Tiểu luận hình học giải tích PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN-TIN ———————o0o——————– Tiểu luận hình học giải tích PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Người làm tiểu luận: Nguyễn Đức Anh Khoa Giảng viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Lê Chí Quyết Mục lục Hệ 1.1 1.2 1.3 tọa độ affine Hệ tọa độ affine Điều kiện để vector đồng phẳng Phép đổi mục tiêu affine 2 Đường thẳng mặt phảng khơng gian 2.1 Phương trình đường thẳng khơng gian 2.2 Phương trình mặt phẳng khơng gian 2.3 Chùm mặt phẳng không gian 6 Hệ tọa độ trực chuẩn 11 3.1 Hệ tọa độ trực chuẩn 11 3.2 Đổi mục tiêu trực chuẩn 12 Mặt tròn xoay phép 4.1 Phép co rút 4.2 Mặt tròn xoay 4.3 Mặt trụ mặt nón 4.4 Mặt elipxoit 4.5 Các mặt hyperboloit 4.6 Các mặt paraboloit co rút 14 14 15 16 18 20 22 Mặt kẻ 5.1 Mặt kẻ 5.2 Hyperboloit tầng 5.3 Mặt yên ngựa 25 25 25 26 Chương Hệ tọa độ affine 1.1 Hệ tọa độ affine − −→ → − −→ → − −−→ → Trong không gian, cho điểm O vector OI = i , OJ = j , OK = k , vector không đồng phẳng Tập hợp gồm điểm O vector − → − → − → i , j , k gọi hệ tọa độ affine khơng gian Khi đó: − → − → − → Điểm O gọi gốc tọa độ, vector i , j , k gọi − → − → − → vector sở Ba đường thẳng qua vector i , j , k ký hiệu Ox, Oy, Oz, gọi trục tọa độ Các mặt phẳng chứa trục tọa độ gọi mặt phẳng tọa độ Các mặt phẳng tọa độ gồm Oxy, Oyz, Oxz − Với vector → u không gian, tồn số (x, y, z) cho → − → − → − → − u =x i +y j +zk − − Khi đó, (x, y, z) gọi tọa độ vector → u , kí hiệu: → u (x, y, z) − → u = (x, y, z) Với điểm M khơng gian, gọi (x, y, z) tọa độ −−→ vector OM , nghĩa → − −−→ → − → − OM = x i + y j + z k Khi đó, (x, y, z) gọi tọa độ điểm M , kí hiệu: M (x, y, z) M = (x, y, z) Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Cho điểm M (x, y, z) M (x , y , z ) ta có: −−−→ −−→ −−→ → − → − → − → − → − → − M M = OM − OM = x i + y j + z k − x i − y j − z k → − → − → − = (x − x) i + (y − y) j + (z − z) k −−−→ Suy M M = (x − x, y − y, z − z) − → −→ −→ Hệ tọa độ kí hiệu O i j k Oxyz − → −→ −→ − − − Trong hệ tọa độ affine O i j k , cho vector → u (x1 , y1 , z1 ), → v (x2 , y2 , z2 ), → w (x3 , y3 , z3 ) Khi đó, ta có tính chất sau: → − → − → − − − → u +→ v = (x1 +x2 ) i +(y1 +y2 ) j +(z1 +z2 ) k = (x1 +x2 , y1 +y2 , z1 +z2 )   x = x → − → − → − → − → − → − → − → − u = v ⇔ x1 i + y1 j + z1 k = x2 i + y2 j + z2 k ⇔ y1 = y2   z1 = z2 − − − − → u phương → v ⇔→ u = t→ v → − → − → − → − → − → − ⇔ x1 i + y1 j + z1 k = tx2 i + ty2 j + tz2 k   x1 = tx2 ⇔ y1 = ty2   z1 = tz2 − − Nếu t > → u ,→ v hướng − − Nếu t < → u ,→ v ngược hướng Trang Nguyễn Đức Anh Khoa Chương − − → − → − − → − x y → y z → z x → − − [→ u ,→ v]= 1 [ i , j ]+ 1 [j , k]+ 1 [k, i ] x2 y2 y2 z2 z2 x2 (Chứng minh phần 1.2) x1 y1 z1 − → − → − → → − → − → − D( u , v , w ) = x2 y2 z2 D( i , j , k ) x3 y3 z3 (Chứng minh phần 1.2) 1.2 Điều kiện để vector đồng phẳng − → −→ −→ − − Trong hệ tọa độ affine O i j k cho vector → u = (x1 , y1 , z1 ), → v = → − (x2 , y2 , z2 ), w = (x3 , y3 , z3 ) Khi đó, ta có: − − [→ u ,→ v] → − → − → − → − → − → − = [(x1 i + y1 j + z1 k ), (x2 i + y2 j + z2 k )] − → − → → − → − → − → − = (x1 y2 − x2 y1 )[ i , j ] + (y1 z2 − y2 z1 )[ j , k ] + (z1 x2 − z2 x1 )[ k , i ] − − → − → − − → − y z → z x → x y → = 1 [ i , j ]+ 1 [j , k]+ 1 [k, i ] y2 z2 z2 x2 x2 y Do đó: − − − D(→ u ,→ v ,→ w) → − → − − = [ u , v ].→ w − − → − → − − → − → − → − x1 y → y z → z x → [ i , j ] + 1 [ j , k ] + 1 [ k , i ] (x3 i + y3 j + = x2 y y2 z2 z2 x2 → − z3 k ) → − → − → − x1 y1 y z z x z3 + 1 x3 + 1 y3 D( k , i , j ) = x2 y2 y2 z2 z2 x2 x1 y1 z1 − → − → − → = x2 y2 z2 D( i , j , k ) x3 y3 z3 − − − vector → u ,→ v ,→ w đồng phẳng tích hỗn tạp chúng − − − 0, nghĩa D(→ u ,→ v ,→ w ) = x1 y1 z1 − → − → − → Điều tương đương với x2 y2 z2 D( i , j , k ) = x3 y3 z3 − − → − → − → → − → − → Mà D( i , j , k ) = i , j , k không đồng phẳng x1 y1 z1 → − → − → − Suy ra, vector u , v , w đồng phẳng x2 y2 z2 = x3 y3 z3 Trang Nguyễn Đức Anh Khoa Chương x1 y1 z1 → − → − → − Vậy: u , v , w đồng phẳng ⇔ x2 y2 z2 = x3 y3 z3 1.3 Phép đổi mục tiêu affine → −→ −→ − − → −→ −→ Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j k O i j k Giả sử đối → − → − − → −→ −→ với hệ tọa độ O i j k , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , c0 ), i = (a1 , b1 , c1 ), j = → − (a2 , b2 , c2 ), k = (a3 , b3 , c3 ) Đối với điểm M bất kì, gọi (x, y, z) tọa → −→ −→ − − → −→ −→ độ M hệ O i j k M (x , y , z ) hệ O i j k Ta tìm liên hệ số x, y, z x , y , z Theo định nghĩa tọa độ vector tọa độ điểm, ta có: −−→ → − → − → − OO = a0 i + b0 j + c0 k → − → − → − → − i = a1 i + b j + c k → − → − → − → − j = a2 i + b j + c k → − → − → − → − k = a3 i + b j + c k → − −−→ → − → − OM = x i + y j + z k −−−→ → − → − → − OM =x i +y j +z k −−→ −−→ −−→ Vì OM = OO + O M nên → − → − → − → − → − x i + y j + z k = (a1 x + a2 y + a3 z + a0 ) i + (b1 x + b2 y + b3 z + b0 ) j + → − (c1 x + c2 y + c3 z + c0 ) k Từ đó, suy  x = a1 x + a2 y + a3 z + a0  y = b x + b2 y + b3 z + b0   z = c1 x + c2 y + c3 z + c0 Viết dạng ma trận:        x a1 a2 a3 x a0  y  =  b1 b2 b3   y  +  b0  z c1 c2 c3 z z0 − → −→ −→ Đẳng thức gọi công thức biến đổi từ hệ tọa độ O i j k sang → −→ −→ − hệ tọa độ O i j k Trang Chương Đường thẳng mặt phảng không gian 2.1 Phương trình đường thẳng khơng gian Trong hệ tọa độ affine Oxyz cho đường thẳng d qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) − nhận → u (a, b, c) làm vector phương −−−→ Khi đó, với điểm M (x, y, z) thuộc d, ta ln có M0 M phương −−−→ − với u, hay M0 M = t→ u với t số thực DO đó, đường thẳng d xem −−−→ − tập hợp tất điểm M cho M0 M = t→ u với t ∈ R −−−→ → − M0 M = t u Nguyễn Đức Anh Khoa Chương ⇔ (x  − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t(a, b, c) (t ∈ R)  x = x0 + ta ⇔ y = y0 + tb (t ∈ R) (1)   z = z0 + tc Hệ (1) gọi phương trình tham số đường thẳng d Với số thực t, ta tìm số (x, y, z) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct) tọa độ điểm thuộc đường thẳng d ngược lại, với điểm M thuộc đường thẳng d, ta ln tìm số thực t tương ứng Nếu số a, b, c khác 0, từ phương trình tham số, ta rút được, điểm M (x, y, z) thuộc đường thẳng d tồn số thực t cho: t= y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c Do đó, tập hợp tất điểm M (x, y, z) thuộc đường thẳng d thỏa mãn phương trình: y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c Phương trình phương trình tắc đường thẳng d Phương trình tắc tương đương với hệ: x − x y − y0  = a b  y − y0 = z − z0 b c ⇔ b(x − x0 ) = a(y − y0 ) c(y − y0 ) = b(z − z0 ) Hệ phương trình tổng qt đường thẳng d 2.2 Phương trình mặt phẳng khơng gian Trong hệ tọa độ affine Oxyz cho mặt phẳng α đó, với M (x0 , y0 , z0 ) − − điểm thuộc α Gọi → u1 (a1 , b1 , c1 ), → u2 (a2 , b2 , c2 ) vector độc lập tuyến tính đường thẳng chứa chúng song song với α Trang Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Khi đó, với điểm M (x, y, z) thuộc mặt phẳng α hiển nhiên −−−→ − → vector M0 M , → u1 , − u2 đồng phẳng Do đó, mặt phẳng α xem tập −−−→ − → hợp tất điểm M cho vector M0 M , → u1 , − u2 đồng phẳng −−−→ → − − Ba vector M0 M (x − x0 , y − y0 , z − z0 ), u1 (a1 , b1 , c1 ), → u2 (a2 , b2 , c2 ) đồng x − x0 y − y0 z − z0 a1 b1 c1 phẳng = a2 b2 c2 Vậy ta rút kết luận: x − x0 y − y0 z − z0 a1 b1 c1 M ∈α⇔ =0 a2 b2 c2 x − x0 y − y0 z − z0 a1 b1 c1 Đẳng thức = phương trình mặt phẳng α a2 b2 c2 Ta khai triển định thức đẳng thức trên: x − x0 y − y0 z − z0 a1 b1 c1 =0 a2 b2 c2 ⇔ (x − x0 ) b1 c c a a b + (y − y0 ) 1 + (z − z0 ) 1 = b2 c c a2 a2 b Trang Nguyễn Đức Anh Khoa Đặt A = Chương b1 c c a a b , B = 1 , C = 1 phương trình mặt phẳng b2 c c a2 a2 b α trở thành: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = Đặt D = −Ax0 − By0 − Cz0 , ta phương trình tổng quát mặt phẳng α: Ax + By + Cz + D = −−−→ − → Mặt khác, vector M0 M , → u1 , − u2 đồng phẳng tồn cặp số −−−→ → − − thực t , t thỏa mãn M M = t u + t → u Từ suy ra: 1 2   x = x0 + a1 t1 + b1 t2 y = y0 + a2 t1 + b2 t2   z = z0 + a3 t1 + b3 t2 (t1 , t2 ∈ R) Hệ phương trình tham số mặt phẳng α Với số (t1 , t2 ), ta ln tìm số (x, y, z) = (x0 + a1 t1 + b1 t1 , y0 + a2 t1 + b2 t2 , z0 + a3 t1 + b3 t2 ) tọa độ điểm thuộc mặt phẳng α ngược lại, với điểm M thuộc mặt phẳng α, ta ln tìm số (t1 , t2 ) tương ứng 2.3 Chùm mặt phẳng không gian Tập hợp tất mặt phẳng qua đường thẳng d gọi chùm mặt phẳng Khi đó, đường thẳng d gọi trục chùm Trang Nguyễn Đức Anh Khoa Chương − → − → − → Nhận xét: D( i , j , k ) = Do đó: x1 y1 z1 − − − D(→ u ,→ v ,→ w ) = x2 y2 z2 x3 y3 z3 Cho điểm M (x0 , y0 , z0 ) mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng α là: d[M, (α)] = 3.2 |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Đổi mục tiêu trực chuẩn − → −→ −→ Trong mục tiêu trực chuẩn O i j k , cho điểm O (a0 , b0 , c0 ) vector → − → − → − → − → − − → i (a1 , b1 , c1 ), j (a2 , b2 , c2 ), k (a3 , b3 , c3 ) cho (O , i , j, , k ) lập thành mục tiêu trực chuẩn Cho điểm M cố định có tọa độ mục tiêu trực chuẩn cũ (x, y, z) (x , y , z ) Khi đó, theo phép đổi mục tiêu affine, ta có:   x = a1 x + a2 y + a3 z + a0 y = b x + b2 y + b3 z + b0   z = c1 x + c2 y + c3 z + c0 Viết dạng ma trận:        a0 x a1 a2 a3 x  y  =  b1 b2 b3   y  +  b0  z0 z c1 c2 c3 z → −→ −→ − → − → − → − Vì O i j k hệ tọa độ trực chuẩn nên i = j = k = → − → − → − → − → − → − i j =j k = k i = − → − → − → → − → − → − i = i (a1 i + a2 j + a3 k ) = a1   i → → − → − − → − → − → − Có: j i = j (a1 i + a2 j + a3 k ) = b1  − − → → − → − → → − → − k i = k (a1 i + a2 j + a3 k ) = c1  − → − → i )  a1 = cos( i , → → − − Suy b1 = cos( j , i )  − → − →  c1 = cos( k , i ) Trang 12 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương  − → − →  a2 = cos( i , j )   −  → − →   b2 = cos( j , j )    − − → c = cos(→ k,j ) Tương tự, ta có: − → − →  a3 = cos( i , k )    − → − →   b = cos( j , k)    − → − →  c3 = cos( k , k ) Vì vậy, ta biểu diễn công thức biến đổi mục tiêu trực chuẩn sau: − − −        → − → → − → → − → cos( i , i ) cos( i , j ) cos( i , k ) x a x − − −     0 → − → → − → → − → y  =  cos( j , i ) cos( j , j ) cos( j , k ) y + b0 − − − → − → → − → → − → z z z0 cos( k , i ) cos( k , j ) cos( k , k ) Phép quay mục tiêu quanh trục Oz với góc quay α Dựa vào công thức biến đổi mục tiêu trên, ta rút công thức quay mục tiêu trục chuẩn quanh trục Oz:        a0 x cos α − sin α x y  =  sinα cos α 0 y  +  b0  z0 z z 0 Trang 13 Chương Mặt tròn xoay phép co rút 4.1 Phép co rút Trong hệ tọa độ affine Oxyz, cho điểm M (x, y, z) số Phép co rút mặt phảng Oxy tỉ số k dương (co rút theo phương Oz) phép biến điểm M thành điểm M cho M M phương với Oz cắt Oxy H thoả HM = k.HM Phép co rút có phương trình dạng:   x = x y =y   z = kz Chú ý: k < hay k > phép co 14 Nguyễn Đức Anh Khoa 4.2 Chương Mặt tròn xoay Điểm M xoay quanh trục d tạo thành đường trịn có tâm hình chiếu M lên d Xét điểm M0 có tọa độ (x0 , y0 , z0 ) quay xung quanh trục Oz, tạo thành đường trịn (S) có tâm hình chiếu M0 lên Oz Khi đó, điểm M (x, y, z) thuộc (S), d(M, Oz) = d(M0 , Oz) z = z0 Do đó, phương trình đường trịn S là: z = z0 x2 + y = x20 + y02 Cho đường (C) có phương trình y=0 x = f (z) quay xung quanh Oz tạo thành mặt tròn xoay Khi đó, M (x, y, z) thuộc mặt trịn xoay tồn điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) thuộc C cho M0 quay xung quanh Oz tạo thành đường trịn (S) M ∈ (S) z = z0 M ∈ (S) x + y = x20 + y02 y0 = x0 = f (z0 ) Do đó, phương trình mặt trịn xoay quay (C) quanh trục Oz là: Mà M0 ∈ (C) nên x2 + y = f (z)2 Trang 15 Nguyễn Đức Anh Khoa 4.3 Chương Mặt trụ mặt nón Cho đường y=0 x=a quay xung quanh Oz mặt trịn xoay có phương trình: x2 + y = f (z)2 ⇔ x2 + y = a2 (Mặt trụ tròn xoay) Co rút theo phương Oy với tỉ số λ ta mặt trụ có phương trình: x2 y + =1 a2 b đó, b = λa Trang 16 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương y=0 (a = 0) quay xung quanh trục Oz, ta mặt x = az trịn xoay có phương trình: Cho đường x + y = a2 z (Mặt nón trịn xoay) Trang 17 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Co rút theo phương Oy với tỉ số λ ta mặt nón có phương trình: x2 y + = z2 a2 b đó, b = λa 4.4 Mặt elipxoit  y = Cho đường x2 z  + =1 a2 c2 có phương trình: quay xung quanh Oz mặt tròn xoay x + y = a2 − ⇔ z2 c2 x2 y z + + = ( Elipxoit tròn xoay ) a2 a2 c Trang 18 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Co rút theo phương Oy với tỉ số λ ta mặt elipxoit có phương trình: x2 y z + + =1 a2 b c đó, b = λa Trang 19 Nguyễn Đức Anh Khoa 4.5 Chương Các mặt hyperboloit  y = Cho đường x2 z  − =1 a2 c2 có phương trình: quay quanh quanh Oz mặt trịn xoay x2 + y = f (z)2 ⇔ x + y = a2 + ⇔ z2 c2 x2 y z + − = ( Hyperboloit tầng tròn xoay ) a2 a2 c Co rút theo phương Oy với tỉ số λ ta mặt hyperboloit tầng có phương trình: x2 y z + − =1 a2 b c đó, b = λa Trang 20 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương  y = Cho đường x2 z  − =1 a2 c2 xoay: quay quanh Ox, ta được mặt tròn y + z = c2 ⇔ x2 −1 a2 x2 y z − − = ( Hyperboloit tầng tròn xoay ) a2 c c Trang 21 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Co rút theo phương Oy với tỉ số λ ta mặt hyperboloit tầng có phương trình: x2 y z − − =1 a2 b c đó, b = λc 4.6 Các mặt paraboloit Cho đường y=0 x2 = 2pz (p > 0) quay xung quanh Oz mặt tròn xoay: x2 + y = 2pz ( Paraboloit tròn xoay ) Trang 22 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Co rút theo phương Oy với tỉ số λ ta mặt paraboloit eliptic có phương trình: x2 y + =pz a2 b x2 y2 − = 2z (p > 0, q > 0) gọi mặt a2 b2 paraboloit hyperbolic (Mặt yên ngựa) Mặt có phương trình: Trang 23 Nguyễn Đức Anh Khoa Chương Trang 24 Chương Mặt kẻ 5.1 Mặt kẻ Là mặt mà điểm mặt kẻ đường thẳng nằm hoàn toàn mặt 5.2 Hyperboloit tầng Phương trình tổng qt hyperboloit tầng: x2 y z + − =1 a2 b c x z y x z + − = 1− ⇔ a c a c b  x z y  m + =l 1+   a c b Họ đường thẳng I:   l x − z = m − y a c b Họ đường thẳng II:  x z  m +   a c =l 1− y b   l x − z a c =m 1+ y b 25 1+ y b Nguyễn Đức Anh Khoa 5.3 Chương Mặt yên ngựa Phương trình tổng quát mặt yên ngựa: x2 y − = pz a2 b x y x y + − a b a b  x y  m + = lp   a b ⇔ Họ đường thẳng I:   l x − y a b Họ đường thẳng II: = pz = mz  x z  m +   a c = lz   l x − z a c = mp Trang 26 ... công thức biến đổi từ hệ tọa độ O i j k sang → −→ −→ − hệ tọa độ O i j k Trang Chương Đường thẳng mặt phảng không gian 2.1 Phương trình đường thẳng khơng gian Trong hệ tọa độ affine Oxyz cho đường... chứa trục tọa độ gọi mặt phẳng tọa độ Các mặt phẳng tọa độ gồm Oxy, Oyz, Oxz − Với vector → u không gian, tồn số (x, y, z) cho → − → − → − → − u =x i +y j +zk − − Khi đó, (x, y, z) gọi tọa độ vector... mục tiêu affine → −→ −→ − − → −→ −→ Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j k O i j k Giả sử đối → − → − − → −→ −→ với hệ tọa độ O i j k , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , c0 ), i = (a1 , b1 ,