KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

MỞ ĐẦU 8 1. Lí do chọn đề tài 8 2. Mục đích nghiên cứu 9 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 9 4. Giả thuyết khoa học 10 5. Đối tượng nghiên cứu 10 6. Phương pháp nghiên cứu 10 7. Đóng góp của luận văn 11 7.1. Về mặt lý luận 11 7.2. Về mặt thực tiễn 11 8. Cấu trúc của luận văn 11 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 12 1.1. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn 12 1.2. Sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn 13 1.3. Quá trình mô hình hóa toán học 17 1.4. Vài nét về sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 18 1.5. Vai trò của phương pháp tọa độ đối với các môn học 19 1.6. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn được thể hiện qua chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”. 33 1.7. Kết luận chương 1 43 CHƯƠNG 2. KHẢO SÁT VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG VIỆC KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Ở TRƯỜNG THPT 44 2.1. Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng 44 2.2. Thực trạng việc khai thác mối liên liên hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường THPT hiện nay. 45 2.3. Nguyên nhân của thực trạng 57 2.4. Kết luận chương 2 60 CHƯƠNG 3. VẬN DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 62 3.1. Quy trình dạy học khái niệm, định lí toán học 62 3.2. Xây dựng một số giáo án dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có vận dụng mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn 64 3.3. Kết luận chương 3 84 CHƯƠNG 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86 4.1. Mục đíchthực nghiệm sư phạm 86 4.2. Tổ chức thực nghiệm 86 4.3. Nội dung thực nghiệm 86 4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 91 4.5. Kết luận chương 4 95 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 97

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN CHIẾN THẮNG

NGHỆ AN - 2014

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn

TS.NGUYỄN CHIẾN THẮNG đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi

hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: Phòng Đào tạo sau đại học TrườngĐại Học Vinh và các Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học 20chuyên ngành Lý luận và PPDH Bộ môn Toán

Cảm ơn gia đình, bạn bè và trường THPT Giồng Ông Tố đã giúp đỡ,động viên tôi trong quá trình học tập

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô vàbạn đọc

Nghệ An, tháng 4 năm 2014

Tác giả

Phạm Đình Linh Giang

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

1 Lí do chọn đề tài 8

2 Mục đích nghiên cứu 9

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 9

4 Giả thuyết khoa học 10

5 Đối tượng nghiên cứu 10

6 Phương pháp nghiên cứu 10

7 Đóng góp của luận văn 11

7.1 Về mặt lý luận 11

7.2 Về mặt thực tiễn 11

8 Cấu trúc của luận văn 11

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 12

1.1 Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn 12

1.2 Sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn 13

1.3 Quá trình mô hình hóa toán học 17

1.4 Vài nét về sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 18

1.5 Vai trò của phương pháp tọa độ đối với các môn học 19

1.6 Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn được thể hiện qua chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” 33

1.7 Kết luận chương 1 43

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG VIỆC KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Ở TRƯỜNG THPT 44

2.1 Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng 44

2.2 Thực trạng việc khai thác mối liên liên hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường THPT hiện nay 45

2.3 Nguyên nhân của thực trạng 57

2.4 Kết luận chương 2 60

CHƯƠNG 3 VẬN DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 62

3.1 Quy trình dạy học khái niệm, định lí toán học 62

3.2 Xây dựng một số giáo án dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có vận dụng mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn 64

3.3 Kết luận chương 3 84

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86

4.1 Mục đíchthực nghiệm sư phạm 86

4.2 Tổ chức thực nghiệm 86

4.3 Nội dung thực nghiệm 86

4.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 91

4.5 Kết luận chương 4 95

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

PHỤ LỤC 102

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Từ xưa đến nay, Toán học phát sinh và phát triển do những nhu cầuthực tế của đời sống con người Chẳng hạn như những khái niệm toán học đầu

tiên về số được phát sinh do nhu cầu đếm và từ chỗ biết đếm, con người cókhái niệm đầu tiên về số tự nhiên;hay do nhu cầu đo đạc diện tích và thể tích,đưa đến những kiến thức ban đầu về hình học,…

Trong nhà trường phổ thông, “nắm vững môn toán” có nghĩa là hiểuthấu đáo khối lượng và phương pháp toán học, là có ý thức và kĩ năng vậndụng những hiểu biết đó vào thực tiễn.Từ đó cho thấy sự kết hợp giữa lý luận

và thực tiễn vào dạy học toán là vô cùng quan trọng.Nó không chỉ là nguyêntắc dạy học mà còn là qui luật cơ bản của việc dạy học và giáo dục của chúng

ta Đồng chí Trường Chinh đã từng nói: “Dạy tốt…là khi giảng bài phải liên

hệ với thực tiễn, làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điềumình đã học vào công tác thực tiễn được…”

Khi học toán, học sinh có thể sẽ đặt ra rất nhiều câu hỏi Chẳng hạnnhư: Vectơ có dùng để biểu diễn cho một đại lượng nào không? Các kiến thức

về đồ thị hàm số dùng để nghiên cứu lĩnh vực nào trong cuộc sống?Định lýcôsin có vai trò gì trong thực tiễn? Đường elip có trong thực tế không? Nếucác câu hỏi đều được giáo viên giải đáp trong quá trình truyền thụ tri thức đếncho học sinh thì chẳng những các em hứng thú với bài học mà còn trang bịcho học sinh kỹ năng tư duy ứng dụng và tư duy sáng tạo Ngoài ra, vì toánhọc luôn có quan hệ mật thiết với các môn học khác nên khi nắm vững đượcmối liên hệ giữa lý luận và thực tiễn, học sinh sẽ dễ dàng vận dụng các kiếnthức đã biết vào thực tế , giúp cho quá trình học của các em thuận lợi hơn

Một giáo viên dạy toán cần giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa

lý luận và thực tiễn, để từ lý thuyết, các em có thể vận dụng vào thực tế mộtcách chính xác.Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải nắm vững chuyên môn,phải thấy được những ứng dụng thực tế của các kiến thức toán học Giáo viênphải giúp học sinh nhận ra được các lý thuyết toán học là gắn liền với thực

tiễn, gắn liền với đời sống.Từ đó sẽ giúp học sinh dễ dàng lĩnh hội, gây được

sự hứng thú, kích thích được hoạt động nhận thức của học sinh

Chính vì những lý do trên chúng tôi đã chọn đề tài “Khai thác mối liên

hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu trên chúng tôi hình thành các nhiệm

Thực nghiệm sư phạm kiểm tra tính khả thi của việc khai thác mối liên

hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trongmặt phẳng ở trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở bám sát vào chương trình và SGK hình học 10 hiện hành,nếu GV giúp HSkhai thác được mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn trongquá trình học môn toán nói chung và chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng nói riêng, GV sẽ giáo dục được thế giới quan duy vật biện chứng cho

HS, trang bị cho học sinh kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tếcuộc sống

5 Đối tượng nghiên cứu

Hoạt động dạy của GV và hoạt động học của HS trong chương trìnhtoán phổ thông qua việc dạy học chương phương pháp tọa độ trong mặtphẳng

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo về ứng dụng

của phương pháp tọa độ toán học trong thực tiễn Định hướng đổi mới PPDHToán và các SGK và SBT Hình học 10 (cơ bản và nâng cao hiện hành), cácluận án, luận văn liên quan

- Điều tra quan sát: Tiến hành tìm hiểu về việc dạy học chủ đề phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt là Hìnhhọc lớp 10 (chú trọng đối tượng HS khá giỏi) Dự giờ, quan sát việc dạy của

GV và việc học của HS THPT

- Thực nghiệm sư phạm: tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở

trường THPT để xét tính khả thi, hiệu quả của đề tài

7 Đóng góp của luận văn

Thông qua mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, học sinh sẽ tìm thấyhứng thú trong quá trình học tập, góp phần gợi động cơ tìm tòi, gợi tính sángtạo nơi học sinh.

7.2 Về mặt thực tiễn

Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho GV toán ở trườngTHPT

8 Cấu trúc của luận văn

Luận văn – ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụlục – gồm bốn chương:

Chương 1 – Cơ sở lý luận

Chương 2 – Khảo sát và đánh giá thực trạng việc khai thác mối liên hệgiữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặtphẳng ở trường THPT

Chương 3 – Vận dụng mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn vào dạyhọc chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chương 4 – Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn

Nghị quyết 14 của Bộ chính trị Ban chấp hành Trung ương Đảng cộngsản Việt Nam đã chỉ ra phương hướng của việc cải cách nội dung giáo dục là:chọn lọc có hệ thống những kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế ViệtNam, làm cho vốn văn hoá, khoa học và kĩ thuật được giảng dạy ở nhà trường

có tác dụng thật sự trong việc hình thành thế giới quan khoa học, phát triển tưduy khoa học, phát triển năng lực hành động của học sinh, bồi dưỡng nănglực thực hành, tính nhạy bén trong việc vận dụng kiến thức vào thực tế sảnxuất và xây dựng đất nước.

Tinh thần của Nghị quyết 14 đã được phản ánh đầy đủ, sâu sắc trongnguyên lý giáo dục bao quát, xuyên suốt trong mọi hoạt động của nhà trường:

“học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liềnvới thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục

xã hội”

Trong giai đoạn hiện nay, chúng ta đang thực hiện mục tiêu giáo dục đãđược ghi đầy đủ và rõ ràng tại Luật giáo dục công bố năm 1998 như sau:

“Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện,

có đạo đức, sức khoẻ, thẫm mĩ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độclập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩmchất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổquốc”

Khả năng vận dụng kiến thức lý thuyết đã lĩnh hội được vào thực tế làmột yêu cầu cơ bản, cần phải được hình thành và rèn luyện cho học sinh –những người lao động mới trong tương lai Đây cũng chính là một tiêu chuẩnquan trọng để đánh giá chất lượng và hiệu quả của toàn bộ quá trình giáo dục

và đào tạo Coi chất lượng giáo dục là sự tổng hòa của những kết quả giáodục – đào tạo toàn diện thể hiện trước tiên bằng những chỉ số đánh giá toàndiện về phẩm chất và năng lực qua thi cử, trắc nghiệm, nhận xét, bình chọnthường xuyên, nhưng cuối cùng và chủ yếu phải là cái tinh thần, mục đích,động cơ ứng dụng toàn bộ năng lực có được vào thực tiễn sao cho phù hợpvới mục tiêu giáo dục cụ thể của từng môn học, cấp học, bậc học nói riêng vàmục tiêu giáo dục cuối cùng nói chung

Chất lượng giáo dục con người khác với chất lượng sản phẩm hàng hoá

ở chỗ: chất lượng hàng hoá ghi trên nhãn hiệu luôn luôn được đảm bảo chínhxác không thay đổi trong giới hạn sử dụng, còn chất lượng giáo dục ghi trênvăn bằng, chứng chỉ không đảm bảo chắc chắn đúng như vậy, chỉ khi được sửdụng trong thực tiễn mới biết chính xác tốt, xấu đến đâu Điều đó đã chứng tỏđược thực tiễn là thước đo duy nhất , chính xác đối với mọi lý thuyết

Chủ tịch Hồ Chí Minh đã nhấn mạnh tầm quan trọng của lý luận đểtránh “thực tiễn mù quáng”, “nhắm mắt mà đi”, đồng thời nhấn mạnh tínhmục đích của lý luận: “lý luận cốt để áp dụng vào công việc thực tế, lý luận

mà không áp dụng vào thực tế là lý luận suông” Người đồng thời nhấn mạnhtầm quan trọng của thực tiễn nói chung và trong quan hệ với lý luận nói riêng:

“song song với việc nhấn mạnh sự quan trọng của học tập lý luận, chúng taphải luôn nhấn mạnh nguyên tắc lý luận phải liên hệ với thực tiễn”

1.2 Sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn

Trong mọi thời kì lịch sử của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật, toánhọc luôn được coi là công cụ đắc lực không thể thiếu được Trong bối cảnhcủa cuộc cách mạng công nghệ thông tin hiện nay, vai trò công cụ nền tảngcủa toán học được đánh giá và xác nhận lại một cách khách quan, toán học đãtrở thành công cụ chủ yếu của nhiều khoa học, đang biến thành một lực lượngsản xuất trực tiếp của xã hội

Đất nước ta đang trên đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa rất cần vàsau này còn cần nhiều hơn nữa, đội ngũ những người lao động có khả năngứng dụng những kiến thức toán học lĩnh hội được ở nhà trường vào hoạt độngnghề nghiệp cũng như vào cuộc sống của mình

Rèn luyện, nâng cao năng lực toán học là một trong những mục tiêuchủ yếu của việc giảng dạy toán ở trường phổ thông Đây không phải là yêucầu của riêng môn toán, song điều đó được nhấn mạnh trong việc giảng dạy

toán, bởi vì trước hết, do vai trò ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực củađời sống xã hội, vai trò công cụ của toán học đối với sự phát triển của nhiềungành khoa học, công nghệ, của các ngành kinh tế quốc doanh,…đã thực sựđược thừa nhận như một chìa khóa của sự phát triển.

Để đáp ứng được những thách thức của xã hội chúng ta, việc dạy học ởnhà trường chủ yếu và trước hết, ngoài khía cạnh “kiến thức đơn thuần” làphải tập trung cố gắng dạy cho học sinh biết sử dụng kiến thức của mình vàonhững tình huống có ý nghĩa, biết vận dụng lý thuyết đã học được vào thực tếcuộc sống Điều này được nhắc đến trong định hướng 4 của Marzano: sửdụng kiến thức có hiệu quả Marzano khẳng định: việc sử dụng kiến thức hiệuquả thể hiện ở chỗ trong những hoàn cảnh cụ thể, học sinh có khả năng đưa ranhững quyết định phù hợp, khả năng điều tra xác định đặc tính của sự vật,điều tra vấn đề này đã xảy ra như thế nào và tại sao nó xảy ra, đồng thời cókhả năng dự đoán được cái sẽ xảy ra Không chỉ điều tra, học sinh còn có khảnăng kiểm chứng bằng thực nghiệm, có năng lực giải quyết vấn đề và nănglực phát minh, giáo viên phải tạo cho học sinh những cơ hội để áp dụng kiếnthức đã học vào thực tế một cách hiệu quả

Khi dạy học, giáo viên cần phải nêu các tình huống thực tế cho họcsinh tìm hướng giải quyết, điều này giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa

lý thuyết và thực tiễn, đồng thời tăng hứng thú học tập của học sinh

Trong dạy học lấy học sinh làm trung tâm, người ta cho rằng hệ thốngkiến thức chưa đủ để đáp ứng mục tiêu cho cuộc sống.Cần chú trọng các kĩnăng thực hành, vận dụng các kiến thức lý thuyết, năng lực phát hiện và giảiquyết những vấn đề thực tiễn

Chúng ta thấy rằng, số đông học sinh học kém là do ở những học sinhnày học mà không hiểu điều mình học, không ứng dụng được kiến thức khilàm bài tập nói chi tới việc ứng dụng vào thực tế Những học sinh này chỉ có

các kiến thức sách vở do “nhồi nhét”, do “học vẹt” mà có, học mà khônghiểu, không ứng dụng được Chỉ có tay nghề cao của giáo viên mới chữa trịđược chứng bệnh này trong chiếm lĩnh văn hóa ở người học Việc giải quyếtđúng đắn quan hệ giữa lý luận và thực tiễn, giữa học và hành, với các biệnpháp bồi dưỡng cho học sinh ý thức học tập trong thực tế cuộc sống, ý thứcvận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế, coi trọng củng cố kiếnthức, kĩ năng mà học sinh đã thu nhận được là những yếu tố đánh giá trình độtay nghề của giáo viên.

Ngày nay toán học không đơn giản chỉ là “phục vụ viên” của các khoahọc có ứng dụng toán học, mà đã thật sự trở thành một công cụ nghiên cứuđược sử dụng thường xuyên và nhiều khi là công cụ duy nhất có hiệu lực Sựtoán học hóa kiến thức khoa học giúp hiểu đúng đắn hơn tự nhiên và xã hội,góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kĩ thuật

Những mô hình toán học đưa ra, khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiêncứu thực tiễn quanh ta Nói cách khác, toán học là khoa học trừu tượng, songlại trở thành công cụ nhận thức thế giới một cách mạnh mẽ, bởi vì chỗ mạnhcủa toán học chính là khả năng trừu tượng hóa, khái quát hóa cao độ.Nhữngquan hệ và cấu trúc tổng quát được nghiên cứu trong toán học, phần lớn đượctrừu tượng hóa từ các đối tượng của thực tế khách quan, là những quan hệ vàcấu trúc khá phổ biến trong thực tế khách quan Vai trò quan trọng của toánhọc gắn liền với tính trừu tượng và khái quát của nó Trong dạy học toán ởnhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiếnthức lý thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biệnpháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừutượng”(Đavưđốp – 1973)

Tính chất cầu nối giữa khoa học toán học và thực tiễn công nghệ, sảnxuất và đời sống đã khiến cho kiến thức và kĩ năng ứng dụng toán học có vị

trí quan trọng trong vốn tri thức cần thiết phải tích lũy của người lao độngnhằm thích ứng kịp thời với tốc độ tiến bộ như vũ bão của khoa học côngnghệ và nền sản xuất hiện đại.

Việc làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức và phương pháptoán học cơ bản, phổ thông, theo quan điểm hiện đại và tinh thần của giáo dục

kĩ thuật tổng hợp và có khả năng vận dụng được những kiến thức và phươngpháp toán học vào kĩ thuật lao động, quản lý kinh tế, vào việc học các mônhọc khác(như vật lý, hóa học, sinh học,…)là một nhiệm vụ rất quan trọng vìchỉ có trên cơ sở nắm vững và vận dụng được kiến thức, phương pháp toánhọc mới có điều kiện rèn luyện các mặt khác Chủ tịch Hồ Chí Minh đã dạy:

“cần đảm bảo cho học sinh những tri thức phổ thông, chắc chắn, thiết thực,thích hợp với nhu cầu về tiền đồ xây dựng nước nhà…” Đặc biệt là trong giaiđoạn hiện nay, công cuộc cách mạng khoa học và kĩ thuật ở nước ta đòi hỏi sốlượng ngày càng đông thanh niên có khả năng làm chủ và giỏi tay nghề đểmau chóng xây dựng đất nước Muốn vậy, học sinh không những phải nắmvững hệ thống kiến thức và phương pháp toán học mà còn phải có năng lựcvận dụng những điều đã học vào thực tiễn

1.3 Quá trình mô hình hóa toán học

Tính xác đáng của việc tăng cường ứng dụng và mô hình hóa toán học

đã được chấp nhận một cách rộng rãi Chẳng hạn, chương trình lớn PISA của

OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) về so

sánh quốc tế nhấn mạnh đến việc phát triển năng lực của học sinh để sử dụngtoán học trong cuộc sống hiện tại và tương lai của họ làm mục đích của giáodục toán học Điều này có nghĩa là học sinh cần hiểu được vai trò của toán

học trong cuộc sống hàng ngày, trong môi trường của chúng tavà đối với khoahọc ([22, tr.219]) Mục tiêu này phù hợp với quan điểm vận dụng mối liên hệgiữa toán học và thực tiễn trong dạy học toán.

Quá trình mô hình hóa được chỉ ra dưới đây ([21, tr.227]):

Một tình huống thực tế của thế giới thực là điểm khởi đầu của quá trình

này Đầu tiên, tình huống này được lý tưởng hóa, tức là được đơn giản hóa

hoặc cấu trúc lại để được một mô hình thế giới thực Sau đó, mô hình thế giới

thực này được toán học hóa, tức là được “dịch” sang ngôn ngữ toán học để đi đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu Các suy xét toán học trong suốt quá trình mô hình hóa toán học tạo ra các kết quả toán học, các kết quả

này phải được thể hiện lại trong tình huống thực tế ban đầu Tính chính xáccủa các kết quả phải được kiểm tra, tức là được xác nhận Trong trường hợpmột lời giải bài toán không thỏa mãn, điều này xảy ra khá trường xuyên trongthực tế, thì quá trình này được lặp lại

1.4 Vài nét về sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Sau công nguyên, vào thời kì đầu của thiên niên kỷ thứ nhất, toán học

đã bị thảm họa nên hình học cũng bị kìm hãm phát triển nặng nề cho đến thế

kỉ XVI

Sự hưng thịnh mới của toán học phải mãi đến thế kỷ XVII mới bắt đầu

ở Châu Âu và tại đây các công trình của nhà toán học, nhà triết học PhápDescartes (31.3.1596 - 11.2.1650)đã ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển củahình học

Tác phẩm nổi tiếng của Descartes Luận về phương pháp ra đời năm

1637 Trong tác phẩm này, ngoài đặc trưng tổng quát của phương pháp khảosát khoa học tự nhiên, còn có những phần riêng ứng dụng phương pháp này

vào quang học, khí tượng học và toán học Phần cuối này có tên là Hình học

và đối với chúng ta nó là phần đáng chú ý hơn cả Đưa vào đại lượng biến

thiên và sử dụng tọa độ vuông góc là cơ sở trong toàn bộ tập Hình học của

1.5 Vai trò của phương pháp tọa độ đối với các môn học

1.5.1 Đối với toán học

Phương pháp tọa độ có ứng dụng quan trọng trong việc giải hàng loạtcác bài toán khác của toán học sơ cấp như: chứng minh bất đẳng thức, giải

phương trình và bất phương trình, giải các bài toán hình học phẳng và hìnhhọc tổ hợp Điều đó được thể hiện qua một số bài toán cụ thể sau đây:

Bài toán 1: Cho x, y,z tùy ý Chứng minh:

Vậy: √ x2+ xy+ y2+ √ x2+ xz+z2≥ √ y2+ yz+ z2 , với x, y, z tùy ý.

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:

|⃗a i|

(3)Đẳng thức (3) chứng tỏ rằng các vectơ ⃗a i cùng phương, cùng chiều,hơn nữa các vectơ này cùng độ dài nên ta suy ra: x1=x2= =x1997

⇒ √1+x1=√1+ x2= =√1+x1997=√19981997

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: x1=x2= =x1997=

1 1997

Bài toán 3: Cho A, B cố định Tìm quỹ tích của điểm M sao cho :

OA  OB

Giả sử AB a Lập hệ trục tọa độ Oxy nhận O làm gốc tọa độ, chiềudương của trục hoành hướng từ A đến B Trên hệ trục tọa độ đó, ta có tọa độcác điểm là:A3 ;0a , B2 ;0a 

x

y

-a B(-2a; 0)

Từ (1) suy ra quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm 0, bán kính R=AB

Bài toán 4: Cho họ đường cong y x 2  2mx m 2

Gọi M là tập các giá trị của m, mà parabol y x 2  2mx m  cắt trục2hoành tại hai điểm phân biệt A, B

Chứng minh rằng: Với mọi m M , hai điểm di động A, B luôn liên hợpđiều hòa với hai điểm cố định C, D

Trên trục 0x, gọi tọa độ của hai điểm cố định C c ;0, D d ;0

Tọa độ của A, B lần lượt là A x 1;0, B x 2;0 với x

1, x2là nghiệm củaphương trình (1)

Do A, B liên hợp điều hòa với C, D nên theo hệ thức cơ bản ta có:

1.5.2 Đối với Vật lý học

Vật lý có mối liên hệ với các môn học khác, đặc biệt là môn Toán.Nếukhông có toán học thì vật lý không thể tiến xa được, bởi vì vật lý học khôngchỉ giải quyết định tính các vấn đề mà còn phải tính toán định lượng Nhữngvấn đề vật lý thông qua việc sử dụng toán học sẽ được rõ ràng hơn, tườngminh hơn nếu ta biết thêm vào những hình ảnh minh họa Những hình ảnh ấyđược thể hiện thông qua việc sử dụng đồ thị các hàm số để biểu diễn các trạngthái, các đại lượng trong vật lý

Trong việc giải để tìm nghiệm của các bài toán vật lý phức tạp, đồ thịgiúp người nghiên cứu có thể quan sát kết quả một cách trực quan, có nhữngnhận xét đúng và hiểu rõ ý nghĩa vật lý của kết quả bài toán Việc sử dụng đồthị có ba ứng dụng to lớn nhất:

- Dùng để minh họa một vấn đề hay mối liên quan giữa các đại lượngvật lý trong một trạng thái, một quá trình,…Các ví dụ cho ứng dụng này được

đề cập trong các bài toán về động học, dao động cơ học, truyền sóng, truyềnnhiệt, điện học, vật lý nguyên tử hạt nhân,…bằng cách thể hiện kết quả củachúng qua đồ thị và rút ra ý nghĩa vật lý

- Dùng để giải quyết vấn đề: thông qua đồ thị ta có thể tìm được mốiliên quan của các đại lượng từ đó suy ra kết quả bài toán Các ví dụ cho ứngdụng này được thể hiện trong các bài toán về chuyển động, nhiệt, điện học,…

- Đồ thị là phương tiện hỗ trợ phát hiện vấn đề mới: vấn đề này thườngđược dùng trong vật lý thực nghiệm, từ kết quả đồ thị, người nghiên cứu cóthể suy ra một định luật, một lý thuyết mới về vật lý Các ví dụ thể hiện làhiện tượng quang điện, bức xạ vật đen tuyệt đối,…

Dựa vào tính trực quan của đồ thị để giải ra kết quả của một số bài toántrong các phần: cơ học, nhiệt học, điện học trong vật lý được đơn giản vànhanh chóng hơn

Bài toán 1: Giữa hai bến sông A và B cách nhau 20 km theo đường

thẳng có một đoàn canô phục vụ chở khách liên tục chuyển động đều với vậntốc như sau: 20 km/h khi xuôi dòng từ A đến B, 10 km/h khi ngược dòng từ B

về A Ở mỗi bến cứ cách 20 phút lại có một canô xuất phát, khi đến bến kiacanô đó nghỉ 20 phút rồi quay về

a Tính số canô cần thiết phục vụ cho đoạn sông đó

b Một canô đi từ A đến B sẽ gặp trên đường bao nhiêucanô chạy ngược chiều và khi đi từ B về A sẽ gặp bao nhiêu canô?

Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị.

Chọn gốc tọa độ là bến A (A ¿ O) Chiều dương là chiều đi từ A đến

B Gốc thời gian là lúc một canô đi từ A đến B

Các đường thẳng song song hướng lên biểu diễn chuyển động của cáccanô đi từ A đến B và bằng OC, cách đều nhau 20 phút

Các đường thẳng song song hướng xuống biểu diễn chuyển động củacác canô đi từ B đến A và bằng DE, cách đều nhau 20 phút

Thời gian để một canô đi và về biểu diễn bằng đoạn OE trên trục thờigian Số canô cần thiết là số canô phải xuất phát từ bến A trong khoảng thờigian đó Có tất cả 10 khoảng 20 phút trong đoạn OE Vậy số canô cần thiết là

N = 10 + 1 = 11 canô

Xét đồ thị đi và về của một canô: DEF

Giao điểm của đồ thị này với các đoạn thẳng song song hướng lên chobiết số canô mà một canô đi từ B về A sẽ gặp dọc đường: ta thấy số canô đó

đi từ A đến B và khi đi từ B về A sẽ gặp trên đường

Bài toán này có ứng dụng rất thiết thực trong đời sống sinh hoạt hằngngày, cụ thể ở việc bố trí số phà để phục vụ sự đi lại của hành khách khi điqua các con sông lớn đỡ tốn thời gian

Bài toán 2: Hai ô tô cùng xuất phát từ Hà Nội đi Vinh, chiếc thứ nhất

chạy với vận tốc trung bình 60 km/h, chiếc thứ hai chạy với vận tốc 70 km/h.Sau 1 giờ 30 phút chiếc thứ hai dừng lại nghỉ 30 phút rồi tiếp tục chạy với vậntốc như trước Coi các ô tô chạy trên một đường thẳng

Bằng phương pháp đồ thị hãy cho biết sau bao lâu thì xe thứ hai đuổikịp xe đầu và khi đó hai xe cách Hà Nội bao xa?

Qua đồ thị, ta có các kết quả sau:

+ Hai xe đuổi kịp nhau lúc 3 giờ 30 phút

+Hai xe gặp nhau tại vị trí cách Hà Nội 210 km

Ý nghĩa

Việc giải bài toán bằng phương pháp đồ thị giúp cho bài toán trở nêngọn và dễ dàng hơn, học sinh dễ hiểu bài và hứng thú hơn với việc giải bàitập

1.5.2.2 Dao động cơ học

Trong thực tiễn đời sống và trong khoa học kỹ thuật, có những trườnghợp mà dao động của một vật lại là sự tổng hợp của nhiều dao động khácnhau Khi chúng ta mắc võng trên một chiếc tàu biển, chiếc võng dao độngtheo tần số riêng của nó Nhưng tàu cũng bị sóng biển làm cho dao động.Cuối cùng dao động của chiếc võng là sự tổng hợp của hai dao động: daođộng riêng của chính nó và dao động của con tàu

Các thành phần dao động nói chung có thể có phương, biên độ, tần số

và pha dao động khác nhau Vì vậy việc xác định dao động tổng hợp là khókhăn và phức tạp

rất thuận tiện, gọi là phương pháp giản đồ vectơ của Frexnen Phương pháp

này dựa trên một tính chất đã có: một dao động điều hoà có thể được coi nhưhình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trongmặt phẳng quỹ đạo

Theo phương pháp này, mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằngmột vectơ quay Giả sử cần biểu diễn dao động: x= Asin(ωtt +ϕ) Ta vẽ một

Đây chính là dao động điều hòa mà ta cần biểu diễn Ta nói rằng daođộng điều hoà x= Asin(ωtt +ϕ) được biểu diễn bằng vectơ quay A⃗

hơi B

K S

Sự biến đổi pha xảy ra ở nhiệt độ và áp suất xác định Nếu thay đổi ápsuất thì nhiệt độ biến đổi pha thay đổi hoặc ngược lại Nói cách khác sự biếnđổi pha xảy ra với một sự liên quan rất chặt chẽ giữa áp suất và nhiệt độ Sự

phụ thuộc này có thể biểu diễn bằng đồ thị gọi là đồ thị pha, trục hoành ghi

giá trị nhiệt độ, trục tung ghi giá trị của áp suất

Bất kì một biến đổi pha nào cũng có thể biểu diễn bằng một đồ thị pha

Ví dụ:

Đường cong (S) nối liền các điểm trên đồ thị ứng với những nhiệt độ và

áp suất tại đó xảy ra biến đổi pha, gọi là đường cong biến đổi pha

Giữa pha lỏng và pha hơi đang có sự cân bằng nhiệt Nếu ta cung cấpnhiệt lượng cho hệ thì pha lỏng sẽ biến thành pha hơi, đó là sự hóa hơi.Đường cong (S) gọi là đường cong hóa hơi Ngược lại, cho hệ tỏa nhiệt ra

ngoài thì pha hơi sẽ biến thành pha lỏng, ta có sự ngưng tụ Đường cong (S)gọi là đường ngưng tụ.

Hóa hơi và ngưng tụ là hai quá trình trái ngược nhau Đường cong (S)chia mặt phẳng đồ thị làm hai miền, một miền ứng với pha duy nhất của vậtchất: lỏng hoặc hơi

Đối với sự nóng chảy, đông đặc, thăng hoa ta cũng vẽ được đồ thị biếnđổi pha tương tự

1.5.3 Đối với Sinh học, Hóa học và Địa lý

Đối với Sinh học, Hóa học và Địa lý thì có lẽ ứng dụng lớn nhất củaphương pháp tọa độ được thể hiện qua các loại biểu đồ, giản đồ,… Các hìnhảnh trực quan đó giúp cho bài học trở nên sinh động hơn Giúp cho học sinh:

+ Dễ dàng hình dung ra mối liên hệ giữa các đại lượng

+ Nhanh chóng rút ra được các nhận xét hay kết quả chính xác màkhông mất nhiều thời gian

+ Tăng hứng thú học tập cho học sinh, làm cho các em không bị nhàmchán khi phải tiếp xúc với những bài học khô khan

+ Các hình ảnh trực quan sẽ giúp học sinh ghi nhớ bài học lâu hơn.+ Rèn luyện cho học sinh khả năng quan sát, tính chính xác, cẩn thậntrong công việc

Sau đây là một vài minh họa cụ thể về ứng dụng của phương pháp tọa

độ được thể hiện qua các loại biểu đồ, giản đồ:

1.5.3.1 Trong Sinh học

Về khí quyển, hóa khí và khí hậu

Định luật Boyle: Thể tích của mẫu khí này ở nhiệt độ không đổi tỉ lệnghịch với áp suất của nó, tức là PV=hằng số Đồ thị quan hệ phụ thuộc của

áp suất đối với thể tích của mọi loại khí ở nhiệt độ không đổi cũng đúng nhưvậy

Thể tích(lít) O

40 80 120 160 200 240

Áp suất(atm)

X

1.5.3.2 Trong Hóa học

 Những vùng trên giản đồ pha giới hạn bởi các đường cong tương

ứng với nhiệt độ và áp suất tại đó chỉ một pha của chất là bền Ví dụ như ở bất

kì giá trị nào của nhiệt độ và áp suất tương ứng với những điểm ở trên giản đồgiới hạn bởi các đường cong BT và TC, nước tồn tại ở trạng thái lỏng Ở nhiệt

độ và áp suất bất kì tương ứng với những điểm ở trên giản đồ nằm dưới cácđường cong AT và TC, nước tồn tại ở trạng thái hơi

 Những đường cong của giản đồ pha tương ứng với những điều kiệntại đó hai pha cân bằng với nhau Ví dụ ở những nhiệt độ và áp suất tươngứng với những điểm của đường cong TC, nước và hơi nước cân bằng vớinhau Đó chính là đường cong áp suất hơi của nước Tại điểm X ở trên đườngcong đó, nước và hơi cân bằng với nhau ở nhiệt độ 373K(100oC) và áp suất 1atm Điểm X là điểm sôi của nước ở nhiệt độ 1 atm

 Điểm T trên giản đồ pha được gọi là điểm ba Ở tại điểm đó, nước

đá, nước lỏng và hơi nước cân bằng với nhau Điểm đó tương ứng với nhiệt

độ 273.16K và áp suất 6.03x10-3 atm Chỉ ở nhiệt độ và áp suất đó cả ba phacủa nước có thể cùng tồn tại và cân bằng với nhau

1.5.3.3 Trong Địa lý

Vấn đề dân số là một trong những vấn đề nan giải hiện nay bởi vì dân

số thế giới cũng như dân số của mỗi nước có liên quan chặt chẽ đến môitrường, sự phát triển của môi trường và của nước đó Tỉ lệ dân số phát triểncao, một mình nó cũng là sự uy hiếp riêng lẻ đối với môi trường

Biểu đồ phát triển dân số thế giới

Mức tăng dân số hợp lý là điều kiện để cải thiện môi trường, không gâycạn kiệt tài nguyên, kinh tế-xã hội phát triển Ngược lại, tốc độ tăng dân sốkhông hợp lý sẽ trở thành một nhân tố rất quan trọng trong việc đẩy nhanh tốc

độ làm ô nhiễm môi trường, cạn kiệt tài nguyên thiên nhiên và kìm hãm sựphát triển, gây ra đói nghèo

1.6 Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn được thể hiện qua chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.

1.6.1 Tính thực tế của toán học được thể hiện qua chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

Chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” chủ yếu giới thiệu vềphương trình các đường , gồm có: đường thẳng, đường tròn, đường elip,đường hypebol, đường parabol và ba đường conic Đây là các đường thườnggặp rất nhiều trong thực tế Ngoài đường thẳng và đường tròn là quen thuộc,

ta còn có thể thấy được các đường còn lại qua những hình ảnh cụ thể sau:

Đường Elip

Elip là một đường quen thuộc với chúng ta và thường gặp trong thực tế,chẳng hạn:Bóng của một đường tròn in trên mặt đất bằng phẳng dưới ánhsáng mặt trời thường là một đường elip

Ta thử kiểm tra khẳng định trên bằng chứng minh sau đây:

Trong mặt phẳng ( α ), cho đường tròn (C) tâm O, bán kính a Mộtmặt phẳng ( α ’) hợp với ( α ) một góc nhọn ϕ

Trên ( α ) ta chọn hệ trục Oxy sao cho Ox cùng phương với giaotuyến của ( α ) và ( α ’) , trên ( α ’) ta chọn hệ trục ’ ’ ’O x y là hình chiếu

của Oxy xuống ( α ’) Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) tâm O, bánkính a có phương trình x2 y2 a2

Qua phép chiếu vuông góc từ ( α ) xuống ( α ’), điểm M x y biến ; 

   

2 2

Bóng của một quả bóng đá trên mặt sân thường có hình elip

Quỹ đạo của Trái Đất khi quay quanh Mặt Trời là một đường elip Cácnhà thiên văn học đã phát hiện ra rằng trong hệ Mặt Trời, mỗi hành tinh đềuchuyển động theo một quỹ đạo là đường elip mà tâm Mặt Trời là một tiêuđiểm

Quan sát vùng sáng hắt lên bức tường từ một đèn bàn, vùng sáng này

có hai mảng, mỗi mảng được giới hạn bởi một phần của một đường Hypebol

Đường Parabol

Trong thực tế ta cũng thường gặp đường parabol, chẳng hạn:

Đồ thị của hàm số y ax 2 bx c a  0 là một đường Parabol

Các tia nước từ vòi phun ở công viên thường là đường Parabol

Đường đi của viên đạn đại bác là một đường Parabol

O x y

1.6.2 Một số bài toán trong thực tế liên quan đến các kiến thức toán học trong chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

1.6.2.1 Các bài toán liên quan đến đường elip

Bài toán 1: Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20m, mặt

cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip như hình vẽ Biết rằng tâm sai củađường elip là e ¿ 0.5.Hãy tìm chiều cao của đường hầm đó

Gọi chiều cao của đường hầm là b Nửa trục lớn của elip là a = 10m.Elip có nửa tiêu cự là c = a.e ¿ 5 (m)

Chiều cao của hầm là: b=√a2−c2≈√100−25≈8.7(m) .

Điểm cận nhật

Điểm viễn nhật Mặt Trời

Hành tinh

Bài toán 2: Các hành tinh và các sao chổi trong hệ Mặt Trời có quỹ

đạo là các đường elip nhận tâm Mặt Trời làm một tiêu điểm Điểm gần Mặt

Trời nhất trên quỹ đạo gọi là điểm cận nhật.Điểm xa Mặt Trời nhất trên quỹ đạo gọi là điểm viễn nhật.Các điểm này là các đỉnh trên trục lớn của quỹ đạo.

a Tìm tâm sai của quỹ đạo Trái Đất biết rằng tỉ số các khoảng cách từ

điểm cận nhật đến Mặt Trời và từ điểm viễn nhật đến Mặt Trời là

59

61.

b Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khi Trái Đất ở điểm cậnnhật, ở điểm viễn nhật, biết rằng quỹ đạo có độ dài nửa trục lớn là 93000000dặm

a Gọi m, n thứ tự là các khoảng cách từ điểm viễn nhật và điểm cậnnhật đến Mặt Trời

Khi đó tâm sai của quỹ đạo Trái Đất là:

e= 2 c

2 a=

(a+c )−( a−c ) a+c +a−c =

m−n m+n=

= 1 60

b Theo câu a), ta có:

Bài toán 3: Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái

Đất năm 1957 Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm của TráiĐất là một tiêu điểm Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất

là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm ¿ 1,609 km) Tìm tâm sai củaquỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm

Gọi tâm Trái Đất là F2 và giả sử quỹ đạo chuyển động của vệ tinh có

Gọi R là bán kính của Trái Đất thì: { a−c=583+R ¿¿¿¿

Bài toán 4:Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80

cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm

¿ 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình vẽ Hỏi phảighim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độdài là bao nhiêu?

1.6.2.2 Các bài toán liên quan đến đường hypebol

Bài toán1:(Hệ thống định vị Hypebolic)

Hai thiết bị dùng để ghi âm một vụ nổ đặt cách nhau 1 dặm Thiết bị Aghi được âm thanh vụ nổ trước thiết bị B là 2 giây Biết vận tốc của âm thanh

là 1100 feet/s Tìm các vị trí mà vụ nổ có thể xảy ra (1 dặm = 5280 feet, 3 feet

= 0,914 m)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy mà Ox đi qua A và B, Oy là đường trung trựccủa AB như hình vẽ