Phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán

Trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Đại số 10 nói riêng chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn. Tuy nhiên các em học sinh mới gặp các phương trình bậc bốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương, phương trình quy hồi... qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được. Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải biết vân dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng phức tạp và dạng đơn giản một cách linh hoạt. Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy lôgíc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng nhất cũng như các kiến thức về bất đẳng thức. Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng tưởng tượng, phát huy được cao độ tính tích cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Trong quá trình tìm tòi, tôi đã tìm đọc một số sách của các tác giả viết về vấn đề phương trình bậc bốn, tuy nhiên vấn đề mà tôi trình bày còn khá mới mẻ và chưa được tìm hiểu cụ thể. Sau đây tôi xin giới thiệu vài cách giải các phương trình bậc bốn dạng (Trong đó a, b, c, d là các số thực khác 0). Từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài “ Phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán”. Tôi xin trình bày để các độc giả tham khảo

A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Giải phương trình lĩnh vực nghiên cứu Tốn học Có nhiều phương pháp giải phương trình ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi tốn giải phương trình áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Bài tốn giải phương trình vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trình khảo sát hàm số… Và sử dụng nhiều q trình ơn tập, đặc biệt q trình học THPT… Vì học sinh cần phải nắm kiến thức giải phương trình Trong chương trình tốn phổ thơng nói chung chương trình Đại số 10 nói riêng làm quen với phương trình bậc bốn Tuy nhiên em học sinh gặp phương trình bậc bốn dạng đơn giản phương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài phép biến đổi học sinh giải cách dễ dàng Tuy vậy, gặp phương trình bậc bốn khơng có dạng đặc biệt em tỏ lúng túng khơng giải Khi giải tốn giải phương trình bậc bốn địi hỏi học sinh phải biết vân dụng kiến thức toàn chương trình, kỹ biến đổi từ dạng phức tạp dạng đơn giản cách linh hoạt Trong trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư lơgíc, khả tổng hợp vận dụng thành thạo kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng kiến thức bất đẳng thức Thơng qua giúp học sinh rèn luyện tư lơgíc, khả tưởng tượng, phát huy cao độ tính tích cực, chủ động vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong trình tìm tịi, tơi tìm đọc số sách tác giả viết vấn đề phương trình bậc bốn, nhiên vấn đề mà tơi trình bày cịn mẻ chưa tìm hiểu cụ thể Sau xin giới thiệu vài cách giải phương trình bậc bốn dạng x + ax + bx + cx + d = (Trong a, b, c, d số thực khác 0) Từ lý lựa chọn đề tài “ Phân loại phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết học tập mơn Tốn” Tơi xin trình bày để độc giả tham khảo  Mục đích nghiên cứu Thơng qua đề tài giúp học sinh hiểu sâu nắm phương pháp giải phương trình bậc bốn Từ nghiên cứu tìm tịi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn tốn trường THPT, đặc biệt đạt kết cao thi học sinh giỏi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 10A1, 10A2, 10A3 THPT Đinh Chương Dương – Hậu Lộc Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc bốn, đưa ví dụ minh hoạ cụ thể, dạng tập củng cố rèn luyện kỹ cho học sinh - Tìm hiểu đề thi mà có dạng tập giải phương trình bậc bốn nhằm đưa phương pháp giải dạng tổng quát cho dạng tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh giáo viên tham khảo học tập Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu cách giải phương trình bậc bốn dạng tổng quát x + ax + bx + cx + d = (Trong a, b, c, d số thực khác 0) Phương pháp nghiên cứu - Thơng qua q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thân tơi tìm hiểu tích luỹ - Thơng qua kiểm tra, kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm để rút kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh - Thông qua tài liệu bồi dưỡng, tập nâng cao  B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Bài tốn giải phương trình bậc bốn trọng đề kiểm tra, kỳ thi học sinh giỏi cấp tất tài liệu nâng cao xuất nhiều đề tài nghiên cứu khoa học tạp chí tốn học II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Kỹ giải phương trình bậc bốn học sinh nhiều hạn chế, chưa rèn luyện thường xuyên Học sinh tiếp cận phương trình bậc bốn dạng đơn giản, phương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài phép biến đổi học sinh giải cách dễ dàng Tuy vậy, gặp phương trình bậc bốn khơng có dạng đặc biệt em tỏ lúng túng không giải Các tài liệu viết dạng tốn giải phương trình bậc bốn cịn tản mạn, tuỳ thuộc nhiều vào người viết cách hướng dẫn học sinh Do chưa có phương pháp cụ thể, rõ ràng chưa khắc sâu kiến thức cho học sinh Từ thực trạng việc chọn chuyên đề “ Phân loại phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết học tập mơn Tốn” cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy học tập giáo viên học sinh III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Vấn đề nghiên cứu trình bày thơng qua nội dung bài: Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 3: Cơng thức nghiệm phương trình bậc bốn  BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Để giải phương trình bậc bốn dạng: ax + bx + cx + dx + e = (1) Ta đưa phương trình dạng phương trình tích mà nhân tử vế trái phương trình đa thức bậc bậc hai Ta dự đốn nghiệm phương trình (1) cách sau: - Nếu a + b +c +d +e = (1) có nghiệm x = - Nếu a - b +c - d +e = (1) có nghiệm x = -1 p - Nếu a, b,c ,d ,e ngun (1) có nghiệm hữu tỉ q p, q theo thứ tự ước e a - Nếu phương pháp nhẩm nghiệm khơng có tác dụng ta vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Ý tưởng thường sử dụng chuyển đa thức bậc bốn dạng: A − B = ⇔ ( A − B )( A + B ) = ta tích hai tam thức bậc hai Do việc giải phương trình bậc bốn quy việc giải phương trình bậc hai Đây cách để giải phương trình bậc bốn Ví dụ1: Giải phương trình x − x − x + 16 x − 12 = (1) Giải: Ta thấy a + b + c + d + e = - - + 16 - 12 = Do phương trình (1) có nghiệm x = Khi phương trình (1) viết dạng: ( x − 1) ( x3 − 3x − x + 12 ) = (2) Ta thấy x = nghiệm phương trình x − x − x + 12 = Do : (2) ⇔ ( x − 1) ( x − ) ( x − x − ) =  x −1 = x =1  ⇔ x − = ⇔ x =   x − x − =  x = 3; x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3} Ví dụ2: Giải phương trình x − x − x − = (1) Ta thấy phương trình (1) khơng áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (1) ⇔ ( x − x + 1) − ( x + x + ) = ⇔ ( x − 1) − ( x + ) = 2 ⇔ ( x − x − 3) ( x + x + 1) =  x − x − = (2) ⇔  x + x + = (3)  + 13  x1 =   − 13  x2 = Giải phương trình (2) ta  Giải phương trình (3) vơ nghiệm 1 − 13 + 13  S = ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình (2) Ví dụ3: Giải phương trình x + x − 16 x + x + = (1) Ta thấy hệ số số hạng cách số hạng đầu cuối nhau, phương trình đối xứng bậc bốn Chia hai vế cho x ( khác khơng ) ta có:  + =0 x x2 1 ⇔ 2( x + ) + 3( x + ) − 16 = x x 1 t = x + ⇒ t = ( x + )2 ⇒ x + = t − x x x Đặt (1) ⇔ x + 3x − 16 + Ta phương trình: 2t + 3t − 20 =   x = −2 ± t = −4  x + = −4  x + x + = x ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ x = ; x = t = x − 5x + = x + =    2  x x = −2 ± 3; x = ; x = 2 Vậy phương trình có nghiệm: Như với Ví dụ 1, 2, ta giải phương trình nhờ phép biến đổi sáng tạo phương trình để dẫn tới việc giải phương trình tích, phương trình quen thuộc BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải phương trình sau: Bài 1: 2x4 - 6x3 - x2 + 12x - 10 = Bài 2: 2x4 - 6x2 - 8x - = Bài 3: x3 – 2x2 + 6x – 12 = -o0o -  BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Phương trình trùng phương Giải phương trình: ax + bx + c = (1) Phương pháp: • Bước 1: Đặt t = x2 với t ≥ Khi (1) ⇒ at + bt + c = (2) Đó phương trình bậc hai theo ẩn t • Bước 2: Kết luận nghiệm phương trình (1) Nếu (2) có nghiệm t0 ≥ (1) có nghiệm x = ± t0 x − x − = (1) Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Đặt x2 = t với t ≥ Ta được: t − 4t − = (2) có nghiệm: t1 = −1; t2 = Kết hợp với điều kiện t ≥ ta có: t1 = -1 khơng thoả mãn Với t2 = ta có: x = ⇔ x = ± Vậy phương trình cho có nghiệm: x = ± Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng  ax + bx + cx + dx + e = ; ( a ≠ 0; e d = ( ) ; e ≠ 0) a b Phương pháp: • Bước 1: Nhận xét x = khơng phải nghiệm phương trình cho Chia hai vế phương trình cho x2 ≠ ta được: e   d 1  a  x2 + + b x + ÷  ÷+ c = a x b x    (1) ⇔  (2) • Bước 2: d 1 e d  2 t =x+ ⇒ x + = t − ÷ b x a x2 b  Đặt d (2) ⇒ at + bt + c − 2a = b Khi đó: (3) Đây phương trình bậc hai quen thuộc Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình (1) *Chú ý: e =1 - Trong trường hợp đặc biệt a tức phương trình có dạng: • ax + bx + cx + bx + a = ta có cách giải tương tự - Nhiều phương trình dạng ban đầu khơng phải phương trình hồi quy, nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta đưa chúng dạng phương trình hồi quy Từ áp dụng phương pháp biết để giải Ví dụ 2: Giải phương trình x − x + 28 x − 36 x + 16 = (1) 16 −36 =( ) = 22 −9 Giải: Nhận thấy phương trình phương trình quy hồi Vì x = khơng phải nghiệm phương trình (1) nên chia hai vế phương trình cho x ta có:  x − x + 28 x − 36 x + 16 = ⇔ x − x + 28 − 36 16 + =0 x x2 16 36 − x − + 28 = x x t = x + ⇒ t − 9t + 20 = ⇔ t = 4; t = x Đặt t = 4⇒ x + = ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x = x Với ⇔ x2 + t =5⇒ x+ = ⇔ x − x + = ⇔ x = 1; x = x Với Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2; x = Dạng 3: Phương trình có dạng ( x + a ) ( x + b) ( x + c) ( x + d) = m DK : a + b = c + d • Phương pháp: Bước 1: Viết lại phương trình dạng: [ x + (a + b) x + ab][ x + (c + d ) x + cd ] = m t = x + ( a + b ) x + ab • • Bước 2: ⇒ x + ( c + d ) x + cd = t − ab + cd t ( t − ab + cd ) = m ⇔ t − ( ab − cd ) t − m = Khi ta có: Đây phương trình bậc hai quen thuộc Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 4)( x + 5) = 10 Giải:  ( x + 1)( x + 2)( x + 4)( x + 5) = 10 ⇔ ( x + x + 5)( x + x + 8) = 10 Đặt: t = x + x + ta có phương trình: t (t + 3) = 10 ⇔ t + 3t − 10 = ⇔ t = −5; t = t = −5 ⇒ x + x + = −5 ⇔ x + x + 10 = Phương trình vơ nghiệm  x = −3 + t = ⇒ x2 + x + = ⇔ x2 + 6x + = ⇔   x = −3 − Vậy phương trình cho có nghiệm x = −3 + 6; x = −3 −   x + a ) + ( x + b) = c Dạng 4: Phương trình có dạng ( 4 Phương pháp: a −b  x+a=t +  a+b  t=x+ ⇒ x + b = t − a − b  • Bước 1: Khi phương trình cho có dạng: a−b a −b 2t + 12  t + 2  =c     Đó phương trình trùng phương biết cách giải • Bước 2: Kết luận nghiệm phương trình cho 4 Ví dụ 4: Giải phương trình ( x + 4) + ( x + 6) = Giải: Đặt t = x + ⇒ x = t − Phương trình trở thành: (t − 1) + (t + 1) = ⇔ t + 6t + =  X = −3 − < X + 6X +1 = ⇔   X = −3 + < Đặt t = X ( X ≥ 0) ta phương trình: Vậy phương trình cho vơ nghiệm 10 10  * Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù tốn, phương pháp trình bày minh hoạ vài dạng thường gặp BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải phương trình sau: Bài 1: a) 2x – 8x – 10 = b) –x – 2x – 26 = 13 c) 2,6x + 1,8x = Bài 2: a) ( x + ) ( x + 1) ( x + 1) ( x + ) = b) ( y – ) ( y + ) ( y – ) ( y + 1) = −2 c)  ( 12 + y ) ( y – ) ( y – ) ( y + ) = x Bài 3: a) ( + ) + ( x + ) = 4 x b) ( – ) + ( x – 3) = 10 c) ( – x ) + ( – ) = 100 4 4 Bài 4: Cho phương trình x – 2x + 6x – = m a) Giải phương trình với m = -1 b) Biện luận số nghiệm phương trình với giá trị m c) Tìm m để phương trình cho có nghiệm x = -o0o BÀI 3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Sau ta tìm cơng thức nghiệm phương trình bậc bốn f ( x) = x + ax + bx + cx + d = (1) Trong a, b, c, d số thực Phương pháp: Biến đổi đa thức dạng 11  1 1 f ( x) = ( x + ax + h) + bx + cx + d − a x − h − hx − ahx 2 4 1 1 = ( x + ax + h) − [(h+ a -b)x + ( ah − c) x + ( h − d )] 2 4 Tam thức dấu móc vng có dạng: Ax + Bx + C Ax + Bx + C viết dạng Ax + Bx + C = ( Px + Q) Khi : B − AC = ⇔ AC − B = 1 ⇒ 4(h+ a -b)( h − d ) − ( ah − c) = (2) 4 Đây phương trình bậc ba h nên có nghiệm thực Khi đó: 1 f ( x) = ( x + ax + h) − ( Px + Q) 2 1 1 = ( x + ax + h + Px + Q )( x + ax + h − Px − Q ) = 2 2  x + ax + h + Px + Q = (3)  2 ⇒  x + ax + h − Px − Q = (4)  2 Giải (3) (4) để tìm tập nghiệm phương trình Ví dụ: Giải phương trình x − x − x + x + = 2 Giải: Dựa vào công thức (2) ta xác định h: 29 1 4(h+ )( h − 6) − (− h − 1)2 = 4 ⇔ h3 + 7h − 25h − 175 = Phương trình có nghiệm h = −1 P= ; Q= 2 Với h = 5, a = -1, b = -7, c = 1, d = ta tính được: 12 12  ( x − x + )2 − ( x − )2 = 2 2 1 ⇔ ( x − x + + x − )( x − x + − x + ) = 2 2 2 2  x − x + + x − =0   2x + 6x + = 2 2 ⇔ ⇔  x2 − x + − x + = 2 x − 8x + =  2 2  x = −1; x = −2 ⇔  x = 1; x = Vậy phương trình có nghiệm: x = -1, x= -2, x=1, x= Như với việc tìm số h từ cơng thức (2) ta giải phương trình bậc bốn khơng có dạng đặc biệt phân loại BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải phương trình sau: 1) x + x + x + x − = 2) x + x3 + x + x − 12 = 3) x + x3 − 38 x + x + = 4) x + x3 − 12 x + x + = 5) x + x3 − x + x − 15 = -o0o C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 13 13  I Những kết đạt Qua q trình tìm tịi nghiên cứu trực tiếp giảng dạy, đề tài “Phân loại phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết học tập mơn Tốn” tác động tích cực đến học sinh Phát huy tính tích cực, sáng tạo tư logic em Học sinh không cảm thấy lung túng gặp phương trình bậc bốn khơng có dạng đặc biệt, từ em em thích thú với tốn giải phương trình, đặc biệt phương trình bậc bốn Đối với thân, nhờ trình thường xuyên trau dồi, học hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tơi thường xuyên nâng cao chất lượng chuyên đề nghiên cứu thành chuyên đề có hiệu chất lượng * Thống kê kết lớp bồi dưỡng Như rõ ràng qua ba năm thực đề tài này, kết học tập học sinh có tiến rõ rệt II Bài học kinh nghiệm Qua trình trực tiếp giảng dạy đối tượng học sinh lớp không đồng mức độ nhân thức nên giáo viên nên đưa dạng từ dễ đến khó, kết hợp ơn tập, giao tập nhà, kiểm tra học sinh Nội dung kiến thức đề tài kiến thức mở giáo viên nên đưa vào cuối luyện tập, buổi học phụ đạo bồi dưỡng 14 14  Sau hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ làm tập cho học sinh Cần đưa nội dung vào dạy cho phù hợp, học nên giới thiệu dạng toán, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động mà kết đạt không cao III Những kiến nghị đề xuất Học sinh cần có đầy đủ dụng cụ học tập,sách giáo khoa, sách tham khảo tốn nâng cao tạp chí mơn tốn Với giáo viên cần có nhiều nguồn tài liệu nghiên cứu, học hỏi nhiều kênh thông tin, tự nghiên cứu trau kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho thân Thường xuyên quan tâm đến việc giải tập theo dạng Trong trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu cách giải mới, lời giải hay Biết khắc sâu kiến thức bản, tập thường gặp nhằm đưa dạng tổng quát hoá Đối với cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên học tập lớp nâng cao trình độ, tổ chức lớp bồi dưỡng thường xuyên nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư viện trường đầu sách có giá trị, trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo Đề tài đồng nghiệp góp ý bổ sung, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Trong pham vi khn khổ, đề tài cịn ví dụ minh hoạ chưa hết cách giải Tôi mong nhận đóng góp ý kiến nhận xét tất thầy, cô bạn đồng nghiệp để sửa chữa chỗ sai, chỗ cịn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng chun đề nghiên cứu thành chuyên đề thiết thực có hiệu cao Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 15 15  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Toán bậc THPT, NXB GD, 2006 [2] Sách giáo viên Toán bậc THPT, NXB GD, 2006 [3] Phạm Văn Điều, Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, NXB ĐHQGHN, 2000 [4] Thiết kế giảng tốn bậc THCS [5] Tạp chí tốn học tuổi trẻ 16 16  MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử………… Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ………………………………………… Bài 3: Cơng thức nghiệm phương trình bậc bốn………………… C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT D TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………… Trang 3 3 11 13 15 17 17  ... dẫn học sinh Do chưa có phương pháp cụ thể, rõ ràng chưa khắc sâu kiến thức cho học sinh Từ thực trạng việc chọn chuyên đề “ Phân loại phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm. .. Kỹ giải phương trình bậc bốn học sinh nhiều hạn chế, chưa rèn luyện thường xuyên Học sinh tiếp cận phương trình bậc bốn dạng đơn giản, phương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài... cho học sinh - Tìm hiểu đề thi mà có dạng tập giải phương trình bậc bốn nhằm đưa phương pháp giải dạng tổng quát cho dạng tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh giáo viên tham khảo học