Tiểu luận hình học giải tích

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH -ᴥᴥ ‫ڃ‬ ‫ڃ‬ᴥᴥ - GVHD: NGUYỄN HÀ THANH NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: ĐỖ THỊ THANH TRÚC NGUYỄN THANH HÀ NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH TRƯƠNG THỊ NGỌC TÂM NGUYỄN YẾN LINH DƯƠNG KIM VÂN TRẦN THỊ THU PHƯỢNG MỤC LỤC CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ I-Vecto phép toán: II- Vecto độc lập phụ thuộc tuyến tính: III- Hệ tọa độ, hệ tọa độ vecto va điểm: IV- Phương trình đường thẳng: 11 V- Vị trí tương đối đường thẳng, chùm đường thẳng 12 VI- Góc khoảng cách hai đường thẳng: 12 VII- Hệ tọa độ de-cac, tọa độ vecto điểm: 12 VIII- Tích có hướng vecto ứng dụng : 13 IX- Khoảng cách .14 X- Góc 14 CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG BẬC HAI 15 I-Định nghĩa: 15 II-Công thức đổi tọa độ cách đổi trục tọa độ: Phép tịnh tiến phép quay 15 III-Phân loại đường bậc 2, dạng phương trình tắc .11 IV-Sự tương giao đường thẳng đường bậc hai 21 V- Tâm cách xác định tâm: 23 VI- Phương trình tiếp tuyến đường bậc hai: 25 VI-Đường kính liên hợp cách xác định : 27 VII- Lập phương trình đường bậc hai với điều kiện cho trước 29 CHƯƠNG 3: MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN 32 I-Định nghĩa .32 1.Tâm mặt bậc hai .32 2.Phương tiệm cận 32 3.Mặt phẳng tiếp xúc 32 4.Mặt kính liên hợp với phương .33 5.Dạng phương trình tắc mặt bậc hai 33 6.Một số mặt thường gặp 35 II- Các mặt kẻ thường gặp: 39 Mặt trụ: Từ điểm M mặt trụ vẽ đường thẳng song song với đường cao nằm hoàn toàn mặt .39 Mặt nón: Từ điểm M mặt vẽ đường thẳng nằm hoàn toàn mặt .39 3.Mặt hypeboloid tầng: 39 4.Mặt paraboloic hypebolic (mặt yên ngựa) : 40  CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP: .41 Lời nói đầu Cuốn tiểu luận biên soạn theo chương trình Hình học giải tích chương trình giảng dạy trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu luận chia làm ba chương lớn:  Chương 1: Nhắc lại kiến thức vectơ  Chương 2: Đường bậc hai(Xét mặt phẳng)  Chương 3: Mặt bậc hai (Xét không gian) Chương 1: Nhắc lại khái niệm vectơ, phép toán liên quan đến vectơ cách tổng quát cụ thể để làm tảng lý thuyết ứng dung cho chương sau Chương chủ yếu lý thuyết song sau định lý quan trọng chúng tơi đưa ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng khắc sâu kiến thức Chương 2: Mở rộng đường bậc hai mà ta xét mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng quen thuộc từ thời phổ thông tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính nói đến cách tổng qt có phần mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, tập phân theo dạng có phương pháp cụ thể cho dạng sau phần tập ứng dụng có lời giải Chương 3: Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên phần sâu vào khái niệm mặt kẻ đường sinh.Để mơ rõ tính chất hình học, loại mặt bậc hai có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh giúp đỡ tận tình chúng tơi q trình thực tiểu luận Xin cảm ơn tác giả tài liệu tham khảo mà chúng tơi sử dụng Trong q trình thực tiểu luận cịn có vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc LỊCH SỬ MƠN HỌC Hình học giải tích, gọi hình học tọa độ hay hình học Descartes, mơn học thuộc hình học sử dụng nguyên lý đại số Thường sử dụng hệ tọa độ Descartes cho phương trình theo mặt phẳng, đường, đường cong, đường trịn, nhiều có hai hay ba chiều đo Theo số người, hình học giải tích nguồn gốc tốn học đại Tiếng Anh “Hình học giải tích” "Analytic geometry" Từ giải tích khơng liên quan đến mơn học giải tích bây giờ, thời Descartes chưa có mơn giải tích Theo số quan niệm hình học giải tích có lẽ phát minh vĩ đại vào bậc tốn học nói chung hình học nói riêng cho hình học thêm công cụ Đại số ta biết, mà sau hình học thêm nhiều công cụ khác, tất ý tưởng René Descartes Hình học giải tích Trong tốn học thời kỳ bắt đầu - Thế kỷ XVII - đánh dấu cách mạng suy nghĩ phương pháp nghiên cứu, khơng thể khơng nhắc đến phương pháp Hình học giải tích gắn liền với tên tuổi nhà toán học, triết học vĩ đại René Descartes René Descartes cha đẻ hình học giải tích René Descartes người Pháp, sinh Hà Lan năm 1596, thuộc gia đình quý tộc Ơng học tiểu học trường Dịng tiếng học sinh có khiếu Năm 1612 ơng đến Paris để tiếp xúc với giới tri thức sau tham gia binh nghiệp, nhiều nơi, đến năm 1626 ông định cư Paris sâu vào nghiên cứu triết học khoa học ơng trở lại Hà Lan sống ẩn dật, miên man suy nghĩ, sống xa lánh người 20 năm Năm 1649, theo lời mời hoàng hậu Christine nước Thụy Điển, ơng sang giúp Hồng hậu tăng vốn hiểu biết không chịu thời tiết khắc nghiệt giá lạnh Thụy Điển, ông qua đời năm 1650.Chính thời gian sống ẩn dật Hà Lan, ông để lại cho đời tác phẩm lừng danh "Phương pháp luận" ba phụ lục "Quang học"," Thiên văn học", "Hình học" Phụ lục thứ ba mà ngày thường gọi hình học giải tích tơn ơng lên hàng ơng phát minh cho nhân loại phương pháp nghiên cứu hình học tuyệt vời: Kết hợp Hình học Đại số Descartes nhà toán học nhân loại đưa phương pháp xác định tọa độ điểm hệ trục vng góc mà học sinh phổ thơng quen biết với tên gọi "Hệ tọa độ Descartes" Descartes chứng tỏ điểm chuyển động vạch nên đường mối quan hệ tọa độ x,y thể f(x,y) = Ý tưởng vĩ đại sản sinh mơn hình học giải tích Triết học gọi mối quan hệ biện chứng tốn học Từ có hình học giải tích, việc nghiên cứu hình học qua chặng đường dài phát triển Vinh quang mà người đời dành cho Descartes phương pháp luận nghiên cứu khoa học ông, mà thể tiêu biểu hình học giải tích CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ  Kiến thức : I-Vecto phép toán: uuur Định nghĩa : AB đoạn thẳng có định hướng Hai vacto : có hướng độ dài Hai vecto đối : ngược hướng độ dài uuur uuu r uuur  A , B , C AC  AB  BC Cộng vecto : ta có ta có : uuu r uuur uuur *Nếu ABCD hình bình hành : AB  AD  AC Tính chất : r r r r ab ba (giao hoán ) r r r r r r (a  b)  c  a  (b  c) (kết hợp ) r r r a0 a (phép cộng có phần tử trung hịa: phần tử khơng ) r r r a  ( a )  (cộng với phần tử đối ) *Hai vecto đối vecto phương, ngược chiều, modum uuu r uuu r uuu r Hiệu vecto : OB  OA  AB Tích số thực với vecto : r r r r r r b  ka � b  k a a , b hướng k �0 r r a, b ngược hướng k  r r r r a phương b � k �R : b  ka Tính chất : r r r r m(a  b)  ma  mb (phép nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng không gian vecto ) r r r (m  n) a  ma  na (phép nhân vô hướng có tính phân phối phép cộng số thực ) r r m( na )  ( mn)a (phép nhân vơ hướng có tính kết hợp) r r 1a  a Tích vơ hướng : rr r r r r ab  a b cos a, b   Vecto đồng phẳng : vecto đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng : r r r r r r a , b , c �  m , n � � : c  ma  nb Với đồng phẳng Phân tích vecto theo vecto khơng đồng phẳng : r r r r a , b , c e Với khơng đồng vecto , có số thực x1 , x2 , x3 : r r r r e  x1 a  x2 b  x3 c uuur uuu r uuu r uuur uuur ABCD � OG  OA  OB  OC  OD 10 Định lí : G trọng tâm tứ giác, tứ diện   II- Vecto độc lập phụ thuộc tuyến tính: 1.Định nghĩa :  Cho n vecto a1 , a2 , a3 , an n vecto k1 , k , k3 , kn Ta gọi vecto k1a1  k2 a2  k3a3  kn an tổ hợp tuyến tính vecto a1 , a2 , a3 , an với hệ số k1 , k2 , k3 , k n  Hệ vecto a1 , a2 , a3 , an gọi độc lập tuyến tính :  k1a1  k2 a2  k3a3  kn an =0 � k1  k  k3   k n  Hệ vecto a1 , a2 , a3 , an gọi độc lập tuyến tính : ki �0 cho k1a1  k2 a2  k3a3  k n an =0 2.Định lí điều kiện để vecto phụ thuộc tuyến tính Các vecto a1 , a2 , a3 , an (n  1) phụ thuộc tuyến tính có vecto tổ hợp tuyến tính vecto cịn lại Chứng minh : Điều kiện cần : Giả sử vecto a1 , a2 , a3 , an phụ thuộc tuyến tính, ta có k1a1  k2 a2  k3a3  kn an =0 Trong có hệ số khác 0, chẳng hạn ki �0 Ta suy : r k uu r r k uu k ur k uu   a1  a2  a3  n an ki ki ki ki  Vậy k1 k2 k3 k ;  ;  ; ;  n ki ki ki ki hệ số tổ hợp tuyến tính Điều kiện đủ : Giả sử an  l1a1  l2 a2  l3a3   ln 1an1  an  Vậy tồn hệ số thứ n 1 �0 Vậy vecto a1 , a2 , a3 , an phụ thuộc tuyến tính 3.Định lí phân tích :  Trong mặt phẳng cho trước vecto e1 , e2 độc lập tuyến tính, a khác mặt phẳng để phân tích theo e1 , e2 : !( x, y ) : a  xe1  ye2 vecto  Trong không gian : tồn vecto e1 , e2 , e3 độc lập tuyến tính, vecto a khác khơng gian phân tích theo e1 , e2 , e3 sau : !( x, y, z ) : a  xe1  ye2  ze3 III- Hệ tọa độ, hệ tọa độ vecto va điểm: Hệ tọa độ : Hai trục x’Ox, y’Oy vng góc với tạo nên hệ trục tọa độ Đề-các Oxy : O r r i   1,  , j   0,1 gốc tọa độ, x’Ox trục hồnh y’Oy trục tung Trong : r r rr i  j  1, i j  vecto đơn vị trục Ta có : r r r r u   x, y  � u  xi  y j Tọa độ vecto : uuuu r OM   x, y  � M   x, y  Tọa độ điểm : Trong x hồnh độ, y tung độ M A  x A ; y B  , B  xB ; y B  Các kết : Trong hệ tọa độ Oxy, cho vecto r r a   a1; a2  , b   b1; b2  Ta có : r r a )a �b   a1 �b1 ; a2 �b2  r ur uu r b)k a  k a1 ; k a2 , k �� rr c)a.b  a1b1  a2b2   Hệ : r 1) a  a12  a2 r r 2) cos a; b    a1b1  a2 b2 a  a2 b12  b2 rr 3) a.b � a1b1  a2 b2  r r d ) a  b � a1  b1 , a2  b2 r r b b �  k � � : b  ka � 1 � a1 a2 �� �a1 a2 0 r r � b1 b2 a , b � e) phương uuur AB   xB  xA ; y B  x A  f)Tọa độ vecto uuu r 2 AB  AB   xB  x A    yB  y A  g)Khoảng cách : uuur uuur h)Điểm M chia AB theo tỉ số k (k khác 1) � MA  k MB Khi đó,tọa độ M tính bởi: x  kxB y  kyB xM  A ; yM  A lk l k x x y  yB xM  A B ; yM  A 2 M trung điểm AB ta có : Kiến thức tam giác : x2 y   z2  Ví dụ 2: Xét giao tuyến Hyperbolôit tầng: mặt phẳng: x  y  12 z   cách dùng hình chiếu mặt phẳng tọa độ Giải: Gọi Thì (H ) : x2 y2   z2  ( P ) : x  y  12 z   �x y �   z2  (1) ( H ) �( P) : �9 � x  y  12 z   (2) � (2) � z  ; x y   ; thay vào (1) ta có: x2 y x y   (   )  � 9y  xy  16 x  12 y  60  4 : Đây phương trình hình chiếu giao tuyến mặt phẳng Oxy (sau khử biến z ), có biệt ' số  là:  '  (4 x  6)  9(16 x  60)  16 x  192 x  576  16( x  6) �0, x Nên phương trình hình chiếu giao tuyến mặt phẳng Oxy viết lại thành: y+2=0 � ( y  2)(9 y  x  30)  � � 8x+9y-30=0 ; Do hình chiếu đường thẳng � thực cắt nhau, giao điểm chúng là: x  ; y  2 Nên giao tuyến cần xét đường thẳng thực cắt với tọa độ giao điểm x6 ; y  2 ; z  x y   2 62   1 Nhưng: nên giao điểm Hyperbolôit ( H ) giao tuyến đuờng sinh thẳng mặt Dạng 3: Viết phương trình đường sinh mặt kẻ bậc hai thỏa điều kiện toán PHƯƠNG PHÁP CHUNG:  Đối với mặt kẻ bậc hai mặt nón mặt trụ, từ phương trình mặt ta xét đường thẳng thoả yêu cầu toán có q điểm chung với mặt đường sinh thẳng mặt  Đối với mặt kẻ bậc hai mặt Hyperbolôit tầng mặt yên ngựa, từ phương trình mặt ta xét họ đường sinh thẳng, kết hợp với điều kiện tốn ta tìm đường sinh thẳng Cụ thể ta xét ví dụ sau đây: x2 y z   1 16 Ví dụ 1: Tìm đường thẳng qua điểm (6, 2,8) nằm mặt Giải: x2 y2 z y2 z2 x2   1 �   1 16 16 Phương trình mặt y z y z x x � (  )(  )  (1  )(1  ) 4 3 Ta có họ đường sinh thẳng: x � y z m(  )  n(1  ) � � d :� (I) ; �n( y  z )  m(1  x ) � ' Cho d d qua (6, 2,8) ta có: x � y z p(  )  q(1  ) � � d' : � (II) y z x � q(  )  p (1  ) � x �y z   1 � m  n � �2 (I) � � �m  n�d :� x  y  z  12  � �m  n �y  z   x d :� x  y  z  12  �2 ; hay � x � y z 3(  )   �  p  3q � � (I) � � � p  3q � d ' : � x  y  z  12  � 3q   p � �y  z  3(1  x ) d' : � x  18 y  z  12  �2 ; hay � x2 y z   1 16 Ví dụ :Lập phương trình đường sinh mặt biết song song với mặt phẳng: x  y  3z  17  Giải: x2 y z x2 z y2   1 �   1 16 16 Phương trình mặt Hyperbolôit tầng: x z x z y y � (  )(  )  (1  )(1  ) 4 3 Ta có họ đường sinh thẳng: y � x z m(  )  n(1  ) � � d :� (I) ; x z y � n(  )  m(1  ) � y � x z p(  )  q(1  ) � � d' : � (II) x z y � q (  )  p (1  ) � Mặt phẳng ( P ) : x  y  3z  17  có vectơ pháp tuyến (6, 4,3) m n m � v  ( , , ) � � � n m n � v2  ( , , ) � d có cặp vectơ pháp tuyến ; �m2  n2 mn m2  n2 � [v1 , v2 ]  � , , � � 12 � � � Nên có vectơ phương d / /( P ) � m2  n2 m2  n  mn   � m  mn � m  n 2 y �x z   1 � �2 �d :� x  y  z  12  � x z �   1 y d :� x  y  z  12  �2 hay � p q p �' v1  ( , ,  ) � � � q p q � v2'  ( ,  , ) ' ; d có cặp vectơ pháp tuyến � �q  p pq p  q � [v1' , v2' ]  � , , � � 12 � � � Nên có vectơ phương d ' / /( P ) � q2  p2 p2  q2  pq   � p   pq � p  q 2 y � x z (  )   � � � d' : � x  y  3z  12  � x z y � d' : � (  )   x  y  3z  12  � hay � Dạng 4: Bài tốn quỹ tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Dạng đa dạng phương pháp, tùy theo yêu cầu đề mà ta xây dựng quỹ tích điểm, đường thẳng chuyển động thỏa điều kiện ràng buộc Để vậy, cần phải tìm cho biểu thức liên hệ hệ thức tọa độ Sau số ví dụ cụ thể cho dạng tốn này: Ví dụ: Tìm quỹ tích tiếp tuyến vẽ từ gốc tọa độ đến mặt : ( x  5)  ( y  1)  z  16 Giải: Quỹ tích phải tìm mặt nón đỉnh gốc tọa độ ngoại tiếp với mặt cầu cho x y z   Phương trình đường sinh có dạng: m n (1) ; muốn tiếp tuyến với mặt �x y z (1) �   �m n � ( x  5)  ( y  1)  z  16 cầu cho hệ phương trình: � (2) có nghiệm Giải hệ cách đặt tỉ số chung (1) t , rút x, y, z theo t thay vào (2) : ( mt  5)  ( nt  1)  t  16 2 Hay: ( m  n  1)t  2(n  5m)t  10  Phương trình phải có nghiệm kép, tức là:  '  (n  5m)  10(m  n  1)  (3) Ta hệ thức liên hệ hệ số phương đường sinh Do (1): x y m ; n z z thay vào (3) ta có phương trình mặt nón phải tìm: �x y � �y x �   10   1� � � � �z z � 2 2 �z z � � � hay: ( y  x)  10( x  y  z )  Dạng 5: Phương trình mặt kính liên hợp với phương: PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Gọi   ,  ,   � 0, 0,  phương tiệm cận mặt bậc hai (S), mặt kính liên hợp với phương   ,  ,   � 0, 0,  có phương x   F� y   F� z  (mặt kính liên hợp quỹ tích trung điểm MN ( d cắt trình:  F � (S) điểm M, N)) Ví dụ: Tìm phương trình mặt kính liên hợp mặt:  S  x  y  y  12 yz  zx  xy  x  14 y  18 z  Biết liên hợp với dây song song: x  y z 1   5 a) b) trục Ox Giải: Ta có: F� x  4x  y  6z F� y  x  10 y  12 z F� z  x  12 y  16 z  18 a) Mặt kính liên hợp với dây // d với VTCP (d): r ad  (2, 3, 5) Do đó, có phương trình: 3(4 x  y  z  8)  2(2 x  10 y  12 y  14)  5(6 x  12 y  16 y  18)  � x  17 y  19 z  19  Vậy phương trình mặt kính liên hợp thỏa mãn u cầu tốn là: x  17 y  19 z  19  b) Mặt kính liên hợp với dây song song Ox nên liên hợp với phương � 1F � x  � x  y  z   � x  y  3z    Bài Tập Tổng Hợp r v   1, 0,  Bài 1: Lập phương trình mặt trụ có đường chuẩn �x  y  25 � � �z  Và phương đường sinh: (5, 3, 2) Bài 2: Lập phương trình Elipxolit có trục trùng với trục tọa độ chứa đường tròn �x  y  z  � �x  z , qua M (3,1,1) Bài 3: Tìm tâm bán kính đường tròn: � ( x  4)  ( y  7)  ( z  1)  36 � 3x  y  z   � x2 z2 z 6  y2   1 x   y 1  Bài 4: Tìm giao điểm mặt đường thẳng: 2 Bài 5: Cho mặt nón tròn xoay: x  y  z  Hãy cắt mặt nón mặt phẳng Ax  By  Cz  D  Tìm điều kiện mặt phẳng để giao tuyến chúng đường tròn Bài 6: Cho  S : x2 y   2z 16 a) Gọi tên (S) b) Tìm đường sinh thẳng (S) qua A(8, 2,1) x2 y2 z   1 Bài 7: Chứng tỏ mặt phẳng x   cắt mặt elipxoit 16 12 theo elip Tính bán trục xác định đỉnh chúng 2 Bài 8: Tìm giao tuyến mặt y  z  x với mặt phẳng tọa độ Tìm phương trình hình chiếu mặt phẳng x0y giao tuyến mặ với mặt phẳng x  2y  z  Bài 9: Lập phương trình mặt đường thẳng chuyển động luôn tựa hai đường thẳng: d1 : x  y z 1 x y 8 z    d2 :   ; 2 song song với mặt phẳng: x  y   tạo nên Bài 10: Xác định mặt đường thẳng chuyển động tạo nên, biết ln ln tựa ba đường thẳng: d1 : x y 1 z x2 y z x y 1 z   d2 :   d3 :   1 ; 1; mà đôi chúng không nằm mặt phẳng  Hướng dẫn giải: Bài 1: Gọi mặt trụ cần tìm (D) Mặt trụ (D) có phương đường sinh: (5,3, 2) xa yb z   � Phương trình đường sinh (D) : 2 sinh dựa đừơng chuẩn x, y, z nghiệm pt sau: � � �x  y � � �z  �x  a �  �5 �2  25 y b z  �x  y  25 � �z  � � �x  z  a � � �y  z  b � �5 ( z  a)  ( z  b)  25 � 2 � z0 � � �� �x  z  a � �y  z  b � � �a  b  25 � �z  � � �a  x  z � ( x  z )  ( y  z )2  25 2 � � b y z � � Vậy phương trình mặt trụ phải tìm (x  z )  ( y  z )  25 2 Bài 2: x2 y2 z   1 b c Elipxolit có trục trùng với trục tọa độ có phương trình : a � �x  y  z  � �x  z 2 �x y z �x  y  z  �2   1 � xz b c � Vì Elipxolit chứa đường trịn (C): nên hệ �a (*)có vơ số nghiệm x2  2x2 y   1 a2 b2 c �1 � � �   �x   b c � b �a (*) � �1   0 � �a b c �� � 1  � b � b2  � � �1  1 �2   c �a có vơ số nghiệm 1   1�   M (3,1,1) b c a c (2) Vì Elipxơlit qua nên ta được: a �1 �8 �1     2 � � � �a �a �a c 9 12 �� �� � 1 �  �   �   2 2 �c �c 36 c 9 a Từ (1) (2),ta có: �a x2 y2 5z    12 36 Do elipxơit là: Bài 3: mặt cầu (C) có tâm  4, 7, 1 bán kính R=6 r  3,1, 1 n Mặt phẳng (P) có vtpt  Giao tuyến mặt cầu (C) mặt phẳng (P) đường tròn (K) Tâm I đường tròn giao điểm đường thẳng qua tâm  4, 7, 1 mặt r cầu (C) vng góc với mặt phẳng (P) tức song song với pháp tuyến n (P) �x   3t � �y   t �z  1  t Đường thẳng có phương trình tham số: � Giao điểm đường thẳng với mặt phẳng (P) xác định giá trị t thỏa mãn   3t     t    1  t    11t  11  � t  1 Hay Vậy ta suy tọa độ tâm I đường tròn (K) là: I  1, 6,  Gọi d khoảng cách từ tâm hình cầu (C) tới mặt phẳng (P) Ta có d   1       1    11 2 2 Ta suy ra: bán kính r đường trịn (K) là: r  R  d  36  11  25  Vậy giao tuyến mặt cầu mặt phẳng cho đường trịn có tâm I  1, 6,  có bán kính r  x2 y2 z   1 Bài 7: Phương trình cho 16 12 phương trình mặt elipxơit x2 Hay x  y2 z2  1  12 16 y2 z2  1 Đó elip nằm mặt phẳng x  có hai bán trục  2, 3,  ,  2, 3,  ,  2, 0,  bốn đỉnh  , 2, 0,  2 Bài 8: phương trình cho y  x  x Là phương trình mặt parabơlơit eliptic có đỉnh Ox dương  0, 0,  có trục đối xứng Giao tuyến với mặt xOy z  y  x Đó parabol nằm mặt phẳng xOy 2 Giao tuyến với mặt yOz x  y  z  Đó điểm  0, 0,  Giao tuyến với mặt zOx x  z  x Đó parabol nằm mặt phẳng zOx Giao tuyến với mặt x  y  z  xác định hai phương trình x  2y  z  y2  z  x Khử z khỏi hai phương trình ta y2   x  y   x Hay y  x  y  xy  x Vậy hình chiếu mặt xOy giao tuyến mặt parabôit cho với mặt phẳng x  y  z  z0 Bài 9: x  xy  y  x  x a y b z c   n có vectơ Giả sử phương trình đường thẳng chuyển động là: m r a phương  (m, n,1) Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng cắt đường thẳng cho là: r uu r uuuur � [ a, a1 ] A1M  �r uur uuuuu r [ a, a2 ] A2 M  � � �m n � � �3 � 2m  3n  � (I) M (a, b, c ) �d A1 (6, 0,1) �d1 ; Với: A2 (0,8, 4) �d (n  2,3  m, 2m  3n)(a  6.b.c  1)  � � (2n  2,3  2m, 2m  3n)(a, b  8, c  4)  � � (I ) � � n� m � � n m � � Hệ � � (b  2c  2)m  (3c  a  3)n  (2a  3b  12)  (1) � �� (2b  2c  8)m  (3c  2a  12)n  (2a  3b  24)  (2) � � n   m (3) � Khử m, n (1), (2), (3) ta phương trình liên hệ a, b, c tọa độ điểm đường thẳng chuyển động, tức phương trình mặt phải tìm Muốn vậy, thay (3) vào (1) (2) giải ra, sau cân giá trị m ta có: 12  3b  2a 24  2a  3b  a  b  4c  a  2b  4c 3 � 4a  9b  144c � a b2  c 36 16 Nếu kí hiệu tọa độ điểm đường sinh x, y, z thay cho a, b, c ta có x2 y   z : ( P) phương trình mặt cần tìm là: 36 16 _Parabolơit Hyperbolic Bài 10: Giả sử phương trình đường thẳng chuyển động d: xa y b z   (1) m n , có vectơ phương là: r a  (m, n,1) Điều kiện để đường thẳng cắt ba đường thẳng cho: r uu r uuuur � [ a, a1 ] A1M  �r uur uuuuu r [ a, a2 ] A2 M  � �r uu r uuuuu r [ a, a3 ] A3 M  � � mn �0 � (I) M (a, b, 0) �d A1 (0,1, 0) �d1 A2 (2, 0, 0) �d ; Với: A3 (0, 1, 0) �d3 (n, m  2, 2n)(a, b  1, 0)  � an  bm  2b  m   � � � (n  1,  m, m)(a  2, b, 0)  an  a   2n  bm  � � (I ) � � �� (n,  m, 2n)(a , b  1, 0) an  2b   bm  m  � � � � mn �0 mn �0 � � (2) (3) (4) Khử a, b, m, n (1), (2), (3), (4) ta có phương trình mặt phải tìm Muốn ta lấy (2)  (3) : a  2b  m  2n  Và lấy (4)  (2) : 4b  2m  ; giải hệ Thay vào (1) (2) : a , b : a  2 n ; b  m x  mz  2n (5) y  nz  m (6) 4n  m2  (7) Phương trình (7) thỏa mn �0 Giải (5) (6) : m xz  y z 1 ; n yz  x 2( z  1) 2 2 Thay vào (7) : (2 yz  x)  ( xz  y )  4( z  1) 2 2 2 Hay: y ( z  1)  x ( z  1)  4( z  1) 2 2 Chia cho z  : x  y  z  x2  y  z  1: ( H ) Cuối đuợc: _Hyperbolôit tầng ... người, hình học giải tích nguồn gốc tốn học đại Tiếng Anh ? ?Hình học giải tích? ?? "Analytic geometry" Từ giải tích khơng liên quan đến mơn học giải tích bây giờ, thời Descartes chưa có mơn giải tích. .. thực tiểu luận cịn có vài sai sót, xin bạn đọc thơng cảm Xin trân trọng cảm ơn q bạn đọc LỊCH SỬ MƠN HỌC Hình học giải tích, gọi hình học tọa độ hay hình học Descartes, mơn học thuộc hình học. .. thể f(x,y) = Ý tưởng vĩ đại sản sinh mơn hình học giải tích Triết học gọi mối quan hệ biện chứng toán học Từ có hình học giải tích, việc nghiên cứu hình học qua chặng đường dài phát triển Vinh