TIỂU LUẬN HÌNH học GIẢI TÍCH PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRÊN mặt PHẲNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN-TIN ———————o0o——————– TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên: Khóa: Thầy Nguyễn Lê Chí Quyết Nguyễn Trọng Nhân 46 TP HỒ CHÍ MINH, 1/2021 Mục lục Mục tiêu affine 1.1 Mục tiêu affine 1.2 Phép đổi mục tiêu Đường thẳng 2.1 Phương trình đường thẳng 2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.3 Chùm đường thẳng Mục tiêu Euclide 10 3.1 Mục tiêu Euclid 10 3.2 Phép đổi mục tiêu 11 Một số đường bậc hai đặc biệt 14 4.1 Đường tròn 14 4.2 Elip 15 4.3 Đường Hipebol 16 4.4 Đường Parabol 17 Đường bậc hai 18 5.1 Phương trình đường bậc hai 18 5.2 Tâm đối xứng 18 5.3 Bài toán tương giao 18 5.4 Tiếp tuyến 19 5.5 Tiệm cận 20 MỤC LỤC 5.6 Đường kính liên hợp với phương 20 5.7 Các loại đường bậc hai 21 Chương Mục tiêu affine 1.1 Mục tiêu affine −→ → − −→ → − Trong không gian cho điểm O vector OI = i , OJ = j không phương → − → − Tập hợp gồm điểm O vector i , j gọi hệ tọa độ affine mặt phẳng Khi đó: Đường thẳng Ox qua điểm O điểm I gọi trục hoành, đường thẳng Oy qua điểm O điểm J gọi trục tung → −→ − Điểm O gọi gốc tọa độ Hệ tọa độ affine ký hiệu O i j Oxy − Với vector → u khơng gian, tồn số (x, y) CHƯƠNG MỤC TIÊU AFFINE cho → − → − → − u =x i +y j − − − Khi đó, (x, y) gọi tọa độ vector → u , kí hiệu: → u (x, y) → u = (x, y) −−→ Với điểm M khơng gian, gọi (x, y) tọa độ vector OM , nghĩa −−→ → − → − OM = x i + y j Khi đó, (x, y) gọi tọa độ điểm M , kí hiệu: M (x, y) M = (x, y) Cho điểm M (x, y) M (x , y ) ta có: −−−→ −−→ −−→ → − → − → − → − M M = OM − OM = x i + y j − x i − y j → − → − = (x − x) i + (y − y) j −−−→ Suy M M = (x − x, y − y) → −→ − − − Trong hệ tọa độ affine O i j , cho vector → u (x1 , y1 ), → v (x2 , y2 ) Khi đó, ta có tính chất sau: → − → − − − → u +→ v = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j = (x1 + x2 , y1 + y2 )   x = x → − → − → − → − → − → − u = v ⇔ x1 i + y1 j = x2 i + y2 j ⇔  y = y − − − − → u phương → v ⇔→ u = t→ v → − → − → − → − ⇔ x1 i + y1 j = tx2 i + ty2 j   x1 = tx2 ⇔  y1 = ty2 − − Nếu t > → u ,→ v hướng − − Nếu t < → u ,→ v ngược hướng CHƯƠNG MỤC TIÊU AFFINE 1.2 Phép đổi mục tiêu → −→ − → −→ − Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j O i j Giả sử hệ tọa → − → − → −→ − độ O i j , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , ), i = (a1 , b1 ), j = (a2 , b2 ) Đối với điểm → −→ − → −→ − M bất kì, gọi (x, y) tọa độ M hệ O i j M (x , y ) hệ O i j Ta tìm liên hệ số x, y x , y Theo định nghĩa tọa độ vector tọa độ điểm, ta có: −−→ → − → − OO = a0 i + b0 j → − → − → − i = a1 i + b1 j → − → − → − j = a2 i + b2 j −−→ → − → − OM = x i + y j −−−→ → − → − OM =x i +y j −−→ −−→ −−→ Vì OM = OO + O M nên → − → − → − → − x i + y j = (a1 x + a2 y + a0 ) i + (b1 x + b2 y + b0 ) j Từ đó, suy   x = a1 x + a2 y + a0  y = b1 x + b2 y + b0 Viết dạng ma trận:        x a a x a   =  2   +  0 y b1 b2 y b0 → −→ − Đẳng thức gọi công thức biến đổi từ hệ tọa độ O i j sang hệ tọa độ → −→ − Oi j Trường hợp đặc biệt: Phép tịnh tiến mục tiêu → −→ − Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j c Giả sử hệ tọa độ → −→ − O i j , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , ) Đối với điểm M bất kì, gọi (x, y) tọa độ → −→ − → −→ − M hệ O i j M (x , y ) hệ O i j Ta tìm liên hệ số x, y x , y Ta có:        x a a x a   =  2   +  0 y b1 b2 y b0 CHƯƠNG MỤC TIÊU AFFINE Với (a1 , b1 ) = (1, 0) (a2 , b2 ) = (0, 1), đẳng thức trở thành:        x a x    +  0  = y b0 y ⇔   x = x + a0  y = y + b → −→ − → −→ − Đây công thức chuyển trục phép tịnh tiến từ O i j sang O i j Chương Đường thẳng 2.1 Phương trình đường thẳng − Trong hệ tọa độ affine Oxy cho đường thẳng d qua điểm M (x0 , y0 ) nhận → u (a, b) làm vector phương −−−→ Khi đó, với điểm M (x, y) thuộc d, ta ln có M0 M phương với u, hay −−−→ − M0 M = t→ u với t số thực Do đó, đường thẳng d xem tập hợp tất −−−→ − điểm M cho M M = t→ u với t ∈ R −−−→ − M0 M = t→ u ⇔ (x  − x0 , y − y0 ) = t(a, b) (t ∈ R)  x = x0 + ta ⇔ (t ∈ R)  y = y0 + tb (1) Hệ (1) gọi phương trình tham số đường thẳng d Với số thực t, ta tìm số (x, y) = (x0 + at, y0 + bt) tọa độ điểm thuộc đường thẳng d ngược lại, với điểm M thuộc đường thẳng d, ta tìm số thực t tương ứng Nếu số a, b khác 0, từ phương trình tham số, ta rút được, điểm M (x, y) thuộc đường thẳng d tồn số thực t cho: t= x − x0 y − y0 = a b Do đó, tập hợp tất điểm M (x, y) thuộc đường thẳng d thỏa mãn phương CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG trình: x − x0 y − y0 = a b Phương trình phương trình tắc đường thẳng d Hay: bx − ay − bx0 + ay0 = Phương trình phương trình tổng qt đường thẳng d Vậy đường thẳng có phương trình dạng: Ax+By +C = (A2 +B = 0) Tiếp theo ta chứng minh điều ngược lại: tập hợp tất điểmM mà tọa độ (x, y) thỏa mãn phương trình Ax + By + C = (A2 + B = 0) đường thẳng Ta chọn cặp số x0 , y0 thỏa: Ax0 + By0 + C = Mà: Ax + By + C = Suy ra: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = Hay: A(x − x0 ) = B(y − y0 ) Mà: (A2 + B = 0) Giả sử: A = 0, ta suy B = (vô lý) Do đó: a, b = −−→ Gọi N điểm có tọa độ (x0 , y0 ), vecto N M có tọa độ (x − x0 , y − y0 ) Nếu ta gọi − vecto → u có tạo độ (−B, A), ta có: A(x − x0 ) = B(y − y0 ) suy t= Tức là:   x = x0 + ta x − x0 y − y0 = −B A −−→ − hay N M = t→ u  y = y0 + tb Vậy điểm M có tỏa độ thỏa mãn phương trình (1) nằm đường thẳng qua điểm N có vecto phương (−B, A) 2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : A1 x + B1 y + C1 = 0(1) d2 : A2 x + B2 y + C2 = 0(2) (A21 + B22 = A22 + B22 = 0) Như ta biết số giao điểm hai đường thẳng d1 d2 số nghiệm hệ phương trình (1) (2) CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG Giải hệ (1) (2) ta có kết sau: Hệ có nghiệm ⇔ A1 B2 − A2 B1 = ⇔ d1 d2 cắt Hệ vô nghiệm ⇔   A1 B2 − A2 B1 = ⇔ d1 song song d2  B1 C2 − B2 C1 = Hệ có vơ số nghiệm ⇔ A1 B2 − A2 B1 = A1 C2 − A2 C1 = B1 C2 − B2 C1 = ⇔ d1 trùng d2 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG 2.3 Chùm đường thẳng Tập hợp tất đường thẳng đin qua điểm I gọi chùm đường thẳng Điểm I gọi tâm cảu chùm đường thẳng Giả sử điểm I có phương trình tổng quát:   A1 x + B1 y + C1 =  A2 x + B2 y + C2 = Trong đó: A1 B2 = A2 B1 Gọi a, b hai số thực tùy ý không đồng thời khơng Ta chứng minh phương trình: a(A1 x + B1 y + C1 ) + b(A2 x + B2 y + C2 ) = (3) biểu thị cho đường thẳng chùm (3) ⇔ (aA  + bA2 )x + (aB1 + bB2 )y + aC1 + bC2 =  aA1 + bA2 = Giả sử:  aB1 + bB2 = Mà A1 B2 = A2 B1 suy a = b = (trái với giả sử) Vậy (3) phương trình đường thẳng qua I Tiếp theo ta chứng minh điều ngược lại chùm đường thẳng xác định bỏi hai đường thẳng d1 d2 đường thẳng chùm có phương trình dạng (3) Giả sử d đường thẳng chùm, tức d qua điểm I(x0 , y0 ), lấy điểm M (x1 , y1 ) = I thuộc đường thẳng d, đặt a = A2 x1 + B2 y1 + C2 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG b = −(A1 x1 + B1 y1 + C1 ) dễ dàng thấy a2 + b2 = M = I Xét phương trình: a(A1 x + B1 y + C1 ) + b(A2 x + B2 y + C2 ) = (4) Giả sử:   aA1 + bA2 =  aB1 + bB2 = Mà: A1 B2 = A2 B1 suy a = b = (trái với giả sử) Vậy (4) phương trình đường thẳng qua I Dễ dàng thấy (x1 , y1 ) thỏa mãn phương trình (4) Vậy phương trình (3) phương trình chùm đường thẳng Chương Mục tiêu Euclide 3.1 Mục tiêu Euclid → −→ − → − → − Hệ tọa độ trực chuẩn  hệ tọa độ affine O i j , i , j vector đơn −→ −  → i j =0 vị vuông góc với −2 → −  → i = j2=1 Một số tính chất bản: Hệ tọa độ trực chuẩn cỏ đầy đủ tính chất hệ tọa độ affine,và có thêm số tính chất đặc biệt:  − → u = (a, b) Cho  − → v = (c, d) → − → − → − → − → − → − − − → u → v = (a i + b j )(c i + d j ) = ac i + bd j 10 CHƯƠNG MỤC TIÊU EUCLIDE 11 → − → − Mà i = j = → − → − i j = ac + bd √− → √ − |→ u|= → u − u = a2 + b − − cos(→ u ,→ v)= √ AB = ac + bd √ a2 + b c + d (xB − xA )2 + (yB − yA )2 Cho điểm M (x0 , y0 ) đường thẳng (d) : Ax + By + C = Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d[M, (d)] = 3.2 |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B Phép đổi mục tiêu → − → − → −→ − Trong mục tiêu trực chuẩn O i j , cho điểm O (a0 , b0 ) vector i (a1 , b1 ), j (a2 , b2 ) → − → − cho (O , i , j, ) lập thành mục tiêu trực chuẩn Cho điểm M cố định có tọa độ mục tiêu trực chuẩn cũ (x, y) (x , y ) Khi đó, theo phép đổi mục tiêu affine, ta có:   x = a1 x + a2 y + a0  y = b1 x + b2 y + b0 Viết dạng ma trận:        x a a x a   =  2   +  0 y b1 b2 y b0      a2 + b =  → − → −    i j =0 a b Mà: ⇔ c2 + d = ⇒ = ad − bc = ±1 −2 → −2    → b d  i = j =1   ac + bd = Trường hợp đặc biệt: CHƯƠNG MỤC TIÊU EUCLIDE 12 Tịnh tiến mục tiêu → −→ − Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j c Giả sử hệ tọa độ → −→ − O i j , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , ) Đối với điểm M bất kì, gọi (x, y) tọa → −→ − → −→ − độ M hệ O i j M (x , y ) hệ O i j Ta tìm liên hệ số x, y x , y Ta có:        x a a x a   =  2   +  0 y b b2 y b0 Với (a1 , b1 ) = (1, 0) (a2 , b2 ) = (0, 1), đẳng thức trở thành:        x a x  =    +  0 y y b0 ⇔   x = x + a0  y = y + b → −→ − → −→ − Đây công thức chuyển trục phép tịnh tiến từ O i j sang O i j Quay mục tiêu góc α : QαO (α góc lượng giác) CHƯƠNG MỤC TIÊU EUCLIDE 13 → −→ − → −→ − Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j O i j Giả sử hệ tọa − → − → −→ − → độ O i j , i = (cos α, sin α), j = (− sin α, cos α) Đối với điểm M bất kì, → −→ − → −→ − gọi (x, y, z) tọa độ M hệ O i j M (x , y ) hệ O i j Ta tìm liên hệ số x, y x , y      x cos α − sin α x   QαO :   =  y sin α cos α y   x = x cos α − y sin α ⇒  y = x sin α + y cos α → −→ − → −→ − Đây công thức chuyển trục phép quay từ O i j sang O i j Chương Một số đường bậc hai đặc biệt Ta xét tất đường bậc hai sau mục tiêu trực chuẩn 4.1 Đường tròn Trong mặt phẳng cho điểm I(x0 , y0 ) cố định, tập hợp tất điểm M mặt phẳng cách cho M I = R (trong R số không đổi lớn không R gọi bán kính đường trịn) gọi đường trịn Ta có M (x, y) điểm thuộc đường tròn nên: M I = R ⇔ M I = R2 ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 Đây phương trình tắc đường trịn tâm I bán kính R 14 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐƯỜNG BẬC HAI ĐẶC BIỆT 4.2 15 Elip Trong mặt phẳng cho hai điểm F1 , F2 cố định F1 F2 = 2c (c > 0) Tập hợp tất điểm M (x, y) mặt phẳng cho M F1 + M F2 = 2a (trong a số không đổi lớn c) gọi đường elip Ta có M (x, y) điểm thuộc đường elip nên: M F1 + M F2 = 2a ⇔ (x + c)2 + y + (x − c)2 + y = 2a ⇔ (x − c)2 + y − 2a = − (x + c)2 + y ⇔ (x − c)2 + y + 4a2 − 4a (x − c)2 + y = (x + c)2 + y ⇔ a (x − c)2 + y = a2 − cx ⇔ a2 ((x − c)2 + y ) = (a2 − cx)2 ⇔ (a2 − c2 )x2 + a2 y = a2 (a2 − c2 ) ⇔ (a2 − c2 )2 x2 + a2 y = a2 (a2 − c2 )2 x2 y2 ⇔ 2+ =1 a a − c2 Do a > c đặt a2 − c2 = b2 phương trình trở thành: x2 y + =1 a2 b Đây phương trình tắc đường elip với hai tiêu điểm F1 , F2 tiêu cự 2c (trong 2a độ dài trục lớn, 2b độ dài trục nhỏ Elip) c a a Đặt e = < gọi tâm sai elip hai đường thẳng d1 : x = , d2 : x = a e e hai đường chuẩn elip CHƯƠNG MỘT SỐ ĐƯỜNG BẬC HAI ĐẶC BIỆT 16 M F2 M F1 = =e 0) Tập hợp tất điểm M (x, y) mặt phẳng cho |M F1 − M F2 | = 2a (trong a số khơng đổi nhỏ c) gọi đường hypebol Ta có M (x, y) điểm thuộc đường elip nên: |M F1 − M F2 | = 2a ⇔ M F1 − M F2 = ±2a ⇔ (x + c)2 + y − (x − c)2 + y = ±2a ⇔ (x + c)2 + y = (x − c)2 + y ± 2a ⇔ (x + c)2 + y = (x − c)2 + y + 4a2 ± 4a (x − c)2 + y ⇔ cx − a2 = ±a (x − c)2 + y ⇔ (c2 − a2 )x2 − a2 y = a2 (c2 − a2 ) x2 y2 =1 ⇔ 2− a c − a2 Do a < c đặt c2 − a2 = b2 phương trình trở thành: CHƯƠNG MỘT SỐ ĐƯỜNG BẬC HAI ĐẶC BIỆT 17 x2 y + =1 a2 b Đây phương trình tắc đường hypebol với hai tiêu điểm F1 , F2 tiêu cự 2c Định nghĩa khác cho hypebol: Cho điểm F1 , đường thẳng d1 không qua F1 số e > M F1 = e > hình Tập hợp tất điểm M mặt phẳng thỏa d(M, (d1 ) hypebol 4.4 Đường Parabol Cho điểm F1 , đường thẳng d1 không qua F1 số e = M F1 Tập hợp tất điểm M mặt phẳng thỏa = e = hình d(M, (d1 ) parabol Chương Đường bậc hai 5.1 Phương trình đường bậc hai Trong hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy đường bậc hai tổng qt có phương trình tổng qt: Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = A2 + B + C = 5.2 Tâm đối xứng Cho điểm I(x0 , y0 ) có tọa độ thỏa:   Fx (x0 , y0 ) =  F (x0 , y0 ) = y Lúc I gọi tâm đối xứng đường bậc hai 5.3 Bài toán tương giao Cho đường bậc hai (C) : F (x, y) = đường thẳng (d) :   x = x0 + at  y = y0 + bt (a2 + b2 = 0) Phương trình tương giao (C) (d) là: P t2 + Qt + R = 18 CHƯƠNG ĐƯỜNG BẬC HAI     P = Aa2 + 2Bab + Cb2    Trong đó: Q = aFx (x0 , y0 ) + bFy (x0 , y0 )      R = F (x0 , y0 ) Xét trường hợp: P = (a) δ > ⇔ (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (b) δ = ⇔ (d) tiếp xúc với (C) (c) δ < ⇔ (d) cắt (C) hai điểm ảo phân biệt P = (a) Q = ⇔ (d) cắt (C) điểm (b) Q = i R = ⇔ (d) không cắt (C) ii R = ⇔ (d) ∈ (C) 5.4 Tiếp tuyến Cho đường bậc hai (C) điểm M (x0 , y0 ) ∈ (C) Hãy viết phương trình tiếptuyến (d) (C) M  x = x0 + at Đường thẳng (d) có dạng:  y = y0 + bt Xét phương trình tương giao (d) (C): P t2 + QT + R = (R = F (x 0 , y0 ) = 0)    P = P = Mà (d) tiếp xúc với (C) nên: ⇔   δ = Q = Do đó: aFx (x0 , y0 ) + bFy (x0 , y0 ) =   a = −Fy (x0 , y0 ) Chọn  b = F (x0 , y0 ) x Suy (d) : (x − x0 )Fx (x0 , y0 ) + (y − y0 )Fy (x0 , y0 ) = 19 CHƯƠNG ĐƯỜNG BẬC HAI 5.5 20 Tiệm cận Cho đường bậc hai (C) : F (x, y) = đường thẳng (d) :   x = x0 + at  y = y0 + bt (a2 + b2 = 0) Phương trình tương giao (C) (d) là: P t2 + Qt + R = Q R + →0 t t Suy P = ⇔ Aa + 2Bab + Cb2 = (a, b) gọi phương tiệm Ta có: t → ∞ : P + cận Qt + R = Ta có: t → ∞ : Q + R →0 t Suy Q = Do (d) qua tâm I đường bậc hai 5.6 Đường kính liên hợp với phương CHƯƠNG ĐƯỜNG BẬC HAI 21 → − − − Xét → v (a, b) = không phương tiệm cận, (d) đường thẳng có phương → v cắt (C) hai điểm M, N Ta chứng minh: Quỹ tích trung điểm I M N đường thẳng gọi → − đường kính liên hợp với phương v   x = x0 + at Ta có: I(x0 , y0 ) ∈ (d) :  y = y0 + bt Phương trình tương giao (d) (C) là: P t2 + Qt + R = (1) (1) có nghiệm t1 , t2 : Áp  dụng định lý Viet:  t1 + t2 = −Q P R  t1 t2 = P Gọi M (x0 , y0 + at1 ), N (x0 , y0 + at2 ) giao điểm (d) (C) Trung điểm I có t1 + t2 t1 + t2 , y0 + a = (x0 , y0 ) tọa độ (x0 + a 2 Suy ra: t1 + t2 = ⇔ Q = ⇔ aFx (x0 , y0 ) + bFy (x0 , y0 ) = Vậy I thuộc đường thẳng:aFx (x0 , y0 ) + bFy (x0 , y0 ) = Do đó: tâm đường bậc ln nằm đường kính đường bậc hai 5.7 Các loại đường bậc hai   x2 + y = 1(af f ine) Elip: 2   x + y = 1(euclide) a2 b2   x2 + y = −1(af f ine) Elip ảo: 2   x + y = −1(euclide) a2 b2   x2 − y = 1(af f ine) Hypebol: 2   x − y = 1(euclide) a2 b2   x2 + y = 0(af f ine) Hai đường thẳng ảo cắt nhau: 2   x + y = 0(euclide) a2 b2 CHƯƠNG ĐƯỜNG BẬC HAI 22   x2 − y = 0(af f ine) Hai đường thẳng thật cắt nhau: 2   x − y = 0(euclide) a2 b2   x2 + 2y = 0(af f ine) Parabol:  x2 + 2py = 0(euclide) Hai đường thẳng thực trùng nhau:   x2 = 0(af f ine)  x2 = 0(euclide) Hai đường thẳng thật song song:   x2 = 1(af f ine)  x2 = a2 (euclide) Hai đường thẳng ảo song song:   x2 = −1(af f ine)  x2 = 1(euclide) ... hệ tọa độ O i j sang hệ tọa độ → −→ − Oi j Trường hợp đặc biệt: Phép tịnh tiến mục tiêu → −→ − Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j c Giả sử hệ tọa độ → −→ − O i j , điểm O có tọa độ. .. cho hệ tọa độ affine O i j O i j Giả sử hệ tọa → − → − → −→ − độ O i j , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , ), i = (a1 , b1 ), j = (a2 , b2 ) Đối với điểm → −→ − → −→ − M bất kì, gọi (x, y) tọa độ M... − Trong không gian, cho hệ tọa độ affine O i j c Giả sử hệ tọa độ → −→ − O i j , điểm O có tọa độ (a0 , b0 , ) Đối với điểm M bất kì, gọi (x, y) tọa → −→ − → −→ − độ M hệ O i j M (x , y ) hệ