Kiến thức chương 3 hình học toán 10 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ch-ơng ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ I Đ-ờng thẳng vectơ ph-ơng đ-ờng thẳng Định nghĩa 1: Một vectơ a khác gọi vectơ ph-ơng (viết tắt vtcp) đ-ờng thẳng (d) giá a song song hc trïng víi (d) NhËn xÐt:  NÕu a vtcp đ-ờng thẳng (d) vectơ k a với k vtpt (d) a Nếu a (a1; a2) vtcp đ-ờng thẳng (d) với a1 ta gọi k = hệ số a1 góc đ-ờng thẳng (d) Một đ-ờng thẳng đ-ợc hoàn toàn xác định biết vtcp điểm mà qua ph-ơng trình tham số đ-ờng thẳng Ta có kết quả: x x  a1 t Qua M (x , y ) (d):   (d):  ,t y  y  a t vtcp a(a ,a ) Ph-ơng trình (1) với điều kiện a12 + a 22 > đ-ợc gọi ph-ơng trình tham số đ-ờng thẳng Các tr-ờng hợp riêng: Nếu a1 = 0, ta đ-ợc: x  x (d):  ,t y  y a t đ-ờng thẳng có vtcp a (0; a2) vuông góc với Ox, cắt Ox điểm có hoành độ x0 Nếu a2 = 0, ta đ-ợc: x x  a1 t (d):  ,t y  y đ-ờng thẳng có vtcp a (a1; 0) vuông góc với Oy, cắt Oy điểm có tung độ y0 ph-ơng trình tắc đ-ờng thẳng Ta có kết quả: x x0 y  y0 Qua M (x , y ) (d):   (d): = a1 a2   vtcp a(a1 ,a ) 337 Tõ ®ã, ®-êng thẳng (d) qua hai điểm M1(x1; y1) M2(x2; y2), ta cã: Qua M1 (x1 , y1 ) x  x1 y  y1 (d):   (d): = x  x1 y  y1 Qua M (x , y ) vect¬ pháp tuyến đ-ờng thẳng Định nghĩa 2: Một vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) đ-ờng thẳng (d) giá n vuông gãc víi (d) NhËn xÐt:  NÕu n lµ vtpt đ-ờng thẳng (d) vectơ k n với k vtpt (d) Một đ-ờng thẳng đ-ợc hoàn toàn xác định biết vtpt điểm mà qua ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng Ta có kÕt qu¶:  Qua M (x , y ) (d):   (d): A(xx0) + B(yy0) = vtpt n(A, B) Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > vµ nã cã: vtpt n (A; B), vtcp a (B; A) A  hƯ sè gãc k =  , víi B  B Các tr-ờng hợp riêng: Nếu A = 0, ta đ-ợc: C (d): By + C = (d): y = B n đ-ờng thẳng có vtpt (0; B) vuông góc với C Oy, cắt Oy điểm có tung độ B L-u ý: Bản thân trục Ox có ph-ơng trình y = Nếu B = 0, ta đ-ợc: C (d): Ax + C = (d): x = A đ-ờng thẳng có vtpt n (A; 0) vuông góc với C Ox, cắt Ox điểm có hoành độ A L-u ý: Bản thân trục Oy có ph-ơng trình x = Nếu C = 0, ta đ-ợc (d): Ax + By = y n C/B O x y (d) n C/A x O y (d) O 338 (d) x đ-ờng thẳng có vtpt n (A; B) qua gốc toạ độ O Nếu A2 + B2 = 1, (4) đ-ợc gọi ph-ơng trình pháp dạng đ-ờng thẳng L-u ý: Để đ-a ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (d): Ax + By + C = ph-ơng trình pháp dạng ta cần chia hai vế ph-ơng trình cho đặt: A C B A0 = , B0 = vµ C0 = 2 2 A B A B A  B2 A2  B , Vị trí t-ơng đối hai đ-ờng thẳng Cho hai đ-ờng thẳng (d1) (d2) có ph-ơng trình (d1): A1x + B1y + C1 = (d2): A2x + B2y + C2 = b»ng viÖc xét hệ ph-ơng trình tạo (d1) (d2), ta cã kÕt qu¶: C A B a NÕu =   (d1) // (d2) C2 A2 B2 C A B b NÕu = =  (d1)  (d2) C2 A2 B2 A B c Nếu (d1) cắt (d2) điểm I A2 B2 tr-ờng hợp đ-ờng thẳng ®i qua I ®Ịu cã d¹ng: (A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0, (3) với + > Ph-ơng trình (3) đ-ợc gọi ph-ơng trình chùm đ-ờng thẳng, điểm I gọi tâm chùm Ta th-ờng dùng ph-ơng trình chùm đ-ờng thẳng để giải toán dạng: " Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua giao điểm hai đ-ờng thẳng đà cho thoả mÃn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm góc hai đ-ờng thẳng Gọi  = g((d1),(d2)),    900  Gäi a , b theo thø tù lµ vtcp cđa (d1), (d2), ®ã: | a.b | cos = | a |.| b | NhËn xÐt r»ng (d1)  (d2)  a1b1 + a2b2 =  Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hƯ sè gãc cđa (d1), (d2) , ®ã: k  k2 tg =  k1 k (4) (5) NhËn xÐt r»ng (d1)  (d2)  k1.k2 = 1 339 kho¶ng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình (d): Ax + By + C = Khi khoảng cách từ điểm M đến đ-ờng thẳng (d) đ-ợc cho bởi: | Ax M  By M  C | d(M, (d)) = A2 B Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(x , yM) tới đ-ờng thẳng (d) đ-ợc định nghĩa: Ax M By M C tM = HM = A2  B M Ph-ơng trình đ-ờng phân giác Định lý 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đ-ờng thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = Khi ph-ơng trình hai đ-ờng phân giác (1) (2) góc tạo (d1) vµ (d2) lµ: A x  B2y  C2 A1x  B1y  C1 = 2 A1  B1 A 22  B 22  Chó ý: Nếu (d1) (d2) không vuông góc với (d1) tạo với (d2) hai góc nhọn hai góc tù, ta xác đinh ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc nhọn góc tù nhờ kết bảng sau: Dấu Ph-ơng trình đ-ờng phân Ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc nhọn tạo giác góc tù tạo n n (d1), (d2) øng víi (d1), (d2) øng víi t1 = t2  t1 = t2 + t1 = t2 t1 = t2 ®ã:  n 1(A1, B1), n 2(A2, B2) theo thø tù lµ vtpt cđa (d1), (d2) t1, t2 theo thứ tự khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d1), (d2) II Đ-ờng tròn ph-ơng trình tắc đ-ờng tròn Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đ-ờng tròn (C) có tâm I(a, b) bán kính R có ph-ơng trình: (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 (1) Vậy, ta đ-ợc: Tâm I(a;b) (C):   (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 BkÝnh R  340  Chó ý: Ta cã:  Đ-ờng tròn tâm O bán kính R có ph-ơng trình x2 + y2 = R2 Đ-ờng tròn đơn vị có ph-ơng trình x2 + y2 = ph-ơng trình tổng quát đ-ờng tròn Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đ-ờng cong (C) có ph-ơng trình (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c (2) ph-ơng trình đ-ờng tròn tâm I(a, b) bán kính R = a b c Ph-ơng trình tiếp tuyến đ-ờng tròn Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, ph-ơng trình tiếp tuyến (d) điểm M(x0; y0) đ-ờng tròn (C): (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 có ph-ơng trình: (d): (xa)(x0a) + (yb)(y0b) = R2 (5) Chú ý: Ph-ơng trình (5) đ-ợc gọi ph-ơng trình phân đôi toạ độ theo quy tắc (xa)2 = (xa).(xa) thay b»ng (xa).(x0a) (yb)2 = (yb)(yb) thay b»ng (yb)(y0b) Nếu (C) có ph-ơng trình tổng quát: (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c tiếp tuyến (d) có ph-ơng trình: (d): x.x0 + y.y0a(x + x0)b(y + y0) + c = dùa theo quy t¾c: x2 = x.x thay b»ng x.x0 y2 = y.y thay b»ng y.y0 2ax = a(x + x) thay b»ng a(x + x0) 2by = b(y + y) thay b»ng a(y + y0) Trong tr-ờng hợp tổng quát, đ-ờng thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đ-ờng tròn (C) có tâm I bán kính R khi: d(I, (d)) = R ph-ơng tích điểm đ-ờng tròn Cho đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình: (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c Ph-ơng tích điểm M(x0, y0) đ-ờng tròn (C) đ-ợc xác định bởi: = x 20 + y 20 2ax02by0 + c p M/(C) Tõ giá trị dấu Nếu p M/(C) p M/(O) ta xác định đ-ợc vị trí điểm M ®èi víi (C) >  M ë ngoµi ®-êng trßn (C) 341   M/(C) =  M đ-ờng tròn (C) M/(C) < M đ-ờng tròn (C) p Nếu p Nếu Trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn Cho hai đ-ờng tròn không đồng tâm (C1) (C2) có ph-ơng trình: (C1): x2 + y22a1x2b1y + c1 = 0, víi a12  b12  c1  (C2): x2 + y22a2x2b2y + c2 = 0, víi a22  b22  c2 Khi tập hợp điểm có ph-ơng tích với hai đ-ờng tròn (C1) (C2) đ-ờng thẳng (d), gọi trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn (C1), (C2) có ph-ơng trình: (d): 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)yc1 + c2 = III ElÝp ph-ơng trình tắc elíp Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0) có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y)(E) 2a (a > c) có ph-ơng trình: (E): x2 y2  , víi b2 = a2c2 a b y M F1 x yb O F2 x  Chú ý: Điểm M(x, y)(E) có: F1 M = a + cx cx vµ F2M = a a a ph-ơng trình tham số elíp Elíp (E) có ph-ơng trình tắc: x2 y2 a b2 đ-ợc chuyển dạng tham số: x a  sin t x  a sin t (E):  , t  [0, 2)  (E):  , t  [0; 2) (*) y  b cos t y cos t b Ph-ơng trình (*) đ-ợc gọi ph-ơng trình tham số dạng l-ợng giác Elíp (E) t Ta biết rằng, đặt z = tan th×: 2z  z2 sint = vµ cost = ,  z2  z2 (E): 342 (*) đ-ợc viết d-ới d¹ng: 2az  x   z (E):  ,z y  b(1  z ) z2 Ph-ơng trình (**) đ-ợc gọi ph-ơng trình tham số dạng đại số (E) hình dạng elíp y Với Elíp (E) có ph-ơng tr×nh: (E): (**) M b B2 x y   , víi a > b > a b y A1 x A2 a x O a ta xét tính chất hình học (E) cách xét b B1 tính chất đại số t-ơng ứng ph-ơng trình a Ph-ơng trình (E) có bậc chẵn x y nên: Nếu điểm M(x; y)(E) điểm M1(x; y), M2(x; y) vµ M3(x; y) cịng thc (E)  (E) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc O làm tâm đối xứng b (E) cắt trục toạ độ bốn điểm: (E) Ox = {A1, A2} có toạ độ A1(a; 0), A2(a; 0) đoạn thẳng A1A2 gọi trục lớn (E) có độ dài 2a (E) Oy = {B1, B2} có toạ độ B1(0; b); B2(0; b) đoạn thẳng B1B2 gọi trục nhỏ (E) có độ dài 2b Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi bốn đỉnh Elíp (E) L-u ý: Hai tiêu điểm Elíp (E) trục lớn c Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có đỉnh giao điểm đ-ờng thẳng x = a đ-ờng thẳng y = b đ-ợc gọi hình chữ nhật sở (E) Vậy Elíp (E) nằm hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có kích th-íc lµ 2a, 2b d Tõ M(x; y)  (E) ta đ-ợc: x2 a  x  a | x | a a      b  y  b | y | b y   b F1 F2 T©m sai cđa elÝp T©m sai Elíp số thực e tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn Elíp §èi víi ElÝp (E): c x2 y2   , víi a > b th× e = a a b  §èi víi ElÝp (E): c x2 y2   , víi a < b th× e = b a b 343 Chú ý: Mọi Elíp có tâm sai nhỏ Tâm sai e = suy c =  a = b Khi ®ã: x2 y2 x2 y2       x2 + y2 = a2 a b2 a2 a2 Elíp trở thành đ-ờng tròn tâm O, bán kính a IV Hypebol ph-ơng trình tắc Hypebol Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0) có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuú ý M(x; y)  (H) lµ 2a (a > c) có ph-ơng trình: (H): x2 y2 , víi b2 = c2a2 a2 b2  Chó ý: §iĨm M(x; y)  (H) lu«n cã: cx cx + a vµ F2M = a víi x > a a cx cx b F1M =  a vµ F2M =  + a víi x < a a a F1M = y hình dạng Hypebol Với Hypebol (H) có ph-ơng trình: Q B2 P x2 y2  1 A2 F2 x F1 A1 O a2 b2 B1 ta xét tính chất hình học (H) cách xét R S tính chất đại số t-ơng ứng ph-ơng trình c Ph-ơng trình (H) có bậc chẵn x y nên: Nếu điểm M(x; y) (H) điểm M1(x; y), M2(x; y) vµ M3(x; y) cịng thc (H) (H) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc O làm tâm đối xứng d (H) cắt trục toạ độ hai điểm: (H) Ox = {A1, A2} có toạ độ A1(a; 0), A2(a; 0) đoạn thẳng A1A2 gọi trụ c thực (H) có độ dài 2a (H) không cắt Oy, đặt B1(0; b); B2(0; b) đoạn thẳng B1B2 gọi trục ảo (H) có ®é dµi b»ng 2b  VËy trơc thùc cđa Hyperbol trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo trục đối xứng không cắt Hyperbol Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi bốn đỉnh Hypebol (H) (H): 344 L-u ý: Hai tiêu điểm Hypebol (H) trục thực e Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có đỉnh giao điểm đ-ờng thẳng x = a đ-ờng thẳng y = b đ-ợc gọi hình chữ nhật c¬ së cđa (H) f Tõ M(x; y)  (H) suy ra: x  a x2   x  a   a  x  a Nh- Hyperbol (H) tập hợp hai tËp kh«ng giao - TËp cđa (H) chứa điểm M(x; y) thoả mÃn x a gọi nhánh bên phải Hyperbol - Tập (H) chứa điểm M(x; y) thoả mÃn x a gọi nhánh bên trái Hyperbol - Hai nhánh đối xứng qua trục ảo hai nhận trục thực làm trục đối xứng b a Tõ M(x; y)  (H)  y =  x  a2 a b - Khi x +: (H) cã tiÖm cËn y = x a b - Khi x : (H) cã tiÖm cËn y =  x a b VËy Hyperbol (H) cã ®-êng tiệm cận là: y = x a b Cách dựng Hyperbol (H) - Xác định vị trí điểm A1(a; 0) ;A2(a; 0), B1(0; b), B2(0; b) trªn hƯ toạ độ - Dựng đ-ờng thẳng x = a y = b cắt P, Q, R, S - Hình chữ nhật PQRS có kích th-ớc 2a, 2b gọi hình chữ nhật sở Hyperbol - Kẻ hai đ-ờng tiệm cận hai đ-ơng chéo hình chữ nhật sở - Dựa hai ®Ønh A1, A2 vµ hai ®-êng tiƯm cËn ®Ĩ vÏ Hyperbol y Hyperbol liên hợp Định nghĩa Hai Hyperbol có ph-ơng trình: x2 y2 x2 y2 (H1):   vµ (H2):  = a b a b gọi hai Hyperbol liên hỵp B2 F1 A1 O A2 F2 x B1  Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp: - Có chung đ-ợng tiệm cận hình chữ nhật sở - Có tiêu điểm đỉnh khác Trục thực Hyperbol trục ảo Hyperbol ng-ợc lại 345 Tâm sai Hypebol Tâm sai Hypebol số thực e tỉ số tiêu cự độ dài trục thực Hypebol c x2 y2  §èi víi Hypebol (H):   th× e = a a b c x2 y2  §èi víi Hypebol (H):   1 th× e = b a b  Chú ý: Mọi Hypebol có tâm sai lớn V Parabol ph-ơng trình tắc Parabol p Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Parabol (P) có hai tiêu điểm F( ; 0) đ-ờng p chuẩn (d): x = có ph-ơng trình (P): y2 = 2px  Chó ý: §iĨm M(x; y)  (P) lu«n cã FM = x + 2p hình dạng Parabol Với Parabol (P) có ph-ơng tr×nh: (P): y2 = 2px, víi p > y (d) Các thuộc tính (P) gồm: Đỉnh O(0; 0), L p/2 O p Tiêu điểm F ( ; 0), p  §-êng chuÈn (d): x = , Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox (P) F p/2 x Chú ý: Ngoài dạng tắc y2 = 2px, ng-ời ta cung coi dạng ph-ơng trình sau ph-ơng trình tắc Parabol: (P): y2 = 2px, (P): x2 = 2py VI Ba đ-ờng côníc Định nghĩa: Đ-ờng chuẩn Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm Fi (i = 1,2) đ-ờng thẳng (i) (i = 1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa tiêu điểm nằm phía với Fi trục đối xứng lại cách tâm Elíp (Hyperbol) a đoạn với e tâm sai a độ dài nửa trục lớn (trục thực) e 346 ... d(M,(AC))  (5x  12y  63) ( 63)  (3x  4y) (3. 3  4.4)  | 5x  12y  63 |  12 35 2  | 3x  4y | 32  5x  12y  63    3x  4y   14x112y + 31 5 = 5(5x  12y  63)  13( 3x  4y)  Đó ph-ơng... vtcp a (3, 4) b (d) qua điểm M(2, 3) cã vtpt n (5, 1)  Gi¶i a Ta cã ngay: Qua M(2, 1) x   3t (d):   (d):  , t  R vtcp a (3, 4) y   t b Ta cã: Qua M(2, 3) Qua M(2, 3) x ... ph-ơng trình : 3x4y = 0, 4x3y = 0, 5x + 12y 63 =  Gi¶i Giả sử ba ph-ơng trình cạnh AB, BC, AC a Ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc A : Tr-ớc tiên: Tọa độ B nghiệm hệ ph-ơng trình: 3x 4y x