ch-ơng ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ I Đ-ờng thẳng vectơ ph-ơng đ-ờng thẳng Định nghĩa 1: Một vectơ a khác gọi vectơ ph-ơng (viết tắt vtcp) đ-ờng thẳng (d) giá a song song hc trïng víi (d) NhËn xÐt: NÕu a vtcp đ-ờng thẳng (d) vectơ k a với k vtpt (d) a Nếu a (a1; a2) vtcp đ-ờng thẳng (d) với a1 ta gọi k = hệ số a1 góc đ-ờng thẳng (d) Một đ-ờng thẳng đ-ợc hoàn toàn xác định biết vtcp điểm mà qua ph-ơng trình tham số đ-ờng thẳng Ta có kết quả: x x a1 t Qua M (x , y ) (d): (d): ,t y y a t vtcp a(a ,a ) Ph-ơng trình (1) với điều kiện a12 + a 22 > đ-ợc gọi ph-ơng trình tham số đ-ờng thẳng Các tr-ờng hợp riêng: Nếu a1 = 0, ta đ-ợc: x x (d): ,t y y a t đ-ờng thẳng có vtcp a (0; a2) vuông góc với Ox, cắt Ox điểm có hoành độ x0 Nếu a2 = 0, ta đ-ợc: x x a1 t (d): ,t y y đ-ờng thẳng có vtcp a (a1; 0) vuông góc với Oy, cắt Oy điểm có tung độ y0 ph-ơng trình tắc đ-ờng thẳng Ta có kết quả: x x0 y y0 Qua M (x , y ) (d): (d): = a1 a2 vtcp a(a1 ,a ) 337 Tõ ®ã, ®-êng thẳng (d) qua hai điểm M1(x1; y1) M2(x2; y2), ta cã: Qua M1 (x1 , y1 ) x x1 y y1 (d): (d): = x x1 y y1 Qua M (x , y ) vect¬ pháp tuyến đ-ờng thẳng Định nghĩa 2: Một vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) đ-ờng thẳng (d) giá n vuông gãc víi (d) NhËn xÐt: NÕu n lµ vtpt đ-ờng thẳng (d) vectơ k n với k vtpt (d) Một đ-ờng thẳng đ-ợc hoàn toàn xác định biết vtpt điểm mà qua ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng Ta có kÕt qu¶: Qua M (x , y ) (d): (d): A(xx0) + B(yy0) = vtpt n(A, B) Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > vµ nã cã: vtpt n (A; B), vtcp a (B; A) A hƯ sè gãc k = , víi B B Các tr-ờng hợp riêng: Nếu A = 0, ta đ-ợc: C (d): By + C = (d): y = B n đ-ờng thẳng có vtpt (0; B) vuông góc với C Oy, cắt Oy điểm có tung độ B L-u ý: Bản thân trục Ox có ph-ơng trình y = Nếu B = 0, ta đ-ợc: C (d): Ax + C = (d): x = A đ-ờng thẳng có vtpt n (A; 0) vuông góc với C Ox, cắt Ox điểm có hoành độ A L-u ý: Bản thân trục Oy có ph-ơng trình x = Nếu C = 0, ta đ-ợc (d): Ax + By = y n C/B O x y (d) n C/A x O y (d) O 338 (d) x đ-ờng thẳng có vtpt n (A; B) qua gốc toạ độ O Nếu A2 + B2 = 1, (4) đ-ợc gọi ph-ơng trình pháp dạng đ-ờng thẳng L-u ý: Để đ-a ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (d): Ax + By + C = ph-ơng trình pháp dạng ta cần chia hai vế ph-ơng trình cho đặt: A C B A0 = , B0 = vµ C0 = 2 2 A B A B A B2 A2 B , Vị trí t-ơng đối hai đ-ờng thẳng Cho hai đ-ờng thẳng (d1) (d2) có ph-ơng trình (d1): A1x + B1y + C1 = (d2): A2x + B2y + C2 = b»ng viÖc xét hệ ph-ơng trình tạo (d1) (d2), ta cã kÕt qu¶: C A B a NÕu = (d1) // (d2) C2 A2 B2 C A B b NÕu = = (d1) (d2) C2 A2 B2 A B c Nếu (d1) cắt (d2) điểm I A2 B2 tr-ờng hợp đ-ờng thẳng ®i qua I ®Ịu cã d¹ng: (A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0, (3) với + > Ph-ơng trình (3) đ-ợc gọi ph-ơng trình chùm đ-ờng thẳng, điểm I gọi tâm chùm Ta th-ờng dùng ph-ơng trình chùm đ-ờng thẳng để giải toán dạng: " Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua giao điểm hai đ-ờng thẳng đà cho thoả mÃn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm góc hai đ-ờng thẳng Gọi = g((d1),(d2)), 900 Gäi a , b theo thø tù lµ vtcp cđa (d1), (d2), ®ã: | a.b | cos = | a |.| b | NhËn xÐt r»ng (d1) (d2) a1b1 + a2b2 = Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hƯ sè gãc cđa (d1), (d2) , ®ã: k k2 tg = k1 k (4) (5) NhËn xÐt r»ng (d1) (d2) k1.k2 = 1 339 kho¶ng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình (d): Ax + By + C = Khi khoảng cách từ điểm M đến đ-ờng thẳng (d) đ-ợc cho bởi: | Ax M By M C | d(M, (d)) = A2 B Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(x , yM) tới đ-ờng thẳng (d) đ-ợc định nghĩa: Ax M By M C tM = HM = A2 B M Ph-ơng trình đ-ờng phân giác Định lý 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đ-ờng thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = Khi ph-ơng trình hai đ-ờng phân giác (1) (2) góc tạo (d1) vµ (d2) lµ: A x B2y C2 A1x B1y C1 = 2 A1 B1 A 22 B 22 Chó ý: Nếu (d1) (d2) không vuông góc với (d1) tạo với (d2) hai góc nhọn hai góc tù, ta xác đinh ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc nhọn góc tù nhờ kết bảng sau: Dấu Ph-ơng trình đ-ờng phân Ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc nhọn tạo giác góc tù tạo n n (d1), (d2) øng víi (d1), (d2) øng víi t1 = t2 t1 = t2 + t1 = t2 t1 = t2 ®ã: n 1(A1, B1), n 2(A2, B2) theo thø tù lµ vtpt cđa (d1), (d2) t1, t2 theo thứ tự khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d1), (d2) II Đ-ờng tròn ph-ơng trình tắc đ-ờng tròn Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đ-ờng tròn (C) có tâm I(a, b) bán kính R có ph-ơng trình: (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 (1) Vậy, ta đ-ợc: Tâm I(a;b) (C): (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 BkÝnh R 340 Chó ý: Ta cã: Đ-ờng tròn tâm O bán kính R có ph-ơng trình x2 + y2 = R2 Đ-ờng tròn đơn vị có ph-ơng trình x2 + y2 = ph-ơng trình tổng quát đ-ờng tròn Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đ-ờng cong (C) có ph-ơng trình (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c (2) ph-ơng trình đ-ờng tròn tâm I(a, b) bán kính R = a b c Ph-ơng trình tiếp tuyến đ-ờng tròn Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, ph-ơng trình tiếp tuyến (d) điểm M(x0; y0) đ-ờng tròn (C): (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 có ph-ơng trình: (d): (xa)(x0a) + (yb)(y0b) = R2 (5) Chú ý: Ph-ơng trình (5) đ-ợc gọi ph-ơng trình phân đôi toạ độ theo quy tắc (xa)2 = (xa).(xa) thay b»ng (xa).(x0a) (yb)2 = (yb)(yb) thay b»ng (yb)(y0b) Nếu (C) có ph-ơng trình tổng quát: (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c tiếp tuyến (d) có ph-ơng trình: (d): x.x0 + y.y0a(x + x0)b(y + y0) + c = dùa theo quy t¾c: x2 = x.x thay b»ng x.x0 y2 = y.y thay b»ng y.y0 2ax = a(x + x) thay b»ng a(x + x0) 2by = b(y + y) thay b»ng a(y + y0) Trong tr-ờng hợp tổng quát, đ-ờng thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đ-ờng tròn (C) có tâm I bán kính R khi: d(I, (d)) = R ph-ơng tích điểm đ-ờng tròn Cho đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình: (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c Ph-ơng tích điểm M(x0, y0) đ-ờng tròn (C) đ-ợc xác định bởi: = x 20 + y 20 2ax02by0 + c p M/(C) Tõ giá trị dấu Nếu p M/(C) p M/(O) ta xác định đ-ợc vị trí điểm M ®èi víi (C) > M ë ngoµi ®-êng trßn (C) 341 M/(C) = M đ-ờng tròn (C) M/(C) < M đ-ờng tròn (C) p Nếu p Nếu Trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn Cho hai đ-ờng tròn không đồng tâm (C1) (C2) có ph-ơng trình: (C1): x2 + y22a1x2b1y + c1 = 0, víi a12 b12 c1 (C2): x2 + y22a2x2b2y + c2 = 0, víi a22 b22 c2 Khi tập hợp điểm có ph-ơng tích với hai đ-ờng tròn (C1) (C2) đ-ờng thẳng (d), gọi trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn (C1), (C2) có ph-ơng trình: (d): 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)yc1 + c2 = III ElÝp ph-ơng trình tắc elíp Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0) có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y)(E) 2a (a > c) có ph-ơng trình: (E): x2 y2 , víi b2 = a2c2 a b y M F1 x yb O F2 x Chú ý: Điểm M(x, y)(E) có: F1 M = a + cx cx vµ F2M = a a a ph-ơng trình tham số elíp Elíp (E) có ph-ơng trình tắc: x2 y2 a b2 đ-ợc chuyển dạng tham số: x a sin t x a sin t (E): , t [0, 2) (E): , t [0; 2) (*) y b cos t y cos t b Ph-ơng trình (*) đ-ợc gọi ph-ơng trình tham số dạng l-ợng giác Elíp (E) t Ta biết rằng, đặt z = tan th×: 2z z2 sint = vµ cost = , z2 z2 (E): 342 (*) đ-ợc viết d-ới d¹ng: 2az x z (E): ,z y b(1 z ) z2 Ph-ơng trình (**) đ-ợc gọi ph-ơng trình tham số dạng đại số (E) hình dạng elíp y Với Elíp (E) có ph-ơng tr×nh: (E): (**) M b B2 x y , víi a > b > a b y A1 x A2 a x O a ta xét tính chất hình học (E) cách xét b B1 tính chất đại số t-ơng ứng ph-ơng trình a Ph-ơng trình (E) có bậc chẵn x y nên: Nếu điểm M(x; y)(E) điểm M1(x; y), M2(x; y) vµ M3(x; y) cịng thc (E) (E) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc O làm tâm đối xứng b (E) cắt trục toạ độ bốn điểm: (E) Ox = {A1, A2} có toạ độ A1(a; 0), A2(a; 0) đoạn thẳng A1A2 gọi trục lớn (E) có độ dài 2a (E) Oy = {B1, B2} có toạ độ B1(0; b); B2(0; b) đoạn thẳng B1B2 gọi trục nhỏ (E) có độ dài 2b Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi bốn đỉnh Elíp (E) L-u ý: Hai tiêu điểm Elíp (E) trục lớn c Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có đỉnh giao điểm đ-ờng thẳng x = a đ-ờng thẳng y = b đ-ợc gọi hình chữ nhật sở (E) Vậy Elíp (E) nằm hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có kích th-íc lµ 2a, 2b d Tõ M(x; y) (E) ta đ-ợc: x2 a x a | x | a a b y b | y | b y b F1 F2 T©m sai cđa elÝp T©m sai Elíp số thực e tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn Elíp §èi víi ElÝp (E): c x2 y2 , víi a > b th× e = a a b §èi víi ElÝp (E): c x2 y2 , víi a < b th× e = b a b 343 Chú ý: Mọi Elíp có tâm sai nhỏ Tâm sai e = suy c = a = b Khi ®ã: x2 y2 x2 y2 x2 + y2 = a2 a b2 a2 a2 Elíp trở thành đ-ờng tròn tâm O, bán kính a IV Hypebol ph-ơng trình tắc Hypebol Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0) có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuú ý M(x; y) (H) lµ 2a (a > c) có ph-ơng trình: (H): x2 y2 , víi b2 = c2a2 a2 b2 Chó ý: §iĨm M(x; y) (H) lu«n cã: cx cx + a vµ F2M = a víi x > a a cx cx b F1M = a vµ F2M = + a víi x < a a a F1M = y hình dạng Hypebol Với Hypebol (H) có ph-ơng trình: Q B2 P x2 y2 1 A2 F2 x F1 A1 O a2 b2 B1 ta xét tính chất hình học (H) cách xét R S tính chất đại số t-ơng ứng ph-ơng trình c Ph-ơng trình (H) có bậc chẵn x y nên: Nếu điểm M(x; y) (H) điểm M1(x; y), M2(x; y) vµ M3(x; y) cịng thc (H) (H) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc O làm tâm đối xứng d (H) cắt trục toạ độ hai điểm: (H) Ox = {A1, A2} có toạ độ A1(a; 0), A2(a; 0) đoạn thẳng A1A2 gọi trụ c thực (H) có độ dài 2a (H) không cắt Oy, đặt B1(0; b); B2(0; b) đoạn thẳng B1B2 gọi trục ảo (H) có ®é dµi b»ng 2b VËy trơc thùc cđa Hyperbol trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo trục đối xứng không cắt Hyperbol Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi bốn đỉnh Hypebol (H) (H): 344 L-u ý: Hai tiêu điểm Hypebol (H) trục thực e Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có đỉnh giao điểm đ-ờng thẳng x = a đ-ờng thẳng y = b đ-ợc gọi hình chữ nhật c¬ së cđa (H) f Tõ M(x; y) (H) suy ra: x a x2 x a a x a Nh- Hyperbol (H) tập hợp hai tËp kh«ng giao - TËp cđa (H) chứa điểm M(x; y) thoả mÃn x a gọi nhánh bên phải Hyperbol - Tập (H) chứa điểm M(x; y) thoả mÃn x a gọi nhánh bên trái Hyperbol - Hai nhánh đối xứng qua trục ảo hai nhận trục thực làm trục đối xứng b a Tõ M(x; y) (H) y = x a2 a b - Khi x +: (H) cã tiÖm cËn y = x a b - Khi x : (H) cã tiÖm cËn y = x a b VËy Hyperbol (H) cã ®-êng tiệm cận là: y = x a b Cách dựng Hyperbol (H) - Xác định vị trí điểm A1(a; 0) ;A2(a; 0), B1(0; b), B2(0; b) trªn hƯ toạ độ - Dựng đ-ờng thẳng x = a y = b cắt P, Q, R, S - Hình chữ nhật PQRS có kích th-ớc 2a, 2b gọi hình chữ nhật sở Hyperbol - Kẻ hai đ-ờng tiệm cận hai đ-ơng chéo hình chữ nhật sở - Dựa hai ®Ønh A1, A2 vµ hai ®-êng tiƯm cËn ®Ĩ vÏ Hyperbol y Hyperbol liên hợp Định nghĩa Hai Hyperbol có ph-ơng trình: x2 y2 x2 y2 (H1): vµ (H2): = a b a b gọi hai Hyperbol liên hỵp B2 F1 A1 O A2 F2 x B1 Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp: - Có chung đ-ợng tiệm cận hình chữ nhật sở - Có tiêu điểm đỉnh khác Trục thực Hyperbol trục ảo Hyperbol ng-ợc lại 345 Tâm sai Hypebol Tâm sai Hypebol số thực e tỉ số tiêu cự độ dài trục thực Hypebol c x2 y2 §èi víi Hypebol (H): th× e = a a b c x2 y2 §èi víi Hypebol (H): 1 th× e = b a b Chú ý: Mọi Hypebol có tâm sai lớn V Parabol ph-ơng trình tắc Parabol p Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Parabol (P) có hai tiêu điểm F( ; 0) đ-ờng p chuẩn (d): x = có ph-ơng trình (P): y2 = 2px Chó ý: §iĨm M(x; y) (P) lu«n cã FM = x + 2p hình dạng Parabol Với Parabol (P) có ph-ơng tr×nh: (P): y2 = 2px, víi p > y (d) Các thuộc tính (P) gồm: Đỉnh O(0; 0), L p/2 O p Tiêu điểm F ( ; 0), p §-êng chuÈn (d): x = , Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox (P) F p/2 x Chú ý: Ngoài dạng tắc y2 = 2px, ng-ời ta cung coi dạng ph-ơng trình sau ph-ơng trình tắc Parabol: (P): y2 = 2px, (P): x2 = 2py VI Ba đ-ờng côníc Định nghĩa: Đ-ờng chuẩn Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm Fi (i = 1,2) đ-ờng thẳng (i) (i = 1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa tiêu điểm nằm phía với Fi trục đối xứng lại cách tâm Elíp (Hyperbol) a đoạn với e tâm sai a độ dài nửa trục lớn (trục thực) e 346 ... d(M,(AC)) (5x 12y 63) ( 63) (3x 4y) (3. 3 4.4) | 5x 12y 63 | 12 35 2 | 3x 4y | 32 5x 12y 63 3x 4y 14x112y + 31 5 = 5(5x 12y 63) 13( 3x 4y) Đó ph-ơng... vtcp a (3, 4) b (d) qua điểm M(2, 3) cã vtpt n (5, 1) Gi¶i a Ta cã ngay: Qua M(2, 1) x 3t (d): (d): , t R vtcp a (3, 4) y t b Ta cã: Qua M(2, 3) Qua M(2, 3) x ... ph-ơng trình : 3x4y = 0, 4x3y = 0, 5x + 12y 63 = Gi¶i Giả sử ba ph-ơng trình cạnh AB, BC, AC a Ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc A : Tr-ớc tiên: Tọa độ B nghiệm hệ ph-ơng trình: 3x 4y x