Tiểu luận hình học giải tích

 Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ. Chương 2: Đường bậc haiXét trong mặt phẳng  Chương 3: Mặt bậc hai Xét trong không gian Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toá

GVHD: NGUYỄN HÀ THANH NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN:

1 ĐỖ THỊ THANH TRÚC

2 NGUYỄN THANH HÀ

3 NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH

4 TRƯƠNG THỊ NGỌC TÂM

5 NGUYỄN YẾN LINH

6 DƯƠNG KIM VÂN

7 TRẦN THỊ THU PHƯỢNG

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ 8

I-Vecto và các phép toán: 8

II- Vecto độc lập và phụ thuộc tuyến tính: 9

III- Hệ tọa độ, hệ tọa độ của vecto va của điểm: 9

IV- Phương trình đường thẳng: 11

V- Vị trí tương đối của 2 đường thẳng, chùm đường thẳng 12

VI- Góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng: 12

VII- Hệ tọa độ de-cac, tọa độ của vecto và điểm: 12

VIII- Tích có hướng của 2 vecto và ứng dụng : 13

IX- Khoảng cách 14

X- Góc 14

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG BẬC HAI 15

I-Định nghĩa: 15

II-Công thức đổi tọa độ và 2 cách đổi trục tọa độ: Phép tịnh tiến và phép quay 15

III-Phân loại đường bậc 2, các dạng phương trình chính tắc 11

IV-Sự tương giao của một đường thẳng và đường bậc hai 21

V- Tâm và cách xác định tâm: 23

VI- Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai: 25

VI-Đường kính liên hợp và cách xác định : 27

VII- Lập phương trình đường bậc hai với điều kiện cho trước 29

CHƯƠNG 3: MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN 32

I-Định nghĩa 32

1.Tâm của mặt bậc hai 32

2.Phương tiệm cận 32

3.Mặt phẳng tiếp xúc 32

4.Mặt kính liên hợp với một phương 33

5.Dạng phương trình chính tắc của mặt bậc hai 33

6.Một số mặt thường gặp 35

II- Các mặt kẻ thường gặp: 39

1 Mặt trụ: Từ mọi điểm M trên mặt trụ đều có thể vẽ 1 đường thẳng song song với đường cao nằm hoàn toàn trên mặt 39

2 Mặt nón: Từ mọi điểm M trên mặt đều có thể vẽ 1 đường thẳng nằm hoàn toàn trên mặt 39

3.Mặt hypeboloid 1 tầng: 39

4.Mặt paraboloic hypebolic (mặt yên ngựa) : 40

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP: 41

 Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ.

 Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng)

 Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian)

Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và

cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các chương sau Chương này chủ yếu là lý thuyếtsong sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức

Chương 2: Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tậpđược phân theo dạng và có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải

Chương 3: Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá trình thực hiện tiểu luận này Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng tôi đã sử dụng Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm

Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc

Lời nói

Hình học giải tích, cũng được gọi là hình học tọa độ hay hình học Descartes, là môn học thuộc hình học sử dụng những nguyên lý của đại số Thường sử dụng hệ tọa độ Descartes cho những phương trình theo mặt phẳng, đường, đường cong, và đường tròn, nhiều khi có hai hay ba chiều đo Theo một số người, hình học giải tích là nguồn gốc của toán học hiện đại

Tiếng Anh “Hình học giải tích” là "Analytic geometry" Từ giải tích ở đây không liên quan đến mônhọc giải tích của chúng ta bây giờ, vì ở thời Descartes chưa có môn giải tích Theo một số quan niệm thìhình học giải tích có lẽ là phát minh vĩ đại vào bậc nhất của toán học nói chung và hình học nói riêng vì

nó cho hình học thêm không những một công cụ là Đại số như ta biết, mà sau này hình học đã đượcthêm nhiều công cụ khác, tất cả ý tưởng là của René Descartes và Hình học giải tích

Trong toán học thời kỳ mới bắt đầu - Thế kỷ XVII - đánh dấu bởi các cuộc cách mạng trong suynghĩ và các phương pháp nghiên cứu, trong đó không thể không nhắc đến phương pháp Hình học giảitích gắn liền với tên tuổi nhà toán học, triết học vĩ đại René Descartes

René Descartes cha đẻ của hình học giải tích

René Descartes là người Pháp, sinh ra tại Hà Lan năm 1596, thuộc một gia đình quý tộc Ông họctiểu học ở trường Dòng và nổi tiếng là học sinh có năng khiếu Năm 1612 ông đến Paris để tiếp xúc vớigiới tri thức và sau đó tham gia binh nghiệp, đi nhiều nơi, mãi đến năm 1626 ông mới định cư ở Paris và

đi sâu vào nghiên cứu triết học và khoa học đó ông trở lại Hà Lan sống ẩn dật, miên man trong suynghĩ, sống xa lánh mọi người trong 20 năm

Năm 1649, theo lời mời của hoàng hậu Christine nước Thụy Điển, ông sang giúp Hoàng hậu tăngvốn hiểu biết và do không chịu nổi thời tiết khắc nghiệt giá lạnh ở Thụy Điển, ông đã qua đời năm1650.Chính trong thời gian sống ẩn dật tại Hà Lan, ông đã để lại cho đời tác phẩm lừng danh "Phươngpháp luận" và ba phụ lục về "Quang học"," Thiên văn học", "Hình học"

LỊCH SỬ MÔN HỌC

Phụ lục thứ ba mà ngày nay chúng ta thường gọi là hình học giải tích đã tôn ông lên hàng bất tử vìông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học rất tuyệt vời: Kết hợp giữa Hìnhhọc và Đại số.

Descartes là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra phương pháp xác định tọa độ một điểm bằng

hệ trục vuông góc mà mọi học sinh phổ thông đều đã quen biết với tên gọi "Hệ tọa độ Descartes".Descartes đã chứng tỏ được khi một điểm chuyển động vạch nên một đường thì mối quan hệ giữa cáctọa độ x,y của nó thể hiện bằng f(x,y) = 0 Ý tưởng vĩ đại này sản sinh ra môn hình học giải tích Triếthọc gọi đây là mối quan hệ biện chứng trong toán học

Từ khi có hình học giải tích, việc nghiên cứu hình học đã qua được một chặng đường dài phát triển.Vinh quang mà người đời dành cho Descartes là ở phương pháp luận nghiên cứu khoa học của ông, màthể hiện tiêu biểu chính là hình học giải tích

CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

 Kiến thức cơ bản :

I-Vecto và các phép toán:

1 Định nghĩa : AB

là một đoạn thẳng có định hướng

2 Hai vacto bằng nhau : có cùng hướng và cùng độ dài

3 Hai vecto đối nhau : ngược hướng và cùng độ dài

e x a x b x c  

10 Định lí : G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCDOG 14 OA OB OC OD     

II- Vecto độc lập và phụ thuộc tuyến tính:

2.Định lí về điều kiện để các vecto phụ thuộc tuyến tính

Các vecto a a a1, , , (2 3 a n  phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một n 1)

trong các vecto ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại

 Trong mặt phẳng cho trước 2 vecto bất kì e e độc lập tuyến tính, mọi vecto 1, 2

a khác của mặt phẳng để được phân tích duy nhất theo e e :1, 2

III- Hệ tọa độ, hệ tọa độ của vecto va của điểm:

1 Hệ tọa độ : Hai trục x’Ox, y’Oy vuông góc với nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đề-các Oxy : O làgốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung Trong đó : i1,0 , j0,1

là các vecto đơn vị trên các trục Ta có : i  j 1, i j0

2 Tọa độ của vecto : ux y,  u xi y j  

3 Tọa độ của điểm : OM x y,  M x y, 



Trong đó x là hoành độ, y là tung độ của M

4 Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy, cho A x y A; B,B x y B; B

G là trọng tâm tam giác ABC : 3 ; 3

b)Trực tâm của tam giác (giao các đường cao ) :

H là trực tâm của tâm giác

c)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các đường trung trực ) :

I(a;b) là tâm của ABC  AI BI CI  (R là bán kính của đường tròn ngoạiR

tiếp ABC )

Giải hệ AI2 BI2 CI2 R2 suy ra tọa độ tâm I

d)Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ( giao của các đường phân giác trong của các góc tamgiác )

Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm được khi thực hiện hai lần công

thức điểm chia đoạn theo tỉ số k :

k AC

IV- Phương trình đường thẳng:

1.Định nghĩa : Cho các vecto u n , 0.

 u là một vecto chỉ phương của đường thẳng d khi u nằm trên 1 đường thẳng song

song hoặc trùng với d

 n là một vecto pháp tuyế của đường thẳng d khi n nằm trên một đường thẳng

vuông góc với d Mọi vecto pháp tuyến của d đều có dạng kn k ,( 0)



 Một đường thẳng d hoàn toàn được xác định khi biết M od và một vecto chỉ

phương u hoặc một vecto pháp tuyến n của d

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a)Định lí :Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng Ax By C  0,A2B2  0.

3 Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng :

a) phương trình tham số của đường thẳng :Phương trình tham số của đường thẳng d qua M x y và có VTCP 0( ; )0 0 u( ; )a b là :

V- Vị trí tương đối của 2 đường thẳng, chùm đường thẳng

1 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :

2 Chùm đường thẳng :

Hai hay nhiều đường thẳng cùng đi qua 1 điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I

Nếu d A x B y C1: 1  1  1 0,d A x B y C2: 2  2  2  cắt nhau0 tạiI A B( 1 2 A B2 1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là:

a) Công thức : Khoảng cách từ M x y đến Ax+By+C=0 là : ( ; )0 0

b) Hệ quả : Nếu d A x B y C1: 1  1  10,d A x B y C2: 2  2  2  cắt nhau tại 0 I A B( 1 2A B2 1)

thì phương trình các phân giác tạo bởi d d là :1, 2

VII- Hệ tọa độ de-cac, tọa độ của vecto và điểm:

 Hệ tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian :

Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox làtrục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao, trên Ox, Oy, Oz lần lượt có các vecto đơn

x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ của M

 Các kết quả : Trong hệ Oxyz cho ( ;A x y z và ( ; ; ) A A; )A B x y z và B B B a( ; ; )x y z1 1 1 ,

2 2 2( ; ; )

k

y ky y

k

z kz z

M là trung điểm AB :

222

VIII- Tích có hướng của 2 vecto và ứng dụng :

Tích có hướng của 2 vecto :

  

Tứ diện :

1,6

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( )1  đi qua điểm M và có VTCP u0 

là :

0 1 1

3 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :

1( ) qua M và có VTCP u1  và 2

đi qua M và có VTCP v2 , khoảng cách giữa   và 1 2

là :

1 2

1 2

, ( ; )

,

u v M M d

Vậy phương trình tổng quát của một đường bậc 2 bất kì là:

Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 Với ( A; B;C) (0;0; 0)

II-Công thức đổi tọa độ và 2 cách đổi trục tọa độ: Phép tịnh tiến và phép quay

1 Công thức đổi tọa độ (đổi mục tiêu)

Xét trong cả hệ tọa độ trực chuẩn và afin

Trong mặt phẳng

●Lưu ý: (x ; y ) là tọa độ điểm O’ trong mục tiêu 1, tương tự, tọa độ (a ; a ), (b ;b

) là tọa độ trong mục tiêu 1

►Hướng giải quyết vấn đề: Ta làm sao biểu diễn tọa độ M(x;y) theo tọa độ M(x’;y’)

Mục tiêu 1: (O;e1;e2;e3) Mục tiêu 2: (O; e1 ; e2;e3)

dụ: Cho (C): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 (*)

Bằng cách dời trục gốc O đến một điểm I thích hợp bằng phép tịnh tiến, hãy đưa phương trình về dạng không có số hạng x, y

Cần giải quyết:

- Tìm I để đưa phương trình sau khi tịnh tiến không còn x, y

- Viết phương trình mới sau khi tịnh tiến

(1)

O '( x0 ; y0

Thay (1) vào (*) ta có: a(x0+x’)2+2b(x0+x’)(y0+y’)+c(y0+y’)2+2d(x0+x’)+2e(y0+y’)+f=0

ax’2+2bx’y’+cy’2+(2ax0+2by0+2d)x’+(2bx0+2cy0+2e)y’+ax02+2bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+f=0 (2)

Để phương trình (*) tịnh tiến không chứa số hạng x, y thì: 2ax0 2by0 d 0 (3)

Và phương trình (C ) sau khi tịnh tiến tới I là:

'sin  Áp dụng công thức (I), ta có: 

y x 'sin y 'cos

(vì (x0;y0)=(0;0)

Đây là công thức chuyển trục phép quay từ Oxy sang Ox’y’

Ví

dụ: Cho (C): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1)

Bằng cách đổi trục bằng phép quay quanh gốc O hãy đưa phương trình về dạng không chứa

số hạng hình chữ nhật (xy)



O

x x ' cosy 'sin 

2d( x 'cosy 'sin ) + 2e( x 'sin y 'cos) + f = 0

Sau khi khai triển, ta được hệ số của x’y’ là: 2a sin cos2b(cos2

sin2

) 2c(sin

cos)

Để phương trình sau khi quay không chứa x’y’ thì

(2c 2a) sin cos2b(cos2 sin2 ) 0 (a c) sin 22b cos 2cot

- Dùng phép tịnh tiến tịnh tiến (C) đến I thì được phương trình mới không chứa x, y (1).

- Dùng phép quay một góc với cot 2a c

ta được phương trình mới không chứa số hạng xy.(2)

Cy2 F (x ; y ) 0 với x0, y0 là tọa độ của I

III-Phân loại đường bậc 2, các dạng phương trình chính tắc.

Cho (C): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 Hãy xác định (C) thuộc loại đường nào?

0 Elip (thực, ảo) 2 đường thẳng ảo cắt nhau tại điểm thực

Cách giải: Ta xem (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y Do đó:

(1) cy2 2(bx e) y ax2 2dx

4thì thỏa mãn ycbt.

*Phương pháp 2: Đưa phương trình (C) tổng quát về dạng chính tắc của nó

Các dạng chính tắc của đường bậc 2 trong 2 hệ trục:

như đã đề cập ở trên để đưa phương trình mới về dạng không chứa số hạng x, y, xy Rồi biến đổi sơcấp ta được phương trình chính tắc của 1 đường cong cần xác định

Cách 2: (Dùng trong hệ tọa độ Afin).

0 (*) Với các hệ số2 A1 , C1 là nghiệm của hệ: T ST P 0.

(S A1 C1 A C); P A1C1

AC B

)

Rồi từ (*) ta đưa về dạng chính tắc của nó

● Khi (C) là parabol, để đơn giản nó, ta tiến hành các bước sau:

Nhận xét: Nhìn vào các phương trình trên ta thấy chúng không chứa hệ số x, y vì vậy ta chỉ cần dùng

phép quay để làm mất đi số hạng xy

5Chọn trục mới sao cho Ox sao cho sin

0 (2 đường thẳng ảo cắt nhau hay đó là

 425

X 2 13 0 (2 đường thẳng thực song song)

3) 16x2 24xy 9 y2 160x 120 y 425 0 (4x 3y)2 2(80x 60 y 425) 0

2Đặ

Y '

su

y ra

X '2

Y '2

1(elip)

suyra

0 0 0







e).4x2 12xy 9 y2 2x 3y 2 0

(2x 3y)2 (2x 3y) 2 0 (2x 3y)2 2 1 (2x 3y) 1 9

dụ 1: Tìm giao của đường thẳng và các đường cong sau:

a).(C) : x2 4xy 4x y 4

2

2xy 4x 6 y 3 0

 Hệ phương trình vô nghiệm.

x y

F F

Vậy đường bậc hai không có tâm.

3/ Gọi là tâm của đường bậc hai cần tìm  là nghiệm của hệ phương trình sau:

 Hệ phương trình có vô số nghiệm

Vậy đường bậc hai có nhiều tâm tạo thành đường thẳng

có phương trình thỏa (d):

b/ Dạng 2 : Tìm tập hợp tâm của đường bậc hai

Ví dụ : Tìm tập hợp tâm của các đường bậc hai :

a, (C)

b, (C) đi qua 4 điểm O(0,0), A(0,1), B(2,0), C(1,2)

Hướng dẫn: Xét hệ Nếu hệ có chứa tham số  biến đổi hệ biểu diễn tham số theo ẩn x, y từ đó ta suy ra được tập hợp tâm của đường bậc hai

Giải:

a, Tâm I của đường bậc hai (C) là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tập hợp tâm I của đường bậc hai (C) là đường thẳng (d):

F F

TH1: D = 0  A = 0  (I)

 Tọa độ tâm của đường (C) là nghiệm của hệ phương trình

 I(-1,0) là một tâm của đường bậc hai (C)

TH2: D ≠ 0  Chọn D = 2  A = -2  4E = 2 + 4B  2E = 1 + 2B  C = -(1 + 2B)

Thay vào (*), ta được:

 Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình

Thay vào phương trình (1) ta được:

Vậy tập hợp tâm I của đường cong (C) là các điểm thuộc đường cong (C’) có phương

a/ Dạng 1:phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đường cong (C)

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -2

02