Đề cương ôn thi học kì 1 toán 10 THPT nguyễn du HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU ❿ Học Sinh: ………………… Năm học 2021-2022 MỤC LỤC ĐẠI SỐ CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP  BÀI MỆNH ĐỀ 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  BÀI TẬP HỢP 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2.2 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 10  BÀI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 13 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 13 3.2 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 13  BÀI CÁC TẬP HỢP SỐ 18 4.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 18 4.2 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 19 CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI .23  BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 23 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 23 1.2 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 24  BÀI HÀM SỐ BẬC NHẤT 31 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 31 2.2 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 33  BÀI HÀM SỐ BẬC HAI 37 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 37 3.2 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 38 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 41 Ƅ  BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 41 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 41 1.2 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 42  BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 43 2.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT 43 2.2 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 44  BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN .57 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 57 3.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 59 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH 61  BÀI BẤT ĐẲNG THỨC 61 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 61 1.2 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 62 HÌNH HỌC CHƯƠNG VECTƠ .73  BÀI VEC-TƠ 73 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 73 1.2 CÁC VÍ DỤ 74  BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 80 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 80 2.2 CÁC DẠNG TOÁN 81  BÀI TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 88 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 88 3.2 CÁC DẠNG TOÁN 88  BÀI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ .99 4.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 99 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN Ƅ CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 116  BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 116 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 116  BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG 119 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 119 2.2 CÁC DẠNG TOÁN 120  BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 125 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 125 3.2 CÁC DẠNG TOÁN 126 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP BÀI MỆNH ĐỀ 1.1 Tóm tắt lý thuyết Mệnh đề: Định nghĩa Mệnh đề khẳng định là sai khơng thể vừa vừa sai Ví dụ: "2 + = 5" MĐ đúng; " số hữu tỷ" MĐ sai; "Mệt quá" MĐ Mệnh đề chứa biến Ví dụ: Cho khẳng định “ + n = ” Khi thay giá trị cụ thể n vào khẳng định ta mệnh đề Khẳng định có đặc điểm gọi mệnh đề chứa biến Phủ định mệnh đề Phủ định mệnh đề P ký hiệu P mệnh đề thỏa mãn tính chất P P sai, cịn P sai P Ví dụ: P : "3 số ngun tố" P : "3 không số nguyên tố" Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “Nếu P Q ” gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P đồng thời Q sai Ví dụ: Mệnh đề “1 > 2” mệnh đề sai Mệnh đề “ < ⇒ < 4” mệnh đề Trong mệnh đề P ⇒ Q P : gọi giả thiết (hay P điều kiện đủ để có Q ) Q : gọi kết luận (hay Q điều kiện cần để có P ) Mệnh đề đảo - hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P Chú ý Mệnh đề đảo đề chưa mệnh đề Ƅ MỆNH ĐỀ Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Ký hiệu P ⇔ Q Cách phát biểu khác: P Q P điều kiện cần đủ để có Q Q điều kiện cần đủ để có P Ký hiệu ∀, ∃: (∀ đọc với mọi; ∃ đọc tồn tại) Ví dụ: P : "∀ x ∈ R, x2 ≥ 0": Q : "∃ n ∈ Z, n2 − 3n + = 0": sai Phủ định mệnh đề với mọi, tồn Mệnh đề P : ∀ x ∈ X , T(x) có mệnh đề phủ định ∃ x ∈ X , T(x) Chú ý Phủ định "a < b" "a ≥ b" Phủ định "a = b" "a = b" Phủ định "a > b" "a ≤ b" Phủ định "a chia hết cho b" "a không chia hết cho b" Ví dụ: P : ∃ n ∈ Z, n < phủ định P P : ∀n ∈ Z, n ≥ Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học Trong toán học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng: "∀ x ∈ X , P(x) ⇒ Q(x)" P(x), Q(x) mệnh đề chứa biến, X tập hợp Cho định lý: "∀ x ∈ X , P(x) ⇒ Q(x)" (1), (P(x)) giả thuyết, Q(x) kết luận P(x) điều kiện đủ để có Q(x); Q(x) điều kiện cần để có P(x) Mệnh đề: "∀ x ∈ X ,Q(x) ⇒ P(x)" (2) mệnh đề đảo định lí (1) Nếu mệnh đề (2) gọi định lí đảo định lí (1) Khi định lí (1) gọi định lí thuận Định lí thuận đảo viết gộp thành định lí: "∀ x ∈ X , P(x) ⇔ Q(x)", đọc P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) 1.2 Phương pháp giải toán DẠNG Xác định mệnh đề, tính sai mệnh đề Căn định nghĩa mệnh đề tính sai chúng Lưu ý rằng: P, P khơng tính sai P ⇒ Q sai P đúng, Q sai TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ MỆNH ĐỀ P ⇔ O hai mệnh đề P Q hay sai ∀ x ∈ X , P(x) P (X ) với x0 ∈ X ∃ x ∈ X , P(x) có x0 ∈ X cho P (X ) Chú ý 1) Số nguyên tố số tự nhiên chia hết cho Ngồi không chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 2) Ước bội: Cho hai số a, b ∈ N Nếu a chia hết b, ta gọi a bội b b ước a Ước chung lớn (ƯCLN) hay nhiều số tự nhiên số lớn tập hợp ước chung số Bội chung nhỏ (BCNN) hay nhiều số tự nhiên số nhỏ tập hợp bội chung số Ví dụ Trong câu sau, có câu mệnh đề? a) Cố lên, đến rồi! b) Số 15 số nguyên tố c) Tổng góc tam giác 180◦ d) Số số nguyên dương A B C D Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ MỆNH ĐỀ Ví dụ Xét xem phát biểu sau có phải mệnh đề khơng? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai? a) không số hữu tỉ b) Iran nước thuộc châu Âu phải khơng ? c) Phương trình x2 + 5x + = vô nghiệm d) Chứng minh phản chứng khó thật! e) x + số âm f) Nếu n số chẵn n chia hết cho g) Nếu chia hết cho n số chẵn h) ∃ n ∈ N, n3 − n không bội i) ∀ x ∈ R, x2 − x + > Lời giải DẠNG Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Mệnh đề phủ định P “không phải P ” Mệnh đề phủ định “∀ x ∈ X , P (x)” “∃ x ∈ X , P (x)” Mệnh đề phủ định “∃ x ∈ X , P (x)” “∀ x ∈ X , P (x)” Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Ví dụ Tìm mệnh đề đảo mệnh đề sau cho biết mệnh đề đảo hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh chúng nhau” Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ MỆNH ĐỀ Ví dụ Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết chúng hay sai: a) P = "∀ x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0" b) Q = "Có tam giác khơng có góc lớn 60◦ " Lời giải DẠNG Phát biểu định lí, định lí đảo dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Một định lí thường có dạng ∀ x ∈ X , P (x) ⇒ Q (x) Xác định P (x) ,Q (x) Lấy x ∈ X cho P (x) đúng, chứng minh Q (x) P(x)là điều kiện đủ để có Q (x) hay Q (x) điều kiện cần để có P (x) Ví dụ Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ" phát biểu định lí sau: a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu a + b > có số a hay b dương Lời giải ǸǸǸ BÀI TẬP TỰ LUYỆN ǸǸǸ Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Giải thích? a) P : “∀ x ∈ R, x2 > 0" sai b) P : “∃ x ∈ R, x > x2 " c) P : “∀n ∈ N, n2 > n" sai d) P : “∃ x ∈ R, 5x − 3x2 ≤ 1" e) P : “∀ x ∈ R, x2 > ⇒ x > 3" sai f) P : “∀n ∈ N∗ , n(n + 1) số lẻ" sai Bài Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề phủ định? Học sinh cần nhớ nguyên tắc phủ định mệnh đề (dòng phủ định với dịng dưới) Mệnh đề P Có > < = Chia hết ∃ Mệnh đề phủ định P Không ≤ ≥ = Không chia hết ∀ TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1.1 Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Cho xOM = α với 0◦ ≤ α ≤ 180◦ Giả sử M(x0 ; y0 ) ○ cos α = x0 ○ tan α = y ○ sin α = y0 sin α (x0 = 0) cos α ○ cot α = y0 M cot α (y0 = 0) sin α α −1 Nhận xét: ∀α ∈ [0◦ ; 180◦ ] ta có: x0 O x −1 ≤ cos α ≤ −1 ≤ sin α ≤ tan α xác định α = 90◦ cot α xác định α = 0◦ α = 180◦ 1.1.1 Dấu giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α 0◦ < α < 90◦ + + + + 90◦ < α < 180◦ + − − − 1.1.2 Tính chất Hai góc bù hai góc có tổng số đo 180◦ , chẳng hạn α 180◦ − α, ta có quan hệ góc bù sau: ○ sin(180◦ − α) = sin α ○ cos(180◦ − α) = − cos α ○ tan(180◦ − α) = − tan α ○ cot(180◦ − α) = − cot α 116 Ƅ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1.1.3 Từ định nghĩa ta có hệ thức sau sin x cos x , cot x = cos x sin x ○ sin2 x + cos2 x = ○ tan x = ○ tan x · cot x = ○ + tan2 x = ○ + cot2 x = 1.1.4 sin2 x cos2 x Góc hai vectơ #» #» #» Ä #»ä Cho #» a , b = , kí hiệu góc hai vectơ #» a b #» a , b Ta có: Ä #»ä Ä # » # »ä # » # » #» #» a , b = O A, OB = AOB với O A = #» a , OB = b Ä #» a b A B O Đặc biệt: Ä #»ä #» ○ #» a , b = 90◦ ⇔ #» a⊥b ○ #» #»ä #» #» a , b = 0◦ ⇔ #» a , b hướng ○ Ä #»ä Ä #» ä #» a , b = b , #» a ○ Ä #»ä #» #» a , b = 180◦ ⇔ #» a , b ngược hướng Ví dụ Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin(A + B) = sin C b) cos(A + B) = − cos C Lời giải Ví dụ Khơng sử dụng máy tính bỏ túi Chứng minh: a) sin 105◦ = sin 75◦ b) cos 170◦ = − cos 10◦ Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN 117 Ƅ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 3 Cho góc x, với cos x = Tính giá trị biểu thức P = sin2 x + cos2 x Lời giải Ví dụ Cho hình vng ABCD Tính Ä # » # »ä a) cos AC, BA Ä # » # »ä b) sin AC, BD Ä # » # »ä c) cos AB, CD Lời giải 118 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN Ƅ TÍCH VƠ HƯỚNG BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG 2.1 Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa #» #» #» Cho hai vectơ #» a b khác vectơ Tích vơ hướng hai vectơ #» a b số, kí hiệu #» #» a · b , xác định công thức: Ä #»ä #» #» #» a · b = #» a · b cos #» a, b ! #» #» #» #» · a = a · = #» #» #» a · b = ⇒ #» a ⊥ b #» a · #» a = #» a = #» a · #» a cos 0◦ = #» a 2.1.1 Tính chất #» Với #» a , b , #» c ∀ k ∈ R, ta có: #» #» ○ #» a · b = b · #» a Ä #» ä #» ○ #» a · b + #» c = #» a · b + #» a · #» c Ä #»ä Ä #»ä #» ○ (k #» a ) b = k #» a · b = #» a kb #» ○ #» a ≥ 0, #» a = ⇔ #» a = ○ Ä #»ä2 #» #» #» a + b = #» a + #» a · b + b ○ Ä #»ä Ä #»ä #» a + b · #» a − b = #» a − #» a ○ Ä #»ä2 #» #» #» a − b = #» a − #» a · b + b 2.1.2 Biểu thức tọa độ tích vô hướng #» Cho hai vectơ #» a = (a ; a ) b = (b ; b ) Khi đó: #» #» a · b = a1 · b1 + a2 · b2 #» #» a ⊥ b ⇔ a · b + a · b = » #» a = a21 + a22 #» cos #» a, b = Ä ä # » AB = AB = TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN #» #» a·b a1 b1 + a2 b2 » #» #» = » 2 a · b a1 + a2 · b + b22 #» , với #» a = 0, b = (xB − x A )2 + (yB − yA )2 119 Ƅ TÍCH VƠ HƯỚNG 2.2 Các dạng tốn DẠNG Tính tích vơ hướng tính góc #» Sử dụng định nghĩa cách đưa hai vectơ #» a b chung gốc để xác định Ä #»ä Ä #»ä #» #» xác góc α = #» a , b sau dùng cơng thức #» a · b = #» a · b cos #» a, b Sử dụng tính chất đẳng thức tích vô hướng hai vectơ #» #» Nếu đề cho dạng tọa độ #» a = (a ; a ) b = (b ; b ) #» a · b = a1 b1 + a2 b2 Trong tam giác ABC , biết độ dài cạnh # » Ä# » # »ä2 BC = BC = AC − AB ! # » # » ⇒ AC · AB = AB2 + AC − BC Khi tính tích vơ hướng hai vectơ ta thường: ○ Biến đổi vectơ chung gốc để việc tìm góc hai vectơ dễ dàng # » # » # » # » Ví dụ: AB · BC = −BA · BC ○ Đưa vectơ phương vng góc # » # » # » Ä # » # »ä Ví dụ: Nếu ABCD hình chữ nhật (hình vng) AB · AC = AB · AB + BC Tính góc hai vectơ: #» #» Ä #»ä a1 b1 + a2 b2 a·b #» Góc hai vectơ: cos #» a, b = , với #» a = 0, b = » #» = » #» a · b a + a22 · b21 + b22 Các góc tam giác ABC : # » # » AB · AC • cos A = ; AB · AC # » # » • cos B = # » # » BA · BC ; BA · BC • cos C = C A · CB C A · CB Chú ý Diện tích tam giác S cạnh × = (cạnh)2 × suy chiều cao tam giác = Diện tích hình vng Shình vng = cạnh2 suy đường chéo hình vng = cạnh × Ví dụ Cho 120 # » # » # » # » ABC đều, cạnh 4cm Tính tích vô hướng AB · AC AB · BC TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN Ƅ TÍCH VƠ HƯỚNG Lời giải Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho ba điểm A(1; −2), B(2; 5) C(−3; 1) Tính tích vô hướng # » # » AB · AC tính góc BAC ABC Lời giải ǸǸǸ BÀI TẬP TỰ LUYỆN ǸǸǸ Bài Cho tam giác ABC cạnh a, tâm O # » # » # » # » 1) Tính AB · AC AB · BC A a2 a2 ;− 2 # » # » # » # » 2) Tính (OB + OC)( AB − AC) # » # » # » # » 3) Tính ( AB + AC)( AB − 3BC) a2 O B H C Bài Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH # » # » # » # » 1) Tính AB · AC BA · AH Ä # » # »äÄ # » # »ä 2) Tính z = CB − C A 2C A − AH A a2 −3a2 ; − 13a2 B TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN H C 121 Ƅ TÍCH VƠ HƯỚNG Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O # » # » # » # » 1) Hãy tìm AB · BC AB · BD Ä # » # »äÄ # » # »ä 2) Hãy tính z = AB + AD BD + BC # » # » # » # » 3) Hãy tính ON · AB N A · AB, với N điểm cạnh BC Bài Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh 7, góc BAC = 60◦ # » # » # » # » a) Hãy tính AB · AC AB · O A # » # » # » # » b) Hãy tính AC · BD AB · OB Bài Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = a, đường cao AB = 2a # » # » 1) Hãy tính AB · CD −4a2 # » # » # » # » 2) Hãy tính BC · BD AC · BD a2 , − a2 3) Gọi I trung điểm CD Hãy tính góc AI CD 90◦ Bài Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BAC = 60◦ # » # » a) Tính AB · AC độ dài cạnh BC 3, BC = # » #» # » b) Cho điểm M thỏa MB + MC = Tính độ dài AM AM = 13 Bài Cho tam giác ABC có AB = a 2, BC = 5a, ABC = 135◦ Gọi điểm M thuộc AC cho 2AM = # » # » # » # » # » 3CM Tính BA · BC Tìm x, y cho BM = xBA + yBC tính độ dài đoạn BM Bài Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BAC = 120◦ # » # » 1) Tính AB · AC độ dài đường trung tuyến AM −3, AM = # » # » 2) Gọi AD phân giác góc A tam giác ABC Phân tích AD theo hai véc-tơ AB # » AC Suy độ dài đoạn AD AD = Bài Cho tam giác ABC có AB = 2a, BC = a 7, AC = 3a Gọi M trung điểm AB, N thuộc AC cho AN = 2NC D thuộc MN cho 2DM = DN # » # » # » a) Tìm x, y cho AD = x AB + y AC x= , y= # » # » b) Tìm AB · AC độ dài đoạn AD a2 , 2a 3 Bài 10 Tính góc hai véc-tơ trường hợp sau a) #» a = (1; −2) #» 45◦ b = (−1; −3) c) #» a = (2; −5) #» b) #» a = (3; −4) #» 90◦ b = (4; 3) 135◦ b = (3; 7) Bài 11 Cho hai véc-tơ #» u , #» v có độ dài thoả mãn |2 #» u − #» v | = Tính cos ( #» u , #» v ) − Bài 12 Cho hai véc-tơ #» u , #» v có độ dài thoả mãn |2 #» u − #» v | = Tính cos ( #» u , #» v ) #» Bài 13 Cho hai véc-tơ #» a , b có độ dài góc tạo hai véc-tơ 60◦ Xác định #» #» cơ-sin góc hai véc-tơ #» u #» v với #» u = #» a + b , #» v = #» a − b − 14 Ä #»ä #» #» Bài 14 Cho véc-tơ #» a b với | #» a | = 6, b = #» a , b = 45◦ Hãy tính tích vơ hướng 122 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN Ƅ TÍCH VƠ HƯỚNG Ä #»ä a) #» a · #» a−b Ä #»äÄ #»ä b) #» a + b −2 #» a +3 b −108 + Bài 15 Cho hai véc-tơ #» u #» v thoả mãn | #» u | = 3, | #» v | = | #» u − #» v | = Tính |2 #» u + #» v | 26 #» #» #» #» #» Bài 16 Cho hai véc-tơ #» a b thoả mãn | #» a | = b = #» a − b = Tính #» a · b #» a+b 72 − #» #» #» a · b = #» a+b = DẠNG Chứng minh vng góc Dùng tính chất tích vơ hướng  #» #» a=0 Ä #»ä  #» #» #» #» #» #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = ⇔ | #» a | · b · cos #» a, b =0⇔  b =Ä0 #»ä cos #» a , b = Dùng tính chất tích vơ hướng hệ trục tọa độ #» #» #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = ⇔ a · b + a · b = Ví dụ #» #» Trong mặt phẳng tọa độ Ox y Chứng minh #» a ⊥ b với #» a = (1; −2), b = (6; 3) Lời giải Ví dụ #» #» Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = (3; −2), b = (6; m) Tìm giá trị m để #» a ⊥ b Lời giải Ví dụ #» Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = (3; −2), b = (6; −2), #» c = (m + 2; −4) Tìm giá trị m để Ä #» ä #» #» a⊥ b+c TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TỐN 123 Ƅ TÍCH VƠ HƯỚNG Lời giải ǸǸǸ BÀI TẬP TỰ LUYỆN ǸǸǸ Bài Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3, BC = # » # » a) Tính BA · C A # » # » b) Tính AB · BC −9 # » 1# » # » 1# » # » # » c) Gọi D , E , F điểm thỏa mãn AD = AB, CE = C A BF = BC Chứng minh DE ⊥ AF 11 Bài Cho tam giác ABC có góc A nhọn Dựng bên ngồi tam giác ABC tam giác vng cân đỉnh A ABD ACE Goi M trung điểm đoan BC Chứng minh AM vuông góc với DE Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , J trung điểm AH HC Chứng minh BI ⊥ A J Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm đoạn BC , D hình chiếu vng góc H AC , M trung điểm đoạn HD Chứng minh AM ⊥ DB Bài Cho hình chữ nhật ABCD , dựng BH ⊥ AC Gọi M , N trung điểm AH DC Chứng minh BM ⊥ MN # » # » Bài Cho H trung điểm AB M điểm tùy ý Chứng minh M A · MB = HM − H A Bài Chứng minh với bốn điểm A , B, C , D ta có # » # » # » # » # » # » AB · CD + AC · DB + AD · BC = (Hệ thức Euler - dùng hệ thức để chứng minh ba đường cao đồng quy) Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I , J theo thứ tự trung điểm AC , BD Chứng minh AB2 + BC + CD + D A = AC + BD + 4I J 124 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ Hệ thức lượng tam giác BÀI Hệ thức lượng tam giác 3.1 Tóm tắt lý thuyết 3.1.1 Hệ thức lượng tam giác vuông a) b2 = a · b b) c2 = a · c c) a2 = b2 + c2 d) h2 = b · c e) a · h = b · c 1 f) = + h b c b2 b = c c g) A c h b c b B C H a 3.1.2 Hệ thức lượng tam giác thường    cos A = 2    a = b + c − 2bc cos A     2 a) Định lí côsin b = a + c − 2ac cos B ⇒ cos B =       2  c = a + b − 2ab cos C  cos C = b) Định lí sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C c) Trung tuyến  2(b2 + c2 ) − a2   m =  a     2 m2b = c +a −b     2    m2 = a + b − c c d) Cơng thức tính diện tích tam giác 1 abc S = ah a = bc sin A = = pr = 2 4R Trong p = ABC 3.1.3 p(p − a)(p − b)(p − c) a+b+c ; R ; r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Bán kính đường trịn nội tiếp (nâng cao) Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác r = (p − a) tan TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN A B C = (p − b) tan = (p − c) tan 2 125 Ƅ Hệ thức lượng tam giác Chú ý Nếu   p = 3a = 3b = 3c a 2 nên r = ABC  ◦ A = B = C = 60 Nếu ABC vng r = tổng hai cạnh góc vng − cạnh huyền 3.1.4 Độ dài đường phân giác (nâng cao)  4bc   · p(p − a) l =  a  (b + c)2    4ca · p(p − b) Độ dài đường phân giác l 2b =  (c + a)2     4ab  l 2c = · p(p − c) (a + b)2 3.2 Các dạng tốn DẠNG Tính giá trị Phương pháp:Học thuộc cơng thức Ví dụ Cho tam giác ABC , tính h a , R , r số đo góc trường hợp sau 126 a) AB = 6, AC = BAC = 60◦ b) BC = 8, AB = 5, ABC = 60◦ c) AB = 20, AC = 16, BC = 12 d) BC = 19, AC = 15, AB = e) BC = 12, AC = 13, m a = AM = f) BAC = 60◦ , BC = 10, 3r = TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ Hệ thức lượng tam giác Lời giải ǸǸǸ BÀI TẬP TỰ LUYỆN ǸǸǸ Bài Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 30◦ Tính độ dài BC , bán kính đường trịn ngoại tiếp diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = ABC = 120◦ # » # » 1) Tính tích vơ hướng BA · BC 2) Tính độ dài cạnh AC TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN 127 Ƅ Hệ thức lượng tam giác Bài Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = BAC = 60◦ 1) Tìm độ dài cạnh BC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Tính diện tích tam giác ABC bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có A = 120◦ , B = 30◦ , diện tích tam giác ABC Tính cạnh tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = góc B = 60◦ a) Tính cạnh BC , bán kính R b) Trên đoạn AC , BC lấy điểm D , E cho CD = CE = Tính đoạn DE Bài Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = BC = a) Tính góc B, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC diện tích tam giác ABC b) Tính độ dài đường phân giác góc B tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = BAC = 120◦ Tính độ dài BC , diện tích tam giác ABC , bán kính đường trịn ngoại tiếp độ dài đường phân giác AD tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = BAC = 60◦ Gọi M trung điểm AB E # » # » AC thỏa AC = AE a) Tính CM bán kính đường tròn nội tiếp AMC # » # » b) Tính tích vơ hướng BE · AC Bài Cho tam giác ABC có AB = 10, BC = góc B = 120◦ a) Tính AC diện tích tam giác ABC b) Tính đường cao AH bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC c) Tính độ dài đường phân giác BD tam giác ABC Bài 10 Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b Gọi h a , h b , h c đường cao tương ứng xuất phát từ đỉnh A , B, C r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh 1 1 + + = hb h c r Bài 11 Cho tam giác ABC có a2 + b2 = 2c2 Chứng minh m a + m b + m c = (a + b + c) 2 b + c2 − a2 tan A c Bài 13 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c trung tuyến AM = Bài 12 Cho tam giác ABC không vuông A , chứng minh S = b) Chứng minh sin2 A = sin2 B + sin2 C a) Chứng minh 2b2 = a2 − c2 Bài 14 Cho tam giác ABC a) Chứng minh (p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc 128 b) Chứng minh r ≤ R TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ Hệ thức lượng tam giác Bài 15 Cho tam giác ABC Chứng minh a b c + ≥ + ma mb m c Bài 16 Chứng minh 5m2a = m2b + m2c tam giác ABC vng A Bài 17 Chứng minh ba góc tam giác ABC thỏa hệ thức sin A = sin B cos C tam giác ABC cân b + c − a3 = a2 tam giác ABC b+c−a + cos B 2a + c Bài 19 Tam giác ABC có đặc điểm = sin B 4a2 − c2 Bài 18 Chứng minh a = 2b cos C Bài 20 Tam giác ABC có chiều cao h a = ∆ ABC cân C p(p − a) Chứng minh ABC tam giác cân Bài 21 Chứng minh tam giác ABC có S = (ch a + bh c + ah b ) tam giác Bài 22 Chứng minh tam giác ABC tam giác thỏa mãn: 2(a3 + b3 + c3 ) = a(b2 + c2 ) + b(c2 + a2 ) + c(a2 + b2 ) ĄĄĄ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĄĄĄ Câu Cho tam giác ABC Trung tuyến AM có độ dài A 2b2 + 2c2 − a2 B 3a2 − 2b2 − 2c2 C 2b2 + 2c2 − a2 D b + c − a2 Câu Trong tam giác ABC , mệnh đề sau đúng? A a2 = b2 + c2 + 2bc cos A B a2 = b2 + c2 − 2bc cos A D a2 = b2 + c2 − bc cos A C a2 = b2 + c2 + bc cos A Câu Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b, p nửa chu vi S diện tích tam giác cho Xét hai mệnh đề sau đây: (i) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (ii) 16S = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) Trong hai mệnh đề trên, mệnh đề đúng? A (i) (ii) B Khơng có C (i) D (ii) Câu Diện tích tam giác có ba cạnh A B 3, C D Câu Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = 30cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC A 50 2cm2 B 75cm2 C 15 105cm2 D 50cm2 Câu Tam giác có ba cạnh 5, 12, 13 Độ dài đường cao ứng với cạnh lớn A 12 B 120 30 C 30 13 D 60 13 Câu Tam giác có ba cạnh 9, 10, 11 Đường cao lớn tam giác A 60 B C 70 Câu Cho tam giác với ba cạnh a = 13, b = 14, c = 15 Đường cao h c A TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN B 12 C 10 D 4 D 11 129 Ƅ Hệ thức lượng tam giác Câu Tam giác ABC có tổng hai góc B C 135◦ độ dài cạnh BC a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A a B a D C a a Câu 10 Cho tam giác ABC biết A = 60◦ , b = 10 c = 20 Diện tích tam giác ABC A 50 B 50 C 50 D 50 Câu 11 Cho tam giác ABC biết BC = 5, AC = AB = Số đo góc BAC A 135◦ B 45◦ D 120◦ C 30◦ Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm C A = cm Giá trị cos A A − B C D Câu 13 Tam giác ABC có AC = 3, AB = BC = Số đo góc ABC A 60◦ B 45◦ D 120◦ C 30◦ Câu 14 Tam giác ABC có góc B tù, AB = 3, AC = có diện tích 3 Góc A có số đo A 30◦ B 60◦ D 120◦ C 45◦ Câu 15 Tam giác ABC có AB = 12, AC = 13, BAC = 30◦ Diện tích tam giác ABC A 39 B 78 D 78 C 39 Câu 16 Tam giác ABC có BAC = 105◦ , ABC = 45◦ AC = 10 Độ dài cạnh AB A B C D 10 Câu 17 Cho tam giác ABC có a = 2, b = c = + Góc B gần C 60◦ A 115◦ B 75◦ D 53◦ 32 Câu 18 Cho tam giác DEF có DE = DF = 10 cm EF = 12 cm Gọi I trung điểm cạnh EF Đoạn thẳng D I có độ dài A cm B cm C 6,5 cm D cm Câu 19 Tam giác ABC có AB = 9, BC = 10 C A = 11 Gọi M trung điểm BC N trung điểm AM Độ dài BN A B 34 C D Câu 20 Tam giác ABC có AB = 5, BC = C A = Gọi G trọng tâm tam giác Độ dài đoạn thẳng AG A B 58 C D 58 Câu 21 Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = diện tích 12 Độ dài cạnh BC A B C D Câu 22 Tam giác ABC có BC = a, C A = b, AB = c diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần giữ ngun độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên A 4S B 6S D 3S C 2S ĐÁP ÁN A 11 A 21 C 130 B 12 C 22 B A 13 A A 14 B B 15 C D 16 C A 17 C D 18 A D 19 B 10 D 20 D TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN ... B 11 A 21 B C 12 A 22 B A 13 B C 14 D B 15 B A 16 B D 17 A C 18 A C 19 A 10 C 20 D TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ TẬP HỢP BÀI TẬP HỢP 2 .1 Tóm tắt lý thuyết 1) Tập hợp Tập hợp khái niệm tốn học, ... phần tử? A B C D ĐÁP ÁN D 11 C 12 B 12 C C 13 C B 14 B B B D A C 10 C TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU TỔ TOÁN Ƅ Các phép toán tập hợp BÀI Các phép tốn tập hợp 3 .1 Tóm tắt lý thuyết 1) Giao hai tập hợp Tập... A 18 B 11 C D Câu 12 Cho hai tập hợp A B thỏa A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5} A ∩ B = {2} A B = {4; 5} Khi tập hợp B A {3} B {1; 2; 3} D {2; 5} C {2; 3} Câu 13 Lớp 10 A có 10 học sinh giỏi Tốn, 15 học