F = {Ft, ≤ t ≤ T } lọc tự nhiên sinh W Nhắc lại lọc F liên tục hai phía: {∪ } Ft = Ft = n Định nghĩa A.1 Hàm thực g : [0, T ] → R gọi hàm đối xứng g(t , , t n ) = g(t1, , tn) với song ánh σ từ tập {1, 2, , n} vào 77 n Ký hiệu L ([0, T ] ) không gian hàm Borel bình phương khả n tích [0, T ] ∥g∥L e n 2 ([0;T ]n) := n L ([0, T ] ) ⊂ L ([0, T ] ) khơng gian hàm Borel bình phương khả tích n đối xứng [0, T ] Xét tập hợp sau n Sn = {(t1, , tn) ∈ [0, T ] : ≤ t1 ≤ ≤ tn} n Bởi Sn có diện tích n ! diện tích hình hộp [0, T ] nên ∫ ∥g∥ L2([0;T ]n) = n! g (t1, , tn)dt1 dtn = n!∥g∥L (Sn) Sn n Nếu f hàm thực [0, T ] đối xứng hóa xác định e ∑ f (t1, , tn) = n ! f(t , , t n ), (A.5) tổng lấy tất hốn vị 1, , n Định nghĩa A.2 Cho f hàm tất định Sn thỏa mãn Thế ta định nghĩa tích phân Itơ lặp n lần sau Jn(f) := ∫ Chú ý với i = 1, , n tích phân Itơ theo dWti tồn ∫ ti hàm lấy tích phân q trình ngẫu nhiên F-tương thích bình phương khả tích dP × dti 78 Định nghĩa A.3 Cho g n [0, T ] sau In(g) := A.1.2 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô Định lý A.1 Cho ξ biến ngẫu nhiên FT -đo L (P ) Khi tồn dãy ξ= n=0 hội tụ chuỗi xét L (P ) Hơn nữa, ta có cơng thức đẳng cự sau ∥ξ∥L ∑ (P) ∞ = Ví dụ Khai triển Wiener-Itô ξ = W (T ) Ta có t ∫T ∫ 2 1dW (t1)dW (t2) = W (T ) − T, 0 W (T) = T + I2(1) A.2 Tích phân Skorohod Tích phân Skorohod xây dựng A Skorohod năm 1975 Đây mở rộng tích phân Itơ, hàm lấy tích phân khơng cần giả thiết F-tương thích [58] 79 A.2.1 Tích phân Skorohod Cho u = u(t, ω), t ∈ [0, T ], ω ∈ Ω trình ngẫu nhiên đo thỏa mãn: với t ∈ [0, T ], u(t) biến ngẫu nhiên FT -đo E[u (t)] < ∞ Khi đó, với t ∈ [0, T ], ta áp dụng định lý khai triển Wiener-Itơ n tồn hàm đối xứng fn;t = fn;t(t1, , tn), (t1, , tn) ∈ [0, T ] f2 n L ([0, T ] ) thỏa mãn u(t) = ∑∞ n=0 In(fn;t) Bởi hàm fn;t phụ thuộc vào t nên ta viết hàm (n + 1) biến fn(t1, , tn, tn+1) = fn(t1, , tn, t) = fn;t = fn;t(t1, , tn) Hàm fn đối xứng theo n biến đầu tiên, ta cần đối xứng hóa e fn(t1, , tn+1) = + fn(t2, , tn+1, t1) + Định nghĩa A.4 Cho u(t), t ∈ [0, T ] trình ngẫu nhiên đo thỏa mãn với t ∈ [0, T ], biến ngẫu nhiên u(t) FT -đo E[u (t)] < ∞ Giả sử khai triển Wiener-Itô u(t) ∞ u(t) = ∞ ∑ n=0 ∑ In(fn;t) = e n=0 In(fn(., t)) Với f n xác định công thức (A.10), ta định nghĩa tích phân Skorohod u 80 chuỗi vế phải hội tụ L (P ) Nếu u khả tích Skorohod, ta viết u ∈ Dom(δ) Chú ý Từ (A.9), trình ngẫu nhiên u thuộc vào Dom(δ) E[δ(u) ] = Ta đặt ∥u∥L 2 (P × ) =E Dom(δ) ⊆ L (P × λ) Ví dụ Tính tích phân Đầu tiên ta phải tìm khai ∫ T ∫01dW ∫T (t) Như vậy, f0 = 0, f1 = 1, fn = 0, n ≥ Do W (T )δW (t) = I2(f1) = I2(1) = e Từ ví dụ ta thấy u ∈ Dom(δ) G biến ngẫu nhiên FT -đo thỏa mãn Gu ∈ Dom(δ) tổng qt ta có ∫T ∫T Gu(t)δW (t) = G u(t)δW (t) 00 ∫T Ví dụ Tính Wiener-Itô W (t)[W (T )−W (t)]δW (t) Đầu tiên ta có khai triển ∫T W (t)[W (T ) − W (t)] = W (t)χ{t
Ngày đăng: 13/11/2020, 15:59
Xem thêm:
