TIỂU LUẬN hình học giải tích

TIỂU LUẬN Hình học giải tích Lời nói đầu: Cuốn tiểu luận soạn theo chương trình hình học giải tích trường Đại học Sư phạm TP.HCM hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Nó dùng làm tài liệu học tập tham khảo cho sinh viên Tiểu luận chia làm phần: - Không gian vectơ Đường bậc hai Mặt bậc hai Với nhiều tập dạng toán hình học giải tích cơng cụ hữu hiệu củng cố lại kiến thức cho người đọc Từ đó, tảng người đọc nâng cao chuyên sâu Vì tài liệu viết lần nên khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ bạn, xin chân thành cảm ơn TP.HCM, ngày tháng năm 2011 Nhóm sinh viên Nhóm trưởng: Đặng Quang Vinh MỤC LỤC: Trang Chủ đề 1: Không gian vectơ……………………………………………………………… ……1 I Vectơ phép toán………………………………………………………….…………… AI Hệ tọa độ, tọa độ vectơ điểm……………………………………………… …….1 III Phương trình đường thẳng………………………………………………………… ……… IV Vị trí tương đối hai đường thẳng, chùm đường thẳng……………………….………… V Góc hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng……… ……… VI Hệ tọa độ Đề-các không gian, tọa độ vectơ điểm………………… …… VII Tích có hướng hai vectơ áp dụng……………………………………………… … VIII Khoảng cách……………………………………………………………………………… IX Góc…………………………………………………………………………………… …….6 Chủ đề 2: Đường bậc hai…………………………………………………………………… Vấn đề 1: Định nghĩa đường bậc hai………………………………………………………… …7 Vấn đề 2: Công thức đổi tọa độ hai cách đổi trục tọa độ: Tịnh tiến quay………….…… 2.1 Công thức đổi tọa độ (đổi mục tiêu)……………………………………………………… Phép tịnh tiến……………………………………………………………………………….….…8 Phép quay………………………………………………………………………………….…… 2.2 Kết luận……………………………………………………………………………….…… Vấn đề 3: Phân loại đường bậc hai, dạng phương trình tắc……………………… 10 Vấn đề 4: Sự tương giao đường thẳng đường bậc hai…………………………… .21 Vấn đề 5: Tâm, cách xác định tâm đường bậc hai Phương tiệm cận, đường tiệm cận, cách xác định đường tiệm cận…………………….…….…23 Tâm………………………………………………………………………………………… ….23 Phương tiệm cận, đường tiệm cận…………………………………………………………… 25 Vấn đề 6: Phương trình tiếp tuyến đường bậc hai………………………………………….26 Vấn đề 7: Đường kính liên hợp cách xác định đường kính liên hợp đường cong bậc hai…………………………………………………………………… ….29 Vấn đề 8: Viết phương trình đường cong bậc hai với điều kiện cho trước…………… 30 Vấn đề 9: Bài tập tổng hợp…………………………………………………………………… 34 Chủ đề 3: Mặt bậc hai………………………….…………………………………… ………42 Vấn đề 1: Định nghĩa mặt bậc hai lý thuyết mặt bậc hai…………………………… .…… 42 Định nghĩa……………………………………………………………………………… … 42 Tâm mặt bậc hai…………………………………………………………………… .… 42 Phương tiệm cận……………………………………………………………………… …….42 Mặt phẳng tiếp xúc……………………………………………………………………… ….42 Phương trình đường kính liên hợp với phương……………………………………… .42 Vấn đề 2: Các vấn đề liên quan đến mặt bậc hai đặc biệt………………………… … 43 Phương trình mặt sau nhận O làm tâm đối xứng…………………………………… ….43 Một số mặt thường gặp…………………………………………………………………… 44 a Elipxôlit:……………………………………………………………………………… …….44 b Mặt hypebololit tầng mặt parabolôit hyperbolic (mặt yên ngựa)………………… … 44 Ví dụ tập…………………………………………………………………………… 46 Vấn đề 3: Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai……………………………………………… .47 Vấn đề 4: Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng………………………………… 49 Vấn đề 5: Lập phương trình mặt bậc hai với điều kiện cho trước…………………… … 51 Vấn đề 6: Bài tập đường sinh thẳng đường bậc hai……………………………… ……52 Vấn đề 7: Bài tập tổng hợp………………………………………………………………… ….53 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Chủ đề 1: KHƠNG GIAN VECTƠ Nhắc lại kiến thức bản: I) VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN: Định nghĩa: AB đoạn thẳng có định hướng Hai vectơ nhau: có hướng độ dài Hai vectơ đối nhau: ngược hướng độ dài Cộng vectơ: ta có A, B ,C ta có : AC AB BC  Nếu ABCD hình bình hành : AB AD AC Tính chất: a bb a Tích số thực với vectơ: b a Tính chất: phương b m m na a mn a;1.a a; 1a a Vevtơ đồng phẳng: vectơ đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng a , b , c đồng phẳng m, n R : c ma nb Phân tích vectơ theo vectơ khơng đồng phẳng: Với e x1 a x2 b2 10 Định lý : với M trung điểm AB G trọng tâm ABC , O tùy ý thì: MA MB GA 2CM OG CA CB G trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD OG II) HỆ TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ VÀ CỦA ĐIỂM b Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox, y’Oy vuông góc tạo nên hệ trục tọa độ Đề-các Oxy: O gốc tọa độ, x’Ox trục hoành y’Oy trục tung Trong đó: i vị trục Ta có: Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích Tọa độ vectơ: Tọa độ điểm: Trong x hồnh độ, y tung độ M Các kết : a (a1 ; a2 ), b (b1 ;b2 ) Ta có : a)a (a1 b1 ; a2 b2 ) b (ka1 b ) k a a1b1 c ) a b Hệ quả: 1) a a1 a2 2) cos ( a ; b) 3) a b d)a b e ) a , b phương f) Tọa độ vec tơ AB g) Khoảng cách: AB AB h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k khác 1) k.x x x A B MA k MB Khi đó, tọa độ M tính bởi: ,y M ● M trung điểm AB, ta có: xM x A x B , yM y A Kiến thức tam giác : Cho A(x A ; yA ), B (x B ; yB ), C (xC ; yC ) a) Trọng tâm tam giác ( giao đường trung tuyến) : G trọng tâm tam giác ABC : xG x 3B x A x C b) Trực tâm tam giác (giao đường cao): y B , yG y A y B y C H trực tâm tam giác AH c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (giao trung trực) : I(a ; b) tâm ABC AI BI CI R (R bán kính ABC ) Giải hệ AI BI BI CI suy tọa độ tâm I d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( giao đường phân giác góc tam giác) Tâm K đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm thực hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k : Vì DB AB DC AC k1 nên D chia BC theo tỉ số k1, suy tọa độ D Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích Vì KA BA k2 nên k chia AD theo tỉ số k2, suy tọa độ K KD BD e) Diện tích tam giác: S S S abc a.h a b.h ab sin C pr 4R S 2 AB Trong đó: AC det(AB , AC) III) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Định nghĩa: Cho vectơ u vectơ phương đường thẳng d vec tơ u trùng với d Mọi vectơ phương d có dạng k u , (k 0) n vectơ pháp tuyến đường thẳng d vec tơ n d Mọi vectơ pháp tuyến d có dạng k n , (k 0) Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết M vectơ pháp tuyến 2) Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Định lý: Phương trình tổng qt đường thẳng d có dạng Ax By C 0, Chú ý: d có vtpt b) Hệ A(x x ) B ( y y 3) Phương trình tham số- tắc đường thẳng: a) Phương trình tham số đường thẳng: Phương trình tham số đường thẳng d qua M (x0 ; y0 ) có vtcp u ( a ; b) x x at y y0 bt b) Phương trình tắc đường thẳng: Phưowng trình tắc đường thẳng d qua M (x0 ; y0 ) có vtcp u ( a ; b) x x0 a y y , a2 b2 IV) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM ĐƯỜNG THẲNG b , a2 b2 1) Vị trí tương đối đường thẳng Cho đường thẳng d : A x B y C (1), d : A x B y C (2) ( A2 B2 0, A2 B2 0) 1111 2222 11 22 -Hệ có nghiệm A1 B2 A2 B1 d1 d2 cắt -Hệ vô nghiệm A1 B2 A2 B1 B1C2 B2 C1 d1 / /d2 -Hệ có vô số nghiệm A1 B2 A2 B1 B1C2 B2 C1 C1 A2 C A1 2) Chùm đường thẳng : Trang d1 d2 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Hai hay nhiều đường thẳng qua điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I Nếu d1 : A1 x B1 y C1 0, d2 : A2 x B2 y C2 cắt I (A1 B2 A2 B1) phương trình chùm đường thẳng tâm I là: m (A1 x B1 y C1 ) n ( A2 x B2 y C2 ) 0, m2 n2 V) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1) Góc đường thẳng : Cho đường thẳng d1 : A1 x B1 y C1 0, d2 : A2 x B2 y C2 Nếu gọi (00 900 ) góc d1 d2 Hệ : d1 d2 A1 A2 B1 B2 2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: a) Công thức : Khoảng cách từ M (x0 ; y0 ) đến d : Ax By C Ax d (M , d) By C A , A2 B2 là: B b) Hệ quả: Nếu d1 : A1 x B1 y C1 0, d2 : A2 x B2 y C2 cắt I (A1 B2 A2 B1) phương trình phân giác tạo d1 d2 là: A1 x B1 y A2 VI) HỆ TỌA ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM: ■ Hệ tọa độ đêcac vng góc khơng gian: ’ ’ ’ Ba trục tọa độ x Ox, y Oy, z Oz vng góc đôi tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox trục hoành , Oy trục tung Oz trục cao.trên Ox, Oy, Oz có vectơ đơn vị i (1; 0;0), j (0;1;0), k (0; 0;1) - Tọa độ véctơ: u - Tọa độ điểm: M ( x; y ; z) OM ( x; y ; z) x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ M hay OM ● Các kết quả: b x2 ●a b x1 ● ka kx1 ●Tích vơ hướng: a.b x1.x2 Hệ quả: y1.y2 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 z1.z2 x ●a ● cos a ;b ● a b x1.x2 y1.y2 z1.z2 ● ● a b x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 ● a ,b phươngk ●Tọa độ vectơ: AB R:b ka x xB xA ; yB yA ; zB zA Trang z 0, x2 4xy 5y2 x yperbolic nhận Oz làm trục đối xứng nên có phương trình: ng trình : -Vấn đề 5: Lập phương trình mặt bậc hai với điều kiện cho trước Lập phương trình Elipxolit có trục trùng với trục tọa độ chứa đường tròn , qua M(3, 1, 1) x2 y2 z2 1a b c 2 Trang 51 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Vì Elipxolit chứa đường trịn (C): Giải : x2 y2 qu a y x z x2 x2 a2 b2 a2 b2 (P) q u a M x2 * a a a2 b Vì Elipxơlit qua M (3, 1, 1) nên ta được: p Từ (1) (2), ta có: Do elipxơlit : x2 p Ví dụ 2: Viết phương trình paraboloit hyperbolic qua hai đường thẳng z 0,y x , qua điểm M(1,2,3) nhận Oz làm trục đối xứng a 2 pz p * a b 2 a T ( * ) t a c ó : x2 y2 2 2z x2 y2 z a a 2a Vậy phương trình Parabolơit hyperbolic là: x2 y2 z -Vấn đề 6: Bài tập đường sinh thẳng đường bậc hai Ví dụ 1: Một mặt phẳng (Q) song song (P) : x y z cắt (S): x2 y2 2z theo hai đường sinh thẳng Tìm giao điểm góc tạo chúng Giải : Gọi đường sinh thẳng (d) có phương trình: x x0 t y y0 z z0 Trang 52 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Vì (d) đường sinh thẳng d t2 x0 t2 y0 z0 S , hay: t t R 22 t 2( x0 y0 )t x02 y02 2z0 0, t R 201 x0 x02 y0 02 y02 2z0 Mà (d) giao tuyến (Q) (S) nên (d) (Q) Mặt khác: nQ nP Từ (1) (4) ta có: 22 0 Xét (I): chọn1, Từ (2) (3) ta có: x0 y0 x0 y0 2z0 Xét (II): Chọn1,2 Từ (2), (3) ta có: x y 0 x0 y0 2z0 * y0 2z0 z0 y0 Chọn y0 z0 2, x0 x t' d2 z d1d2M có tọa độ M nghiệm hệ: x t y t z t' x y t' z 2t ' Góc (d1) (d2) là: cos d1, d2 cos a1 Vấn đề 7: Bài Tập Tổng Hợp Trang 53 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Bài tập 1: Cho mặt bậc hai : x 5y 4z 4xy yz 4xz 2x 10 y 4z * Tìm phương trình biến đổi mặt tịnh tiến gốc tọa độ đến điểm (3, 0, 1) Giải: x x' Công thức đổi tọa độ: y y ' z z'1 Từ (*) ta có : x ' y '2 z ' y ' z ' x ' z ' x ' 10 y ' z ' x ' 5y ' 4z ' 4x ' y ' 2y ' z 2 ' 4x ' z ' Vậy phương trình sau biến đổi là: x 5y 4z 4xy yz 4xz 2 Bài tập 2: Tìm phương trình biến đổi sau tịnh tiến gốc tọa độ tâm mặt bậc hai sau: x y 2z 2xy 2x y 4z Giải: Giả sử I x0 , y , z0 tâm mặt bậc hai trên, nên tọa độ nghiệm hệ phương trình sau: 2 Fx x0 , y0 , z0 Fy x0 Fz x0 F0,1,1 4 4 phương trình mặt bậc hai sau tịnh tiến tới tâm : x2 2y2 2z2 2xy Bài tập 3: Tìm ý nghĩa hình học phương trình sau hệ tọa độ (Oxyz) b )x y z 25 a) 2 2 y c )x 2y e) xyz g) yz z 2 z d )x y f )x x Giải: a) y Đó phương trình mặt phẳng song song (Oxz) cách (Oxz) khoảng d=2 phía âm trục Oy b) c) x2 y2 z2 25 phương trình mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = x2 2y2 3z2 x y z Nên ý nghĩa hình học điểm O(0; 0; 0) Đó mặt cầu tâm O bán kính R = d) x y , phương trình ln z Đó mặt phẳng qua (d) : x y mặt phẳng Oxy trục Oz x e) xyz y Đó phương trình ba mặt phẳng tọa độ (Oxy),(Oxz) (Oyz) z f) x2 x 4x g) yz z2 z phương trình hai mặt phẳng : x x x y z Tiểu luận Hình Học Giải Tích Bài tập 4: Xác định tâm bán kính mặt cầu sau: a ) x y z 6x 8y 2z 10 b)x y 2 z 6x 10 c ) x y z 4x 12 y 2z 41 Giải a Tâm I (3;-4;-1) ,bán kính R 16 10 2 b Tâm I (3;0;0) , bán kính R i mặt cầu có tâm (3;0;0) có bán kính ảo i c Tâm I (2; 1) , bán kính R 36 41 mặt cầu có tâm điểm I(2; 1) bán kính 10 i2 Bài tập 5: Tìm tâm bán kính đường tròn: x z 3x y Giải Mặt cầu có tâm I (4;7;-1) bán kính R = 12 dI;P Phương trình đường thẳng d qua I có ad Giao điểm A (d) (P) có tọa độ nghiệm hệ phương trình: x 3t 3x y z * t A (1; 6; 0) Tâm (C) A(1;6; 0) Bán kính (C) : r( C ) Bài tập 6: Tìm phương trình mặt kính Giải : Phương trình mặt kính cần tìm : 2F F 2F 2x xy 32x y 72z Vậy phương trình mặt kính cần tìm là: 32x y 72z Bài tập 7: Cmr: Hypeboloit tầng : z giao tuyến đường trịn có bán kính R = a Giải : Xét: Trang 55 Tiểu luận Hình Học Giải Tích x2 z2 c2 y2 b2 1a b a2 x y z Vậy chứng tỏ Hypebôlit tầng cắt mặt cầu x2 kính R = a y2 a z2 Bài tập 8: Viết phương trình mặt phẳng qua Ox cắt Hypebôlit đường thẳng Giải: Mặt phẳng qua Ox c Ax D y 2z x 2 a 2 b c Để giao tuyến cặp đường thẳng, từ (2) ta có: D2 D2 A a D2 a2 D aPhương trình: A 2a2 C x a x a Bài tập 9: Cho: a) Khi a = b = c Elipxolit thành mặt gì? b) Cmr : a b c M E ta có : c OM a c) Cmr: a b c giao tuyến elipxolit với mặt phẳng : x đường tròn Giải: a) Khi a = b = c : * x2 y2 z2 a2 b 1 a z c b 2 (2) phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0) R = a x2 a2 y2 b) Ta có: x2 Ta có: x2 y2 z2 a2 M x,y,z c2 OM c.Ta có: E OM x 2z b a Trang 56 Tiểu luận Hình Học Giải Tích 1 b Giao tuyến (E) với mặt phẳng hệ: theo trục Oy Ta có: b x2 y2 z2 b2 ** Phương trình (*) phương trình hai mặt phẳng cắt nhau, phương trình (**) phương trình mặt cầu tâm O (0, 0, 0) bán kính R = b Giao tuyến Elipxơlit đường trịn tâm O, bán kính r nằm mặt phẳng (*) x y z Bài tập 10: Tìm đường sinh thẳng S : 2 song song mặt phẳng P :3x y 4z 16 Giải: Gọi (d) đường sinh thẳng qua x0 , y , z0 có VTCP , , 0,0,0 có phương trình là: x x0 t y y0 t mà d S Ta có: x t2 164 t2 y x0 8y0 t2 z0 t , t 16 t x02 y02 16z0 0, t 2 x0 8y0 16 x0 y0 16z0 d song song (P) có Từ (1) , (4) 62 + Với: Thay (**) (***) ta : 32 y0 16z0 64 Chọn z0 y0 x0 Thì M 4; 2;0 S x 2t d1 : y t z 2t 2 + Với Trang 57 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Thế vào (2) kết hợp với (3) ,ta có: Thay (2**) vào (3**) ta có: 16z0 16 y0 16 chọn Thay vào (2**) x0 x 2t M 2;1;0 S Vậy d2 : Kết luận: Phương trình đường sinh thỏa mãn u cầu tốn : d1 x 2t d2 : y t z t Trang 58 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Thuật ngữ thường gặp: - Đường bậc hai…………………………………………………………………………7 Afin…………………………………………………………………………………… Đề-các……………………………………………………………………………… 1, Tâm đường bậc hai………………………………………………………………… 23 Đường tiệm cận………………………………………………………………………25 Phương tiệm cận…………………………………………………………………… 25 Tiếp tuyến…………………………………………………………………………… 26 Đường kính liên hợp………………………………………………………………… 29 Mặt bậc hai………………………………………………………………………… 42 Mặt kẻ……………………………………………………………………………… 44 Đường sinh………………………………………………………………………… 44 Mặt yên ngựa (Paraboloit Hypebolic)……………………………………………… 45 Hypeboloit……………………………………………………………………………45 Elipxolit………………………………………………………………………………44 Mặt kính liên hợp…………………………………………………………………….42 Mặt phẳng tiếp xúc………………………………………………………………… 42 Cosin hypebol (Chu)………………………………………………………………… 44 Sin hypebol (Shu)…………………………………………………………………… 44 Tài liệu tam khảo: - Bài giảng TS Nguyễn Hà Thanh Tốn cao cấp - Đại số hình học giải tích, Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh – NXBGD - 2008 - Bài tập Hình học giải tích, Lê Minh Châu - Phan Bá Ngọc - Trần Bình – NXBGD – 1963 - Trang 59 ... đầu: Cuốn tiểu luận soạn theo chương trình hình học giải tích trường Đại học Sư phạm TP.HCM hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Nó dùng làm tài liệu học tập tham khảo cho sinh viên Tiểu luận chia... 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = T Tiểu luận Hình Học Giải Tích Bằng cách đổi trục phép quay quanh gốc O đưa phương trình dạng khơng chứa số hạng hình chữ nhật (xy) Cần giải quyết: Tìm để phương trình... sau: Trang 23 Tiểu luận Hình Học Giải Tích + Giải hệ F x Fy + Nếu hệ có nghiệm tâm đường bậc Ví dụ: Xác định tâm đường bậc sau: 1).x2 2xy y2 4x y 2).x2 2xy y2 4x y 3).x2 2xy y2 2x y Giải: 1) Gọi