Tiểu luận hình học giải tích khoa toán đại học sư phạm

Tiểu luận hình học giải tích khoa toán đại học sư phạm

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 TIỂU LUẬN MÔN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hà Thanh Lớp: TOÁN !B Nhóm thực hiện: + Nguyễn Thị Thắm + Nguyễn Ngọc Đan + Lưu Huỳnh Đức + Vũ Đông Quân + Nguyễn Mi Sa + Lê Ngô Yến Phương + Dương Hồ Kim Trâm + Nguyễn Xuân Quang 1 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 3 CHƯƠNG 1 :NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ .4 BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ 6 BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 8 BÀI 4: CHIẾU VECTƠ .10 BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 12 BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 13 BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ 16 BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 18 CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG BẬC HAI .23 BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 24 BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 27 BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 32 VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN .32 BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI 39 BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI: 48 BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI 54 BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG BẬC HAI 58 BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI .61 BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 66 CHƯƠNG 3: MẶT BẬC HAI 74 BÀI 18: MẶT BẬC HAI VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN .75 BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI……………………………………………………79 BÀI 20: MẶT KẺ .80 BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI .83 PHỤ LỤC .96 2 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong chương trình giảng dạy ở trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu luận được chia làm ba chương lớn: +Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ +Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng) +Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian) Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các chương sau Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức Chương 2:Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá trình thực hiện tiểu luận này Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng tôi đã sử dụng Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email dongquan12toan2@gmail.com Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc 3 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 Chương 1: NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ Trong thực tế, các đại lượng ta gặp thường có 2 loại : có hướng và vô hướng  Những đại lượng như : “khối lượng”, “chiều dài”, “thể tích” là những đại lượng vô hướng Xác định chúng chỉ cần “đổ lớn” (ví dụ: khối lượng cuốn tiểu luận là 300g …)  Những đại lượng như “vận tốc”, “gia tốc”, “lực” là những đại lượng có hướng, chúng xác định khi biết PHƯƠNG, CHIỂU, và ĐỘ LỚN Để biểu diễn những đại lượng như vậy, ta đưa ra khái niệm về Vectơ Vậy Vectơ là gì ? Được xây dựng như thế nào ? Vectơ có những tính chất và ứng nào cần được nghiên cứu 4 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ I/ Định nghĩa: Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự 2 đầu (có hướng) được gọi là 1 Vectơ Đường thẳng đi qua 2 đầu mút gọi là giá của vectơ A B (ngọn) Độ dài đoạn thẳng nối 2 đầu mút gọi là Môđun của (Gốc vectơ ( như vậy môđun là 1 số không âm) ))   Môđun của a kí hiệu là a + Vectơ đơn vị : Vectơ có môđun bằng 1  + Vectơ “không” ( 0 ): là vectơ 2 đầu mút trùng nhau Có môđun bằng 0 và chiều tùy chọn + 2 Vectơ cộng tuyến (cùng phương): là 2 vectơ có 2 giá là 2 đường thẳng trùng nhau hoặc song song 2 vectơ cùng phương nếu cùng chiều thì gọi là 2 vectơ cùng hướng, nếu ngược chiều thì gọi là 2 vectơ ngược hướng + 2 Vectơ bằng nhau: nếu cùng hướng và môđun bằng nhau     Trên hình: a = b , a và b ngược hướng với c Ta thấy rằng, các vectơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí gốc Nếu đem chúng lại chung gốc thì chúng “trùng nhau” Trong nhiều trường hợp ta chỉ chú đến phương, chiều và môđun của vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc Từ đó đưa đến khái niệm vectơ tự do : là vectơ mà gốc có thể đặt tùy trong không gian Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên trên đầu để gọi tên cho vectơ tự do      c Trên hình: a = b , a và b ngược hướng với c  ba  Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ AB gọi là vectơ buộc B a Buộc vectơ tự do ở điểm A A5 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ I/ Phép cộng trừ Vectơ : 1/ Định nghĩa: B    b Tổng của 2 vectơ a và b là vectơ c được xác định như sau: a C     c Buộc vectơ a ở điểm A, a = AB Buộc vectơ b ở điểm A    B, b = BC Khi đó ta có c = AC       A Hoặc có thể dùng quy tắc hình bình hành: buộc C 2 vectơ a và b vào chung điểm O, a = OA , b = OB , khi  đó c được xác định là vectơ đường chéo hình bình hành c a  có 2 cạnh là OA, OB , với gốc là O : c = OC (Quy tắc này phù hợp với quy tắc tổng hợp 2 lực trong Vật Lí ) bB O d b c e a +++ + Trên hình: Cộng nhiều vectơ 2/ Tính Chất :   + Giao Hoán : a + b = b + a      + Kết hợp : ( a + b ) + c = a + ( b + c )    + Phần tử trung hòa của phép cộng ( 0 ) : a + 0 = 0 + a = a 6 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 + Cộng với phần tử đối Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : là 2 vectơ cùng    phương, ngược chiều, môđun bằng nhau Ví dụ: AB và BA đối nhau Ta ghi : AB = - BA   Ta có tính chất : a +  a = 0 3/ Trừ Vectơ:       Hiệu của 2 vectơ a và b là 1 vectơ c = a + (- b ), ta ghi c = a - b   A a - b = c  c Chú ý : OA - OB = BA Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra a    B O ab ≤ a  b b    a b a - b 4/ Nhân một vecto với một số: + Định nghĩa:    Tích của một vectơ a với một số p là một vectơ kí hiệu pa , có môđun bằng p a ,cùng hướng với a nếu p >0, ngược hướng với a nếu p 1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong các vectơ ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại Chứng minh:   + Điều kiện cần: Giả sử các vectơ a1, a2, a3 , an phụ thuộc tuyến tính; ta có     k1a1  k2a2  k3a3  knan 0 trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn ki 0 Ta suy ra:  k1  k2  k3  kn  ai =  a1  a2  a3  an ki ki ki ki Vậy  k1 ,  k2 ,  k3 , ,  kn là các hệ số của tổ hợp tuyến tính ki ki ki ki    +Điều kiện đủ: Giả sử an = l1a1  l2a2  l3a3  ln 1an 1     l1a1  l2a2  l3a3  ln 1an 1  an = 0   Vậy tồn tại hệ số thứ n là -1 0 Vậy các vectơ a1, a2, a3 , an phụ thuộc tuyến tính III/ Định lý về sự phân tích:   + Trong mặt phẳng cho trước 2 vectơ bất kỳ e1, e2 độc lập tuyến tính, mọi vectơ a khác  của mặt phẳng đề được phân tích duy nhất theo e1, e2 : 8 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36      !(x, y) : a xe1  ye2 e1, e2, e3 độc lập tuyến tính, mọi vectơ a khác + Trong không gian, tồn tại 3 vectơ   trong không gian được phân tích duy nhất theo e1, e2, e3 như sau:    !(x, y, z) : a xe1  ye2  ze3 IV/ Các ví dụ: Vd1: Hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ độc lập tuyến tính Hai vectơ cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính  Hãy chứng minh ví dụ trên ?  ( Hãy áp dụng định lý điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính cho 2 vectơ a1, a2 )  Ta cần chứng minh: Hai vectơ a1, a2 phụ thuộc tuyến tính  Chúng cùng phương Thật vậy o Ta chứng minh điều kiện cần:   Giả sử a1, a2 phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có a1 ka2   hoặc a2 la1 Vậy a1, a2 cùng phương o Ta chứng minh điều kiện đủ:     Giả sử a1, a2 cùng phương  k 0 : a1 ka2  a1  ka2 0  Vậy ta có a1, a2 phụ thuộc tuyến tính Vd2: Trong không gian, 3 vectơ bất kỳ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính 3 vectơ đồng phẳng thì phụ thuộc tuyến tính 9 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 4: CHIẾU VECTƠ I/ Định nghĩa: Trục là một đường thẳng trên đó đã chọn một vectơ đơn vị Hướng của vectơ là hướng của trục  P Cho một trục  với vectơ đơn vị e , một mặt phẳng P không song song với  và một  vectơ v = AB tùy ý trong không gian Qua A và B dựng các mặt phẳng PA, PB song song với P cắt  tại A’,B’ Các điểm A’,B’ gọi là các điểm chiếu của các điểm A,B trên  theo phương P Ta có   A' B ' = p e   Ta gọi p là chiếu của vectơ AB trên  theo phương P Nếu A' B ' cùng phương với    e thì p >0 và nếu A' B ' không cùng phương với e thì p