Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl p p khác 2

Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl p p khác 2 Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl p p khác 2 Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl p p khác 2 luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

Mơc lơc Trang phơ b×a Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Ch−¬ng 1.1 1.2 15 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển phơng trình vi phân elliptic 15 Bài toán biên cổ điển phơng trình parabolic 22 Chơng 2.1 Tổng quan Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic 30 Không gian hµm 30 2.1.1 Định nghĩa 30 2.1.2 TÝnh chÊt 31 2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) Rn 34 2.3 Bài toán biên nửa không gian Rn+ 40 2.4 Bài toán biên miền bị chặn 47 Ch−¬ng Bài toán biên không cổ điển phơng trình elliptic 62 3.1 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính 3.2 62 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyÕn tÝnh 82 Ch−¬ng Bài toán biên không cổ điển phơng trình parabolic 88 4.1 Không gian hàm 88 4.1.1 Định nghĩa 88 4.1.2 TÝnh chÊt 91 4.2 Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa trụ vô hạn 4.3 96 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic tuyến tính nửa trụ vô hạn 102 4.4 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính nửa trụ vô hạn 114 KÕt qu¶ bàn luận 122 Kết nghiên cứu bàn luËn 122 KÕt luËn 124 Kiến nghị nghiên cøu tiÕp theo 125 Danh môc công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham khảo 127 Danh mơc c¸c ký hiệu chữ viết tắt N = {1, 2, } : tËp sè tù nhiªn, Z : tËp sè nguyªn, Z+ = {m ∈ Z | m 0} : tập số nguyên không âm Zn+ = {α = (α1 , α2 , , αn ) | αj ∈ Z, αj ≥ 0, j = 1, 2, , n} : tập đa số với Zn+ ký hiÖu |α| = n αj j=1 R : tập số thực, C : tập số phức Đơn vị ảo = i Với z C ký hiệu z phần ảo, z phần thực Với p R, < p < +, số p số đối ngẫu p, nghĩa 1p + p1 = Với a R, ký hiệu [a] số nguyên lớn không lớn h¬n a Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | xj ∈ R, j = 1, 2, , n} lµ kh«ng gian thùc n n−chiỊu víi chn Euclid ||x|| = x2j j=1 tích vô hớng x, y = n xj y j j=1 Rn+ = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn > 0}, ¯ n = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} R + ¯ n ) ký hiÖu x = (x1 , , xn−1 ) Víi x ∈ Rn (hay R + Nếu đặc biệt, ký hiệu tập mở Rn Với k Z+ ký hiƯu c¸c tËp nh− sau: C k (Ω) = {u : C u khả vi liên tục ®Õn cÊp k}, liªn tơc C(Ω) = C (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω) supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), C k,1 (Ω) = {u ∈ C k () đạo hàm riêng cấp k u lµ hµm Lipschitz}, k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), ¯ n ) = {u : R ¯ n → C cã hµm lu ∈ C ∞(Rn ) mµ lu|R¯ n = u}, C0∞(R + + + ®ã, supp u = cl{x ∈ Ω u(x) = 0} Với số thực p < , ký hiƯu ®® |u(x)|p < +∞}, −→ C Lp (Ω) = {u : Lebesgue không gian hàm khả tích cấp p với chuẩn |u(x)|p p , ||u||Lp(Ω) = Ω víi p = ∞, ký hiƯu ®® −→ C ess sup |u(x)| < +∞}, L∞ () = {u : Lebesgue x không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi với chuẩn ||u||L∞(Ω) = ess sup |u(x)|, x∈Ω ®ã, ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > m{x ∈ Ω |u(x)| > M } = 0} Với p , s ký hiệu không gian Sobolev Ws,p (Ω) Víi s ∈ Z+ , kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) D αu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ s} víi chuÈn ||D αu||pLp (Ω) p , p < ∞, ||u||Ws,p(Ω) = |α|≤s ||u||Ws,∞(Ω) = max ||D αu||L∞ (Ω) , p = ∞, |α|≤s ∂ i ∂xj Víi s ∈ Z+ , không gian Sobolev Ws,p () đợc định nghĩa phép néi suy ®ã, D α = D1α1 Dnαn , Dj = Khi p = 2, ®Ĩ đơn giản ta ký hiệu Hs () = Ws,2 () PhÐp biÕn ®ỉi Fourier Rn n Fn u(ξ) = (2π)− e−i x,ξ u(x)dx Rn PhÐp biÕn ®ỉi Laplace +∞ Lu(q) = (2π)− e−qt u(t)dt, q ∈ C, q ≥ 0 To¸n tư GVP: to¸n tư giả vi phân Mở đầu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đợc nghiên cứu công trình Euler, d'Alembert, Lagrange Laplace nh công cụ để mô tả học nh mô hình giải tích vật lý Cho đến giờ, mô hình giải tích vật lý yếu tố phát triển Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Vào kỷ 19, đặc biệt với công trình Riemann, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đà chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kû 19, H Poincare ®· chØ mèi quan hƯ biện chứng Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng ngành toán học khác Sang kỷ 20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm Đặc biệt Lý thuyết hàm suy rộng đợc xây dựng S L Sobolev, L Schwartz đợc kết hợp với Giải tích Fourier nhiều toán đà đợc giải Chẳng hạn toán biên elliptic tuyến tính đợc giải trọn vẹn (có thể xem công trình M S Agranovich [3] tài liệu tham khảo đó) Bằng lý thuyết nửa nhóm kết từ toán tử elliptic, số lớp toán parabolic, đợc gọi phơng trình tiến hóa, đà đợc nghiên cứu E Hille, K Yosida, F E Browder, H Brezis, J L Lions, E Magnes, E B Davies, v.v Bài toán hyperbolic đà có đợc kết đẹp qua công trình I G Petrovski, J Leray, L Garding, v.v Theo L Hormander (xem [26]), công trình toán tử hyperbolic I G Petrovski nh điều dự báo đời Lý thuyết toán tử Giả vi phân, công cụ hữu hiệu để nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không tuyến tính mà với phi tuyến Lý thuyết toán tử GVP phát triển Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poisson hay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, đợc nghiên cứu từ lâu nhiều tác giả nh Poisson, D Hilbert, v.v., nhng có lẽ phải đến công trình A P Calderon, A Zygmund, S G Mikhlin sau học trò A Zygmund nh E Stein, bắt đầu trở thành công cụ thực việc nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục đợc J J Kohn, L Nirenberg, L Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP Một kết đẹp dựa phần Lý thuyết toán tử GVP Định lý vỊ chØ sè Atiyah- Singer, sù giao thoa gi÷a nhiỊu ngành toán học Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình họcĐại số Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F Treves, L Nirenberg([32], [33]) đà giải trọn vẹn toán tính giải đợc địa phơng cho toán tử vi phân kiểu (chú ý nói chung giải đợc toàn cục, chẳng hạn phơng trình elliptic ngời ta giải đợc cách địa phơng) Cùng với nhiều công trình trớc ®ã cña L Hormander[26], Yu V Egorov[18], R Beals, C Fefferman[5], N Lerner[28], v.v., gần N Dencker ([12], [13], [14]) giải trọn vẹn toán tính giải đợc địa phơng cho toán tử GVP kiểu Một kết lý thú khác tính subelliptic, tính chất nằm elliptic hyperbolic, Yu V Egorov đà đa đợc điều kiện cần đủ để toán tử GVP subelliptic Kết đợc bắt nguồn từ công trình viết chung với V A Kondratiev toán đạo hàm nghiêng Khi khảo sát vài lớp toán đạo hàm nghiêng cụ thể cách chuyển thành toán tử GVP với nghiên cứu kết trớc L Hormander, Yu V Egorov đà tìm đợc phép biến đổi tắc, từ đến điều kiện cần đủ để toán tử GVP subelliptic Bài toán đạo hàm nghiêng, nghĩa toán biên cho phơng trình vi phân cấp 2, chẳng hạn phơng trình Laplace u = f , với điều kiện biên đạo u hàm nghiêng = g miền bị chặn kh«ng gian cã sè chiỊu ∂ν ∂Ω kh«ng nhá 3, với biên trơn , theo Yu V Egorov, V A Kondratiev đợc đặt H Poincare Tuy nhiên, trớc năm 1963, toán không tiếp xúc đạo hàm nghiêng đợc xét trờng véc-tơ D = 10 với biên Phải đến công trình [6] A V Bisadze, năm 1963, toán đạo hàm nghiêng đợc xét trờng véc-tơ D tiÕp xóc víi biªn, thĨ A V Bisadze xÐt toán biên cho phơng trình Laplace hình cầu B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 ≤ 1} kh«ng gian chiều với điều kiện biên mặt cầu S = {(x1, x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1} (x1 − a) ∂u ∂u ∂u + x2 + x3 = g, ∂x1 x2 x3 a R số ∂ ∂ ∂ tiÕp xóc víi biªn , x2 , x3 x1 x2 x3 a2 đờng trßn c = {(x1, x2 , x3 ) ∈ S | x1 = , x22 + x23 = } trªn mặt a a2 cầu S Để thuận tiện cho việc phát biểu sau này, gọi toán đạo Khi |a| > 1, trờng véc-tơ (x1 a) hàm nghiêng mà trờng véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên toán đạo hàm nghiêng không cổ điển phân biệt với toán đạo hàm nghiêng đợc trớc năm 1963 Việc nghiên cứu toán đạo hàm nghiêng không cổ điển gặp nhiều khó khăn Một khó khăn loại toán đạo hàm nghiêng không cổ điển không thỏa mÃn Điều kiện Shapiro- Lopatinski nh toán biên Dirichlet, Neuman hay toán đạo hàm nghiêng cổ điển Chúng xin đợc gọi toán biên không thỏa mÃn Điều kiện Shapiro- Lopatinski toán biên không cổ điển ®Ĩ ph©n biƯt víi b t, u) → N m j=1 uj + f (x, t) liên tục theo u với hầu hết (x, t), đo đợc theo (x, t) với u, ánh xạ (x, t, uj ) → gj (x, t) lµ hµm h»ng theo uj víi hầu hết (x, t), đo đợc theo (x, t) với mäi uj , víi u ∈ P ,p (λ, µ, Ω × (0, +∞)) cã víi |α| ≤ (2s − 1) (D u)m P 2s+1,p (, à, ì (0, +)), ||(D u)m ||P 2s+1,p(,à,ì(0,+)) C||u||m P ,p(,à,ì(0,+)), (4.33) nên ánh xạ u(x, t) ( ||2s1(D α u)m (x, t) + f (x, t), g1 (x, t), , gs (x, t)) tõ P ,p (, à, ì(0, +)) vào P +1,p (, à, ì(0, +), ì(0, +)) liên tục, 120 mà phép nhúng P +1,p (, à, ì (0, +), × (0, +∞)) vµo P ,p (λ, µ, Ω × (0, +), ì (0, +)) compact, ¸nh x¹ u(x, t) → ( |α|≤2s−1(D α u)m (x, t) + f (x, t), g1 (x, t), , gs (x, t)) tõ P ,p (λ, µ, ì (0, +)) vào P ,p (, à, × (0, +∞), ∂Ω × (0, +∞)) lµ compact, víi u P ,p (, à, ì (0, +)) theo bất đẳng thức (4.33) ( lim lim ||(D u)m ||P 2s,p(,à,ì(0,+)) M M ||2s1 + ||(f, g)||P ,p(,à,ì(0,+),ì(0,+))) lim lim CM m1 M ||2s1 ||(D u)m ||P 2s,p(,à,ì(0,+)) ||(D u)m ||P 2s+1,p(,à,ì(0,+)) ||(f, g)||P +1,p(,à,ì(0,+),ì(0,+)) M M + lim lim =0, (M = ||u||P ,p(,à,ì(0,+))) Nh vậy, vế phải toán biên (4.29)(4.32) thuộc lớp I, thỏa mÃn điều kiện Định lý trªn, nªn cã nghiƯm u ∈ P ,p (λ, à, ì(0, +)) Có thể xét ví dụ cụ thÓ Ω = B = {x ∈ Rn | x21 + 2kj n j=2 xj < 1} 2kj n j=2 xj víi biªn ∂Ω = S = {s ∈ Rn | x21 + = 1}, trờng vec-tơ x2 xn ν(x) = x1 − a, , , , a > 1, vµ Γ0 = {x ∈ S| x1 = } thuéc líp I k2 kn a Bài toán toán đợc xét với = 2s, mj = (j − 1), ∂ ∂ j−1 k ∂ ∂ ∂ k A(x, Dx , ) = + (−∆x )s , Bj (x, Dx , ) = , Dn = , ∂t ∂t ∂t ∂η ∂η (−1) −1 n −1 ®ã η(x) = (x1 , k2 x2k , , kn x2k ) lµ tr−êng n 4k −2 1/2 x21 + n j j=2 kj xj vec-tơ pháp tuyến trong, đơn vị S Víi tr−êng hỵp Γ0 thc líp III ta cịng có ví dụ cách tơng ứng Phần phi tuyến ví dụ khác so với phần phi tuyến, số mũ m, [21] (dới tuyến tính), [23] (trên tới hạn (supercritical)) 121 Kết bàn luận Kết nghiên cứu bàn luận Trong luận án này, đà giải đợc vấn đề sau Bằng việc sử dụng không gian Sobolev H ,p,q (Ω), < p < ∞ víi chuÈn phô thuéc tham sè phøc q, cïng mét sè kỹ thuật toán tử GVP không gian Lp , < p < , không gian mà, nói chung, phép biến đổi Fourier không đẳng cấu p = 2, đà thu đợc kết Định tồn nghiệm cho toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính |q| đủ lớn Từ đó, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính So với không gian Sobolev, để dễ diễn đạt ta lấy Z+ , Ω = R n , W ,p (Rn ) = {u ∈ Lp (Rn ) | D αu ∈ Lp (Rn ), ∀|α| ≤ }, víi < p ≤ cã mèi quan hÖ sau: W ,p (Rn ) → H ,p (Rn), H ,p (Rn) → W ,p (Rn ) Khi p = 2, cã W ,2 (Rn ) = H ,2 (Rn ) Khi p = 2, phép nhúng thực sự, nghĩa lµ tËp thùc sù Ngoµi ra, W ,p (Rn ) ta lÊy vÕt 1 xn = độ trơn giảm , H ,p (Rn ) giảm = p p p n §Ĩ cã phÐp nhóng W ,p (Rn ) → C(Rn ) cÇn > , p n n cã phÐp nhóng H ,p (Rn ) → C(Rn ) cÇn > = n − p p Víi viƯc ®−a mét líp kh«ng gian kiĨu Sobolev víi chn phơ thuéc tham sè Π ,p,q (Ω), < p < , thích hợp, việc dùng phân loại thành ba lớp 122 I, II, III phân hoạch đơn vị ®Ỉc biƯt cđa Egorov, Kondratiev, |q| ®đ lín, chóng thu đợc kết Định tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính thc líp I, III Cßn Γ0 thc líp II, |q| đủ lớn có kết Định lý nghiệm Bằng kỹ thuật tun tÝnh hãa cịng nh− mét sè kÕt qu¶ Giải tích phi tuyến, chẳng hạn Định lý Nemytski cho ¸nh x¹ phi tuyÕn d¹ng u(.) → f (., u(.)) Định lý điểm bất động Schauder, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nưa tun tÝnh Γ0 thc líp I, III Xây dựng lớp không gian P ,p (, µ, Ω × (0, +∞)), E ,p(λ, µ, Ω) thÝch hợp cho toán biên biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, cho phép biến đổi Laplace đẳng cấu lớp không gian P ,p (, à, ì (0, +)) E ,p (, à, ) Dùng kết Chơng trớc, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parablic tuyến tính Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng tr×nh GVP parabolic nưa tun tÝnh, Γ0 thc líp I, III Các kết trình bày luận án mới, đóng góp thực vào phát triển Lý thuyết toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, parabolic tuyến tính nửa tuyến tính Trong trờng hợp đa tạp gồm hai thành phần liên thông 01 thuộc lớp I, 03 thuộc lớp III, kết có đợc không gian đợc thay đổi thích hợp, điều kiện biên đợc đa vào cách tơng thích Chú ý không gian ,p,q (), P ,p (, µ, Ω × (0, +∞)) vµ E ,p (λ, µ, ) lần lợt chứa không gian H +1,p,q (), P +1,p(, à, ì (0, +)) E +1,p (, à, ) nên chúng không tầm thờng khác so với không gian Sobolev trớc 123 ... l? ?p không gian P ,p (, à, ì (0, +)), E ,p( , à, ) thích h? ?p cho toán biên biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, cho ph? ?p biến đổi Laplace... tính thuộc l? ?p I, III Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic ã Xây dựng l? ?p không gian P ,p (, à, ), E ,p (, à, ) ã Chứng minh hai l? ?p không gian P ,p (λ, µ, Ω∞ ), E ,p (λ, µ, )... không gian Sobolev H ,p, q (Ω), < p < ∞ víi chn phơ thc tham sè phøc q, cïng mét số kỹ thuật toán tử GVP không gian Lp , < p < , không gian mà, nói chung, ph? ?p biến đổi Fourier không đẳng cấu p = 2,