Bài toán biên giả vi phân trong không gian hl p p khác 2

Mơc lơc Trang phơ b×a Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Ch−¬ng 1.1 Tổng quan 15 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển phơng trình vi phân elliptic 15 1.2 Bài toán biên cổ điển phơng trình parabolic 22 Chơng Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic 30 2.1 Không gian hµm 30 2.1.1 Định nghĩa 30 2.1.2 TÝnh chÊt 31 2.2 To¸n tử giả vi phân (GVP) Rn 34 2.3 Bài toán biên nửa kh«ng gian Rn + 40 2.4 Bài toán biên miền bị chặn 47 Chơng 3.1 Bài toán biên không cổ điển phơng trình elliptic 62 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính 62 3.2 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính 82 Ch−¬ng Bài toán biên không cổ điển phơng trình parabolic 4.1 4.2 88 Không gian hàm 88 4.1.1 Định nghÜa 88 4.1.2 TÝnh chÊt 91 Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa trụ vô hạn 96 4.3 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic tuyến tính nửa trụ vô hạn 102 4.4 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính nửa trụ vô hạn 114 Kết bàn luận 122 Kết nghiên cứu bµn luËn 122 KÕt luËn 124 KiÕn nghÞ vỊ nghiên cứu 125 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham kh¶o 127 Danh mơc c¸c ký hiệu chữ viết tắt N = {1, 2, } : tËp sè tù nhiªn, Z : tËp sè nguyªn, Z+ = {m ∈ Z | m ≥ 0} : tập số nguyên không âm n Z+ = {α = (α1, α , , αn) | αj ∈ Z, αj ≥ 0,j = 1, 2, , n} : tập đa số víi α Zn+ ký ∈ hiƯu n |α| = j=1 αj R : tËp sè thùc, C : tËp sè phức Đơn vị ảo = i = Với z C ký hiệu sz phần ảo, Rz phần thực Với1 mỗi1 p R, < p < +, số pJ số đối ngẫu p, nghĩa + p pJ Với a R, ký hiệu [a] số nguyên lớn không lớn a Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | xj ∈ R, j = 1, 2, , n} không gian thực chiều với chuẩn Euclid || || 2Σ1 Σ n n x j=1 vµ tÝch v« h−íng x, ( Rn+ ¯ +n R = )= xj xj y Σnj j= = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn > 0}, = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} Víi x ∈ Rn (hay R¯ n ) ký hiÖu xJ = (x1 , , xn1) + Nếu đặc biệt, ký hiệu tập mở Rn Với k ∈ Z+ ký hiƯu c¸c tËp nh− sau: Ck(Ω) = {u : C.u khả vi liên tục đến cÊp liªn tơc k}, C(Ω) = C0(Ω) = {u − :Ω C}, → k supp u lµ tËp compact}, C0(Ω) C0k(Ω) = {u ∈ C (Ω) = k,1(), CC () = {u C () đạo hàm riêng cấp k u hàm Lipschitz}, C (Ω) = ∩∞k=1 C k (Ω), C0∞ (Ω) = =1 C0k(Ω) ∩∞k ¯ n ) = {u+: R¯ n → C cã hµm lu ∈ C0∞(Rn) mµ lu|R¯ n = u}, C0∞(R + + ®ã, supp u = cl{x .u(x) = 0} Với số thực ≤ p < ∞, ký hiÖu L : p |u(x)| < +}, đđ C không gian hàm khả tích cấp p với chuẩn Lp() | p || = u(x)| u|| ∫ Ω Σ p víi p = ∞, ký 1, hiƯu ®® L∞ (Ω) = {u : ΩLeb−e→sgue C.ess sup |u(x)| < +∞}, x∈ Ω không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi trªn Ω víi chn ||u||L∞(Ω) = ess sup |u(x)|, x∈ Ω ®ã, ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > m{x ∈ Ω |u(x)| > M} = 0} Víi p , s ký hiệu không gian Sobolev Ws,p() Với s Z+, kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω).Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ s} víi chuÈn || u|| Ws,p(Ω) p Lp(Ω)Σ p , α Σ = |α|≤s p < ∞, ||D u|| ||u||Ws,∞(Ω) = max ||Dα u||L∞(Ω), p = ∞, |α| ∂ n ®ã, Dα = Dα1 D α≤s ,D = n j i∂xj Víi s ƒ∈ Z+, kh«ng gian Sobolev Ws,p() đợc định nghĩa phép nội suy Khi p = 2, để đơn giản ta ký hiệu Hs() = Ws,2(Ω) PhÐp biÕn ®ỉi Fourier Rn F u(ξ)= (2π) n ∫ −2 n e−i(x,ξ)u(x)dx Rn PhÐp biÕn ®æi Laplace ∫ − +∞ Lu(q)= −qt (2π) Toán tử GVP: toán tử giả vi phân e u(t)dt, q C, Rq Mở đầu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đợc nghiên cứu công trình Euler, d'Alembert, Lagrange Laplace nh công cụ để mô tả học nh mô hình giải tích vật lý Cho đến giờ, mô hình giải tích vật lý yếu tố phát triển Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Vào kỷ 19, đặc biệt với công trình Riemann, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đà chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán häc Cuèi thÕ kû 19, H Poincare ®· chØ mối quan hệ biện chứng Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng ngành toán học khác Sang kỷ 20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm Đặc biệt Lý thuyết hàm suy rộng đợc xây dựng S L Sobolev, L Schwartz đợc kết hợp với Giải tích Fourier nhiều toán đà đợc giải Chẳng hạn toán biên elliptic tuyến tính đợc giải trọn vẹn (có thể xem công trình M S Agranovich [3] tài liệu tham khảo đó) Bằng lý thuyết nửa nhóm kết từ toán tử elliptic, số lớp toán parabolic, đợc gọi phơng trình tiến hóa, đà đợc nghiên cứu bëi E Hille, K Yosida, F E Browder, H Brezis, J L Lions, E Magnes, E B Davies, v.v Bài toán hyperbolic đà có đợc kết đẹp qua công trình I G Petrovski, J Leray, L Garding, v.v Theo L Hormander (xem [26]), công trình toán tử hyperbolic I G Petrovski nh điều dự báo đời Lý thuyết toán tử Giả vi phân, công cụ hữu hiệu để nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không tuyến tính mà với phi tuyến Lý thuyết toán tử GVP phát triển Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poisson hay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, đợc nghiên cứu từ lâu nhiều tác giả nh Poisson, D Hilbert, v.v., nhng có lẽ phải đến công trình A P Calderon, A Zygmund, S G Mikhlin vµ sau học trò A Zygmund nh E Stein, bắt đầu trở thành công cụ thực việc nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục đợc J J Kohn, L Nirenberg, L Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP Một kết đẹp dựa phần Lý thuyết toán tử GVP §Þnh lý vỊ chØ sè Atiyah- Singer, sù giao thoa nhiều ngành toán học Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình họcĐại số Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F Treves, L Nirenberg([32], [33]) đà giải trọn vẹn toán tính giải đợc địa phơng cho toán tử vi phân kiểu (chú ý nói chung giải đợc toàn cục, chẳng hạn phơng trình elliptic ngời ta giải đợc cách địa phơng) Cùng với nhiều công trình trớc L Hormander[26], Yu V Egorov[18], R Beals, C Fefferman[5], N Lerner[28], v.v., gần N Dencker ([12], [13], [14]) giải trọn vẹn toán tính giải đợc địa phơng cho toán tử GVP kiểu Một kết lý thú khác tính subelliptic, tính chất nằm elliptic hyperbolic, Yu V Egorov đà đa đợc điều kiện cần đủ để toán tử GVP subelliptic Kết đợc bắt nguồn từ công trình viết chung với V A Kondratiev toán đạo hàm nghiêng Khi khảo sát vài lớp toán đạo hàm nghiêng cụ thể cách chuyển thành toán tử GVP với nghiên cứu kết trớc L Hormander, Yu V Egorov đà tìm đợc phép biến đổi tắc, từ đến điều kiện cần đủ để toán tử GVP subelliptic Bài toán đạo hàm nghiêng, nghĩa toán biên cho phơng trình vi phân cấp 2, chẳng hạn phơng trình Laplace u = f , với điều kiện biên đạo u hàm nghiêng = g miền bị chặn không gian có số chiều không nhỏ 3, với biên trơn , theo Yu V Egorov, V A Kondratiev đợc đặt H Poincare Tuy nhiên, trớc năm 1963, toán không tiếp xúc đạo hàm nghiêng đợc xÐt tr−êng vÐc-t¬ Dν = ∂ν A−2s+1,p + lim lim (,à,ì(0,+)) ||(f, g)||PA+1,p(,à,ì(0,+),ì(0,+)) M =0, (M = ||u||PA,p(,à,ì(0,+))) M Nh vậy, vế phải toán biên (4.29) (4.32) thuộc lớp I, thỏa mÃn điều kiện Định lý trên, nên có nghiệm u PA,p(, à, ì(0, +)) n Có thể xÐt vÝ dơ trªn thĨ Ω = B = {x ∈ R | 1x + n víi Σn biªn ∂Ω = S = {s ∈ Rn | x2 + j= j x 2kj j= k xjj 2 < 1} = 1}, trờng vec-tơ x2 xn ν(x) = x1 − a, , , Σ, a > 1, vµ Γ0 = {x ∈ S| x1 = } thuộc lớp I Bài toán toán đợc m = 1), (j j k xÐt víi k λ = 2s, Σj−1 a Σk, ∂ ∂ k 2∂ n ,D = A(x, D , ) = + (−∆ )s, B (x, D , ) = x x j x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n  (−1) 2k2−1 ®ã η(x) = (x , k x , , k x2k∂n−1 ) lµ tr−êng 2 n n Σn k x1 j=2 j xj 4kj 1/2 + vec-tơ pháp tuyến trong, đơn vị S Với trờng hợp thuộc lớp III ta có ví dụ cách tơng ứng Phần phi tuyến ví dụ khác so với phần phi tuyến, số mũ m, [21] (dới tuyến tính), [23] (trên tới hạn (supercritical)) Kết bàn luận Kết nghiên cứu bàn luận Trong luận án này, đà giải đợc vấn đề sau Bằng việc sử dơng kh«ng gian Sobolev HA,p,q(Ω), < p < ∞ víi chn phơ thc tham sè phøc q, cïng mét số kỹ thuật toán tử GVP không gian Lp, < p < , không gian mà, nói chung, phép biến đổi Fourier không đẳng cấu p = 2, đà thu đợc kết Định tồn nghiệm cho toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính |q| đủ lớn Từ đó, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính So với không gian Sobolev, để dễ diễn đạt ta lấy A ∈ Z+ , Ω = Rn, WA,p (Rn ) = {u ∈ Lp (Rn ) | Dαu ∈ Lp (Rn ), ∀|α| ≤ A}, víi < p ≤ cã mèi quan hÖ sau: WA,p (Rn ) ψ→ HA,p (Rn), J HA,p (Rn) ψ→ WA,p (Rn ) Khi p = 2, cã WA,2 (Rn) = HA,2 (Rn) Khi p = 2, phép nhúng thực sự, nghĩa lµ tËp thùc sù Ngoµi ra, WA,p (Rn ) ta lÊy vÕt x =0 1 J n §Ĩ cã phÐp nhóng W cã phÐp nhóng H A, p n cÇn A > , (Rn) ψ→ p C(Rn) → n (R ) ψ C(Rn) cÇn A > n A, p pJ n =n − p Với việc đa lớp không gian kiểu Sobolev víi chn phơ thc tham sè ΠA,p,q(Ω), < p < , thích hợp, việc dùng phân loại thành ba lớp I, II, III phân hoạch đơn vị ®Ỉc biƯt cđa Egorov, Kondratiev, |q| ®đ lín, chóng thu đợc kết Định tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính thc líp I, III Cßn Γ0 thc líp II, | q| đủ lớn có kết Định lý nghiệm Bằng kỹ tht tun tÝnh hãa cịng nh− mét sè kÕt qu¶ Giải tích phi tuyến, chẳng hạn Định lý Nemytski cho ánh xạ phi tuyến dạng u(.) f (., u(.)) Định lý điểm bất động Schauder, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng tr×nh GVP elliptic nưa tun tÝnh Γ0 thc líp I, III Xây dựng lớp không gian PA,p(, à, ì (0, +)), EA,p(, à, ) thích hợp cho toán biên biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, cho phép biến đổi Laplace đẳng cấu lớp không gian PA,p(, à, ì (0, +)) EA,p(, à, ) Dùng kết Chơng trớc, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parablic tuyến tính Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính, thuộc lớp I, III Các kết trình bày luận án mới, đóng góp thực vào phát triển Lý thuyết toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, parabolic tuyến tính nửa tuyến tính Trong trờng hợp đa tạp gồm hai thành phần liên thông 01 thuộc lớp I, 03 thuộc lớp III, kết có đợc không gian đợc thay đổi thích hợp, điều kiện biên đợc đa vào cách tơng thích Chú ý không gian A,p,q(), PA,p(, à, ì (0, +)) EA,p(, à, ) lần lợt chứa không gian HA+1,p,q (), PA+1,p(, à, ì (0, +)) EA+1,p (, à, ) nên chúng không tầm thờng khác so với không gian Sobolev trớc Kết luận Các kết luận án: Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic ã Đa lớp kh«ng gian kiĨu Sobolev víi chn phơ thc tham sè A,p,q(), < p < ã Định tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính thc líp I, III Cßn Γ0 thc líp II, |q| đủ lớn có kết Định lý nghiệm ã Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính thuộc lớp I, III Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic ã Xây dựng lớp không gian PA,p(, à, ), EA,p(, à, ) ã Chứng minh hai lớp không gian PA,p(, à, ), EA,p(, à, ) đẳng cấu với phép biến đổi Laplace ã Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parablic tuyến tính Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính, thuộc lớp I, III Kiến nghị nghiên cứu Gần đây, tác giả đà đạt đợc số kết ([5], [6]) cho lớp toán biên kiểu Grushin, lớp toán biên cho phơng trình elliptic suy biến biên Chính từ việc chuyển từ việc nghiên cứu toán đạo hàm nghiêng không cổ điển sang việc nghiên cứu lớp toán tử GVP kiểu Grushin mà Yu V Egorov có đợc kết tốt tính subelliptic Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp nên tác giả cha hoàn chỉnh kết Tác giả theo đuổi số hớng thú vị, chẳng hạn lớp toán tử GVP có cấp biến thiên Hớng nghiên cứu nhiều vấn đề nghiên cứu Hớng liên quan đến toán tử tích phân Fourier, toán tử dao động (oscilation) Các toán tử đợc nghiên cứu nhiều chúng nảy sinh từ toán Vật lý Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án [1]Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan (2003), "A semilinear non-classical pseudodifferential boundary value problem in the Sobolev spaces", C R Acad Sci Paris, 337, Serie I , pp 451-456 [2]Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan, Tran Tri Kiet (2004), "Non-classical pseudodifferential boundary value problems in the Sobolev spaces HA,p, < p < ∞", Proceedings of the International Con- ference Abtract & Applied Analysis, August 2002, edited by Chuong N M., Nirenberg L., Tutschke W., World Scientific, pp 95-124 [3]Egorov Œ V., Nguen Mina Qyong, Dang Ana Tuan (2006), "Ob odnoif neklassiqeskoif polulineifnoif kraevoif zadaqe dlp paraboliqeskih psevdodifferencialanyh uravneniif v PROSTRANSTVAH Soboleva", Dokl Akad Nauk, Russp, T 411, No 6, c 1-4 [4]Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan (2006), "A nonclassical semilinear boundary value problem for parabolic pseudodifferential equations in spaces of Sobolev type", Communications on pure & applied mathematics (submitted) [5]Nguen Mina Qyong, Dang Ana Tuan (2006), Ob odnoif polulineifn kraevo zadaqe dlp vyroddabwihsp oif if psevdodifferencialanyh uravneniif v Dokl Akad Nauk, PROSTRANSTVAH Russp Mathematics, Hanoi & submitted) (Preprint TIPA 05/15, Soboleva, Institute of [6]Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan (2005), "Semilinear degenerate parabolic pseudodifferential operators", Preprint 05/16, Institute of Mathe- matics, Hanoi Tài liệu tham khảo [1] Adams R A.(1975), Sobolev spaces, Academic Press, New York [2] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L.(1959), "Estimates near the bound- ary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I", Comm Pure & Appl Math., 12, pp 623- 727 [3] Agranovich M S.(1965), "Elliptic singular integro-differential operators", Uspekhi Mat Nauk, 20, No 5, pp 3- 120 [4] Agranovich M S., Vishik M I (1964), "Elliptic problem with parameter and parabolic problems in general form", Uspekhi Mat Nauk, 19, No 3, pp 53-161 [5] Beals R., Fefferman C.(1973), "On local solvability of linear partial differential equations", Annals of Math., 97, pp 482-498 [6] Bisadze A V.(1963), "The homogeneous problem for directional deriva- tive for harmonic functions in three-dimensional regions", Dokl Akad Nauk SSSR., 148, pp 749-752 [7] Borrelli R.(1966), "The singular, second order oblique derivative problem", J Math Mech., 16, pp 51-81 [8] Nguyen Minh Chuong(1983), "Degenerate parabolic pseudodifferential operators of variable order", Dokl Akad Nauk, 286, pp 1055-1058 [9] Nguyen Minh Chuong(1984), "On isomorphisms of Sobolev spaces of variable order", Mat Sbornik, 49, pp 1-17 [10] Nguyen Minh Chuong(1984), "On parabolic pseudo-differential operators of variable order", Mat Zametki, 35, pp 221-229 [11] Deimling K.(1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [12] Dencker N.(2003), "The proof of the Nirenberg- Treves conjecture", Jour Equation aux derivees partielles, Exp No V, 25 pp [13] Dencker N.(2006), "The resolution of the Nirenberg- Treves conjecture", Annals of Math., 163, pp 405-444 [14] Dencker N.(2006), "On the solvability of pseudodifferential operators", Semin Equ Deriv Partielles, Ecole Polytech., Palaiseau, Exp No I, 29 pp [15] Egorov Yu V., Kondratiev V A.(1966), "On an oblique derivative problem", Dokl Akad Nauk SSSR., 170, pp 770-772 [16] Egorov Yu V.(1967), "Pseudo-differential operators of principle type", Mat Sbornik, 73, pp 356-374 [17] Egorov Yu V., Kondratiev V A.(1969), "On an oblique derivative problem", Mat Sbornik, 78, pp 148- 176 [18] Egorov Yu V.(1969), "On canonical transformations of pseudodifferential operators", Uspekhi Mat Nauk, 24, No 5, pp 235- 236 [19] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong(1969), "The problem with a directional derivative for second order parabolic equation", Uspekhi Mat Nauk, 24, pp 197-198 [20] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong(1984), "A problem with a directional derivative in S.L Sobolev spaces of variable order ", Diff Urav., 20, pp 2163-2164 [21] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong(1998), "On some semilinear boundary value problems for singular integro-differential equations", Uspekhi Mat Nauk, 53, No 6, pp 249-250 [22] Egorov Yu V., Shubin M A.(1994), Partial Differential Equations VI, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [23] Egorov Yu V., Galaktionov V.A., Kondratiev V.A., Pohozaev S.I.(2004), "Global solutions of higher-order semilinear parabolic equa- tions in the supercritical range", Adv Differential Equations, 9, No 9-10, pp 10091038 [24] Fabes E B.(1966), "Singular intergals and partial differential of parabolic type", Studia Math., 28, pp 81-125 [25] Hormander L.(1966), "Pseudodifferential operators and non-elliptic boundary problems", Annals of Math., 83, pp 129-209 [26] Hormander L.(1985), The Analysis of Linear Partial Differential Oper- ators III, IV, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [27] Krasnoselski M A.(1964), Topological Methods in the Theory of Non- linear Integral Equations, Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris [28] Lerner N.(2000), "When is a pseudodifferential equation solvable?", Ann Inst Fourier, Grenoble, 50, No 2, pp 443-460 [29] Malyutov M B.(1969), "On the Poincare boundary value problem", Trudy of the Moscow Mathematical Society, 20, pp 173- 203 [30] Maugeri A., Palagachev D K., Vitanza C.(1998), "Oblique derivative problem for uniformly elliptic operators with VMO coefficients and applications", C R Acad Sci Paris, 327, Serie I, pp 53-58 [31] Mazya V G.(1972), "On the degenerate problem with oblique derivative", Mat Sbornik, 87, pp 417-454 [32] Nirenberg L., Treves F.(1970), "On local solvability of linear partial differential equations, I Necessary conditions; II Sufficient conditions", Comm Pure & Appl Math., 23, pp 1-38; pp.459-509 [33] Nirenberg L., Treves F.(1971), Correction"On local solvability of linear partial differential equations, II Sufficient conditions", Comm Pure & Appl Math., 24, pp 279-288 [34] Okikiolu G O.(1971), Aspect of the Theory of Bounded Integral Operators in Lp spaces, Academic Press, New York [35] Schechter M.(1971), Principles of Functional Analysis, Academic Press, New York [36] Softova L.(2001), "Morrey regularity of strong solutions to parabolic equations with VMO coefficients", C R Acad Sci Paris, 333, Serie I, pp 635-640 [37] Softova L.(2004), "W p2,1−solvability for the parabolic Poincare problem", Comm Partial Diff Equ., 29, No 11-12, pp 1783-1798 [38] Taylor M E.(1981), Pseudodifferential operators, Princeton University Press, New Jersey [39] Le Quang Trung(1989), "On a noncoercive problem for singular integro- differential equations", Uspekhi Mat Nauk, 44, No 5, pp 169-170 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html ... Chơng Bài toán biên không cổ điển phơng trình elliptic Chơng Bài toán biên không cổ điển phơng trình parabolic Trong Chơng 1, trình bày tổng quan kết cho toán biên không cổ điển phơng trình elliptic... cách để ti? ?p cận toán biên parabolic Thông thờng, ta ti? ?p cận toán biên parabolic từ toán biên elliptic tơng ứng cách thích h? ?p Chẳng hạn, phơng ph? ?p nửa nhóm ta chuyển toán biên parabolic dạng... trình vi phân parabolic c? ?p với điều kiện biên không liên tục, công trình [10], Giáo s đà đạt đợc Định lý tồn nghiệm cho toán biên cho phơng trình giả vi phân parabolic c? ?p biến thiên không gian