BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN

Chương 2: ĐƯỜNG BẬC HAI

BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN

I/Phương trình của mặt:

1/ Định nghĩa:

 Mọi mặt trong không gian có thể coi như quỹ tích những điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó, thể hiện bằng một đẳng thức. Ví dụ mặt cầu tâm I bán kính R là quỹ tích những điểm trong không gian cách I bằng một khoảng R.

Giả sử S là một mặt nào đó trong không gian Oxy. Khi điểm M x y z( , , ) _{chạy trên mặt} thì các tọa độ , ,^{x y z} của nó thay đổi nhưng liên hệ với nhau bởi một hệ thức ( , , ) 0F x y z = nào đó, đặc trưng cho mọi điểm của mặt S. nếu điểm M x y z( , , ) _{nằm trên mặt S thì tọa độ của nó} thỏa mẵn phương trình ( , , ) 0F x y z = . nếu điểm M x y z( , , )_{không nằm trên mặt S thì tọa độ} của nó không thảa mãn phương trình ( , , ) 0F x y z = .

Một số mặt không gian

2/ Ví dụ 1: Lập phương trình của mặt cầu tâm ( , , )I a b c _{, bán kính R.}

Giải:

Lấy một diểm M(x,y,z) tùy ý trên mặt càu (h.29). Ta có IM =R; từ đó:

2 2 2

(x a− ) + −(y b) + −(z c) =R

Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình tương đương ( vì hai vế của phương trình dều không âm) : (x a− )2+ −(y b)2+ −(z c)2 =R2.

Từ đó ta có 2 2

IM =R hay IM =R, nghĩa là M nằm trên mặt cầu ( , ).I R

Vậy phương trình mặt cầu ( , )I R _là: (x a− )2+ −(y b)2+ −(z c)2 =R2.

3/ Ví dụ 2:

Lập phương trình tham số của mặt cầu đơn vị (mặt cầu có bán kính bằng đơn vị, tâm O

), trong không gian Oxyz_.

Giải:

Hình 1.

Lấy một điểm M x y z( , , ) tuỳ ý trên mặt cầu (h.1). gọi M' là điểm chiếu vuông góc của ( , , )

M x y z trên mặt phẳng Oxy.Gọi u _{là góc tạo bởi e}^ur_{3 và OM}^uuuur_, v _{là góc tạo bởi e}^ur_{1 và OM}^uuuuur_'.

Ta có: z MM= '. Trong tam giác vuông OMM' ta có MM'=OMcosu=cosu. Ta suy ra: cos

z= u_.

Ngoài ra: OM' sin= u. Ta có OM^uuuuur'=xe^ur₁+ye^uur₂. Ta suy ra: _'^{cos sin cos}

sin sin sin

x OM v u v y OM v u v = =   = = 

Như vậy, phương trình tham số của mặt cầu đơn vị tâm O là : sin cos sin sin cos x u v y u v z u =   =   = 

 Mọi đường trong không gian đều có thể xem như giao tuyến của hai mặt. Vì vậy trong không gian Oxyz_{, phương trình của đường có dạng:}

¹ 2 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z F x y z =   ₌ 

4/ Ví dụ 3: trong không gian Oxyz_{, lập phương trình của đường tròn tâm O, bán kính}

R và nằm trong mặt phẳngOxy_.

Giải :

Có thể xem đường tròn ấy là giao tuyến của mặt cầu tâm O bán kính R và mặt phẳng Oxy. Vậy phương trình của đường tròn ấy là:

BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ