4 bất ĐẲNG THỨC ngọc huyền LB image marked

Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC Vấn đề cần nắm: Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các tính chất bất đẳng thức Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức dạng toán thường gặp kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư duy, sáng tạo người học Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khuôn khổ chủ đề này, tác giả giới thiệu số phương pháp thường gặp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn nghiệm phương trình miền giá trị hàm số, sử dụng tính chất hàm số,… Mỗi phương pháp đề cập có ví dụ điển hình lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc phương pháp, kỹ thuật sử dụng lời giải ví dụ Bên cạnh đó, có ví dụ tác giả đề xuất thêm câu hỏi trắc nghiệm khách quan mức độ khác giúp cho em học sinh có nhìn tổng qt trước câu hỏi trắc nghiệm Từ đó, em tự đề xuất, phát triển sáng tạo câu hỏi trắc nghiệm từ câu hỏi tự luận câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác  A Lý thuyết I BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bất đẳng thức Giả sử a b hai số thực Các mệnh đề “ a  b ”, “ a  b ”, “ a  b ”, “ a  b ” gọi bất đẳng thức STUDY TIP Đặc biệt, hàm số y  f  x  đạt giá trị lớn M tập D ta ký hiệu M  max f  x  D M  max f  x  ; xD hàm số y  f  x  đạt giá trị nhỏ m tập D ta ký hiệu m  f  x  D m  f  x  xD Một bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho f biểu thức chứa biến (chứa biến nhiều biến), biến số thỏa mãn điều kiện T a) Số M gọi giá trị lớn biểu thúc f, viết M  max f , nếu: (1) f  M với giá trị biến thỏa mãn điều kiện T LOVEBOOK.VN | Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f  M b) Số m gọi giá trị nhỏ biểu thức f, viết m  f , nếu: (1) f  m với giá trị biến thỏa mãn điều kiện T (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f  m Như vậy: Để tìm giá trị lớn (tương tự giá trị nhỏ nhất) biểu thức f, ta trình bày lời giải sau: - Bước 1: Chứng minh với giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T xảy bất đẳng thức f  M , M số khơng phụ thuộc vào biến f - Bước 2: Chứng minh tồn giá trị biến (khơng thiết phải tìm tất cả) thỏa mãn điều kiện T cho f  M - Bước 3: Kết luận max f  M II CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Trong chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thúc thường sử dụng tính chất sau bất đẳng thức: LOVEBOOK.VN | Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing a  b b  c  a  c a  b  a  c  b  c Nếu c  a  b  ac  bc Nếu c  a  b  ac  bc a  b c  d  a  c  b  d a  b  c  d   ac  bd a  b  n  *  a n  b n a  b   a  b a  b  a  b 10 a  0, b   a  b  a  b 11 a  b   a  b  ab 1  a b 12 a  0, a   Đẳng thức xảy a  13  a  a  a , với a   14 Với a  x  a  a  x  a 15 Với a  x  a  x  a x  a 1  2 16 Với a, b   , ta có a  b  a  b  a  b Đẳng thức xảy (1) ab  ; đẳng thức xảy (2) ab  III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP Sử dụng biến đổi tương đương bất đẳng thức biết a Nội dung phương pháp Để chứng minh bất đẳng thức A  B theo hướng này, làm theo cách sau đây: LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức Trong phần này, trình bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp kỳ thi thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thơng quốc gia Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương bất đẳng thức biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpxki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị điều kiện tồn nghiệm phương trình; sử dụng tính chất hàm số; sử dụng dồn biến; sử dụng dấu tam thức bậc hai; sử dụng phản chứng More than a book - Cách 1: Lập hiệu A  B Sử dụng biến đổi tương đương, tính chất bất đẳng thức kết biết để A  B  - Cách 2: Bằng kiến thức biết tính chất bất đẳng thức, đánh giá vế trái để A  B - Cách 3: Bằng kiến thức biết tính chất bất đẳng thức, đánh giá vế phải để B  A Chứng minh bất đẳng thức theo cách nêu trên, sử dụng tính chất bất đẳng thức, thường sử dụng kết sau: (1): x   a; b   a  x  b   x  a  x  b   (2):  f  x    0, với x cho f  x  xác định Đặc biệt, a  b  2ab; a  b  2ab (3):  ab  bc  ca    a  b  c    a  b  c  , với a, b, c b Ví dụ minh họa Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   3x  x2 đoạn  1;3 b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g  x   x2 đoạn 2x2   1; 2 Lời giải a) Ta có f  x   3 x  2  7  3 ĐKXĐ: x  2 x2 x2 Với x   1;3 , ta có:  x    7    7    x2 x2 Do 4  f  x   , x   1;3 LOVEBOOK.VN | Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Ta có f  x   4  x  1   1;3 ; f  x    x    1;3 Vậy max f  x   f  1  4 f  x   f  3   1;3  1;3 b) Với x   1; 2 x   0; 4 x2  x  1  1 1 Ta có    2 2x 1 2x 1 2 2x 1 Với x thuộc đoạn  1; 2  x      1   2x 1  1 1  0   2x 1 2 2x 1 Do  g  x   , x   1; 2 Mặt khác g  x    x    1; 2 ; g  x   Vậy max g  x   g     1;2  x    1; 2 g  x   g    /  1;2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số y   x  x  21   x  x  10 Lời giải  x  x  21  Điều kiện:   2  x   x  x  10  Ta có   x  x  21    x  x  10   x  11  , suy y  y  2 x  x  31     x  3  x  x    x   x  3  x    x    x     , suy y  Dấu xảy  x  3  x    x    x   x  LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book x  / Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x 18  5  x Ví dụ 3: a) Chứng minh với x    ;  x  25 50  2 b) Cho a, b, c ba số khơng nhỏ  có tổng Chứng minh rằng: a b c    a  b  c  10 Lời giải  3x  1  x  3  0, x    ;  x 18 a) Ta có  x    x  25 50 50  x  1 Suy STUDY TIP Khi học đạo hàm, tìm biểu thức 18 cách đơn giản a 25 50 phương pháp tiếp tuyến sau: Trước hết, dự đoán xem đẳng thức xảy nào? Chúng ta dự đoán a abc Với a  Sau a  10 đó, viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x  x x 1 điểm 1  M  ;  Tiếp tuyến có  10  phương trình y  18 x 25 50 x 18  5  x  , x    ;  x  25 50  2 Dấu xảy x  x   3 b) Từ giả thiết, ta có  a  b  c  a    a  4 Tương tự, ta có b  5 c  2  5 Suy a, b, c thuộc đoạn   ;   2 Áp dụng kết ý a), ta có: a 18 b 18 c 18  a ;  b ;  c a  25 50 b  25 50 c  25 50 Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta a b c 18 9    a  b  c   a  b  c  25 50 10 LOVEBOOK.VN | Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Dấu xảy a  b  c  / Nhận xét: Để giải ý b) sử dụng kết ý a) Nếu ý a) tìm bất đẳng thức phụ cách nào? Chúng ta tìm bất đẳng thức phụ cách sau đây: Thứ nhất, số hạng vế trái biểu thức biến, tìm cách đánh giá số hạng nhỏ biểu thức biến cộng vế theo vế sử dụng giả thiết để điều phải chứng minh Thứ hai, giả thiết toán a  b  c  (các biến số a, b, c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần đánh giá a  ma  n , m, n số a 1 phải tìm Thứ ba, từ giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh, dự đoán 1 a  , ta cần đánh đẳng thức xảy a  b  c  Khi a  3 a  10 a   m  3a  1 Lúc này, cần tìm m để bất đẳng thức a  10 xảy giá  3a  1 3  a  10m  a  1 a   m  3a  1  Xét a  10 10  a  1 Lúc này, ta cần chọn m để  a  10m  a  1  nhận a  làm nghiệm (mục tiêu xuất  3a  1 ) Giải điều kiện ta tìm m  Khi ta có 25  3a  1  4a  3  (do a   ) a    3a  1   a  10 25 50  a  1 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si (Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp) a Nội dung phương pháp LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book (1) Với hai số khơng âm a, b bất kỳ, ta ln có: ab  ab Đẳng thức xảy a  b - Các hình thức khác bất đẳng thức là: a  b2  ab a  b  ab - Hệ quả: +) Nếu a, b số không âm a  b  S khơng đổi ab đạt giá trị lớn S a  b  S +) Nếu a, b số không âm ab  P không đổi a  b đạt giá trị nhỏ P a  b  P +) Với a  0, b  1   Đẳng thức xảy a  b a b ab (2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta ln có: abc  abc Đẳng thức xảy a  b  c - Các hình thức khác bất đẳng thức là: a  b3  c  abc a  b  c 27  abc LOVEBOOK.VN | Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing - Hệ quả: +) Nếu a, b, c số không âm a  b  c  S không đổi abc đạt giá trị lớn S a  b  c  S 27 +) Nếu a, b, c số không âm abc  P khơng đổi a  b  c đạt giá trị nhỏ 3 P a  b  c  P +) Với a  0, b  0, c  1    Đẳng thức xảy a  b  c a b c abc b Ví dụ minh họa Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ f  x   x  với x  x b) Tìm giá trị nhỏ g  x   x  với x  x 1 c) Tìm giá trị nhỏ h  x   x  với x   2x 1 d) Tìm giá trị nhỏ p  x   x  với x  4x  Lời giải a) Do x  nên ta có f  x   x  Đẳng thức xảy x  3  x  x x  x  (thỏa mãn điều kiện x  ) x Vậy, f  x  đạt giá trị nhỏ x  b) Do x  nên ta có g  x   x   1  x 1  x  1 1  1 x 1 LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 Đẳng thức xảy x   c) Ta có h  x   x  Do x   More than a book  x   (thỏa mãn) x 1 6  2h  x   x   2x 1 1 2x 1 2x 1 2x 1 nên ta có 2h  x   2  h  x   x  1 1 Đẳng thức xảy x   6 1 x (thỏa mãn) 2x 1 2 1 1 x  2 Vậy, h  x  đạt giá trị nhỏ d) p  x   x  STUDY TIP Ngồi lời giải trình bày bên, sử dụng cách chung để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, sử dụng đạo hàm Về kiến thức nghiên cứu chương trình Giải tích 12 bạn đọc tham khảo sách Cơng phá Tốn 1  1 2x 1  p  x  12  p  x  4x  4x  4x  12 71   4x  7   4x  7  75 x  75 Từ giả thiết ta có x   15 Do p  x  12 71 44 11  15    p  x   4x  7 75 x  75 5 12 4   4x  7  Đẳng thức xảy  75 x   x  (thỏa mãn)  x  Vậy p  x  đạt giá trị nhỏ 11 x  / LOVEBOOK.VN | 10 Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Đẳng thức xảy x    '  Q2  3  Q2   Suy ra, tập giá trị hàm số  3;0 Các số nguyên  Q2   Q  thuộc tập giá trị hàm số 3; 2; 1;0 Q   y  y   y  0; y   Câu 32: Đáp án A Điều kiện: 3  x  Vậy Q  +) Có f  x   x  3 ; Câu 35: Đáp án B f  x   3  x  3 Đặt a  x; b  y +) f  x   1  1  x   x   18 Khi đó, ta có a  0; b  0; a  b  A   f  x  Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có f  x   x  a  b  ab Từ giả thiết a  b  , ta có ab  Do đó, m  3; M  nên M  m  27 Áp dụng bất đẳng thức Câu 33: Đáp án C 2 Ta có f    1; 3 3 f   ; 4 4 f    nên 5 1   với x  0; y  ta x y x y 1   1 a  b 2ab  a  b 2 được: Suy f  x    A Câu 34: Đáp án A Từ điều kiện cho, ta có x  y  x  y Suy ra, Q  Q  x  y  x Q y  Q  y   y2  4 52     52  56 a  b 2ab ab a  b   A  56  ab   a  b  a  b  2ab  1 Khi x  ; y  Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ 56  y  2Q y   Q  54  a  b ab 2 Do tồn y nên phương trình phải có nghiệm Câu 36: Đáp án A Đặt x  b  c  a, y  c  a  b, z  a  b  c LOVEBOOK.VN | 101 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 Khi đó, x  0, y  0, z  x  y  z  yz zx x y ;b  ;c  2 Suy a  Do S  1yz zx x y    2 x y z   y x z x  z y                x y x z  y z  More than a book  6 6 2   x; y    ;  2    2 2 6  x; y    ;  2   Do đó, P  2  Câu 38: Đáp án B  x  y   xy  13 Ta có P  2x  y Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có y x z x z y   4;   6;   12 x y x z y z Do đó, S  11  y  2x  S  11   z  x x  y  z     2x  y   11 2x  y Vì x  0; x  y nên x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có P  22 1    x; y; z    ; ;1 3  11  2  x  y   2x  y P  22    xy   1  5 1 Với  x; y; z    ; ;1  a; b; c    ; ;  2  6 2  118  22 118  22    x; y    ;    Suy ra, 18m  15n  12 p  19 Suy p  q  Câu 37: Đáp án C Do x  y nên x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có  x  y P  xy  x y 2 x y x y  x  y  P2 2  xy  35 Câu 39: Đáp án C Ta có M   x  y   y 1 y 1  2  x  y  y  1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có LOVEBOOK.VN | 102 Chủ đề 4: Bất đẳng thức M 2 4  x  y  y  1  2  x  y  y  1 The Best or Nothing  x  y  y  1  x  y  y  1 1 1  y 1 M 3 x y   2  x  y  y  1 y 1  x  x  y    y    y   Do đó, M  Câu 40: Đáp án A Ta có A  x  y  z  t   xy  zt     x  y  z    xy  yz  zx   xyz  12   x  y  z    x  y  z   xyz  13   x  y  z  xyz  T  nên  13   x  y  z  xyz   x  y  z  xyz  13 +) x  y  z  xyz  13   x   y   z     x  y  z  x  y    y  z  z  x   22  92  192  452   xy  zt  z   x  y   2471   xy  zt  Rõ ràng tồn vô số giá trị số  x; y; z  để biểu Vì  x, y, z , t  2,9,19, 45 nên xy  zt thức cho đạt giá trị lớn  2.9  19.45; 2.19  9.45; 2.45  9.19 Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức cho, dựa vào bất đẳng thức:  xy  zt  873; 443; 261   x   y   z   A  2993;3357; 4217  m  2993, M  4217  2 x2 y2 z       27 Suy ra, m  M  7210 Câu 42: Đáp án B Câu 41: Đáp án D Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: x Do x,y, z thuộc đoạn  0; 2 nên  x  ,  y  ,  y  t  z    xt  yz  2 z  Theo giả thiết thì, Ta có T    x   y   z  x 2  y  t  z    xt  yz  LOVEBOOK.VN | 103 Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Do đó,  x  y  t  z    xt  yz   xz  yt Do a  0, b  nên   c  2 Từ z  t  16 suy z, t không đồng thời Suy 3  T  11 - Nếu t  z  16 x  0, y  Lúc này, ta có x  z  4 x  z  - Nếu t  y  Do đó, z  Câu 44: Đáp án A z 16 z  x  x2   x    t  x2 t t  +) Hàm số đạt giá trị nhỏ nên y   với 16 x  16  16 x  z  144 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:  x  z    1 1   x  z      16 x  z    16  4 Tập giá trị T có 11 số nguyên dương 1; 2; 3; …; 11 x đẳng thức xảy  x  ax  b   0, x   x2   1  a   b  1  +) Hàm số đạt giá trị lớn nên y   với x đẳng thức xảy   x  z   25  5  x  z   x  ax  b    0, x   x2  16 x  z +)  x  z   25   2 16 x  z  144    a   b  3   16    x; z    ;  5  a   b  1  Giải hệ  a   b  3   16   x; z     ;    5 a  2 ta  Suy a  b  b  12  16  Khi  x; z    ;  y  t  x  z  5  Câu 45: Đáp án B Vậy, max  x  z   Bằng cách sử dụng điều kiện tồn nghiệm phương trình, có: Khi a  hàm số đạt giá trị lớn (khi b  ) đạt giá trị nhỏ (khi Câu 43: Đáp án B b  ) Còn a  3a  5b  4c  23 a   2c Ta có:   a  2b  6c  b  2c  b  a  b2 b  a  b2  y 2  T   4c Do đó, y   b  a  b2 b  a  b2 max y   2 LOVEBOOK.VN | 104 Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Vì y; max y số nguyên nên tập giá trị hàm Ta có y    số cho có số nguyên max y  y     a  b   a  b  25 Suy ra, y   b5 b5 max y   2  x  p   p      Do a  b  a  b nên y  x Vậy, y    x  y  10 x  y   Biểu diễn miền nghiệm hệ  mặt 5 x  y  35  x  0, y  phẳng tọa độ Oxy, ta miền tam giác ABC,  47 20  A  ;  , B  3;0  , C  7;0   9   47 20  355 Ta có: P  ;   ;  9  P  3;0   15; P  7;0   35 Suy ra, max P  x; y   ABC 355  47 20   x; y    ;   9  a 355 Theo giả thiết, ta có  nên a  b nhỏ b a  355, b  Lúc a  b  x0  y0  382 Câu 47: Đáp án D q  x   q  2 q  p   p  q  2 Đẳng thức xảy a  16, b  Câu 46: Đáp án B  Xét hai vectơ   a   x  p; p  , b   q  x; q  Theo giả thiết, b số nguyên lẻ a  nên Do đó, a  2b  34 p q q p pq q  p   p  q  2   p  q  pq  pq  Câu 48: Đáp án B a  Ta có f  x   0, x      4ac  b   Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 4a  c 4ac b 2b F    2 b b b b c  a F 2  b  c  4a b  4ac Vậy, Fmin  Câu 49: Đáp án A P  x   y  3 x  y  y  Với y  3;5 y   3;7  Đặt f  x   x   y  3 x  y  y  LOVEBOOK.VN | 105 Công Phá Tốn - Lớp 10 Ta có:  More than a book b  y    1;1 2a 2  ab  k c  2 ab        c  2kc  k  nên 2     f  1  y  y   g1  y  ;  a  b  c  c  kc  k 2 f 1  y  y  11  g  y  Lại f  1  f 1   y  3  có nên f  x   f 1 max f  x   f  1  1;1  1;1 Dựa vào cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số bậc hai đoạn, ta g  y   g  3  11 max g1  y   g1    69 3;5 3;5 Như vậy, với x   1;1 , y  3;5 3   c  k   k2 2  Vì c  1945 nên c  k  1945  673  1272 3 Suy a  b  c  12722  6732  3785763 Đẳng thức xảy 11  f 1  P  f  1  69 c  1945 a  b  37   a  b c  1945  a  b  c  2019  x   x  1 P  69   P  11   y  y   T  19c0  5b0  1890a0  107 070 Do đó, M  69 m  11 II ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ M m  40 Câu 1: Đáp án D Câu 50: Đáp án A Câu 3: Đáp án B Đặt k  2019 Câu 4: Đáp án C Ta có: a  b  c Câu 5: Đáp án B   a  b  c    ab  bc  ca  Câu 6: Đáp án B  k  2ab  2c  k  c  Câu 7: Đáp án A  Câu 2: Đáp án B Câu 8: Đáp án B  2c  2kc  2ab  k Lại Câu 9: Đáp án A Câu 10: Đáp án D Câu 11: Đáp án A LOVEBOOK.VN | 106 Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 12: Đáp án A +) Nếu y0  phương trình có nghiệm Câu 13: Đáp án C Câu 14: Đáp án A   a  1  y0  b  y0   Câu 15: Đáp án C  y02   b  1 y0  a  4b  Câu 16: Đáp án C Câu 17: Đáp án B  b   a   b  1 Câu 18: Đáp án A Câu 19: Đáp án C Câu 20: Đáp án A Câu 21: Đáp án A Câu 22: Đáp án D Câu 23: Đáp án D Câu 24: Đáp án C  y0  b   a   b  1 2 Kết hợp hai trường hợp, ta có tập giá trị hàm số  b   a   b  12 b   a   b  12  ;  2      Câu 25: Đáp án B Vì giá trị lớn giá trị nhỏ số nguyên tập giá trị hàm số có 11 số nguyên dương nên Câu 26: Đáp án B b   a   b  1 Câu 27: Đáp án D Câu 28: Đáp án B Câu 29: Đáp án A Câu 30: Đáp án C Câu 31: Đáp án A Gọi y0 giá trị thuộc miền giá trị hàm số x  ax  b  y0 cho Khi đó, phương trình x2   1  y0  x  ax  b  y0  có nghiệm +) Nếu  y0   y0  phương trình có nghiệm a  a  0, b   b   a   b  1 2  10  a   b  1  10  a   b  1  100 2 Câu 32: Đáp án B Ta có f  x   x    x  x    x   x2 1   x2  x   x 1   x  1  x   f  x     x    x  1   2  x  1 Câu 33: Đáp án C Ta có T  0, x, y   LOVEBOOK.VN | 107 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book x  y 1  có nghiệm  m  T 0 2 x  my   Với m  , T  x  y   x  y  Thử lại, thấy f  x   x  x  thỏa mãn Vậy, f  x   x2  6x  Đặt t  x  y  T  t  2t  b    4; 2 f  4   45; f    3 nên 2a M  45 m  3 Do đó, 3M  4m  123 Xét hàm số f  t   t  2t   Câu 36: Đáp án B 3 Ta có f    3; f    2 Ta có f  x   x  x  3 nên f  t   f     2 1       x2     3 x   8x 8x   4x   Suy T đạt giá trị nhỏ Ta có  Do x  nên áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x2  x  y 1   2x  y 1  Câu 34: Đáp án D Với x   0; 4 y  7 x  28 nên loại phương án A x 1   ;x  8x 8x 4x Suy f  x   15 3 , 4 x  0; f  x   15 x Xét phương án D: Phương trình x3  x  x  4 nhận Câu 37: Đáp án A x    0; 4 làm nghiệm nên y  4 Cách 1: (Lời giải tự luận) 0;4 Câu 35: Đáp án D Từ giả thiết, thay x  x , ta f  x   f 1  x   x  x  10 Do đó, ta có hệ phương trình  f  x   f 1  x   x  x   2 f  x   f 1  x   x  x  10  f  x   x2  6x  Do a, b, c thuộc  0;  nên  a  0,  b  0,  c  Theo bất đẳng thức Cô-si  a2a   a 2  a    1   Tương tự,  b   b   1;0  c   c   Suy a   b  b   c  c   a   LOVEBOOK.VN | 108 Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Do đó, a   b  ; b   c  ; c   a   Bằng phương pháp miền giá trị hàm số, có Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm) 5  S   ;7  2  Do a, b, c thuộc  0;  Do đó, S chứa số nguyên nên a   b   0; b   c   Câu 40: Đáp án A c   a   nên loại phương án D Ta có: xz  yt  zt Cũng từ giả thiết, ta có  a   c   4;   b   c   bc  nên loại phương án C 1 2 2 x  y2   z  t    x  z    y  t    2 2    x  z    y  t    2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường trịn  C  có Cho a  ; b  ; c  2 phương trình x  y  (tâm O  0;0  , bán kính R  ) max a   b  ; b   c  ; c   a  đường thẳng  : x  y  9 1   max  ; ;    4 2 Khi đó, điểm P  x; y    C  điểm Q  z; t    Lại Δ  C  khơng có điểm chung nên Do đó, loại phương án B PQ  d  O,    R  Câu 38: Đáp án B Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm P  x; y  với x, y thỏa mãn hệ bất phương trình cho Khi đó, ta có  x  z   y  t S  OP Biểu diễn hình học miền nghiệm hệ bất phương trình cho miền tam giác ABC, A  0;  , B  2;0  C  4;  M  max OA2 ; OB ; OC   20 Câu 39: Đáp án D    11         xz  yy  zt 11    5  2 Dựa vào tính chất hình học, ta có m  d  O, AB   2 Suy 16 Vậy, xz  yt  zt đạt giá trị lớn 96   72  m  n  p đạt giá 4 trị lớn nhất, giá trị 82 Với cách viết LOVEBOOK.VN | 109 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book Câu 41: Đáp án A Câu 43: Đáp án C Điều kiện 5  x  +) Vì a, b, c không âm nên +) Với x   5;5 y  x  15 ; a  b  c  36 3 x  15 y  15    x  5 25  x  Đẳng thức xảy chẳng hạn +) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có +) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có  y  x  25  x  a  6, b  c    32  42  x  25  x   625 Lại có x 25  x y  625    x  3  a  b2  c2  abc  a b c      2 Đặt t  a  b  c từ giả thiết đánh giá trên, ta có 36  t  Khi x  y  25 Vậy max y  25; y  15  t3 27 36  t  t3  36  t   3 t   36  t  Câu 42: Đáp án B t  36   t  12   t  9t  324   Ta có: x y  xy  x  y  xy  12  t  36 1  x y   3 x y Suy a  b  c  12  5;5  5;5 Vì x  0, y  nên Do đó, x  y  Đẳng thức xảy 1   x y x y 3 x y a  b  c  3abc  36  a  b  c   a  b  c Vậy, a  b  c đạt giá trị lớn 36 đạt giá trị nhỏ 12   x  y   3 x  y    Câu 44: Đáp án B  x y 4 Từ giả thiết, ta có Đẳng thức xảy x  y  15 10 1964    2018 a b c LOVEBOOK.VN | 110 Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing   1   M  1964      15    p a p b   p b p c  2  hay  a; b; c    2;1;  3   1  10     pc pa  Vậy, F đạt giá trị lớn Lại có 1 4    ; p a p b p a  p b c 1 1   ;   p b p c a p c p a b  15 10 1964  nên M       8072 c  a b 1989 Đẳng thức xảy a  b  c  2018 Câu 45: Đáp án A Đặt x  a; y  2b; z  3c x  y  z  Câu 46: Đáp án D x  y  z  x  y  z     2  xy  yz  zx  x  y  z  x  y   z  xy  z  z   Do tồn x, y nên hệ có nghiệm    z    z  5z  8  1 z  Xét hàm số f  z   z  z  F  3x  y  y  z  3z  x  7 đoạn 1;   3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có Ta có  18  x  y   18  x  y ; 18  y  z   18  x  y 18  z  x 18  z  x   Suy 18.F  54   x  y  z   54  F 9 F 9  x y z 2 b  7   1; 2a     16 f 1  4; f    3 Suy ra,  xy   f  z    7 1;    16 Câu 47: Đáp án D Ta có 2 x  y  z  x   2z   3 x  y  18 z  13  y   z Vì x, y, z khơng âm nên  z  LOVEBOOK.VN | 111 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book T    z   1  z   z 2mx  y  3m  x  y  y   z  18 z  10  C  có tâm I  0;  bán kính 2  1 Xét hàm số f  z   z  18 z  10 đoạn 0;   3 Ta có  b  1   0;  2a  3 R2 Do hệ có hai nghiệm nên d cắt  C  hai điểm phân biệt  d I,d   R  3m  4m  2 1 f    10; f    3  m m0 Vậy, T  f  z   Với điều kiện A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai giao  1 0;    điểm d  C  , đồng thời P  AB Câu 48: Đáp án A d qua I Ta có P 5  x    16    x  7     3m   m    Xét hai vectơ a   x;16 b  x  7;9 Với m    Khi P  a  b nên P lớn  R   16     d cắt  C  theo dây cung đường kính   a  b  122  25   Câu 50: Đáp án B  2019     Lại a  b  a  b nên P  2019 P  2019    x   16  x   x ™ 67 25 Vậy, P đạt giá trị nhỏ Lại có 17  x  y  xy    17 17 85 51   xy    M  4 4 +) M  2019 Câu 49: Đáp án C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng d 17 17  xy  4 51 x  y x  y    34  x  y  17 y    đường tròn  C  có phương trình LOVEBOOK.VN | 112 Chủ đề 4: Bất đẳng thức +) M  The Best or Nothing 85  x  2 y  x  2 y    34  x  y  17 y    LOVEBOOK.VN | 113 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book LOVEBOOK.VN | 114 Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing LOVEBOOK.VN | 115 ... CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Trong chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thúc thường sử dụng tính chất sau bất đẳng thức: LOVEBOOK.VN | Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best...  ? ?4? ??  x 4y x 4y 4  x 4y  a) Khi x  y  16 81   x y 20 x  y   40  Đẳng thức xảy    x; y    ;   9  x  64 y b) Khi 16 81   x  y  x y 20 x  y   40  Đẳng thức. .. 71 44 11  15    p  x   4x  7 75 x  75 5 12 ? ?4   4x  7  Đẳng thức xảy  75 x   x  (thỏa mãn)  x  Vậy p  x  đạt giá trị nhỏ 11 x  / LOVEBOOK.VN | 10 Chủ đề 4: Bất đẳng thức