Bài toán biên giả vi phân trong không gian hl p p khác 2

Mơc lơc Trang phơ b×a Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Ch−¬ng 1.1 1.2 15 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển phơng trình vi phân elliptic 15 Bài toán biên cổ điển phơng trình parabolic 22 Chơng 2.1 Tổng quan Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic 30 Không gian hµm 30 2.1.1 Định nghĩa 30 2.1.2 TÝnh chÊt 31 2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) Rn 34 2.3 Bài toán biên nửa không gian Rn+ 40 2.4 Bài toán biên miền bị chặn 47 Ch−¬ng Bài toán biên không cổ điển phơng trình elliptic 62 3.1 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính 3.2 62 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyÕn tÝnh 82 Ch−¬ng Bài toán biên không cổ điển phơng trình parabolic 88 4.1 Không gian hàm 88 4.1.1 Định nghĩa 88 4.1.2 TÝnh chÊt 91 4.2 Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa trụ vô hạn 4.3 96 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic tuyến tính nửa trụ vô hạn 102 4.4 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính nửa trụ vô hạn 114 KÕt qu¶ bàn luận 122 Kết nghiên cứu bàn luËn 122 KÕt luËn 124 Kiến nghị nghiên cøu tiÕp theo 125 Danh môc công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham khảo 127 Danh mơc c¸c ký hiệu chữ viết tắt N = {1, 2, } : tËp sè tù nhiªn, Z : tËp sè nguyªn, Z+ = {m ∈ Z | m 0} : tập số nguyên không âm Zn+ = {α = (α1 , α2 , , αn ) | αj ∈ Z, αj ≥ 0, j = 1, 2, , n} : tập đa số với Zn+ ký hiÖu |α| = n αj j=1 R : tập số thực, C : tập số phức Đơn vị ảo = i Với z C ký hiệu z phần ảo, z phần thực Với p R, < p < +, số p số đối ngẫu p, nghĩa 1p + p1 = Với a R, ký hiệu [a] số nguyên lớn không lớn h¬n a Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | xj ∈ R, j = 1, 2, , n} lµ kh«ng gian thùc n n−chiỊu víi chn Euclid ||x|| = x2j j=1 tích vô hớng x, y = n xj y j j=1 Rn+ = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn > 0}, ¯ n = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} R + ¯ n ) ký hiÖu x = (x1 , , xn−1 ) Víi x ∈ Rn (hay R + Nếu đặc biệt, ký hiệu tập mở Rn Với k Z+ ký hiƯu c¸c tËp nh− sau: C k (Ω) = {u : C u khả vi liên tục ®Õn cÊp k}, liªn tơc C(Ω) = C (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω) supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), C k,1 (Ω) = {u ∈ C k () đạo hàm riêng cấp k u lµ hµm Lipschitz}, k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), ¯ n ) = {u : R ¯ n → C cã hµm lu ∈ C ∞(Rn ) mµ lu|R¯ n = u}, C0∞(R + + + ®ã, supp u = cl{x ∈ Ω u(x) = 0} Với số thực p < , ký hiƯu ®® |u(x)|p < +∞}, −→ C Lp (Ω) = {u : Lebesgue không gian hàm khả tích cấp p với chuẩn |u(x)|p p , ||u||Lp(Ω) = Ω víi p = ∞, ký hiƯu ®® −→ C ess sup |u(x)| < +∞}, L∞ () = {u : Lebesgue x không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi với chuẩn ||u||L∞(Ω) = ess sup |u(x)|, x∈Ω ®ã, ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > m{x ∈ Ω |u(x)| > M } = 0} Với p , s ký hiệu không gian Sobolev Ws,p (Ω) Víi s ∈ Z+ , kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) D αu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ s} víi chuÈn ||D αu||pLp (Ω) p , p < ∞, ||u||Ws,p(Ω) = |α|≤s ||u||Ws,∞(Ω) = max ||D αu||L∞ (Ω) , p = ∞, |α|≤s ∂ i ∂xj Víi s ∈ Z+ , không gian Sobolev Ws,p () đợc định nghĩa phép néi suy ®ã, D α = D1α1 Dnαn , Dj = Khi p = 2, ®Ĩ đơn giản ta ký hiệu Hs () = Ws,2 () PhÐp biÕn ®ỉi Fourier Rn n Fn u(ξ) = (2π)− e−i x,ξ u(x)dx Rn PhÐp biÕn ®ỉi Laplace +∞ Lu(q) = (2π)− e−qt u(t)dt, q ∈ C, q ≥ 0 To¸n tư GVP: to¸n tư giả vi phân Mở đầu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đợc nghiên cứu công trình Euler, d'Alembert, Lagrange Laplace nh công cụ để mô tả học nh mô hình giải tích vật lý Cho đến giờ, mô hình giải tích vật lý yếu tố phát triển Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Vào kỷ 19, đặc biệt với công trình Riemann, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đà chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kû 19, H Poincare ®· chØ mèi quan hƯ biện chứng Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng ngành toán học khác Sang kỷ 20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm Đặc biệt Lý thuyết hàm suy rộng đợc xây dựng S L Sobolev, L Schwartz đợc kết hợp với Giải tích Fourier nhiều toán đà đợc giải Chẳng hạn toán biên elliptic tuyến tính đợc giải trọn vẹn (có thể xem công trình M S Agranovich [3] tài liệu tham khảo đó) Bằng lý thuyết nửa nhóm kết từ toán tử elliptic, số lớp toán parabolic, đợc gọi phơng trình tiến hóa, đà đợc nghiên cứu E Hille, K Yosida, F E Browder, H Brezis, J L Lions, E Magnes, E B Davies, v.v Bài toán hyperbolic đà có đợc kết đẹp qua công trình I G Petrovski, J Leray, L Garding, v.v Theo L Hormander (xem [26]), công trình toán tử hyperbolic I G Petrovski nh điều dự báo đời Lý thuyết toán tử Giả vi phân, công cụ hữu hiệu để nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không tuyến tính mà với phi tuyến Lý thuyết toán tử GVP phát triển Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poisson hay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, đợc nghiên cứu từ lâu nhiều tác giả nh Poisson, D Hilbert, v.v., nhng có lẽ phải đến công trình A P Calderon, A Zygmund, S G Mikhlin sau học trò A Zygmund nh E Stein, bắt đầu trở thành công cụ thực việc nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục đợc J J Kohn, L Nirenberg, L Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP Một kết đẹp dựa phần Lý thuyết toán tử GVP Định lý vỊ chØ sè Atiyah- Singer, sù giao thoa gi÷a nhiỊu ngành toán học Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình họcĐại số Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F Treves, L Nirenberg([32], [33]) đà giải trọn vẹn toán tính giải đợc địa phơng cho toán tử vi phân kiểu (chú ý nói chung giải đợc toàn cục, chẳng hạn phơng trình elliptic ngời ta giải đợc cách địa phơng) Cùng với nhiều công trình trớc ®ã cña L Hormander[26], Yu V Egorov[18], R Beals, C Fefferman[5], N Lerner[28], v.v., gần N Dencker ([12], [13], [14]) giải trọn vẹn toán tính giải đợc địa phơng cho toán tử GVP kiểu Một kết lý thú khác tính subelliptic, tính chất nằm elliptic hyperbolic, Yu V Egorov đà đa đợc điều kiện cần đủ để toán tử GVP subelliptic Kết đợc bắt nguồn từ công trình viết chung với V A Kondratiev toán đạo hàm nghiêng Khi khảo sát vài lớp toán đạo hàm nghiêng cụ thể cách chuyển thành toán tử GVP với nghiên cứu kết trớc L Hormander, Yu V Egorov đà tìm đợc phép biến đổi tắc, từ đến điều kiện cần đủ để toán tử GVP subelliptic Bài toán đạo hàm nghiêng, nghĩa toán biên cho phơng trình vi phân cấp 2, chẳng hạn phơng trình Laplace u = f , với điều kiện biên đạo u hàm nghiêng = g miền bị chặn kh«ng gian cã sè chiỊu ∂ν ∂Ω kh«ng nhá 3, với biên trơn , theo Yu V Egorov, V A Kondratiev đợc đặt H Poincare Tuy nhiên, trớc năm 1963, toán không tiếp xúc đạo hàm nghiêng đợc xét trờng véc-tơ D = 10 với biên Phải đến công trình [6] A V Bisadze, năm 1963, toán đạo hàm nghiêng đợc xét trờng véc-tơ D tiÕp xóc víi biªn, thĨ A V Bisadze xÐt toán biên cho phơng trình Laplace hình cầu B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 ≤ 1} kh«ng gian chiều với điều kiện biên mặt cầu S = {(x1, x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1} (x1 − a) ∂u ∂u ∂u + x2 + x3 = g, ∂x1 x2 x3 a R số ∂ ∂ ∂ tiÕp xóc víi biªn , x2 , x3 x1 x2 x3 a2 đờng trßn c = {(x1, x2 , x3 ) ∈ S | x1 = , x22 + x23 = } trªn mặt a a2 cầu S Để thuận tiện cho việc phát biểu sau này, gọi toán đạo Khi |a| > 1, trờng véc-tơ (x1 a) hàm nghiêng mà trờng véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên toán đạo hàm nghiêng không cổ điển phân biệt với toán đạo hàm nghiêng đợc trớc năm 1963 Việc nghiên cứu toán đạo hàm nghiêng không cổ điển gặp nhiều khó khăn Một khó khăn loại toán đạo hàm nghiêng không cổ điển không thỏa mÃn Điều kiện Shapiro- Lopatinski nh toán biên Dirichlet, Neuman hay toán đạo hàm nghiêng cổ điển Chúng xin đợc gọi toán biên không thỏa mÃn Điều kiện Shapiro- Lopatinski toán biên không cổ điển để phân biệt với toán biên thỏa mÃn Điều kiện Shapiro- Lopatinski Sau công trình [6], A V Bisadze nhiều tác giả khác nh R Borrelli, L Hormander, Yu V Egorov, V A Kondratiev, M B Malyutov, V G Mazya, Nguyễn Minh Chơng, Lê Quang Trung, v.v , có kết lý thú toán đạo hàm nghiêng không cổ điển Một kết lý thú công trình [17] Yu V Egorov- V A Kondratiev Trong công trình [17], Yu V Egorov- V A Kondratiev đà giải trọn vẹn toán đạo hàm nghiêng không cổ điển, cụ thể toán biên cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp miền bị chặn không gian với số chiều lớn 2, với điều kiện biên đạo hàm nghiêng D u = g biên trơn , trờng véc-tơ D tiếp 11 xúc với biên điểm thuộc đa tạp trơn (n 2) chiều biên Để giải toán này, tác giả đà phân thành ba loại, tùy theo hình dáng trờng véc-tơ D , tập trung vào nghiên cứu toán xung quanh cách sử dụng phân hoạch đơn vị đặc biệt Gần đây, tác giả A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza, công trình [30], L Softova [36], [37] đà giải đợc toán đạo hàm nghiêng không cổ điển trờng véc-tơ D tiếp xúc với biên tập biên Bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển đợc nghiên cứu theo nhiều cách cho nhiều loại phơng trình khác nhau, [17], Yu V Egorov, V A Kondratiev nghiên cứu toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân elliptic tuyến tính cấp 2, [19] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu toán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phơng trình vi phân parabolic tuyến tính cấp 2, [20] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu toán biên không cổ điển không gian Sobolev cấp biến thiên, [39] Lê Quang Trung nghiên cứu toán biên không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic cấp cao, [21] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu toán biên không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấp cao Đợc gợi ý Giáo s Nguyễn Minh Chơng, tác giả nghiên cứu toán biên không cổ điển cho phơng trình GVP cÊp cao kh«ng gian kiĨu Sobolev H ,p , < p < Luận án bao gồm kết mà tác giả đà đạt đợc toán biên cổ điển không cổ điển cho phơng trình GVP elliptic, parabolic cấp cao tuyến tÝnh, nưa tun tÝnh kh«ng gian H ,p , < p < Luận án đợc chia thành ch−¬ng chÝnh nh− sau Ch−¬ng Tỉng quan Ch−¬ng Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic Chơng Bài toán biên không cổ điển phơng trình elliptic Chơng Bài toán biên không cổ điển phơng trình parabolic 12 Trong Chơng 1, trình bày tổng quan kết cho toán biên không cổ điển phơng trình elliptic toán biên cổ điển phơng trình parabolic Về toán biên không cổ điển phơng trình elliptic, kết đa đợc lấy từ báo [17] tác giả Yu V Egorov, V A Kondratiev kết gần báo [30] tác giả A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza Ngoài ra, điểm qua kết mà đợc biết Về toán biên cổ điển phơng trình parabolic, kết đa đợc lấy từ báo [4] tác giả M S Agranovich, M I Vishik điểm qua kết mà đợc biết, chẳng hạn kết gần L Softova ([36]) Trong Chơng 2, trình bày kết toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính nửa tuyến tính không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối với toán biên elliptic tuyến tính, tính giải đợc đà đợc giải trọn vẹn từ năm 60 kỷ 20 Tuy nhiên, điểm đáng ý thứ để toán giải đợc vế phải cần phải thỏa mÃn số hữu hạn điều kiện (nghĩa toán tử ứng với toán biên không toàn ánh), thứ hai toán giải đợc số nghiệm toán nhiều (nghĩa toán tử ứng với toán biên không đơn ánh) Khi đó, việc sử dụng phơng pháp tuyến tính hóa để giải toán nửa tuyến tính gặp nhiều trở ngại Chúng đà sử dụng phơng pháp tham biến lớn để giải trở ngại này, cụ thể không gian Sobolev với chuẩn phụ thc tham biÕn phøc q, |q| ®đ lín víi vế phải nằm không gian Sobolev thích hợp toán cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính có nghiệm Từ đó, phơng pháp tuyến tính hóa có kết Định lý tồn nghiệm cho toán nửa tuyến tính Trong Chơng 3, trình bày kết toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính nửa tuyến tính 13 kh«ng gian kiĨu Sobolev víi chn phơ thc tham số Đối với toán biên không cổ điển, toán biên không thỏa mÃn Điều kiện Shapiro- Lopatinski kiểu Egorov- Kondratiev, ta có đánh giá subelliptic mà có đánh giá kiểu elliptic, nghĩa đánh giá có dạng sau ||u|| ,p, C(||Uu|| +,p,, + ||u||0,p,) đó, U toán tử ứng với toán biên, < Nếu U toán tử ứng với toán biên elliptic ta có đánh giá với = Do vậy, để nghiên cứu toán biên không cổ điển xây dùng mét líp kh«ng gian míi kiĨu Sobolev víi chn phơ thc tham biÕn Víi líp kh«ng gian kiĨu Sobolev đà có đợc kết Định lý tồn nghiệm cho số lớp toán biên không cổ điển tuyến tính Từ đó, có kết Định lý tồn nghiệm cho toán nửa tuyến tính Trong Chơng 4, trình bày kết toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic tuyến tính nửa tuyến tính kh«ng gian kiĨu Sobolev víi chn phơ thc tham số Có nhiều cách để tiếp cận toán biên parabolic Thông thờng, ta tiếp cận toán biên parabolic từ toán biên elliptic tơng ứng cách thích hợp Chẳng hạn, u phơng pháp nửa nhóm ta chuyển toán biên parabolic dạng = Au, t A toán tử elliptic, việc nghiên cứu nửa nhóm sinh toán tử elliptic A Để nghiên cứu nửa nhóm ngời ta nghiên cứu toán tử elliptic A Trong luận án này, dùng phơng pháp sử dụng phép biến đổi Laplace để đa toán biên không cổ điển parabolic toán biên không cổ điển elliptic Từ việc nghiên cứu toán biên cổ điển không cổ điển cho phơng trình elliptic Chơng trớc, thu đợc kết cho toán biên không cổ điển parabolic tuyến tính nửa tuyến tính Phép biến đổi Laplace từ lâu đà chứng tỏ công cụ hữu hiệu để giải toán parabolic Kết Chơng chứng tỏ hiệu phép biến đổi Laplace việc nghiên cứu toán parabolic 14 Theo gi¶ thiÕt (iii) cã > C > lim inf lim sup (A, Bj )−1 M →+∞ (f, gj ) M,à , à+ nên tồn số M0 > (1 − C)−1 U−1 s−1 k=0 u0,k P cho ,p −k−1+ p ∀µ > µ0 , ∀w ∈ P ,p (, à, ì (0, +)), w P (,à,0ì(0,+)) ,p (,à,ì(0,+)) 1>C , à0 > 0, M0 : ||(A, Bj )−1 || M0 ×|| f (x, t, w(x, t)), gj (x, t, w j (x, t)) ||P ,p(,à,ì(0,+),ì(0,+)) nên từ (4.25) có s1 k=0 M0 > (1 − C)−1 (A, Bj )−1 u0,k P −k−1+ p ,p ∀µ > µ0 , ∀w ∈ P ,p (, à, ì (0, +)), w P ,p (,à,ì(0,+)) (,à,0ì(0,+)) , à0 > 0, M0 : ||u||P ,p (,à,ì(0,+)) CM0+ s1 + ||(A, Bj ) || ||u0k ||P k1+ ,p (,à,0ì(0,+)) p k=0 (4.26) ≤ M0 Theo Bỉ ®Ị 4.4.1 compact w ∈ P ,p (, à, ì (0, +)) (f, gj ) compact P ,p (, à, ì(0, +), ì(0, +)) liên tục u P ,p (, à, ì (0, +)) nghĩa ánh xạ w u ánh xạ compact từ P ,p (, à, ì (0, +)) vào Lại có, từ (4.28), ánh xạ ánh xạ từ hình cầu đóng BM0 vào Khi ánh xạ w u ánh xạ compact từ hình cầu lồi, đóng, bị chặn BM0 117 vào nó, nên áp dụng Định lý Schauder (xem [11], trang 60), ánh xạ có điểm bất động hình cầu BM0 Điểm bất động nghiệm toán biên (4.21) (4.22) (2.25) với điều kiện ban đầu (4.23) Khi thuộc lớp III, điều kiện (iii) đợc giảm nhẹ thành điều kiện (iii)' > inf lim sup ||(A, Bj )−1 || ||(f, gj )||M,µ, M >0 (f, gj ) M,à = f (x, q, u(x, q)), gj (x, q, uj (x, q)) sup{ M u P ,p (,à,ì(0,+)) M}, P ,p (,à,ì(0,+),ì(0,+)) ta có kết sau Định lý 4.4.3 Giả sö ≥ 1, < p < +∞, Γ0 thuéc líp III, to¸n tư (A(x, Dx , q 1/λ ), Bj (x, Dx, q 1/ )|) elliptic, giả thiết (i) (ii) (iii) đợc thỏa mÃn Khi với = q đủ lớn, toán biên (4.21) (4.22) với điều kiện ban đầu (4.23) có nghiệm u P ,p (, à, ì (0, +∞)) Chøng minh: LÊy w ∈ P ,p (λ, à, ì (0, +)), từ giả thiết (ii) có f (x, t, w(x, t)), gj (x, t, w j (x, t)) P ,p (, à, ì(0, +), ì(0, +)) Khi theo Định lý 4.3.6, với = q đủ lớn, toán biên A(x, Dx , Bj (x, Dx, ∂ )u(x, t) = f (x, t, w(x, t)), x ∈ Ω, t > 0, ∂t ∂ )(Dν u(x, t)) = gj (x, t, w j (x, t)), x ∈ ∂Ω, t > 0, j = 1, , s, t với điều kiện ban đầu ∂ k u(x, t) ∂tk = 0, k = 0, 1, , t=0 118 2s − 1, λ cã nhÊt nghiÖm u ∈ P ,p (λ, à, ì (0, +)) ta có đánh giá ||u||P ,p (,à,ì(0,+)) ||(A, Bj )1 ||ì || f (x, t, w(x, t)), gj (x, t, w j (x, t))] ||P ,p (,à,ì(0,+),ì(0,+)) (4.27) Theo giả thiết (iii)' cã > C > inf M >0 lim sup (A, Bj )1 (f, gj ) M,à , à+ nên tồn số M0 > 0, à0 > 0, cho ∀µ > µ0 , ∀w ∈ P ,p (, à, ì (0, +)), w 1>C P ,p (,à,ì(0,+)) M0 : ||(A, Bj )1||ì M0 || f (x, t, w(x, t)), gj (x, t, w j (x, t)) ||P ,p (,à,ì(0,+),ì(0,+)) nên từ (4.27) có ∃M0 > 0, ∃µ0 > 0, ∀µ > µ0 , w P ,p (, à, ì (0, +)), w P ,p (,à,ì(0,+)) ||u||P ,p(,à,ì(0,+)) CM0 M0 ≤ M0 : (4.28) Theo Bỉ ®Ị 4.4.1 compact w P ,p (, à, ì (0, +)) (f, gj ) compact P ,p (, à, ì(0, +), ì(0, +)) liên tục u P ,p (, à, ì (0, +)) nghĩa ánh xạ w u ánh xạ compact từ P ,p (, à, ì (0, +)) vào Lại có, từ (4.28), ánh xạ ánh xạ từ hình cầu đóng BM0 vào Khi ánh xạ w u ánh xạ compact từ hình cầu lồi, đóng, bị chặn BM0 vào nó, nên áp dụng Định lý Schauder (xem [11], trang 60), ánh xạ có điểm bất động hình cầu BM0 119 Điểm bất động nghiệm toán biên (4.21) (4.22) với điều kiện ban đầu (4.23) Ví dụ 4.4.4 Xét toán biên parabolic nửa trụ vô hạn ì (0, +)sau, với m số tự nhiên cho trớc, A(x, Dx , ∂ )u(x, t) = ∂t Bj (x, Dx, (D αu)m (x, t) + f (x, t), (4.29) |α|≤2s−1 ∂ ∂u(x, t) ) ∂t ∂ν ∂Ω = gj (x, t), j = 1, 2, , s, (4.30) víi ®iỊu kiƯn ban ®Çu ∂ k u(x, t) ∂tk = 0, k = 0, 1, , t=0 2s − 1, λ (4.31) ®ã (f (x, t), gj (x, t)) P +1,p (, à, ì (0, +∞), ∂Ω × (0, +∞)) XÐt Γ0 thc líp I ta thêm điều kiện Dnk u(x, t)|0 = 0, k = 0, 1, , s − (4.32) Có ánh xạ (x, t, u) N m j=1 uj + f (x, t) liên tục theo u với hầu hết (x, t), đo đợc theo (x, t) với u, ánh xạ (x, t, uj ) → gj (x, t) lµ hµm h»ng theo uj với hầu hết (x, t), đo đợc theo (x, t) víi mäi uj , víi u ∈ P ,p (λ, µ, Ω × (0, +∞)) cã víi |α| ≤ (2s − 1) (D αu)m ∈ P −2s+1,p (λ, µ, Ω × (0, +∞)), vµ ||(D αu)m ||P −2s+1,p(λ,µ,Ω×(0,+∞)) ≤ C||u||m P ,p(,à,ì(0,+)), (4.33) nên ánh xạ u(x, t) ( |α|≤2s−1(D α u)m (x, t) + f (x, t), g1 (x, t), , gs (x, t)) tõ P ,p (, à, ì(0, +)) vào P +1,p (, à, ì(0, +), ì(0, +)) liên tục, 120 mà phép nhúng P +1,p (, à, ì (0, +), ì (0, +)) vào P ,p (, à, × (0, +∞), ∂Ω × (0, +∞)) lµ compact, ánh xạ u(x, t) ( ||2s1(D u)m (x, t) + f (x, t), g1 (x, t), , gs (x, t)) tõ P ,p (λ, µ, Ω × (0, +∞)) vµo P ,p (λ, µ, ì (0, +), ì (0, +)) compact, với u P ,p (, à, ì (0, +)) theo bất đẳng thức (4.33) ( lim lim ||(D u)m ||P 2s,p(,à,ì(0,+)) M M ||2s1 + ||(f, g)||P ,p(,à,ì(0,+),ì(0,+))) lim lim CM m1 M ||2s1 ||(D u)m ||P 2s,p(,à,ì(0,+)) ||(D u)m ||P 2s+1,p(,à,ì(0,+)) ||(f, g)||P +1,p(,à,ì(0,+),ì(0,+)) M M + lim lim =0, (M = ||u||P ,p(,à,ì(0,+))) Nh vậy, vế phải toán biên (4.29)(4.32) thuộc lớp I, thỏa mÃn điều kiện Định lý trên, nên có nghiệm u P ,p (, à, ì(0, +)) Có thể xét ví dụ thĨ Ω = B = {x ∈ Rn | x21 + 2kj n j=2 xj < 1} 2kj n j=2 xj víi biªn ∂Ω = S = {s Rn | x21 + = 1}, trờng vec-tơ x2 xn ν(x) = x1 − a, , , , a > 1, vµ Γ0 = {x ∈ S| x1 = } thuéc líp I k2 kn a Bài toán toán đợc xét với = 2s, mj = (j − 1), ∂ ∂ j−1 k ∂ ∂ ∂ k A(x, Dx , ) = + (−∆x )s , Bj (x, Dx , ) = , Dn = , ∂t ∂t ∂t ∂η ∂η (−1) −1 n −1 ®ã η(x) = (x1 , k2 x2k , , kn x2k ) lµ tr−êng n 4k −2 1/2 x21 + n j j=2 kj xj vec-tơ pháp tuyến trong, đơn vị cđa S Víi tr−êng hỵp Γ0 thc líp III ta có ví dụ cách tơng ứng Phần phi tuyến ví dụ khác so với phần phi tuyến, số mũ m, [21] (dới tuyến tính), [23] (trên tới hạn (supercritical)) 121 Kết bàn luận Kết nghiên cứu bàn luận Trong luận án này, đà giải đợc vấn đề sau Bằng việc sử dụng không gian Sobolev H ,p,q (Ω), < p < ∞ víi chn phơ thc tham sè phøc q, cïng mét số kỹ thuật toán tử GVP không gian Lp , < p < , không gian mà, nói chung, phép biến đổi Fourier không đẳng cấu p = 2, đà thu đợc kết Định tồn nghiệm cho toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính |q| đủ lớn Từ đó, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính So với không gian Sobolev, để dễ diễn đạt ta lấy ∈ Z+ , Ω = R n , W ,p (Rn ) = {u ∈ Lp (Rn ) | D αu ∈ Lp (Rn ), ∀|α| ≤ }, víi < p ≤ cã mèi quan hÖ sau: W ,p (Rn ) → H ,p (Rn), H ,p (Rn) → W ,p (Rn ) Khi p = 2, cã W ,2 (Rn ) = H ,2 (Rn ) Khi p = 2, phép nhúng thực sự, nghÜa lµ tËp thùc sù Ngoµi ra, W ,p (Rn ) ta lÊy vÕt 1 xn = độ trơn giảm , H ,p (Rn ) giảm = p p p n §Ĩ cã phÐp nhóng W ,p (Rn ) → C(Rn ) cÇn > , p n n cã phÐp nhóng H ,p (Rn ) → C(Rn ) cÇn > = n − p p Víi viƯc ®−a mét líp kh«ng gian kiĨu Sobolev víi chn phô thuéc tham sè Π ,p,q (Ω), < p < , thích hợp, việc dùng phân loại thành ba lớp 122 I, II, III phân hoạch đơn vị đặc biệt Egorov, Kondratiev, |q| đủ lớn, thu đợc kết Định tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính Γ0 thc líp I, III Cßn Γ0 thc líp II, |q| đủ lớn có kết Định lý nghiệm Bằng kỹ tht tun tÝnh hãa cịng nh− mét sè kÕt qu¶ Giải tích phi tuyến, chẳng hạn Định lý Nemytski cho ánh xạ phi tuyến dạng u(.) f (., u(.)) Định lý điểm bất động Schauder, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng tr×nh GVP elliptic nưa tun tÝnh Γ0 thc líp I, III Xây dựng lớp không gian P ,p (, à, ì (0, +)), E ,p(, à, ) thích hợp cho toán biên biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, cho phép biến đổi Laplace đẳng cấu lớp không gian P ,p (, à, ì (0, +)) E ,p (, à, ) Dùng kết Chơng trớc, thu đợc kết Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parablic tuyến tính Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính, thuộc lớp I, III Các kết trình bày luận án mới, đóng góp thực vào phát triển Lý thuyết toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic, parabolic tuyến tính nửa tuyến tính Trong trờng hợp đa tạp gồm hai thành phần liên thông 01 thuộc lớp I, 03 thuộc lớp III, kết có đợc không gian đợc thay đổi thích hợp, điều kiện biên đợc đa vào cách tơng thích Chú ý không gian ,p,q (), P ,p (, à, ì (0, +)) E ,p (, à, ) lần lợt chứa không gian H +1,p,q (), P +1,p(, à, ì (0, +)) E +1,p (, à, ) nên chúng không tầm thờng khác so với không gian Sobolev trớc 123 Kết luận Các kết luận án: Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic ã Đa lớp không gian kiểu Sobolev víi chn phơ thc tham sè Π ,p,q (Ω), < p < ã Định tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính thuộc lớp I, III Cßn Γ0 thc líp II, |q| đủ lớn có kết Định lý nghiệm ã Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính thuộc lớp I, III Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic ã Xây dựng lớp không gian P ,p (, à, ), E ,p (, à, ) ã Chứng minh hai lớp không gian P ,p (λ, µ, Ω∞ ), E ,p (λ, µ, ) đẳng cấu với phép biến đổi Laplace ã Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parablic tuyến tính Định lý tồn nghiệm cho toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính, thuộc lớp I, III 124 Kiến nghị nghiên cứu Gần đây, tác giả đà đạt đợc số kết ([5], [6]) cho lớp toán biên kiểu Grushin, lớp toán biên cho phơng trình elliptic suy biÕn trªn biªn ChÝnh tõ viƯc chun tõ việc nghiên cứu toán đạo hàm nghiêng không cổ điển sang việc nghiên cứu lớp toán tử GVP kiểu Grushin mà Yu V Egorov có đợc kết tốt tính subelliptic Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp nên tác giả cha hoàn chỉnh kết Tác giả theo đuổi số hớng thú vị, chẳng hạn lớp toán tử GVP có cấp biến thiên Hớng nghiên cứu nhiều vấn đề nghiên cứu Hớng liên quan đến toán tử tích phân Fourier, toán tử dao động (oscilation) Các toán tử đợc nghiên cứu nhiều chúng nảy sinh từ toán Vật lý 125 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án [1] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan (2003), "A semilinear non-classical pseudodifferential boundary value problem in the Sobolev spaces", C R Acad Sci Paris, 337, Serie I , pp 451-456 [2] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan, Tran Tri Kiet (2004), "Non-classical pseudodifferential boundary value problems in the Sobolev spaces H ,p , < p < ∞", Proceedings of the International Conference Abtract & Applied Analysis, August 2002, edited by Chuong N M., Nirenberg L., Tutschke W., World Scientific, pp 95-124 [3] Egorov V., Nguen Min Qyong, Dang An Tuan (2006), "Ob odnoi neklassiqeskoi polulineinoi kraevoi zadaqe dl paraboliqeskih psevdodifferencial nyh uravnenii v prostranstvah Soboleva", Dokl Akad Nauk, Russ , T 411, No 6, c 1-4 [4] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan (2006), "A nonclassical semilinear boundary value problem for parabolic pseudodifferential equations in spaces of Sobolev type", Communications on pure & applied mathematics (submitted) [5] Nguen Min Qyong, Dang An Tuan (2006), Ob odnoi polulineinoi kraevoi zadaqe dl vyro da wihs psevdodiffer- encial nyh uravnenii v prostranstvah tipa Soboleva, Dokl Akad Nauk, Russ (Preprint 05/15, Institute of Mathematics, Hanoi & submitted) [6] Nguyen Minh Chuong, Dang Anh Tuan (2005), "Semilinear degenerate parabolic pseudodifferential operators", Preprint 05/16, Institute of Mathematics, Hanoi 126 Tài liệu tham khảo [1] Adams R A.(1975), Sobolev spaces, Academic Press, New York [2] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L.(1959), "Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I", Comm Pure & Appl Math., 12, pp 623- 727 [3] Agranovich M S.(1965), "Elliptic singular integro-differential operators", Uspekhi Mat Nauk, 20, No 5, pp 3- 120 [4] Agranovich M S., Vishik M I (1964), "Elliptic problem with parameter and parabolic problems in general form", Uspekhi Mat Nauk, 19, No 3, pp 53-161 [5] Beals R., Fefferman C.(1973), "On local solvability of linear partial differential equations", Annals of Math., 97, pp 482-498 [6] Bisadze A V.(1963), "The homogeneous problem for directional derivative for harmonic functions in three-dimensional regions", Dokl Akad Nauk SSSR., 148, pp 749-752 [7] Borrelli R.(1966), "The singular, second order oblique derivative problem", J Math Mech., 16, pp 51-81 [8] Nguyen Minh Chuong(1983), "Degenerate parabolic pseudodifferential operators of variable order", Dokl Akad Nauk, 286, pp 1055-1058 127 [9] Nguyen Minh Chuong(1984), "On isomorphisms of Sobolev spaces of variable order", Mat Sbornik, 49, pp 1-17 [10] Nguyen Minh Chuong(1984), "On parabolic pseudo-differential operators of variable order", Mat Zametki, 35, pp 221-229 [11] Deimling K.(1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [12] Dencker N.(2003), "The proof of the Nirenberg- Treves conjecture", Jour Equation aux derivees partielles, Exp No V, 25 pp [13] Dencker N.(2006), "The resolution of the Nirenberg- Treves conjecture", Annals of Math., 163, pp 405-444 [14] Dencker N.(2006), "On the solvability of pseudodifferential operators", Semin Equ Deriv Partielles, Ecole Polytech., Palaiseau, Exp No I, 29 pp [15] Egorov Yu V., Kondratiev V A.(1966), "On an oblique derivative problem", Dokl Akad Nauk SSSR., 170, pp 770-772 [16] Egorov Yu V.(1967), "Pseudo-differential operators of principle type", Mat Sbornik, 73, pp 356-374 [17] Egorov Yu V., Kondratiev V A.(1969), "On an oblique derivative problem", Mat Sbornik, 78, pp 148- 176 [18] Egorov Yu V.(1969), "On canonical transformations of pseudodifferential operators", Uspekhi Mat Nauk, 24, No 5, pp 235- 236 [19] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong(1969), "The problem with a directional derivative for second order parabolic equation", Uspekhi Mat Nauk, 24, pp 197-198 128 [20] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong(1984), "A problem with a directional derivative in S.L Sobolev spaces of variable order ", Diff Urav., 20, pp 2163-2164 [21] Egorov Yu V., Nguyen Minh Chuong(1998), "On some semilinear boundary value problems for singular integro-differential equations", Uspekhi Mat Nauk, 53, No 6, pp 249-250 [22] Egorov Yu V., Shubin M A.(1994), Partial Differential Equations VI, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [23] Egorov Yu V., Galaktionov V.A., Kondratiev V.A., Pohozaev S.I.(2004), "Global solutions of higher-order semilinear parabolic equations in the supercritical range", Adv Differential Equations, 9, No 9-10, pp 1009-1038 [24] Fabes E B.(1966), "Singular intergals and partial differential of parabolic type", Studia Math., 28, pp 81-125 [25] Hormander L.(1966), "Pseudodifferential operators and non-elliptic boundary problems", Annals of Math., 83, pp 129-209 [26] Hormander L.(1985), The Analysis of Linear Partial Differential Operators III, IV, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [27] Krasnoselski M A.(1964), Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations, Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris [28] Lerner N.(2000), "When is a pseudodifferential equation solvable?", Ann Inst Fourier, Grenoble, 50, No 2, pp 443-460 [29] Malyutov M B.(1969), "On the Poincare boundary value problem", Trudy of the Moscow Mathematical Society, 20, pp 173- 203 129 [30] Maugeri A., Palagachev D K., Vitanza C.(1998), "Oblique derivative problem for uniformly elliptic operators with VMO coefficients and applications", C R Acad Sci Paris, 327, Serie I, pp 53-58 [31] Mazya V G.(1972), "On the degenerate problem with oblique derivative", Mat Sbornik, 87, pp 417-454 [32] Nirenberg L., Treves F.(1970), "On local solvability of linear partial differential equations, I Necessary conditions; II Sufficient conditions", Comm Pure & Appl Math., 23, pp 1-38; pp.459-509 [33] Nirenberg L., Treves F.(1971), Correction"On local solvability of linear partial differential equations, II Sufficient conditions", Comm Pure & Appl Math., 24, pp 279-288 [34] Okikiolu G O.(1971), Aspect of the Theory of Bounded Integral Operators in Lp spaces, Academic Press, New York [35] Schechter M.(1971), Principles of Functional Analysis, Academic Press, New York [36] Softova L.(2001), "Morrey regularity of strong solutions to parabolic equations with VMO coefficients", C R Acad Sci Paris, 333, Serie I, pp 635-640 [37] Softova L.(2004), "Wp2,1 −solvability for the parabolic Poincare problem", Comm Partial Diff Equ., 29, No 11-12, pp 1783-1798 [38] Taylor M E.(1981), Pseudodifferential operators, Princeton University Press, New Jersey [39] Le Quang Trung(1989), "On a noncoercive problem for singular integrodifferential equations", Uspekhi Mat Nauk, 44, No 5, pp 169-170 130 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html ... cho phơng trình vi- tích phân kỳ dị 1 .2 Bài toán biên cổ điển phơng trình parabolic Có nhiều cách để ti? ?p cận toán biên cổ điển phơng trình parabolic Ta ti? ?p cận từ cách nhìn phơng trình vi phân. .. víi chn phơ thc tham biÕn q, ta có Mệnh đề 2. 2 Toán tử giả vi phân (GVP) Rn Định nghĩa 2. 2.1 Cho s ∈ Z+ , γ1 , ? ?2 ∈ R vµ Q = z ∈ C|γ1 ≤ arg z ≤ ? ?2 Toán tử giả vi phân (GVP) A(x, D, q) c? ?p s Rn... tính không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số 2. 1 2. 1.1 Không gian hàm Định nghÜa • Cho p, ∈ R, < p < Không gian H ,p (Rn ) không gian làm đầy không gian C0(Rn ) chuẩn p ||u|| ,p, Rn = p (1