Tiểu luận hình học giải tích PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

TR×˝NG I H¯C S× PH M TP HCM KHOA TO N-TIN o0o Ti”u lu“n h…nh håc gi£i t‰ch PH×ÌNG PH P TA TRONG KHNG GIAN Ngữới l m tiu lun: Nguyn ức Anh Khoa GiÊng viản hữợng dÔn: Thy Nguy„n L¶ Ch‰ Quy‚t Mưc lưc H» tåa º affine 1.1 1.2 1.3 H» tåa º affine iãu kiằn vector ỗng phflng Php Œi mưc ti¶u affine ÷íng thflng v 2.1 2.2 2.3 Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng Ph÷ìng tr…nh m°t phflng k Chịm m°t phflng khæng g H» tåa º trüc chu'n 3.1 3.2 H» tåa º trüc chu'n Œi mưc ti¶u trüc chu'n M°t trỈn xoay v 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Ph†p co rót M°t trỈn xoay M°t trö v m°t nân M°t elipxoit C¡c m°t hyperboloit C¡c m°t paraboloit M°t k· 5.1 5.2 5.3 M°t k· Hyperboloit tƒng M°t y¶n ngüa Ch÷ìng H» tåa 1.1 º affine H» tåa º affine Trong khæng gian, cho im õ vector khổng ỗng phflng Tp hổp gỗm im O v !! ! i ;j ;k ữổc gåi l h» tåa º affine khæng gian Khi â: i”m vector cì sð Ba ÷íng thflng lƒn lữổt i qua cĂc kỵ hiằu l CĂc mt phflng chøa trưc tåa º ÷ỉc gåi l m°t phflng tồa CĂc mt phflng tồa gỗm Oxy, Oyz, Oxz Vỵi mØi (x; y; z) cho Khi â, ( ! ho°c u Vỵi mØi i”m M b§t k… khỉng gian, gåi (x; y; z) l ! vector OM, ngh¾a l Khi â, (x; y; z) cơng ÷ỉc gåi l tåa º cıa i”m M, k‰ hi»u: M(x; y; z) ho°c M = (x; y; z) Nguy„n øc Anh Khoa Cho i”m M(x; y; z) v ! ! 0 Suy M M = (x x; y H» tåa º nhữ trản ữổc k hiằu l Trong hằ tồa affine u v + !! ! ! u=v u ! còng ! , >x1 = tx2 < > : , y1 = ty2 z1 = tz2 i x ! ! ! ! N‚u t > th u ;v hữợng Nu t < th u ;v ngữổc hữợng Trang Nguyn ức Anh Khoa (Chøng minh D( u ; v ; w ) = (Chøng minh ð 1.2 i•u ki»n ” vector Trong hằ tồa affine ỗng phflng !!! ! (x2 ; y2; z2) ;w = (x3; y3; z3) Khi â, ta câ: ! ! [u ;v ] x i ! = [( x =( y y2 = x2 x1 Do y1 â: ! ! z2 [j ;k ] + ! z1 ! :(x3 i + y3 j + ! z = x2 x1 x1 = y1 y x x y vector D( u ; v ; w ) = 0, ngh¾a l iãu tữỡng ữỡng vợi M Suy ra, Trang Vy: u ; v ; w ỗng phflng 1.3 Ph†p Œi mưc ti¶u affine Trong khỉng gian, cho h» tåa º affine vỵi h» tåa º ! (a2; b2; c2); k0 = (a3; b3 º cıa M Łi vợi hằ liản hằ gia cĂc s x; y; z v tåa º i”m, ta câ: OO0 = ! i0 = j0 = ! ! k0 a !1 a !2 a = !3 ! ! ! a OM =! O0M0 ! V… ! OM = OO +! ! ( ! = x 0i0 xi c x Tł â, suy Vit dữợi dng ma trn: yj + c y + flng thức trản ữổc gồi l cổng thøc bi‚n Œi tł h» tåa º !!! !!! h» tåa º Oi0j0k0 Trang Nguy„n øc Anh Khoa Chữỡng ( Cho ữớng trặn xoay cõ phữỡng trnh: 2 2 x +y =a z (M°t nân trặn xoay) Trang 17 Nguyn ức Anh Khoa Chữỡng Co rút theo phữỡng Oy vợi t s ta ữổc m°t nân câ ph÷ìng tr…nh: x2 a â, b = a 4.4 M°t elipxoit Cho ÷íng câ ph÷ìng + y2 b = z2 Trang 18 Nguy„n øc Anh Khoa Chữỡng Co rút theo phữỡng Oy vợi t¿ sŁ x ta ÷ỉc m°t elipxoit câ ph÷ìng tr…nh: a â, b = a Trang 19 Nguy„n øc Anh Khoa 4.5 Ch÷ìng C¡c m°t hyperboloit Cho ÷íng 0) quay xung quanh Oz ÷ỉc m°t trỈn x = 2pz 2 x + y = 2pz ( Paraboloit trỈn xoay ) Trang 22 Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng Co rót theo ph÷ìng Oy vợi t s ta ữổc mt paraboloit eliptic cõ ph÷ìng tr…nh: x2 y2 + = p0 z a2 b2 Mt cõ phữỡng trnh: paraboloit hyperbolic (Mt yản ngỹa) Trang 23 Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng Trang 24 Ch÷ìng M°t k· 5.1 M°t k· L m°t m t⁄i mồi im trản mt ãu kà ữổc mt ữớng thflng n‹m ho n to n tr¶n m°t â 5.2 Hyperboloit tƒng Ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t cıa hyperboloit tƒng: Hå ÷íng thflng II: > : 25 >l Nguy„n øc Anh Khoa 5.3 Mt yản ngỹa Phữỡng trnh tng quĂt ca mt yản ngỹa: Hồ ữớng thflng I: Hồ ữớng thflng II: > : Ch÷ìng Trang 26 ... Ch÷ìng H» tåa 1.1 º affine H» tåa º affine Trong khæng gian, cho i”m â vector khổng ỗng phflng Tp hổp gỗm im O v !! ! i ;j ;k ÷ỉc gåi l h» tåa º affine khæng gian Khi â: i”m vector cì sð Ba ÷íng thflng... tåa º !!! !!! h» tåa º Oi0j0k0 Trang Ch÷ìng ÷íng thflng v m°t ph£ng khỉng gian 2.1 Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng khỉng gian Trong h» tåa º affine Oxyz cho ÷íng thflng d i qua i”m M(x 0; y0; z0) ! nh“n... l iãu tữỡng ữỡng vợi M Suy ra, Trang V“y: u ; v ; w ỗng phflng 1.3 Php i mửc tiảu affine Trong khỉng gian, cho h» tåa º affine vỵi h» tåa º ! (a2; b2; c2); k0 = (a3; b3 ca M i vợi hằ liản hằ