TIỂU LUẬN Hình học giải tích

TIỂU LUẬN Hình học giải tích Cuốn tiểu luận này được soạn theo chương trình hình học giải tích của trường Đại học Sư phạm...

TIỂU LUẬN Hình học giải tích Lời nói đầu: Cuốn tiểu luận soạn theo chương trình hình học giải tích trường Đại học Sư phạm TP.HCM hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Nó dùng làm tài liệu học tập tham khảo cho sinh viên Tiểu luận chia làm phần: - Không gian vectơ - Đường bậc hai - Mặt bậc hai Với nhiều tập dạng tốn hình học giải tích cơng cụ hữu hiệu củng cố lại kiến thức cho người đọc Từ đó, tảng người đọc nâng cao chuyên sâu Vì tài liệu viết lần nên không tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ bạn, chúng tơi xin chân thành cảm ơn TP.HCM, ngày tháng năm 2011 Nhóm sinh viên Nhóm trưởng: Đặng Quang Vinh MỤC LỤC: Trang Chủ đề 1: Không gian vectơ……………………………………………………………………1 I Vectơ phép toán………………………………………………………….…………… II Hệ tọa độ, tọa độ vectơ điểm……………………………………………… …….1 III Phương trình đường thẳng………………………………………………………… ……… IV Vị trí tương đối hai đường thẳng, chùm đường thẳng……………………….………… V Góc hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng……… ……… VI Hệ tọa độ Đề-các không gian, tọa độ vectơ điểm………………… …… VII Tích có hướng hai vectơ áp dụng……………………………………………… … VIII Khoảng cách……………………………………………………………………………… IX Góc…………………………………………………………………………………… …….6 Chủ đề 2: Đường bậc hai…………………………………………………………………… Vấn đề 1: Định nghĩa đường bậc hai………………………………………………………… …7 Vấn đề 2: Công thức đổi tọa độ hai cách đổi trục tọa độ: Tịnh tiến quay………….…… 2.1 Công thức đổi tọa độ (đổi mục tiêu)……………………………………………………… Phép tịnh tiến……………………………………………………………………………….….…8 Phép quay………………………………………………………………………………….…… 2.2 Kết luận……………………………………………………………………………….…… Vấn đề 3: Phân loại đường bậc hai, dạng phương trình tắc……………………… 10 Vấn đề 4: Sự tương giao đường thẳng đường bậc hai…………………………… .21 Vấn đề 5: Tâm, cách xác định tâm đường bậc hai Phương tiệm cận, đường tiệm cận, cách xác định đường tiệm cận…………………….…….…23 Tâm………………………………………………………………………………………… ….23 Phương tiệm cận, đường tiệm cận…………………………………………………………… 25 Vấn đề 6: Phương trình tiếp tuyến đường bậc hai………………………………………….26 Vấn đề 7: Đường kính liên hợp cách xác định đường kính liên hợp đường cong bậc hai…………………………………………………………………… ….29 Vấn đề 8: Viết phương trình đường cong bậc hai với điều kiện cho trước…………… 30 Vấn đề 9: Bài tập tổng hợp…………………………………………………………………… 34 Chủ đề 3: Mặt bậc hai………………………….…………………………………… ………42 Vấn đề 1: Định nghĩa mặt bậc hai lý thuyết mặt bậc hai…………………………… .…… 42 Định nghĩa……………………………………………………………………………… … 42 Tâm mặt bậc hai…………………………………………………………………… .… 42 Phương tiệm cận……………………………………………………………………… …….42 Mặt phẳng tiếp xúc……………………………………………………………………… ….42 Phương trình đường kính liên hợp với phương……………………………………… .42 Vấn đề 2: Các vấn đề liên quan đến mặt bậc hai đặc biệt………………………… … 43 Phương trình mặt sau nhận O làm tâm đối xứng…………………………………… ….43 Một số mặt thường gặp…………………………………………………………………… 44 a Elipxôlit:……………………………………………………………………………… …….44 b Mặt hypebololit tầng mặt parabolôit hyperbolic (mặt yên ngựa)………………… … 44 Ví dụ tập…………………………………………………………………………… 46 Vấn đề 3: Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai……………………………………………… .47 Vấn đề 4: Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng………………………………… 49 Vấn đề 5: Lập phương trình mặt bậc hai với điều kiện cho trước…………………… … 51 Vấn đề 6: Bài tập đường sinh thẳng đường bậc hai……………………………… ……52 Vấn đề 7: Bài tập tổng hợp………………………………………………………………… ….53 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Chủ đề 1: KHƠNG GIAN VECTƠ Nhắc lại kiến thức bản: I) VECTƠ VÀ  PHÉP TOÁN: CÁC  Định nghĩa: AB đoạn thẳng có định hướng Hai vectơ nhau: có hướng độ dài Hai vectơ đối nhau: ngược hướng độ dài      Cộng vectơ: ta có A, B, C ta có : AC  AB  BC      Nếu ABCD hình bình hành : AB  AD  AC Tính chất:           a  b  b  a; a  b  c  a  b  c         a    a  a; a   a        Trừ vectơ: OB  OA  AB Tích số thực với vectơ:       b  ka  b  k a a, b hướng k    a, b ngược hướng k      a phương b  k  R : b  k a Tính chất:        m a  b  ma  mb;  m  n  a  ma  na       m na   mn  a;1.a  a; 1a   a      Tích vơ hướng : ab  a b cos a, b             Vevtơ đồng phẳng: vectơ đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng       a, b, c đồng phẳng  m, n  R : c  ma  nb Phân tích vectơ theo vectơ khơng đồng phẳng:     Với a, b, c khơng đồng phẳng vectơ e ,có số thực x1, x2, x3:     e  x1 a  x2 b  x3 c 10 Định lý : với M trung điểm AB G trọng tâm ABC , O tùy ý thì:    MA  MB        GA  GB  GC        2CM  CA  CB       OG  OA  OB  OC        G trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD  OG  OA  OB  OC  OD     II) HỆ TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ VÀ CỦA ĐIỂM Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox, y’Oy vng góc tạo nên hệ trục tọa độ Đề-các Oxy: O   gốc tọa độ, x’Ox trục hoành y’Oy trục tung Trong đó: i  (1;0), j  (0;1) vec tơ đơn    vị trục Ta có: i  j  i j  Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích     Tọa độ vectơ: u  ( x; y )  u  x.i  y j   Tọa độ điểm: OM  ( x; y )  M  ( x; y ) Trong x hồnh độ, y tung độ M Các kết : Trong hệ tọa độ Oxy, cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) vectơ   a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) Ta có :   a ) a  b  (a1  b1 ; a2  b2 )  b) k a  (ka1 ; ka2 ), k    c) a.b  a1b1  a2b2 Hệ quả:  1) a  a12  a2 a1b1  a2b2   2) cos (a; b )  2 a12  a2 b12  b2   3) a  b  a1b1  a2b2    d ) a  b  a1  b1 , a2  b2  b b   k   : b  k a    a1 a2   e) a , b phương    a1 a2    b1 b2   f) Tọa độ vec tơ AB  ( xB  xA ; yB  y A )   g) Khoảng cách: AB  AB  ( xB  x A )  ( yB  y A )   h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k khác 1)  MA  k MB Khi đó, tọa độ M tính bởi: x  k xB y  k yB xM  A , yM  A lk lk x x y  yB ● M trung điểm AB, ta có: xM  A B , yM  A 2 Kiến thức tam giác : Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) a) Trọng tâm tam giác ( giao đường trung tuyến) : x x x y  yB  yC G trọng tâm tam giác ABC : xG  A B C , yG  A 3 b) Trực tâm tam giác (giao đường cao):        AH  BC  AH BC    H trực tâm tam giác            BH  CA  BH CA    c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (giao trung trực) : I(a ; b) tâm  ABC  AI  BI  CI  R (R bán kính  ABC ) Giải hệ AI  BI  BI  CI suy tọa độ tâm I d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( giao đường phân giác góc tam giác) Tâm K đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm thực hai lần cơng thức điểm chia đoạn theo tỉ số k :   DB AB Vì     k1 nên D chia BC theo tỉ số k1, suy tọa độ D AC DC Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích   KA BA Vì     k2 nên k chia AD theo tỉ số k2, suy tọa độ K BD KD e) Diện tích tam giác: 1  S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  S  ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 abc S   pr  p( p  a)( p  b)( p  c) 4R      2    AB AC  ( AB AC )  det( AB, AC ) S  2       a a2 Trong đó: det( AB, AC )   a1b2  a2b1 với AB  (a1; a2 ), AC  (b1 ; b2 ) b1 b2 III) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG    1) Định nghĩa: Cho vectơ u , n     u vectơ phương đường thẳng d vec tơ u nằm đường thẳng song song  trùng với d Mọi vectơ phương d có dạng k u , (k  0)    n vectơ pháp tuyến đường thẳng d vec tơ n nằm đường thẳng vng góc với  d Mọi vectơ pháp tuyến d có dạng k n , (k  0)   Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết M  d vectơ phương u  vectơ pháp tuyến n d 2) Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Định lý: Phương trình tổng quát đường thẳng d có dạng Ax  By  C  0, A2  B     Chú ý: d có vtpt n  ( A; B), vtcp u  ( B;  A)  u  ( B; A)  b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có vtpt n  ( A; B) là: A( x  x0 )  B ( y  y0 )  0, A2  B  3) Phương trình tham số- tắc đường thẳng: a) Phương trình tham số đường thẳng:  Phương trình tham số đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có vtcp u  (a; b) là:  x  x0  at , a  b  0, t    y  y0  bt  b) Phương trình tắc đường thẳng:  Phưowng trình tắc đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có vtcp u  (a; b) là: x  x0 y  y0  , a  b  a b IV) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM ĐƯỜNG THẲNG 1) Vị trí tương đối đường thẳng Cho đường thẳng d1 : A1 x  B1 y  C1  (1), d : A2 x  B2 y  C2  (2) ( A12  B12  0, A22  B2  0) Giải hệ (1), (2) ta có kết sau: -Hệ có nghiệm  A1B2  A2 B1   d1 d2 cắt -Hệ vô nghiệm  A1B2  A2 B1  B1C2  B2C1   d1 / / d -Hệ có vơ số nghiệm  A1 B2  A2 B1  B1C2  B2C1  C1 A2  C2 A1   d1  d 2) Chùm đường thẳng : Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích Hai hay nhiều đường thẳng qua điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I Nếu d1 : A1 x  B1 y  C1  0, d : A2 x  B2 y  C2  cắt I ( A1 B2  A2 B1 ) phương trình chùm đường thẳng tâm I là: m( A1 x  B1 y  C1 )  n( A2 x  B2 y  C2 )  0, m2  n  V) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1) Góc đường thẳng : Cho đường thẳng d1 : A1 x  B1 y  C1  0, d : A2 x  B2 y  C2  Nếu gọi  (00    900 ) góc d1 d2 : cos   A1 A2  B1 B2 A12  B12 A22  B22 Hệ : d1  d  A1 A2  B1 B2  2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: a) Công thức : Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến d : Ax  By  C  là: d (M , d )  Ax0  By0  C , A2  B  A B b) Hệ quả: Nếu d1 : A1 x  B1 y  C1  0, d : A2 x  B2 y  C2  cắt I ( A1 B2  A2 B1 ) phương trình phân giác tạo d1 d2 là: A1 x  B1 y  C1 A x  B2 y  C2  2 A12  B12 A2  B22 2 VI) HỆ TỌA ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM: ■ Hệ tọa độ đêcac vng góc khơng gian: Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vng góc đơi tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox trục hoành , Oy trục tung Oz trục cao.trên Ox, Oy, Oz có vectơ đơn vị    i  (1; 0;0), j  (0;1;0), k  (0; 0;1)      - Tọa độ véctơ: u  ( x; y; z )  u  xi  y j  zk   - Tọa độ điểm: M  ( x; y; z )  OM  ( x; y; z )   x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ M hay OM  ● Các kết quả: hệ Oxyz cho A  xA ; y A ; z A  B  xB ; yB ; z B  a   x1 ; y1; z1   b   x2 ; y2 ; z2  Ta có:   ● a  b   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2   ● k a   kx1 ; ky1 ; kz1   ●Tích vơ hướng: a.b  x1.x2  y1 y2  z1.z2 Hệ quả:  ● a  x12  y12  z12   x1.x2  y1 y2  z1.z2 ● cos a; b  2 2 x1  y12  z12  x2  y2  z2   ● a  b  x1.x2  y1 y2  z1.z2    ● a  b  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2     x y z ● a, b phương  k  R : b  ka    x2 y2 z2   ●Tọa độ vectơ: AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A    Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích ●Khoảng cách: AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  2        OA  kOB  ●Điểm M chia AB theo tỉ số k (k≠1)  MA  k MB  OM  (k≠1) Khi tọa độ 1 k M là: xA  kxB x A  xB    xM   k  xM    y  yB y A  kyB   M trung điểm AB :   yM  A  yM  1 k   z A  zB z A  kzB    zM   zM   k   VII) TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG: Tích có hướng hai vectơ:   ■ Định nghĩa: Cho a   x1 ; y1; z1  b   x2 ; y2 ; z2     y z1 z1 x1 x1 y1   a, b    ; ;     y2 z2 z2 x2 x2 y2  ■ Các tính chất:     ● a phương b   a, b           ●  a, b   a  a, b   b           ●  a, b   a b sin a, b      ●Diện tích tam giác: S ABC   AB, AC   2 ●Thể tích :     - Hình hộp: VABCD A ' B 'C ' D '   AB, AD  AA '       - Tứ diện: VABCD   AB, AD  AD  6 ●Điều kiện vectơ đồng phẳng:       a, b, c đồng phẳng   a, b  c        A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  AD      VIII) KHOẢNG CÁCH 1) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mp   : Ax  By  Cz  D  là: d  M ,     Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng () qua điểm M0 có VTCP u là:    M M1 , u    d  M1,     u 3) Khoảng cách hai đường chéo nhau:    1  qua M1 có VTCP u    qua M2 có VTCP v , Khoảng cách  1     là: Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích    u , v  M 1M   d  1 ;      u , v    IX) GĨC:  1) Góc đường thẳng : Cho  1  có VTCP u   a1 ; b1; c1     có VTCP  v   a2 ; b2 ; c2  gọi  góc  1      u.v a1a2  b1b2  c1c2 Ta có: cos      2 u.v a1  b12  c12 a2  b22  c2 Đặc biệt:  1   ( )  a1a2  b1b2  c1c2   2) Góc đường thẳng mặt phẳng: cho đường thẳng    có VTCP u   a; b; c  mp   có  VTPT n   A; B; C   góc      thì:  n.u Aa  Bb  Cc sin      00    900  2 2 2 n.u A  B C a b c Đặc biệt:  / /        Aa  Bb  Cc   3) Góc hai mặt phẳng:cho mp 1  có VTPT n1   A1 ; B1; C1  mp   có VTPT   n2   A2 ; B2 ; C2   góc 1    thì:    n1.n2 A1 A2  B1 B2  C1C2 cos       n1 n2 A1  B12  C12 A2  B2  C2 Đặc biệt: 1      A1 A2  B1B2  C1C2  Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích Chủ đề 2: ĐƯỜNG BẬC -Vấn đề 1: Định nghĩa đường bậc 1.1 Cho hàm số F ( x; y )  Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F  Với ( A; B; C )  (0;0;0) 1.2 Trong (Oxy), tập hợp điểm M(x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình F(x;y)=0 Khi ta nói F(x;y)=0 phương trình đường cong (C) hay (C) có phương trình F(x;y)=0 Vậy phương trình tổng quát đường bậc là: Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F  Với ( A; B; C )  (0;0;0) Vấn đề 2: Công thức đổi tọa độ cách đổi trục tọa độ: Phép tịnh tiến phép quay 2.1 Công thức đổi tọa độ (đổi mục tiêu) Xét hệ tọa độ trực chuẩn afin 2.1.1 Trong mặt phẳng     Mục tiêu 2: (O; e1; e2 ) M(x’;y’)   Mục tiêu 1: (O; e1; e2 ) M(x;y) O’(x0;y0)   e1  (a1; a2 )   e2  (b1; b2 )     ●Lưu ý: (x0; y0) tọa độ điểm O’ mục tiêu 1, tương tự, tọa độ e1  (a1 ; a2 ), e2  (b1 ; b2 ) tọa độ mục tiêu ►Hướng giải vấn đề: Ta biểu diễn tọa độ M(x;y) theo tọa độ M(x’;y’)       e1  (a1 ; a2 )  e1  a1e1  a2 e2 + Ta có:        e2  (b1; b2 )  e2  b1e1  b2 e2 + Trong mục tiêu 1: OM  ( x; y ) , (O(0;0))   Do đó: OM  x1e1  x2 e2 (1) + Trong mục tiêu 2: O ' M  ( x '; y ') , (O’(0;0))     Do đó: OM  x ' e1  y ' e2         + Ta có: OM  OO ' O ' M  x0 e1  y0e2  x ' e1  y ' e2  x0 e1  y0e2  x '(a1e1  a2 e2 )  y '(b1e1  b2e2 ) (2)  ( x0  a1 x ' b1 y ')e1  ( y0  a2 x ' b2 y ')e2  x  x0  a1 x ' b1 y ' (I ) Từ (1) (2) ta được:   y  y0  a2 x ' b2 y ' Trang Tiểu luận Hình Học Giải Tích Hypeboloit tầng : x2 y2 z2 Phương trình tắc:    a b c Xét : x2 y2 z2 x2 z2 y2 y  x z  x z   y                1  1   a b c a c b  a c  a c   b  b  - Họ đường thẳng (d) giao mặt có phương trình :  x z  y m  a  c   p 1  b         p  x  z   m 1  y     a c   b   - Họ đường thẳng (d’) giao mặt có phương trình :  x z y  m '  a  c   p ' 1  b         p '  x  z   m ' 1  y     a c   b   Mặt yên ngựa: (parabolôit hyperbolic) Trang 45 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Phương trình: x2 y2   z a2 b2 Xét : x2 y2  x y  x y    z         z a b  a b  a b  Xét họ (d) giao mặt phẳng sau:  x y mz  p  a  b       p  m x  y     a b  Xét họ (d’) giao hai mặt phẳng sau:  x y m ' z  p '  a  b       p '  m ' x  y     a b  Bài tập 1: Cho  S  : x  y   z  1 2 Ví dụ tập a) Gọi tên mặt (S) b) Tìm đường sinh (S) qua điểm A(1; 1; 0) Giải: a) Ta có: x2 y2 2   z  suy (S) Hypeboloit tầng x  y   z  1  2  b)Gọi (d) đường thẳng qua A có VTCP: a  ( ;  ;  )  x  1t   (d ) :  y    t  z  t  Ta có: (d) đường sinh nên (d) nằm mặt (S) 2  1   t   1   t     t   1 , t  R      2  t  (2   )t  0, t  R       2             2  2    1,   1,   1 Chọn:    1,   1,   x  1 t  x  1 t   Vậy: (d ) :  y   t (d ') :  y   t  z t  z t   Bài tập 2: Cho  S  : x2 y2   z 16 a) Gọi tên (S) b) Tìm đường sinh thẳng (S) qua A 8,3 2,1   Giải: a) Ta có: Trang 46 Tiểu luận Hình Học Giải Tích x2 y x2 y2   2z    z  mặt parabolit hypeboloic (mặt yên ngựa) 16 32 18  b) (d) qua A có VTCP: a  ( ;  ;  ) có phương trình tham số là:  x  t  y   t  z  1  t  Do (d) đường sinh nên (d) thuộc (S) 8   t   16         3  t    2 t      16  2  2   2 )t   t  (               2  2     2  2          3    3        4    2  2          3          2           3  3        x   4t  x   4t      d1  :  y   3t   d  :  y   3t    z   (2  2)t  z   (2  2)t Vấn đề 3: Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai :  Phương pháp: Hệ phương trình gồm hai mặt giao tuyến Ví dụ 1: Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai: x  y  z  a x  y  2az Giải: Giao tuyến hai mặt bậc hai có phương trình :  x2  y2  z  a2 2 y  z  a  2az   2 2  x  y  2az  x  z  a  2az   y  (a  z )    y  ( a  z )     x  (a  z )    x  ( a  z )  Vậy giao tuyến đường thẳng:  2y  z  a   2y  z  a   2y  z  a   2y  z  a      ; ; ;   2x  z  a   2x  z  a   2x  z  a   2x  z  a      Ví dụ 2: Chứng minh giao tuyến mặt cầu: x  y  z  50 z  parabôlit elliptic: x2 y   z đường trịn Tìm bán kính đường trịn 25 16 Trang 47 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Giải: Giao tuyến cần tìm có phương trình :   x2 y2   x  y  z  50 z  2   x  y  z  25        25 16  x2 y   2z   2 x  y  z  50 z  25 16     16 z  y  z2  y2  1     16 2 2  x  y  z  50 z       x  y  z  50 z  (1) phương trình hai mặt phẳng:  P  : z  y   P2  : z  y  Do mặt phẳng cắt mặt cầu (2) theo giao tuyến đường tròn (C1) (C2) - Xét mặt cầu (S) có: I(0; 0; 25) R = 25 Tâm (C1) hình chiếu I (P1)   P1  : 3 y  z  có VTPT: n1  (0, 3, 4) Phương trình (d1) qua I vng góc (P1) là:  x0   y  3t  z  25  4t  Tâm I1 (C1) có tọa độ nghiêm hệ:  3 y  z   x0   9t  100  16t   t  4  I1 (0;12;9)   y  3t  z  25  4t  d  I ; (P )  100  20 Bán kính (C1): r1  R  d  I ; ( P )   252  202  15 4.25  20   ( P2 ) : y  z  , có VTPT n2  (0;3; 4) Phương trình (d2) qua I vng góc (P2) là:  x0  (d ) :  y  3t  z  25  4t  Tâm I2 (C2) có tọa độ nghiệm hệ:  x0  y  3t   25t  100   t  4  I (0; 12;9)   z  25  4t 3 y  z   Tương tự: d  I ; ( P2 )    bán kính r2  R  d  I ; ( P2 )   252  202  15  C1  : I1  0;12;9  , r1  15 Vậy   C2  : I  0; 12;9  , r2  15  x2 y2 Ví dụ 3: Giao mặt Parabolit Hypebolic :   z mặt phẳng : x  y   đường gì? Trang 48 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Giải: Ta có: Giao tuyến hai mặt có phương trình :  x y2 4 x  y  72 z  x3 y  x  y   72 z   2z     2x  3y     2x  y  2 x  y    2 x  y  12 z  * 6(2 x  y )  72 z    2 x  y    2x  3y    Ta có  * phương trình mặt phẳng nên giao tuyến cần tìm hai mặt mặt phẳng có phương trình: x  y  12 z  - Vấn đề 4: Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng : Ví dụ 1: Cho mặt nón tròn xoay: x  y  z  Hãy cắt mặt nón mặt phẳng Ax  By  Cz  D  Tìm điều kiện mặt phẳng để giao tuyến chúng đường trịn Giải: - Ta có: Mặt nón nhận Oz làm trục đối xứng nên giao mặt nón với mặt phẳng song song Oxy đường trịn Do đó: (P): Ax  By  Cz  D  cắt (S) cho giao tuyến đường tròn (P) song song (Oxy)  (P) có phương trình: Cz  D  Vậy điều kiện cần tìm thỏa yêu cầu toán là: A = B = x2 y2 z2 Ví dụ 2: Cho mặt nón     a  b  a b c Tìm mặt phẳng cắt mặt nón theo đường tròn Giải: Giả sử a > b phương trình mặt nón viết lại sau: x2 y2 y2 y2 z2 z2 z2 x2  y  z  1   1        0     y     z  (*) a2 b a a a a c a2 b a  a c   1  A  b2  a  Đặt :  cặp mặt phẳng Ay  Bz  m  1 cắt (S) giao tuyến cặp đường B2    a c2  trịn Vì : (1)  A2 y  ( Bz  m)2  B z  Bzm ** Thay  ** vào (*) ta được: x2  y  z  Bzm  m   x  y  z  Bzm  m a    a2 (1) phương trình mặt cầu có tâm I(0;0;  Bma ) Do cặp mặt phẳng Ay  Bz  m  cắt mặt cầu giao tuyến cặp đường trịn Ví dụ 3: Tìm giao tuyến mặt sau với elipxôlit x2 y z x   0, y  3, z    1 16 12 Các giao tuyến hình gì? Tìm bán trục, xác định đỉnh Giải: Trang 49 Tiểu luận Hình Học Giải Tích y2 z2  1  giao tuyến chúng elip nằm trêm mặt phẳng : x   có bán trục lớn ; bán trục bé Tọa độ đỉnh : A  2;3;0  , B  2; 3;0  , C 2;0; , D 2;0;  + Với mặt : x   cắt elipxolit tại:     + Với mặt y  cắt elipxôlit tại: x2 z   Vậy giao tuyến chúng giao tuyến mặt y  có bán kính trục lớn 2, bán kính trục nhỏ Tọa độ đỉnh : A  2;3;0  , B  2;3;0  , C  0;3; 1 , D  2;3;1 x2 z + Với mặt z  cắt elipxôlit tại:  1 12 Vậy giao tuyến chúng giao tuyến mặt z  Có bán kính trục lớn     bán kính trục nhỏ 3.Tọa độ đỉnh : A 3; 0;1 , B 2 3; 0;1 , C  0; 3;1 , D  0;3;1 x2 y   z ( PH ) với mặt phẳng tọa độ Chứng minh rằng: mặt phẳng y   cắt mặt theo parabol, tìm tham số tiêu đỉnh Giải: Với (Oxy) có phương trình: z = Giao (Oxy) (PH) phương trình:  x2 y2 2 x   * y    6z   5  5   x  y  6z z0    (*) phương trình đường thẳng thực cắt nằm mặt (Oxy) có phương trình: x y x y   0,   5 Đối với (Oyz): x  + Giao (Oyz) (PH) có phương trình :  y  24 z  *  x2 y   6z     x2 y2 5  6z    x0   (*) phương trình đường thẳng thực cắt nằm mặt (Oxz).có đỉnh O(0;0;0), trục đối xưng trục Oz dương + Giao y   (PH) có phương trình:  y  6  y  6 y  6      x2  x y2  6z  x  30 z  45 *      6z 5 5 *  x  30  z       2   xX  Đặt :  Ta có:    X  30 Z  3 z   Z  Ví dụ 4: Tìm giao tuyến mặt: Trang 50 Tiểu luận Hình Học Giải Tích  3 phương trình parabol có tham số tiêu : p  y  6, X  Z   y  6, x  0, z   30  15 , có đỉnh: 3   đỉnh I  0; 6;   2  Ví dụ 5: Tìm giao tuyến mặt : y  z  x (HE) với mặt phẳng tọa độ Tìm phương trình hình chiếu mặt phẳng Oxy giao tuyến mặt với mặt phẳng x  y  z  Giải: Ta có: + (Oxy) có phương trình z  , giao (Oxy) (HE) có phương trình:   z0  z0   2 y  z  x  y  x  *  (*) phương trình Parabol nằm (Oxy) có đỉnh O(0; 0; 0), tham số tiêu p  , trục đối xứng Ox dương + (Oxz) có phương trình y  , giao (Oxz) với (HE) có phương trình là:  y0  y0    2 y  z  x  z  x  *  (*) phương trình Parabol nằm (Oxz) có đỉnh (0; 0; 0) , tham số tiêu p  ,trục đối xứng Ox dương + (Oyz) có phương trình x  , giao (Oyz) (HE) có phương trình là: x   x0  x0    y   2 y  z  y  z  x  z  Vậy giao (Oyz) (HE) gốc tọa độ O + Hình chiếu (HE) mặt phẳng : x  y  z  (Oxy) là: (Oxy) có phương trình : z   y2  z2  x Ta khử z khỏi hai phương trình :  Ta được: x  y  z  y   x  y   x  y  x  xy  x  Vậy hình chiếu mặt Oxy giao tuyến (HE) mặt phẳng : x  y  z  là: z  0, x  xy  y  x  -Vấn đề 5: Lập phương trình mặt bậc hai với điều kiện cho trước Ví dụ 1: Lập phương trình Elipxolit có trục trùng với trục tọa độ chứa đường tròn  x2  y  z  (C):  , qua M(3, 1, 1) xz  Giải: x2 y2 z2 Elipxolit có trục trùng với trục tọa độ có phương trình :    a b c Trang 51 Tiểu luận Hình Học Giải Tích  x2  y2  z2    x2  y  z  x  z Vì Elipxolit chứa đường trịn (C):  nên hệ  có vơ số nghiệm xz y2 z2  x  a  b  c  *  2 x  2x x *     có vơ số nghiệm a b c  1      x   có vơ số nghiệm b a b c  1  b2   a2  b  c2     1 1  1   2  a c  b  1 Vì Elipxơlit qua M (3, 1, 1) nên ta được:        2 a b c a c 1   a2 Từ (1) (2), ta có:  9   a2 x2 Do elipxơlit :  12  1   a2   a  12   c   1  2 1     c2 a2  c 36 c   2 y z   36  Ví dụ 2: Viết phương trình paraboloit hyperbolic qua hai đường thẳng z  , y   x , qua điểm M(1,2,3) nhận Oz làm trục đối xứng Giải : x2 y2 Parabolôit hyperbolic nhận Oz làm trục đối xứng nên có phương trình:   pz   p  * a b 2 x x (P) qua y   x z      a  b a b (P) qua M    p   p   a b 6a 2a Từ (*) ta có: x2 y2 2z     x  y  z  a a 2a Vậy phương trình Parabolơit hyperbolic là: x  y  z  -Vấn đề 6: Bài tập đường sinh thẳng đường bậc hai Ví dụ 1: Một mặt phẳng (Q) song song (P) : x  y  z   cắt (S): x  y  z theo hai đường sinh thẳng Tìm giao điểm góc tạo chúng Giải : Gọi đường sinh thẳng (d) có phương trình:  x  x0   t   y  y0   t với  ,  ,     0; 0;0   z  z t  Trang 52 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Vì (d) đường sinh thẳng   d    S , hay:  x0   t    y0   t  2   z0   t  t  R 2      t  2( x0   y0   )t  x0  y0  z0  0, t  R      1    x0   y0       x  y  z   3 0  Mà (d) giao tuyến (Q) (S) nên (d)  (Q)         Mặt khác: nQ  nP  1; 1;1  nQ  ad          Từ (1) (4) ta có:      I   2 2                    II     2  Xét (I): chọn     1,   Từ (2) (3) ta có:  x  1 t  x0  y0   x0  y0   Chọn x0  y0    d1   y   t  2  x0  y0  z0   z0   z0  Xét (II): Chọn      1,   2 Từ (2), (3) ta có:  x0    y0    x0  y0      2 2  x0  y0  z0   y0    y0  z0   * *  y0   z0   z0  y0  Chọn y0   z0  2, x0  2  x  2  t '    d  :  y  t '  z   2t '   d1    d   M  có tọa độ M nghiệm hệ:  x  1 t  y  1 t   t  t '  z0 t  2   t  t '    M  1; 1;0    t ' 1  x  2  t '  t '    y  t '   z   2t ' Góc (d1) (d2) là:    1   cos  d1 , d   cos a1 ; a2      d1  d   d1 ; d    a1 a2   Vấn đề 7: Bài Tập Tổng Hợp Trang 53 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Bài tập 1: Cho mặt bậc hai : x  y  z  xy  yz  xz  x  10 y  z  Tìm phương trình biến đổi mặt tịnh tiến gốc tọa độ đến điểm (3, 0, 1) Giải:  x  x '  Công thức đổi tọa độ:  y  y '  z  z '  Từ (*) ta có :  x ' 3  *  y '2   z ' 1  y '  z ' 1   x ' 3 z ' 1   x ' 3  10 y '  z ' 1   x '2  y '2  z '2  x ' y ' y ' z ' x ' z '  Vậy phương trình sau biến đổi là: x  y  z  xy  yz  xz   Bài tập 2: Tìm phương trình biến đổi sau tịnh tiến gốc tọa độ tâm mặt bậc hai sau: x  y  z  xy  x  y  z  Giải: Giả sử I  x0 , y0 , z0  tâm mặt bậc hai trên, nên tọa độ nghiệm hệ phương trình sau:  Fx  x0 , y0 , z0   2 x0  y0    x0      Fy  x0 , y0 , z0    2 x0  y0     y0   I  0,1,1    z 1  z0     Fz  x0 , y0 , z0   F  0,1,1     4  phương trình mặt bậc hai sau tịnh tiến tới tâm : x  y  z  xy   Bài tập 3: Tìm ý nghĩa hình học phương trình sau hệ tọa độ (Oxyz) a) y   b) x  y  z  25 c) x  y  z  d )x  y  e) xyz  f )x2  4x  g ) yz  z  Giải: a) y   Đó phương trình mặt phẳng song song (Oxz) cách (Oxz) khoảng d=2 phía âm trục Oy b) x  y  z  25 phương trình mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = c) x  y  3z   x  y  z  Nên ý nghĩa hình học điểm O(0; 0; 0) Đó mặt cầu tâm O bán kính R = d) x  y  , phương trình ln z  Đó mặt phẳng qua (d) : x  y mặt phẳng Oxy trục Oz x  e) xyz    y  Đó phương trình ba mặt phẳng tọa độ (Oxy),(Oxz) (Oyz)  z   x  f) x  x    phương trình hai mặt phẳng : x  x  x   z0 g) yz  z    Là phương trình hai mặt phẳng : z  y  z  y  z  Trang 54 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Bài tập 4: Xác định tâm bán kính mặt cầu sau: a ) x  y  z  x  y  z  10  b) x  y  z  x  10  c) x  y  z  x  12 y  z  41  Giải a Tâm I (3;-4;-1) ,bán kính R   16   10  b Tâm I (3;0;0) , bán kính R   10  1  i  i  mặt cầu có tâm (3;0;0) có bán kính ảo i c Tâm I (2; 6  1) , bán kính R   36   41   mặt cầu có tâm điểm I(2; 6  1) bán kính Bài tập 5: Tìm tâm bán kính đường trịn:  x  2   y     z  2  36  S     P  3x  y  z    Giải Mặt cầu có tâm I (4;7;-1) bán kính R = 12    d  I ;  P    11 92  x   3t    Phương trình đường thẳng d qua I có ad  3;1; 1 ,  d   P   là:  y   t  z  1  t  Giao điểm A (d) (P) có tọa độ nghiệm hệ phương trình: x   3t x   3t     y  7t y  7t     z  1  t z  1  t     3 x  y  z   12  9t   t   t   * *  t  1  A (1; 6; 0)  Tâm (C) A(1;6; 0) Bán kính (C) : r(C )  R  d  I ;  P    36  11  Bài tập 6: Tìm phương trình mặt kính  x2 y z    liên hợp với v   2,1,  16 Giải : Phương trình mặt kính cần tìm : 2x y 4z 4x y Fx  Fy  Fz     0  z0 16  32 x  y  72 z  Vậy phương trình mặt kính cần tìm là: 32 x  y  72 z  x2 y2 z2     a  b  cắt mặt cầu x  y  z  a theo a b2 c giao tuyến đường trịn có bán kính R = a Giải : Xét: Bài tập 7: Cmr: Hypeboloit tầng : Trang 55 Tiểu luận Hình Học Giải Tích  a   a   x2 y2 z  a2 y2 a2 z 2     1 a  b  x    a   1 y    1 z   a  b     b b c b c a  c   x2  y  z  a2  x2  y2  z  a2  2 x  y  z  a2    Vậy chứng tỏ Hypebôlit tầng cắt mặt cầu x  y  z  a theo giao tuyến đường trịn bán kính R = a Bài tập 8: Viết phương trình mặt phẳng qua Ox cắt Hypebôlit đường thẳng Giải: Mặt phẳng   qua Ox có phương trình : Ax  D  x2 y2 z2    theo cặp a2 b2 c2  A   Giao tuyến   (H) hệ phương trình: D  x  Ax  D     A  x y2 z 2      D  y  z   2 b c a  A2 a b c  Để giao tuyến cặp đường thẳng, từ (2) ta có: D2   D  A2 a Chọn A2   A  1 A2 a x  a   D  a  D   a  Phương trình   :  x  a  x2 y2 z2 (*)   1 a2 b2 c2 a) Khi a = b = c Elipxolit thành mặt gì? b) Cmr : a  b  c  M   E  ta có : c  OM  a Bài tập 9: Cho: c) Cmr: a  b  c giao tuyến elipxolit với mặt phẳng : x đường tròn Giải: a) Khi a = b = c : *  x  y  z  a 1 1  z  0 b a c b   (2) phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0) R = a x2 y2 z2    với a  b  c  a2 b2 c2 x2  y  z x2 y z x2  y  z Ta có:  2 2  a2 a b c c2 x2  y2  z2 x2  y  z  1  c2  x2  y  z  a2 2 a c M  x, y, z    E   OM  x  y  z Từ (3) ta được: b) Ta có: c  OM  a  x  OM  a (đpcm) c.Ta có: 1 1 1  1 1 x   z       x2     z2 b a c b b a  c b  Trang 56  3 Tiểu luận Hình Học Giải Tích  1   1   b  a  x   c  b  z     Giao tuyến (E) với mặt phẳng hệ:  , phương trình mặt phẳng cắt 2 x y z    1  a2 b2 c2  theo trục Oy Ta có:  1   1     x     z  * c b   b a  2  x  y  z  b  **  Phương trình (*) phương trình hai mặt phẳng cắt nhau, phương trình (**) phương trình mặt cầu tâm O (0, 0, 0) bán kính R = b  Giao tuyến Elipxôlit đường trịn tâm O, bán kính r nằm mặt phẳng (*) x2 y Bài tập 10: Tìm đường sinh thẳng  S  :   z song song mặt phẳng  P  : 3x  y  z  16 Giải: Gọi (d) đường sinh thẳng qua  x0 , y0 , z0  có VTCP  ,  ,     0,0,0  có phương trình là:  x  x0   t   y  y0   t mà  d    S   z  z t  Ta có: 2  x0   t    y0   t   z   t , t     16 2      t   2 x0  y0   16  t  x0  y0  16 z0  0, t      4 1    2 x0  y0   16      3  x0  y0  16 z0     d  song song (P) có nP   3, 2, 4   3 t  2  4  Từ (1) , (4)        2      2      2  6     4         4  **     x0   y0 + Với:  chọn   1,     Thế vào (2),(3) ta có:  2  x0  y0  16 z0   ***    2  Thay (**) (***) ta : 32 y0  16 z0  64  Chọn z0   y0  2  x0  Thì M  4; 2;0    S   x   2t    d1  :  y  2  t  z  2t    2 + Với  chọn   1    1,       Trang 57 Tiểu luận Hình Học Giải Tích  x   y0  2**  Thế vào (2) kết hợp với (3) ,ta có:  2  3**  x0  y0  16 z0   Thay (2**) vào (3**) ta có: 16 z0  16 y0  16  chọn z0   y0  Thay vào (2**)  x0  M  2;1;    S   x   2t  Vậy  d  :  y   t  z t  Kết luận: Phương trình đường sinh thỏa mãn yêu cầu toán :  x   2t  x   2t   d1  :  y  2  t  d2  :  y   t   z  2t  z t   Trang 58 Tiểu luận Hình Học Giải Tích Thuật ngữ thường gặp: - Đường bậc hai…………………………………………………………………………7 Afin…………………………………………………………………………………… Đề-các……………………………………………………………………………… 1, Tâm đường bậc hai………………………………………………………………… 23 Đường tiệm cận………………………………………………………………………25 Phương tiệm cận…………………………………………………………………… 25 Tiếp tuyến…………………………………………………………………………… 26 Đường kính liên hợp………………………………………………………………… 29 Mặt bậc hai………………………………………………………………………… 42 Mặt kẻ……………………………………………………………………………… 44 Đường sinh………………………………………………………………………… 44 Mặt yên ngựa (Paraboloit Hypebolic)……………………………………………… 45 Hypeboloit……………………………………………………………………………45 Elipxolit………………………………………………………………………………44 Mặt kính liên hợp…………………………………………………………………….42 Mặt phẳng tiếp xúc………………………………………………………………… 42 Cosin hypebol (Chu)………………………………………………………………… 44 Sin hypebol (Shu)…………………………………………………………………… 44 Tài liệu tam khảo: - Bài giảng TS Nguyễn Hà Thanh - Toán cao cấp - Đại số hình học giải tích, Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh – NXBGD - 2008 - Bài tập Hình học giải tích, Lê Minh Châu - Phan Bá Ngọc - Trần Bình – NXBGD – 1963 Trang 59 ... đầu: Cuốn tiểu luận soạn theo chương trình hình học giải tích trường Đại học Sư phạm TP.HCM hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Nó dùng làm tài liệu học tập tham khảo cho sinh viên Tiểu luận chia... + 2dx + 2ey + f = Trang (1) Tiểu luận Hình Học Giải Tích Bằng cách đổi trục phép quay quanh gốc O đưa phương trình dạng khơng chứa số hạng hình chữ nhật (xy) Cần giải quyết: Tìm  để phương trình...  225  Bài 10: Một hình bình hành nội tiếp elip x  y  25 Một cạnh hình bình hành có phương trình x  y   Tìm phương trình cạnh cịn lại Trang 40 Tiểu luận Hình Học Giải Tích  Phương pháp: