03 mot so BDT khac BG

Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Bài 1: [ĐVH] Chứng minh bất đẳng thức sau: b) 3a2 + 5b2 ≥ a) 3a2 + 4b2 ≥ , với 3a + 4b = 735 , với 2a − 3b = 47 Bài 2: [ĐVH] Chứng minh bất đẳng thức sau: 2464 , với 3a − 5b = b) a2 + b2 ≥ , với a + 2b = 137 Bài 3: [ĐVH] Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 7a2 + 11b2 ≥ a) 2a2 + 3b2 ≥ , với 2a + 3b = b) ( x − y + 1)2 + (2 x − y + 5)2 ≥ Bài 4: [ĐVH] Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2 + b2 ≥ , với a + b ≥ b) a3 + b3 ≥ , với a + b ≥ Hướng dẫn: a) ≤ (1a + 1b)2 ≤ (12 + 12 )(a2 + b2 ) ⇒ đpcm  1 1 b) a + b ≥ ⇒ b ≥ − a ⇒ b ≥ (1 − a) = − 3a + 3a − a ⇒ b + a ≥  a −  + ≥  2 4 Bài 5: [ĐVH] Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a + b ≥ , với a + b ≥ b) a + b ≥ , với a + b = Hướng dẫn: a) (12 + 12 )(a4 + b4 ) ≥ (a2 + b2 )2 ≥ ⇒ đpcm 3 3 b) (12 + 12 )(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 = ⇒ a2 + b2 ≥ (12 + 12 )(a4 + b ) ≥ (a2 + b2 )2 ≥ ⇒ a + b ≥ Bài 6: [ĐVH] Cho x, y, z ba số dương x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = − x + − y + − z Hướng dẫn: Ta có P ≤ + + (1 − x ) + (1 − y ) + (1 − z) ≤ Dấu "=" xảy ⇔ − x = − y = − z ⇔ x = y = z = Bài 7: [ĐVH] Cho x, y, z ba số dương x + y + z ≤ Vậy Max P = x = y = z = Chứng minh rằng: x2 + x + y2 +  Áp dụng BĐT (B.C.S), ta có:  x +  Tương tự ta có: y2 + y ≥ y + z2 + ≥ 82 z2 Hướng dẫn:   9 (1 + 92 ) ≥  x +  ⇒  x  x2   9 y +  y 82  (2), z2 + z x2 + ≥ x2 ≥  9 z+  z 82   9 x+  x 82  (1) (3) Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Từ (1), (2), (3) suy ra: P≥ ≥  1     1  80  1    ( x + y + z) +  + +   =  ( x + y + z) +  + +  +  + +    x y z   x y z  82  82   x y z    1  80 2  ( x + y + z)  + +  +  ≥ 82 82   x y z  x + y + z  Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c ≥ − thoả a + b + c = (1) (2) Chứng minh: < 4a + + b + + 4c + ≤ 21 Hướng dẫn: Áp dụng BĐT (B.C.S) cho số: 1;1;1; 4a + 1; 4b + 1; 4c + ⇒ (2) Chú ý: x + y + z ≤ x + y + z Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = Từ ⇒ (1) Bài 9: [ĐVH] Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = + , với x + y = b) B = x + y , với + = x 4y x y Hướng dẫn: 2     a) Chú ý: A =   +   x   y  Áp dụng BĐT (B.C.S) với số: x; x ; y; y ta được: 4  25   ≤  x + y ≤ ( x + y)  +    x y   x 4y  25 Dấu "=" xảy ⇔ x = ; y = Vậy minA = x = ; y = 5 5 2  2  3 b) Chú ý: + =   +  x y  x   y  Áp dụng BĐT (B.C.S) với số: x; y; ; x ta được: y 2 ( + 3) 2 3  3 ( ( x + y )  +  ≥  x + y  = + ) ⇒ x + y ≥ x y x y  Dấu "=" xảy ⇔ x = +3 ; y= +3 Vậy minB = ( + 3) Bài 10: [ĐVH] Tìm GTLN biểu thức A = x + y + y + x , với x, y thoả x + y = Hướng dẫn: Chú ý: x + y ≤ 2( x + y ) = Ta có A ≤ ( x + y )(1 + y + + x ) = x + y + ≤ 2+ Bài 11: [ĐVH] Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: Dấu "=" xảy ⇔ x = y = Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) A = − x + + x , với –2 ≤ x ≤ a) • A ≤ b) B = x − + − x , với ≤ x ≤ Hướng dẫn: (12 + 12 )(7 − x + x + 2) = Dấu "=" xảy ⇔ x = • A ≥ (7 − x ) + ( x + 2) = Dấu "=" xảy ⇔ x = –2 x = ⇒ maxA = x = ; b)• B ≤ minA = x = –2 x = (62 + 82 )( x − + − x ) = 10 Dấu "=" xảy ⇔ x = 43 25 • B ≥ ( x − 1) + (3 − x ) + − x ≥ Dấu "=" xảy ⇔ x = 43 ; minB = x = 25 Bài 12: [ĐVH] Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: ⇒ maxB = 10 x = x2 y2 a) C = y − x + , với 36 x + 16 y = b) D = x − y − , với + =1 Hướng dẫn: 1 a) Chú ý: 36 x + 16 y = (6 x )2 + (4 y )2 Từ đó: y − x = y − x 2  1 1 y − x ≤  +  16 y + 36 x = 4  16  5 15 25 ⇒ − ≤ y − 2x ≤ ⇒ ≤ C = y − 2x + ≤ 4 4 15 25 ⇒ minC = x = , y = − ; maxC = x = − , y = 20 20 ( ⇒ y − 2x = b) Chú ý: ) x2 y2 + = (3x )2 + (2 y )2 Từ đó: x − y = x − y 36 ( ) 4 1 x − y ≤  +  x + y = 9 4 ⇒ −5 ≤ x − y ≤ ⇒ −7 ≤ D = x − y − ≤ ( ⇒ 2x − y = ⇒ minD = –7 x = − , y = ; ) maxD = x = , y = − 5 Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia!