TIỂU LUẬN HÌNH học GIẢI TÍCH mặt bậc HAI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC _ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Sinh viên thực : Phù Quốc Vinh – 46.01.101.192 Giảng viên : TS Nguyễn Lê Chí Quyết Thành phố Hồ Chí Minh Tháng năm 2021 Em chào thầy Quyết ạ! Đây lần em làm tiểu luận nên chắn q trình thực có nhiều sai sót, mong thầy thông cảm Em mong nhận đươc phản hồi từ thầy để em rút kinh nghiệm làm tốt lần sau Cuốn tiểu luận em biên soạn theo chương trình Hình học giải tích chương trình giảng dạy trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh có tham khảo thêm số tài liệu Cuốn tiểu luận chủ yếu đề cập đến vấn đề liên quan đến Mặt bậc hai không gian Thứ bảy, ngày 23 tháng 01 năm 2021 Phù Quốc Vinh 46.01.101.92 Mục lục Mặt bậc Bài toán tương giao Tâm mặt bậc hai Tiếp tuyến 5 Tiệm cận 6 Đường kính, mặt kính 7 Thu gọn phương trình mặt bậc hai Thư viện Hồng gia Alexandria hay gọi Đại thư viện tọa lạc thành phố Alexandria, Ai Cập, thời thư viện lớn giới Được xây dựng từ kỷ thứ trước công nguyên, thư viện phổ cập lịch sử nhân loại, thu hút nhiều nhà tư tưởng bác học tiếng đến nghiên cứu, tham khảo.Thư viện phần viện nghiên cứu lớn Mouseion, hay "Ngôi nhà Muse" - nữ thần thơ ca nghệ thuật HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Mặt bậc hai Định nghĩa 1.1 Mặt bậc hai không gian 𝐴3 tập hợp 𝑆 gồm tất điểm M có tọa độ (𝑥, 𝑦, 𝑧) mục tiêu cho thoả mãn phương trình bậc hai dạng: F(x, y, z) = a11 x + a22 y + a33 z + 2a12 xy + 2a23 yz + 2a13 zx + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = Trong đó: a211 + a222 + a233 + a212 + a223 + a213 > A = [aij ] ma trận đối xứng thực n Phần bậc hai gọi phần tồn phương Phần bậc gọi phần tuyến tính a44 phần hệ số tự Một số ví dụ minh họa : (S) ∶ x + 2y + 3z = (S) ∶ x + 2y − 5z + 2xy + 3z + = HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Bài toán tương giao 2.1 Giao tuyến hai mặt bậc hai Phương pháp làm giải hệ phương trình gồm hai mặt bậc hai Bài tốn 2.1.1 : Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai (S1 ) ∶ x + y − z = a2 (S2 ) ∶ x − y = 2az với a ∈ ℛ Bài giải : Để tìm giao tuyến (𝑆1 ) 𝑣à (𝑆2 ), ta xét hệ phương trinh sau: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑎2 2𝑦 = 𝑧 + 𝑎2 − 2𝑎𝑧 { ⇒ { x − y = 2az 2𝑥 = 𝑧 + 𝑎2 + 2𝑎𝑧 y√2 ⟺ y√2 [ x√2 { x√2 [ =z−a =a−z = z + a = −z − a Vậy giao tuyến (S1) (S2 ) đường thẳng ∶ { y√2 − z + a = x √2 − z − a = 2.2 ; { y√2 − z + a = x √2 + z + a = ; { y √2 + z − a = x √2 − z − a = ; { y √2 + z − a = x √2 + z + a = Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng Bài toán 2.2.1 : Cho mặt nón trịn xoay : 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = Hãy cắt mặt nón mặt phẳng 𝐴𝑥 − 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = Tìm điều kiện mặt phẳng để giao tuyến chúng đường trịn Bài giải : Ta có : Mặt nón nhận 𝑂𝑧 làm trục đối xứng nên giao măt nón với mặt phẳng song song 𝑂𝑥𝑦 đường tròn Do : (𝑃): 𝐴𝑥 − 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 𝑐ắ𝑡 (𝑆) cho giao tuyến đường trịn (𝑃)𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 (𝑂𝑥𝑦) ⟹ (𝑃) 𝑐ó 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ ∶ 𝐶𝑧 + 𝐷 = Vậy điều kiện cần tìm thỏa mãn u cầu tốn : 𝐴 = 𝐵 = 2.3 Giao tuyến mặt bậc hai với đường thẳng Cho mặt bậc hai (𝜑 ) ∶ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 Cho đường thẳng (d) : {𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑧𝑡 Phương trình tương giao : 𝑃𝑡 + 𝑄𝑡 + 𝑅 = Trong : 𝑃 = 𝑎11 𝑎2 + 𝑎22 𝑏2 + 𝑎33 𝑐 + 2𝑎12𝑎𝑏 + 2𝑎23 𝑏𝑐 + 2𝑎13 𝑐𝑎 {𝑄 = 𝑎𝐹𝑥′ (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑏𝐹𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑐𝐹𝑧′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) 𝑅 = 𝐹(𝑥0 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 ) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Nhận xét : MẶT BẬC HAI ∆> ∶ (𝜑) 𝑐ắ𝑡 (𝑑) 𝑡ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑃 ≠ {∆= ∶ (𝜑) 𝑡𝑖ế𝑝 𝑥ú𝑐 (𝑑) ∆< ∶ (𝜑) 𝑐ắ𝑡 (𝑑) 𝑡ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 đ𝑖ể𝑚 ả𝑜 𝑃 𝑄 ≠ ∶ (𝑑) 𝑐ắ𝑡 (𝜑) 𝑡ạ𝑖 𝑚ộ𝑡 đ𝑖ể𝑚 𝑅 = ∶ (𝑑) ⊂ (𝜑) 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑣ơ 𝑠ố 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑃 = 0{ 𝑄 = 0{ 𝑅 ≠ ∶ (𝑑) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ắ𝑡 (𝜑) { Tâm mặt bậc hai Định nghĩa 3.1 Gọi 𝐼(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) tâm mặt bậc hai tọa độ I nghiệm hệ phương trình: a11 x0 + a12 y0 + a13 z0 + a14 = 𝐹𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = ′ (𝑥 {𝐹𝑦 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = ⟹ {a12 x0 + a22 y0 + a23 z0 + a24 = a13 x0 + a32 y0 + a33 z0 + a34 = 𝐹𝑧′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = Nhận xét 3.2 Tương tự tâm đường bậc hai mặt phẳng, tâm mặt bậc hai tâm đối xứng Điều có nghĩa phép đối xứng qua 𝐼 biến (𝑆) thành Nhận xét 3.3 Khi tịnh tiến mặt bậc hai tới tâm phương trình số hạng bậc một, phương trình bậc hai sau tịnh tiến : 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎11 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎33 𝑧 + 2𝑎12 𝑥𝑦 + 2𝑎23 𝑏𝑦 + 2𝑎13𝑥𝑧 + 𝐹(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = Nhận xét 3.4 Nếu 𝐼 tâm (𝑆) 𝐼 ∈ (𝑆) 𝐼 gọi điểm kỳ dị (𝑆) Tiếp tuyến Định nghĩa 4.1 Đường thẳng cắt mặt bậc hai hai điểm trùng gọi tiếp tuyến với mặt bậc hai điểm trùng Quỹ tích tiếp tuyến điểm gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt điểm Gọi 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) điểm thuộc mặt (𝑆) Điều kiện để đường thẳng (𝑑) qua M, tiếp xúc (𝑆) 𝑀 𝑃≠0 𝑃≠0 { ⟹{ 𝑄=0 ∆= 𝑎𝐹𝑥′ (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑏𝐹𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑐𝐹𝑧′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai (𝑆) điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) có dạng : (𝑥 − 𝑥0)𝐹𝑥′ (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) + (𝑦 − 𝑦0 )𝐹𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + (𝑧 − 𝑧0 )𝐹𝑧′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = Nhận xét 4.2 Mặt phẳng tiếp xúc giao với mặt bậc hai theo đường cong bậc hai suy biến HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Bài toán 4.3 : Cho mặt bậc hai (S): 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (𝑆) 𝑡ạ𝑖 𝑀(1,1,2) (S): 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = Bài giải : F′x = 4x + 2y + 6z + Ta có : {F′y = 2x + 10y + 12z + 14 F′z = 6x + 12y + 16z + Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (𝑆) 𝑡ạ𝑖 𝑀(1,1,2) có dạng : (x − 1)Fx′ (1, 1, 2) + (y − 1)Fy′ (1, 1, 2) + (z − 2)Fz′ (1, 1, 2) = ⇔ 27(x − 1) + 50(y − 1) + 68(z − 2) = ⇔ 27x + 50y + 68z − 213 = Tiệm cận 5.1 Phương tiệm cận đường tiệm cận Định nghĩa 5.1.1 Ta nói 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝛼, 𝛽, 𝛾) ≠ ⃗0 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 phương tiệm cận mặt bậc hai (𝛼, 𝛽, 𝛾) nghiệm phương trình : a11 α2 + a22 β2 + a33 γ2 + 2a12 αβ + 2a23 βγ + 2a13 γα = Mặt bậc hai (𝑆) có tâm 𝐼 Tiệm cận (𝑆) đường thẳng (𝑑) qua 𝐼, nhận 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝛼, 𝛽, 𝛾) ≠ ⃗0 làm 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜 phương khơng cắt (𝑆) Nhận xét 5.1.2 Nếu (𝑆) có tâm có 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 phương tiệm cận 𝑣 ⃗⃗⃗ đường thẳng qua tâm nhận 𝑣 ⃗⃗⃗ làm 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 phương gọi đường tiệm cận mặt bậc hai (𝑆) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Bài tốn 5.1.3 : Cho mặt bậc hai (S) ∶ 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = Tìm vector phương tiệm cận (𝑆) (S) ∶ 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = Bài giải : Ta có 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝛼, 𝛽, 𝛾) = (2,0,2) ≠ ⃗0 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 phương tiệm cận (𝑆) (𝛼, 𝛽, 𝛾) nghiệm phương trình: 2α^2 + 5β^2 + 6γ^2 + 2αβ + 12βγ − 8γα = 5.2 Nón tiệm cận Định nghĩa 5.2.1 Quỹ tích đường tiệm cận gọi nón tiệm cận mặt bậc hai (𝑆) a11 a2 + a22 b2 + a33 c + 2a12 ab + 2a23 bc + 2a13 ca = 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 Đường tiệm cận {𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡 Phương trình mặt : a11 (x − x0 )2 + a22 (y − y0 )2 + a33 γ(z − z0 )2 + 2a12 (x − x0 )(y − y0 ) + 2a23 (y − y0 )(z − z0 ) + 2a13 (z − z0 )(x − x0 ) = Đường kính,mặt kính 6.1 Mặt kính liên hợp với phương Định nghĩa 6.1.1 Ta có 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝛼, 𝛽, 𝛾) ≠ ⃗0 khơng phải 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 phương tiệm cận mặt kính liên hợp với phương 𝑣 ⃗⃗⃗ có phương trình : αFx′ (x, y, z) + βFy′ (x, y, z) + γF′z (x, y, z) = Gọi đường thẳng (𝑑) có phương 𝑣 ⃗⃗⃗ cắt mặt bậc hai (𝑆) hai điểm 𝑀, 𝑁 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Mặt kính liên hợp quỹ tích trung điểm 𝑀𝑁 Chú ý : mặt kính vng góc với phương liên hợp ta gọi mặt kính phương 6.2 Đường kính liên hợp với phương Đường kính liên hợp với phương mặt phẳng (𝑃) ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = (liên hợp với phương (𝑎, 𝑏, 𝑐) ) Quỹ tích tâm thiết diện tạo mặt bậc hai (𝑆) mặt phẳng song song với mặt phẳng (𝑃) 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐹𝑧′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = = 𝑎 𝑏 𝑐 Bài toán 6.2.1 : Tìm phương trình mặt kính x2 + y2 16 + z2 = liên hợp với phương 𝑣 ⃗⃗⃗ = (2,1,2) (𝑆) ∶ x2 y2 z2 + + =1 16 Bài giải : Phương trình mặt kính cần tìm : 2Fx′ (2, 1, 2) + F ′ y (2, 1, 2) + 2Fz′ (2, 1, 2) = 4x y ⇔ + +z=0 ⇔ 32x + 9y + 72z = HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Thu gọn phương trình mặt bậc hai 7.1 Dùng phép biến đổi mục tiêu afin Phương pháp : nhóm bình phương Dạng tắc : 𝑋 + 𝑦 + 𝑍 = (𝑒𝑙𝑖𝑝𝑥𝑜𝑖𝑡) 𝑋 + 𝑦 + 𝑍 = −1 (𝑒𝑙𝑖𝑝𝑥𝑜𝑖𝑡 ả𝑜) 𝑋 + 𝑦 − 𝑍 = (ℎ𝑦𝑝𝑒𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑡 𝑡ầ𝑛𝑔) 𝑋 − 𝑦 − 𝑍 = (ℎ𝑦𝑝𝑒𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑡 𝑡ầ𝑛𝑔) 𝑋 + 𝑦 = 𝑍 (𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑡 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑡𝑖𝑐) 𝑋 − 𝑦 = 𝑍 (𝑚ặ𝑡 𝑦ê𝑛 𝑛𝑔ự𝑎) 𝑋 + 𝑦 = (𝑚ặ𝑡 𝑡𝑟ụ 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑡𝑖𝑐) 𝑋 − 𝑌 = (𝑚ặ𝑡 𝑡𝑟ụ ℎ𝑦𝑝𝑒𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑡) 𝑋 + 𝑦 = −1 (𝑚ặ𝑡 𝑡𝑟ụ 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑡𝑖𝑐 ả𝑜) 7.2 𝑋 = 𝑌 (𝑚ặ𝑡 𝑡𝑟ụ 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑡) 𝑋 = (ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔) 𝑋 = −1 (ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 ả𝑜) 𝑋 + 𝑦 + 𝑍 = (𝑚ặ𝑡 𝑛ó𝑛 ả𝑜) 𝑋 + 𝑦 − 𝑍 = (𝑚ặ𝑡 𝑛ó𝑛) 𝑋 + 𝑌 = (ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 ả𝑜 𝑐ắ𝑡 𝑛ℎ𝑎𝑢) 𝑋 − 𝑌 = (ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 𝑐ắ𝑡 𝑛ℎ𝑎𝑢) 𝑋 = (ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 𝑡𝑟ù𝑛𝑔 𝑛ℎ𝑎𝑢) Dùng phép biến đổi mục tiêu trực chuẩn 7.2.1 Phép tịnh tiến tâm ′ Mục tiêu : (𝑂; 𝑒⃗⃗⃗1 ; ⃗⃗⃗ 𝑒2 ; ⃗⃗⃗ 𝑒3 ) 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑂′ (𝑥0; 𝑦0 ; 𝑧0 ) 𝑒⃗⃗⃗1 = (𝑎1 ; 𝑎2 , 𝑎3 ) 𝑒2 = (𝑏1 ; 𝑏2 , 𝑏3 ) ⃗⃗⃗ 𝑒3 = (𝑐; 𝑐, 𝑐3 ) ⃗⃗⃗ ′ ′ Mục tiêu : (𝑂; 𝑒⃗⃗⃗1 ; ⃗⃗⃗ 𝑒2 ; ⃗⃗⃗ 𝑒3 ) ′ ′ ′ 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1 𝑥 ′ + 𝑏1 𝑦 ′ + 𝑐1 𝑧′ {𝑦 = 𝑦0 + 𝑎2 𝑥 ′ + 𝑏2 𝑦 ′ + 𝑐2 𝑧′ 𝑧 = 𝑧0 + 𝑎3 𝑥 ′ + 𝑏3 𝑦 ′ + 𝑐3 𝑧′ 7.2.2 Phép quay quanh trục tọa độ 𝛼 Mất hệ số 𝑥𝑦 : 𝑄𝑂𝑧 ∶ cot 2𝛼 = 𝑎11 −𝑎22 𝛼 Mất hệ số 𝑧𝑦 ∶ 𝑄𝑂𝑥 : cot 2𝛼 = 𝑎11 −𝑎22 𝛼 Mất hệ số 𝑥𝑧 ∶ 𝑄𝑂𝑦 : cot 2𝛼 = 𝑎11 −𝑎22 2𝑎12 2𝑎12 2𝑎12 (quay xung quanh Oz) (quay xung quanh Ox) (quay xung quanh Oy) 10 ... 2Fz′ (2, 1, 2) = 4x y ⇔ + +z=0 ⇔ 32x + 9y + 72z = HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Thu gọn phương trình mặt bậc hai 7.1 Dùng phép biến đổi mục tiêu afin Phương pháp... giao với mặt bậc hai theo đường cong bậc hai suy biến HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Bài tốn 4.3 : Cho mặt bậc hai (S): 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = Viết phương trình mặt phẳng... có phương