Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ TH± THANH TUYET SU DUNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XAP XI THÚ NHAT ĐE NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2011 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ TH± THANH TUYET SU DUNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XAP XI THÚ NHAT ĐE NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS Đ¾NG ĐÌNH CHÂU Mnc lnc Lài nói đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Toán tu tuyen tính 1.3 Phő cna tốn tu tuyen tính 1.4 Nua nhóm liên tuc manh khơng gian Banach tốn tu sinh10 1.4.1 Nua nhóm liên tuc manh khơng gian Banach 10 1.4.2 Tốn tu sinh cna nua nhóm liên tuc manh .13 SE on đ%nh cua phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 2.2 Sn őn đ%nh theo Lyapunov cna phương trình vi phân không gian Hilbert 17 2.2.1 Các khái ni¾m ve őn đ%nh 17 2.2.2 Các đ%nh lý ve őn đ%nh theo Lyapunov 18 2.3 Sn őn đ%nh theo Lyapunov cna m®t so phương trình vi phân có dang đ¾c bi¾t khơng gian Hilbert 22 2.3.1 Các khái ni¾m ve J-őn đ%nh 22 2.3.2 Các đ%nh lý ve J-őn đ%nh theo Lyapunov .29 2.4 Phương pháp xây dnng hàm Lyapunov .38 2.5 Tốn tu tien hóa cna phương trình vi phân 42 2.6 Sn őn đ%nh cna phương trình vi phân theo phương pháp xap xi thú nhat 45 Phương trình tien hố đ¾t chinh tốn Éng dnng 49 3.1 Phương trình tien hố đ¾t chinh 49 3.2 Mơ hình chung cna toán dân so 52 3.3 Mơ hình cu the 55 Ket lu¾n 58 Lài nói đau Lý thuyet őn đ%nh m®t nhung b® ph¾n quan TRQNG lý thuyet đ%nh tính cna phương trình vi phân (LTDTCPTVP) M®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG đưoc nhieu ngưòi quan tâm cna LTDTCPTVP lý thuyet őn đ%nh theo Lyapunov (1857-1918) Dù trai qua thòi gian dài lý thuyet őn đ%nh van m®t nhung lĩnh vnc đưoc nhieu nhà tốn HQc quan tâm nghiên cúu thu đưoc nhieu thành tnu quan TRQNG Đong thòi lý thuyet őn đ%nh đưoc úng dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc: V¾t lý, Khoa HQc ky thu¾t cơng ngh¾, Sinh thái HQc, Đe nghiên cúu dáng đi¾u nghi¾m cna phương trình vi phân khơng gian Hilbert có the su dung nhieu phương pháp khác nhau, nhiên khuụn kh cna mđt luắn thac sy toỏn HQc, ban lu¾n văn chúng tơi se su dung hai phương pháp ban phương pháp Lyapunov phương pháp nua nhóm Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành ba chương: Chương 1: Kien thúc chuan b%: Trình bày m®t so kien thúc ban cna giai tích hàm nua nhóm tốn tu tuyen tính khơng gian Banach se su dung chương sau Chương 2: Trình bày khái n¾m ve sn őn đ%nh cna phương trình vi phân khơng gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov xap xi thú nhat Đong thịi thơng qua vi¾c xét lóp h¾ phương trình vi phân có dang đ¾c bi¾t (dang "tna tam giác") chúng tơi đưa khái ni¾m őn đ%nh tùng phan (J őn đ%nh) cho h¾ vơ han phương trình vi phân xác l¾p moi quan h¾ giua tính őn đ%nh theo Lyapunov J -őn đ%nh Ngoài ra, chương chúng tơi trình bày phương pháp xõy dnng hm Lyapunov cho mđt so hắ phng trỡnh vi phân tuyen tính dang đơn gian Chương 3: Trong chương chúng tơi trình bày m®t so kien thúc ban ve phương trình tien hóa đ¾t chinh su dung phương pháp nua nhóm tốn tu tuyen tính liên tuc manh khơng gian Banach đe nghiên cúu tốn úng dung mơ hình dân so phu thu®c tuői Tác gia xin bày to lịng cam ơn tói PGS TS Đ¾ng Đình Châu, ngưịi thay t¾n tình hưóng dan tác gia suot q trình hồn thành ban lu¾n văn Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám Hi¾u, Phịng Sau Đai HQc, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia suot q trình HQc t¾p tai trưịng Lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, han che Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q ban ĐQc Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Không gian Banach không gian Hilbert Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1.1 X không gian đ%nh chuan trưàng K, túc đoi vái mői x ∈ X có xác đ%nh m®t so khơng âm ||x||, GQI chuan cua x, thúa cỏc ieu kiắn sau: ã || x|| ≥ 0, • • ∀x ∈ X; || λx|| = |λ|||x||, ||x|| = ⇔ x = 0; ∀λ ∈ K, x ∈ X; || x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,∀x, y ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.2 Không gian X đưac GQI đay đu neu MQI dãy Cauchy X đeu dãy h®i tn (túc là, neu {xn }∞n=1 dãy Cauchy X ton tai x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞)) Đ%nh nghĩa 1.1.3 Neu khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (X, ||.||) khơng gian đay đu (X, ||.||) đưac GQI không gian Banach Đ%nh lý 1.1.1 (%nh lý Banach-Steinhaus) Mđt HQ b% chắn tựng iem cua phép tốn liên tnc tuyen tính tù khơng gian Banach X vào khơng gian đ%nh chuan b% ch¾n đeu Đ%nh lý cịn đưoc GQI ngun lý b% ch¾n đeu 1.1.2 Khơng gian Hilbert Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Khơng gian tien Hilbert) Khơng gian tuyen tính X xác đ%nh trưàng so thnc đưac GQI không gian tien Hilbert neu MQI x, y ∈ X, xác đ%nh m®t so (x, y) GQI tích vơ hưáng cua x y thóa mãn tiên đe • Xác đ%nh dương: (x, x) ≥ vái ∀x ∈ X Đang thúc xay chs x = • Đoi xúng: (x, y) = (y, x) vái ∀x, y ∈ X • Song tuyen tính: (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) vái ∀α, β ∈ R, X ∀x, y, z ∈ Đ%nh nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert khơng gian tien Hilbert đay đu 1.2 Tốn tE tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.2.1 (Tốn tu tuyen tính) Gia su X, Y khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, tốn tu A tác dnng tù khơng gian X vào khơng gian Y đưac GQI tuyen tính neu: ∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K (trong K trưàng so) M®t so tính chat cua toán tE A0 = A(−x) = −Ax A(tx) = tAx ∀t ∈ R A(αx + βy) = αAx + βAy Đ%nh nghĩa 1.2.2 Toán tu tuyen tính A đưac GQI liên tnc tai x0 ∈ X neu vái MQI dãy xn h®i tn đen x0 , ta đeu có Axn → Ax0 (n → ∞) Đ%nh lý 1.2.1 Neu tốn tu tuyen tính A liên tnc tai điem x0 ∈ X A liên tnc tai MQI điem x ∈ X Như v¾y đe kiem tra tính liên tuc cna tốn tu tuyen tính A (trong tồn khơng gian) ta chi can kiem tính liên tuc tai x = Đ%nh nghĩa 1.2.3 (Tốn tu tuyen tính giái n®i) Gia su X, Y khơng gian Banach Tốn tu A : X → Y đưac GQI toán tu tuyen tớnh giỏi nđi (b% chắn) neu A l toỏn tu tuyen tớnh v a MQI giỏi nđi vo giỏi nđi Xuyờn suot khoỏ luắn ny ta se kớ hi¾u L(X) khơng gian tốn tu tuyen tính giói n®i X Đ%nh lý 1.2.2 Tốn tu tuyen tính A liên tnc chs giái n®i Đ%nh lý 1.2.3 Gia su X, Y không gian Banach A : X → Y tốn tu tuyen tính Đieu ki¾n can đu đe tốn tu A giái n®i ton tai m®t so c > cho: ǁAxǁ ™ c ǁxǁ ∀x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.2.4 Gia su X, Y khơng gian Banach Chuan ǁAǁ cua tốn tu tuyen tính liên tnc A : X → Y đai lưang: ǁAǁ = sup ǁxǁ™1 1.3 ǁAxǁ = sup x=0 Pho cua tốn tE tuyen tính Gia su X khơng gian Banach ǁAxǁ ǁxǁ M¾nh đe 3.1.1 (xem [4], tr.145) Cho (A, D(A)) toán tu sinh cua nua nhóm liên tnc manh (T (t))t≥0 Khi vái MQI x ∈ D(A), hàm u : t ›→ T (t)x nghi¾m (cő đien) nhat cua toán (ACP ) Chúng minh De dàng suy tù m¾nh đe 1.4.4, ii Đ%nh nghĩa 3.1.2 Hàm u : R+ → X đưac GQI nghi¾m yeu (mild solution) ∫ cua toán (ACP ) t u(s)ds ∈ D(A) vái MQI t ≥ neu ∫t u(t) = A u(s)ds + x Đ%nh lý 3.1.1 (xem [4], tr.146) Cho (A, D(A)) toán tu sinh cua nua nhóm liên tnc manh (T (t))t≥0 Khi vái MQI x ∈ X , hàm u : t ›→ T (t)x nghi¾m yeu nhat cua toán (ACP ) Đ%nh lý 3.1.2 (xem [5], tr.112) Cho A : D(A) ⊂ X → X toán tu đóng Xét tốn Cauchy trùu tưang (ACP ) u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x Khi tính chat sau tương đương (i) A tốn tu sinh cua nua nhóm liên tnc manh (ii) Vái MQI x ∈ D(A), ton tai nhat nghi¾m u(., x) cua toán (ACP ) ρ(A) ƒ= ∅ (iii) Vái MQI x ∈ D(A), ton tai nhat nghi¾m u(., x) cua tốn (ACP ), A có mien xác đ%nh trù m¾t vái MQI dãy { xn } +∞ ⊂ D(A) : lim xn = ton tai n=1 nghi¾m u(t, xn) cho: lim u(t, xn) = đeu [0, n↓+∞ t0] Đ%nh nghĩa 3.1.3 (Bài tốn Cauchy đ¾t chsnh) Bài tốn Cauchy trùu tưang (ACP ) u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x, n↓+∞ vái tốn tu đóng A : D(A) ⊂ X → X đưac GQI đ¾t chsnh neu vái MQI x ∈ D(A), ton tai nghi¾m nhat u(t, x) cua (ACP ), A có mien xác đ%nh trù m¾t, đong thài vái MQI dãy {xn }∞n=0 ⊂ D(A) : lim n→ ∞ xn = 0, ta có lim u(t, xn) = đeu n→∞ mői khoang compact [0, t0] M¾nh đe 3.1.2 (xem [4]) Cho tốn tu đóng A : D(A) ⊂ X ›→ X , tốn (ACP ) đ¾t chsnh chs A toán tu sinh cua nua nhóm liên tnc manh X Trong trưàng hap nghi¾m cua tốn (ACP ) cho bái u(t) = T (t)x, t ≥ Tương tn, sau se xét tốn đ¾t chinh đeu cho phương trình vi phân tuyen tính khơng autonom x(t) = A(t)x 0≤t ≤ T, (3.1) Cùng vói phương trình o A(t) tốn tu tuyen tính (3.1) khơng giói n®i Gia su rang vói MQI xét phương t ∈ [0, T ] tốn tu A(t) có mien xác đ%nh D(A(t)) = D(A) mien đóng trù m¾t X Vói moi t0 ∈ [0, T ] se xét tốn Cauchy tìm nghi¾m x = x(t) cna (3.1) [t0 , T ] thoa mãn đieu ki¾n ban đau x(t0) = x0 ∈ D(A) (3.2) Chúng ta có khái ni¾m ve tốn Cauchy đ¾t chinh đeu sau: Đ%nh nghĩa 3.1.4 Bài tốn Cauchy (3.1)-(3.2) đưac GQI đ¾t chsnh đeu neu 1) Vái mői t0 ∈ [0, T ] mői x0 ∈ D(A) ton tai nhat nghi¾m x(t) cua (3.1) [t0, T ] thóa mãn phương trình (3.2) 2) Nghi¾m x(t) x˙ (t) cua đao hàm hàm liên tnc theo t ≤ t ≤ t t0 , ≤ T 3) Nghiắm phn thuđc liờn tnc v ieu kiắn ban đau theo nghĩa sau: neu x0,n ∈ D(A) hđi tn ve thỡ nghiắm xn(t) tng ỳng hđi tn đeu ve theo t, t0 ∈ [0, T ] trình vi phân có nhieu dang x + (3.3) B(t) A(t)B(t)A−1(t) giói n®i liên tuc manh vói t ∈ [0, T ] Trong ([6]) chúng minh đ%nh lý sau: Đ%nh lý 3.1.3 (xem [6], tr.198) Gia su toán Cauchy đoi vái phương trình (3.1) đ¾t chsnh đeu đieu ki¾n sau đưac thóa mãn: 1) ||A(0)A−1(s)|| ≤ M ≤ s ≤ t 2) B(t) A(t)B(t)A−1(t) giái n®i liên tnc manh vái t ∈ [0, T ] Khi tốn Cauchy đoi vái phương trình (3.3) đ¾t chsnh đeu 3.2 Mơ hình chung cua toán dân so Trong nhieu năm gan lý thuyet nua nhóm có rat nhieu úng dung lý thuyet đ%nh tính cna phương trình vi phân mơ hình úng dung (xem [5, 7]) Đe chi kha úng dung cna phương pháp xét mơ hình dân so phu thu®c vào tuői sau đây: Ký hi¾u L1 := L1([0, ∞); Rn) khơng gian Banach hàm kha tích Lebesgue hau khap nơi tù [0, ∞) vào Rn, vói chuan ||φ||L1 = ∫ ∞ |φ(a)|da, φ ∈ L1 Gia su T > LT := C([0, T ]; L1) không gian Banach hàm liên tuc tù [0, T ] vào L1 vói chuan: l LT = sup || 0≤t≤T ||l(t)||L1 , l ∈ LT || Gia su ≤ t ≤ T , a > 0, vói moi l ∈ LT se ký hi¾u l = l(a, t) so lưong cna cá the có tuői a tai thòi điem t Chú ý rang ([7]) chi rang moi phan tu cna LT ong nhat vúi mđt phan tu cna L1((0, ) ì [0, T ]; Rn) Ký hi¾u P (t) tőng so cá the cna quan the tai thòi điem t Ta có P (t) = ∫0 ∞ l(a, t)da Xét sn thay đői dân so khoang thòi gian [t, t + h] ta có P (t + h) − P (t) = h 1 Σ∫ ∞ l(a, t + h)da − ∫ ∞ l(a, t)daΣ h h = ∫ h ∫ h = l(a, t + h)da ∫ l(a, t + h)da + ∫−h ∞ l(a, t)da ∞ h h ∫h l(a, t + h)da∞+ h l(a + h, t + h) − l(a, t)da Cho h → 0+, đ¾t ∫ h F (l(a, t)) l(a, t + h)da, = h G(l(a, t)) = (l(a + h, t + h) − l(a, t)) h Ta có d P (t) = F (l(a, t)) + ∫ ∞ G(l(a, t))da, (3.4) d e hàm F toc đ®t sinh trưong (birth function) hàm G hàm lão hóa (aging function) Theo lu¾t cân bang dân so ta lai có ∫ ∞ |h−1[l(a + h, t + h) − l(a, t)] − G(l(a, t))|da = 0, 0≤t (3.5) lim ≤ T h→0+ theo lu¾t sinh trưong (birth law) ta có lim h→0+ h − |l(a, t + h) − F (l(a, t))|da = 0, t≤T (3.6) 0≤ ∫ h sn phân bo tuői mơ hình đưoc cho boi l(., 0) = φ Khi đó, ta có đ%nh nghĩa nghi¾m cna toán dân so (ADP) sau: Đ%nh nghĩa 3.2.1 Gia su T > l ∈ LT , GQI l nghi¾m cua tốn (ADP) [0, T ] neu l thóa mãn (3.4), (3.5), (3.6) Gia su toán tu vi phân D đưoc xác đ%nh boi Dl(a, t) = lim h→0+ h−1[l(a + h, t + h) − l(a, t)] Chú ý rang neu gia thiet l = l(a, t) kha vi liên tuc ta có Dl(a, t) = ∂l ∂l (a, t) (a, t) + ∂a ∂t Tù lý lu¾n ta thay rang nghi¾m l = l(a, t) cna tốn dân so có the đưoc xác đ%nh boi Dl(a, t) = G(l(a, t)),t ∈ [0, T ], a≥0 (3.7) l(0, t) = F (l(a, t)),t ∈ [0, T ] (3.8) Trong ([7]) G.F.Webb su dung phương pháp nua nhóm phi tuyen đe nghiên cúu tốn dân so Sau chúng tơi se trình bày tóm tat ket qua cna phương pháp sau: Gia su hàm sinh F hàm lão hóa G hàm liên tuc t¾p b% ch¾n khơng gian L1 thoa mãn đieu ki¾n Lipshitz, túc là: i) F : L1 → Rn thoa mãn đieu ki¾n: |F (φ1) − F (φ2)| ≤ c1(r)||φ1 − φ2||L1 , vói MQI φ1 , φ2 ∈ L1 , c1 : [0, ∞) → [0, ∞) hàm liên tuc không tăng ii) G : L1 → L1 thoa mãn đieu ki¾n: ||G(φ1) − G(φ2)|| ≤ c2(r)||φ1 − φ2||L1 , vói MQI φ1 , φ2 ∈ L1 , c2 : [0, ∞) → [0, ∞) hàm liên tuc không tăng Đe chi sn ton tai nhat nghi¾m cna h¾ (ADP) can su dung m¾nh đe sau: M¾nh đe 3.2.1 Gia su hàm F G thóa mãn đieu ki¾n i), ii) Vái T > φ ∈ L1 Khi neu l ∈ L1 nghi¾m cua (3.7)-(3.7) [0, T ] l nghi¾m cua tốn ADP [0, T ] Chúng minh xem trang 29 tài li¾u ([7]) M¾nh đe 3.2.2 Gia su hàm F G thóa mãn đieu ki¾n i), ii) trên, r > Khi ton tai T > cho neu φ ∈ L1 ||φ||L1 ≤ r ton tai nhat hàm l ∈ LT cho l nghi¾m cua (3.7)-(3.8) [0, T ] Chúng minh Xem trang 31 tài li¾u ([7]) Tù m¾nh đe ta có the chúng minh đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m cna tốn ADP sau Đ%nh lý 3.2.1 Gia su hàm F G thóa mãn đieu ki¾n i), ii) trên, φ ∈ L1 Khi ton tai T > l ∈ LT cho l nghi¾m nhat cua ADP [0, T ] Chúng minh Xem trang 39 tài li¾u ([7]) 3.3 Mơ hình cn the Trong phan tiep theo se xét m®t úng dung cna phương pháp nua nhóm tốn tu tuyen tính khơng gia Banach đe nghiên cúu mơ hình dân so phu thu®c vào tuői dang đơn gian (xem [5], tr.216) sau: ∂l (a, t) + (a, t) + µ(a)l(a, t) = ∂ ∂ ∫∞ vái l(0, t) = a β(a)l(a, t)da váia,t t≥≥0, t (APE) 0, ∂l l(a, 0) = l0 (a) vái a ≥ t a bien thnc không âm, l(., t) mô ta cau trúc tuői cna mđt hop cỏc cỏ the tai thũi iem t, l0 cau trúc tuői ban đau tai thòi điem t = 0, µ, β hàm dương, giói nđi, lan lot bieu th% ti lắ tu v ti l¾ sinh tương úng Trong ([5]) ngưịi ta chi rang neu không gian L1(R+) xét không gian X := W 1,1 (R+) (xem [5]), đong thịi X ta xét tốn tu tuyen tính A đóng, xác đ%nh trù m¾t sau: ∫ Al = −lj − µl, l ∈ D(A) := l ∈ W 1,1 (R+ ) : l(0) 0= ∞ β(a)l(a)da Σ tốn dân so (APE) tương đương vói tốn Cauchy trùu tưong sau: x˙ (t) = Ax(t) vái t ≥ (ACP ) 0, x(0) = l0, vói x(t) := l(., t) Theo ([5]) (A, D(A)) tốn tu sinh cna nua nhóm liên tuc manh (T (t))t≥0 (ACP) tốn Cauchy đ¾t chinh Trong trưịng hop nghi¾m nhat cna toán (APE) l(a, t) = (T (t)l0) (a) Chú ý rang mơ hình dân so (APE) xét trưòng hop đơn gian mà hàm G(l(a, t)) bieu thúc (3.7) lay G(l(a, t)) = −µ(a)l(a, t) Bây giị se xét mơ hình phúc tap G(l(a, t)) = −µ(a)l(a, t) + α(t)l(a, t) Khi tương úng vói tồn (APE) ta có tốn Cauchy có nhieu tương úng sau: (ACP (b)) u˙ (t) = Au(t) + α(t)u(t) vái t ≥ 0, u(0) = l0 u ∈ X, α(t) ∈ C1(R+) thoa mãn đieu ki¾n sau đây: ∫∞| α(t)|dt < +∞ Theo ([6]) (ACP(b)) ∫ tốn Cauchy đ¾t chinh Tương úng vói tốn ta có the xác đ%nh HQ tốn tu tien hóa (U (t, s))t≥s≥0 thoa mãn phương trình: U (t, s) = T (t − s) + t T (t − τ )α(τ )U (t, τ )dτ, t ≥ s ≥ Su dung bő đe Gronwall-Bellman bang phương pháp chúng minh tương tn đ%nh lý 2.6.2 ta se nh¾n đưoc ket qua sau: Đ%nh lý 3.3.1 Gia su (T (t))t≥0 (U (t, s))t≥s≥0 lan lưat C0 -nua nhóm hQ tốn tu tien hóa tương úng vái toán (ACP ) (ACP (b)) Khi ta có m¾nh đe sau: a) Neu (T (t))t≥0 C0-nua nhóm őn đ%nh mũ (U (t, s))t≥s≥0 őn đ%nh mũ, nghĩa ton tai hang so dương C, λ cho ||U (t, s)|| ≤ Cexp{−λ(t − s)} vái t ≥ s ≥ b) Neu (T (t))t≥0 C0-nua nhóm giái n®i đeu (U (t, s))t≥s≥0 giái n®i đeu, túc ||U (t, s)|| ≤ M vái t ≥ s ≥ Nhắn xột a) %nh lý trờn chi mđt búc tranh ve dáng đi¾u ti¾m c¾n cna tốn dân so phu thu®c tuői Cu the có tác đ®ng cna nhieu khơng q lón cau trúc dân so phân bo theo tuői khơng có sn thay đői đáng ke b) Bang cách su dung phương pháp nua nhóm có the xét thêm m®t so tốn tiep theo ve dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna phương trình tien hóa, chang han sn tương đương ti¾m c¾n, sn cân bang ti¾m c¾n ho¾c tốn ve phương trình vi phân tuyen tính có nhieu o dang phúc tap Ket lu¾n Trong lu¾n văn chúng tơi trình bày đưoc nhung n®i dung sau: Phương trình vi phân khơng gian Hilbert phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh theo Lyapunov: phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xap xi thú nhat phương pháp xây dnng hàm Lyapunov cho mđt so hắ phng trỡnh vi phõn dang n gian Phương trình tien hóa đ¾t chinh su dung phương pháp nua nhóm đe nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna mơ hình dân so phu thu®c tuői Tài li¾u tham khao [1]Pham Kỳ Anh - Tran Đúc Long, Giáo trình hàm thnc giai tích hàm , NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i (2001) [2]E.A.Barbasin, Má đau ve lý thuyet őn đ%nh (d%ch tù nguyên ban tieng Nga), NXB khoa HQc ky thu¾t (1967) [3]Ju.L,Daleckii and M.G.Krein, Stability of solutions of differential Equations in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974) [4]K.J Engel-R.Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer verlog NewYork(2000) [5]K.-J Engel and R Nagel (2005), A short course on operator Semigroups, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore [6]S G Krein (1971), Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904 [7]G.F.Webb, Theory of nonlinear age-dependent population dynamics, Pure and applied mathematics, a program of monographs, text books, and Lec- ture Notes (1982) [8]T.Yosizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Copyright by mathematical Sociery of japan (1966) ... (1.8) Chương SE on đ%nh cua phương trình vi phân khơng gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân khơng gian Hilbert Cho H không gian Hilbert Trong H ta xét phương trình vi phân: dx( = f (t, x(t)), t)... PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XAP XI THÚ NHAT ĐE NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ... han phương trình vi phân Dna so đó, có the xây dnng phương pháp cu the vi? ?c xây dnng phiem hàm Lyapunov cho h¾ vơ han phương trình vi phân Trong phan se su dung mđt so ket qua vi? ??c su dung hm Lyapunov
Ngày đăng: 24/12/2021, 21:11
Xem thêm:
