07 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC Câu [Svip] Chứng minh bất đẳng thức sau: 735 , với 2a 3b 47 b) 3a 5b a) 3a 4b , với 3a 4b Câu [Svip] Chứng minh bất đẳng thức sau: 2464 a) a 11b , với 3a 5b b) a b , với a 2b 137 Câu [Svip] Chứng minh bất đẳng thức sau: b) ( x y 1) (2 x y 5) a) 2a 3b , với 2a 3b Câu [Svip] Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a b , với a b b) a b3 , với a b Hướng dẫn: 2 2 a) (1a 1b) (1 )(a b ) đpcm 1 1 b) a b b a b (1 a ) 3a 3a a b a a 2 4 3 3 Câu [Svip] Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a b , với a b b) a b , với a b Hướng dẫn: a) (12 12 )(a b ) (a b ) đpcm 2 2 b) (1 )(a b ) (a b) a b (12 12 )(a b ) (a b ) a b Câu [Svip] Cho x, y, z ba số dương x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z Hướng dẫn: Ta có P (1 x) (1 y ) (1 z ) Dấu "=" xảy x y z x y z Vậy Max P = x y z Câu [Svip] Cho x, y, z ba số dương x y z Chứng minh rằng: x2 1 y z 82 x y z Hướng dẫn: Áp dụng BĐT (B.C.S), ta có: Tương tự ta có: y2 9 2 x (1 ) x x x 1 9 y y y 82 (2), z2 x2 1 9 x (1) x x 82 1 9 z (3) z z 82 Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 80 1 1 P ( x y z ) x y z = ( x y z ) x y z x y z 82 82 2 1 80 ( x y z) 82 82 x y z x y z Dấu "=" xảy x y z Câu [Svip] Cho a, b, c thoả a b c (1) (2) Chứng minh: 4a 4b 4c 21 Hướng dẫn: Áp dụng BĐT (B.C.S) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) Chú ý: x y z x y z Dấu "=" xảy x = y = z = Từ (1) Câu [Svip] Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A , với x + y = x 4y b) B x y , với x y Hướng dẫn: 2 a) Chú ý: A = x 2 y Áp dụng BĐT (B.C.S) với số: x; ; y; ta được: x y 25 4 x y ( x y) x y x 4y 25 Dấu "=" xảy x ; y Vậy minA = x ; y 5 5 2 2 3 b) Chú ý: x y x y Áp dụng BĐT (B.C.S) với số: x; y; ; x ta được: y 3 3 2 3 ( x y) x y 3 x y x y x y 2 3 2 3 Dấu "=" xảy x Vậy minB = ; y 6 3 Câu 10 [Svip] Tìm GTLN biểu thức A x y y x , với x, y thoả x y Hướng dẫn: Chú ý: x y 2( x y ) Ta có A ( x y )(1 y x) x y Dấu "=" xảy x y 2 2 Câu 11 [Svip] Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A x x , với –2 x b) B x x , với x Hướng dẫn: A (7 x) ( x 2) Dấu "=" xảy x = –2 x = maxA = x ; minA = x = –2 x = 43 b) B (62 82 )( x x) 10 Dấu "=" xảy x = 25 B ( x 1) (3 x) x Dấu "=" xảy x = 43 maxB = 10 x = ; minB = x = 25 a) A (12 12 )(7 x x 2) Dấu "=" xảy x Câu 12 [Svip] Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) C y x , với 36 x 16 y x2 y 1 b) D x y , với Hướng dẫn: 1 a) Chú ý: 36 x 16 y (6 x) (4 y ) Từ đó: y x y x 1 1 y x 16 y 36 x 4 16 5 15 25 C y 2x y 2x 4 4 15 25 minC = x , y ; maxC = x , y 20 20 x2 y 2 (3 x) (2 y ) Từ đó: x y x y b) Chú ý: 36 y 2x 4 1 x y x y 9 4 5 x y 7 D x y 9 minD = –7 x , y ; maxD = x , y 5 5 2x y ... thoả a b c (1) (2) Chứng minh: 4a 4b 4c 21 Hướng dẫn: Áp dụng BĐT (B.C.S) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) Chú ý: x y z x y z Dấu "=" xảy x = y... x y , với x y Hướng dẫn: 2 a) Chú ý: A = x 2 y Áp dụng BĐT (B.C.S) với số: x; ; y; ta được: x y 25 4 x y ( x y) x y x 4y 25 Dấu... Vậy minA = x ; y 5 5 2 2 3 b) Chú ý: x y x y Áp dụng BĐT (B.C.S) với số: x; y; ; x ta được: y 3 3 2 3 ( x y) x y 3 x y