7 CUNG và góc LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ngọc huyền LB image marked

The Best or Nothing Chủ đề Vấn đề cần nắm: Bảng phân bố tần số, tần suất Số trung bình cộng, trung vị, mốt Phương sai độ lệch chuẩn CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trong chủ đề tìm hiểu khái niệm đường trịn định hướng, cung, góc lượng giác số cơng thức lượng giác để thực biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số phương trình lượng giác đề cập tới sách Cơng Phá Tốn Ngồi ra, kiến thức chủ đề công cụ quan trọng việc học vật lí sau  §1 Cung góc lượng giác A Lý thuyết Đơn vị đo góc cung trịn a Độ Đường trịn bán kính R có độ dài 2 R có số đo 360° chia đường trịn thành 360 phần, phần có độ dài R 180 ) Vậy cung 1 có độ dài STUDY TIP 2 R  R  có số đo 1 (góc tâm chắn cung 360 180 R 180 ; cung a có độ dài a R 180 b Radian Diện tích: S   R - Cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo radian (cung radian) Chu vi: C  2 R - Góc tâm chắn cung radian gọi góc có số đo radian (góc radian viết tắt rad) Nhận xét: + Cung độ dài R có số đo rad + Đường trịn có độ dài 2 R có số đo 2 rad LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book + Cung có số độ dài l có số đo   rad R + Cung có số đo  rad có độ dài l   R c Liên hệ giữ độ rad 360  2 (số đo đường tròn bán kính R) STUDY TIP Khi viết góc theo đơn vị radian ta không viết chữ rad sau số đo góc Ví dụ: rad  thay cho   180   rad  rad  1   180 180   5717 ' 45'' rad  0, 0175 rad Bảng chuyển đổi số góc lượng giác đặc biệt: Độ Rad 30 45 60 90 120 135 150 180     2 3 5  Ví dụ 1: Một đường trịn có bán kính R  10cm Tìm số đo (rad) cung có độ dài 5cm A B C D 0,5 Lời giải Theo cơng thức tính độ dài cung trịn l ta có:   l   0,5  rad R 10 Đáp án D Ví dụ 2: Cho đường tròn  O; R  ngoại tiếp lục giác ABCDEF Khi số sso cung đường trịn có độ dài chu vi lục giác theo độ rad là: A 360 2 B 360  C 1080  D 1080 6 Lời giải AOB  ABCDEF lục giác   360  60 OA  OB  AOB  AB  OA  R  Chu vi ABCDEF 6R LOVEBOOK.VN | The Best or Nothing  Cung có độ dài 6R có số đo rad rad  180   1080  Đáp án C Cung lượng giác, góc lượng giác số đo chúng a Đường tròn định hướng - Đường tròn định hướng đường trịn mà ta chọn chiều dương, chiều ngược lại chiều âm - Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ chiều âm b Cung lượng giác - Cho hai điểm A, B đường tròn định hướng M chạy đường tròn treo chiều (chiều dương chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên cung  lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Kí hiệu AB c Góc lượng giác - Khi M từ A tới B OM quay từ OA tới OB Ta nói tia OM tạo góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OB Kí hiệu  OA, OB   - Số đo góc lượng giác  OA, OB  số đo cung lượng giác AB  - Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB Nếu OM quay theo chiều dương từ  OA tới OB tạo góc  cung AB có số đo   k 2  k     Kí hiệu: sđ AB Vậy:  Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB    k 2  k     Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB    k 2  k    LOVEBOOK.VN | Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book d Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác đường tròn định hướng tâm O bán kính R  , cắt Ox A 1;0  A '  1;0  ; cắt Oy B  0,1 B '  0,1 Ta lấy A điểm gốc đường trịn e Biểu diện cung lượng giác đường tròn lượng giác - Để biểu diễn cung  , ta xác định điểm M đường tròn lượng giác cho  sđ AM   + Nếu   2   360  , ta chọn điểm M cho  AOM   (theo chiều dương) + Nếu   2 , ta viết     k 2 ta chọn điểm M cho  AOM   Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác M thuộc   AOM  (M thuộc góc phần tư thứ tư) Số đo AM đường trịn cho  giá trị sau đây? A 5 B  C 13 D 11 Lời giải Vì M thuộc góc phần tư thứ IV  AOM  30 nên góc tính theo chiều âm  AOM   theo chiều dương   2     sđ AM    k 2  k    11  k 2  k    11  k 2  k    Vì k   nên có đáp án C thỏa mãn (với k  2 ) Đáp án C Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng):    ;  10 ; LOVEBOOK.VN | The Best or Nothing  5 7 ;  Các cung có điểm cuối trùng là: 3 A   B   C   D   Lời giải    điểm cuối M  10 4   2  điểm cuối M 3  5    2  điểm cuối M 3  7    2  điểm cuối M 3 Đáp án B Ví dụ 3: Cung  có điểm đầu A điểm cuối M số đo  là: A 7  k B 7  k C 7  k 2 D 7  k 2 Lời giải Cung  có điểm đầu A điểm cuối M theo chiều dương có số đo 7  k 2  k    Đáp án D Ví dụ 4: Cho góc lượng giác  OA; OB  có số đo  Trong số sau, số 12 số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc lượng giác  OA; OB  ? A 13 12 B 25 12 C 49 12 D 19 12 Lời giải + 13    ; 12 12 49    4 ; 12 12 LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 + 25     2 ; 12 12 More than a book 19 7   12 12 Đáp án C B Các dạng tốn điển hình Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm tròn đến hàng phần nghìn) A 2,443 B 1,222 C 2,943 D 1,412 Lời giải Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian a  a 70   rad  70    rad  1, 222  rad 180 180 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ Radian: - Sau ấn: Đáp án B rad C 150 Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: A 4744 ' 47 '' B 3733'37 '' D 30 Lời giải  180   180  Cách 1: Dùng công thức: a rad =  a    rad=      6   Chuyển đổi sang độ, phút, giây máy tính Nhập biểu thức 5.180 vào máy tính, sau ấn 6 ta kết A Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ: Sau ẩn: Đáp án A LOVEBOOK.VN | The Best or Nothing Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M cho  AOM  150 Tính  diện tích hình giới hạn điểm O AM là: A 5 (đvdt) B 5 (đvdt) C 5 (đvdt) D 5 (đvdt) 12 Lời giải Diện tích hình trịn lượng giác là: S0   R   (đvdt)   sđ AM  150  k 360  AOM  150   (k  )    sđ AM  360  150  k 360  210  k 360  150 5  360 12  210 7  360 12   + sđ AM  150  Stp   + sđ AM  210  Stp   + sđ AM  360 sđ AM  360  S  5 (đvdt) 12 Đáp án D Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M ; M ; M ; M cho ngũ  giác AM 1M M M ngũ giác đều, sđ AM là: A 27 B 144 C 60 D 120 Lời giải Vì AM 1M M M ngũ giác nên      360  72 AOM  M 1OM  M OM  M 3OM  M OA    sđ AM   AOM   AOM  M 3OM  144 Nếu M , M , M , M xếp theo thứ tự ngược lại, ta có đáp án khơng đổi Đáp án B Ví dụ 5: Trên đường trịn lượng giác, số tập hợp n điểm M , M , , M n thỏa mãn n điểm tạo thành đa giác là: A B C D vơ số LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book Lời giải Để M 1M M n đa giác STUDY TIP Tập hợp n điểm tạo thành đa giác đường tròn lượng giác tập hợp điểm M thỏa mãn:  sđ AM    k 2 k   n      2 M 1OM  M OM  M 3OM   M n 1OM n  M n OM  n  Tập hợp điểm cần tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:  sđ AM    k 2 k   n Vì  góc nên có vơ số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu toán Đáp án D  Ví dụ 6: Trên đường trịn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo 8,18 Hỏi M nằm goác phần tư thứ mấy? A I B II C III D IV Lời giải Ta có: 8,18  2, 6  3  8,18  2,5    4  8,18  1,5  4  M nằm góc phần tư thứ III (M nằm điểm  3 )  Lưu ý: đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo  Với k   ta có: + M nằm góc phần tư thứ k 2    + M nằm góc phần tư thứ hai    k 2      k 2 + M nằm góc phần tư thứ ba   k 2    + M nằm góc phần tư thứ tư  k 2 3  k 2 3  k 2    2  k 2 Đáp án C LOVEBOOK.VN | The Best or Nothing  Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định sđ AM   Gọi M điểm đối xứng M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng cắt  AOD         Cung AM đường trịn D (D có tung độ khơng âm)   có số đo         Khi số đo cung lượng giác AM là: A 2    k 2 B 2    k 2 C     k 2 D     k 2 Lời giải Dễ thấy đường thẳng d trục đối xứng đường tròn nên M đối xứng với M qua d thuộc đường tròn lượng giác STUDY TIP Với M đối xứng với M qua d d cắt  O  D tung độ không âm)  AOD   ; sđ  AM          Thì số sđ  AM  2    k 2 Gọi giao điểm d với  O  D  yD     Vì M đối xứng với M qua d  sđ AM  sđ DM      Ta có: MD  AD  AM  sđ MD      sđ DM         Lại có : AM  AD  DM  sđ AM         2     sđ AM  2    k 2 Đây trường hợp với    90,  có giá trị dương Những trường hợp khác chứng minh tương tự ta có kết Đáp án A Ví dụ 8: Chọn điểm A 1;0  làm điểm đầu cung lượng giác đường trịn lượng giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo 27 A M điểm cung phần tư thứ B M điểm cung phần tư thứ hai C M điểm cung phần tư thứ ba D M điểm cung phần tư thứ tư Lời giải  sđ AM  27 3 3  6   AOM  4 LOVEBOOK.VN | Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book  M điểm cung phần tư thứ hai Đáp án B Ví dụ 9: Một đường trịn bán kính 20cm Tính độ dài cung đường trịn có số đo  (tính gần đến hàng phần trăm) 16 A 3,92 B 3,93 C 24,67 D 24,68 Lời giải Cung có số đo rad có độ dài R  20cm Cung có số đo  16 rad có độ dài là:  16 R  3,93cm Đáp án B Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Khẳng định sai? A Điểm biểu diễn cung  cung    đối xứng qua trục tung B Điểm biểu diễn cung  cung  đối xứng qua gốc tọa độ C Mỗi cung lượng giác biểu diễn điểm D Cung  cung a  k 2  k    có điểm biểu diễn Lời giải Điểm biểu diễn cung  cung  đối xứng qua trục hồnh Đáp án B Ví dụ 11: Cho góc lượng giác có sđ  Ox; Ov     Ox; Ou   5  m2 sđ  n 2  m, n    Chọn khẳng định A Ou Ov đối xứng B Ou Ov vuông góc C Ou Ov trùng D Ou Ov tạo với góc  Lời giải LOVEBOOK.VN | 10 The Best or Nothing Câu 13: Đáp án C Ta có:  BC   sin x  cos x Mà  B  C     sin x  cos x  2 3sin x cos x  sin x  cos x    tan A  tan B  tan C min    A   B C  2  ABC   cos A.cos B.cos C max  Câu 16: Đáp án B  ABC   3sin x cos x   sin 2 x   cos x   1     cos x 4  8  a  ;b  8 cos A  cos B  cos C Câu 17: Đáp án D Câu 14: Đáp án C   cos A  cos B   12   2   sin A  sin B   cos A cos B (bất đẳng thức AM  GM )  Theo hệ thức Vi – et ta có: tan   tan   p; tan  tan   q; cot   cot   r ;cot  cot   s  r.s  cot  cot   cot   cot    1      tan  tan   tan   tan   tan  tan  tan  tan  tan   tan  p   2  tan  tan   q  tan  tan  Câu 15: Đáp án B Ta có:  sin B sin C 1  cos  B  C   cos  B  C  2 1    cos  B  C   cos  B  C      cos A  cos B    cos A cos B  sin A sin B    cos A  cos B   sin A sin B  cos A cos B cos A  cos B   sin A  sin B  t / m Chú ý: Thông thường biểu thức tam giác đạt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) với góc A, B, C có vai trị góc đo Ví dụ:  sin A  sin B  sin C max   ABC tan B sin B cos C  tan C sin C cos B sin B cos C sin B   sin C cos B sin C  cos C sin B  cos B sin C (vì sin B,sin C  )  cos C.sin C  cos B.sin B  sin B  sin 2C B  C  B  2C   B  C   B  C     B  C  A    Dấu "  " xảy  A B 3 Suy ra, ABC cân A ABC vuông A Câu 18: Đáp án A Hệ thức lượng tam giác vuông: a b c    2R sin A sin B sin C  a  R sin A  R sin  B  C  ; b  R sin B; c  R sin C LOVEBOOK.VN | 37 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 Khi thay vào đẳng thức cho ta được: R sin B R sin C R sin  B  C    cos B cos C sin B sin C sin B sin C sin  B  C     cos B cos C sin B sin C sin B cos C  sin C cos B  cos B cos C sin  B  C   sin B sin C sin  B  C  sin  B  C    cos B cos C sin B sin C  cos B cos C  sin B sin C  cos B cos C  sin B sin C   cos  B  C    BC    A  2  ABC vuông A Câu 19: Đáp án B tan A  tan B sin A cos B  sin B cos A  cos A cos B sin A  sin B =2 cos A  cos B Giả thiết  sin  A  B  C  cot cos A cos B C C C 2sin cos cos 2   C cos A cos B sin C  sin  cos A cos B   cos C  cos A cos B   cos  A  B   cos A cos B More than a book   cos A cos B  sin A sin B =2 cos A cos B  cos A cos B  sin A sin B   cos  A  B   A  B  ABC cân C Chú ý: Một số hệ thức tam giác cân: A B a tan A  b tan B   a  b  tan 2 tan B  tan C  tan B tan C C 2sin A sin B  sin C sin B  cos A sin C Câu 20: Đáp án A cot Ta có:  tan x  cot x     tan x  cot x   1  tan x  cot x   Dấu "  " xảy  tan x  cot x  1 Câu 22: Đáp án A Gọi góc  thỏa mãn cos   ;sin   5 Khi f  x    sin x cos   cos x sin   =5sin  x     5  y  3sin x  cos x  5 f  x min   2 sin x  cos x  5  cos x  1 sin x   sin x  cos x  1   1  sin x   6  sin x   4   sin x    a  4; b   ab  24 Câu 21: Đáp án D Ta có: tan x  cot x  tan x  cot x (vì tan x, cot x dấu)  tan x.cot x  (Bđt AM-GM) Dấu "  " xảy  tan x  cot x  tan x  cot x  1   tan x.cot x   tan x  cot x  Khi   tan x  cot x  2 Thế (1) vào (2), giải hệ ta có nghiệm: 3 4 ;cos x  5 12  a  b   ; ab  25 sin x   a, b nghiệm phương trình t  7t 12  0 25 Cách khác: Áp dụng bđt Buniacopxki ta có: LOVEBOOK.VN | 38 The Best or Nothing  3sin x  cos x    32  42  sin x  cos x   25  sin x cos x    sin x  cos x     sin x    f  x  max  cos x      sin x      f  x    cos x     a  A  b; ab  Nếu ab cos x  sin x  12  xảy  3 1  t  nên  t    0 A b Do A  Vậy Amin  * Cách tính giá trị max, hàm số bậc ẩn sin x (hoặc cos x ) dạng at  bt  c ( a  0; t  sin x (với 1  t  ) - Nếu a  A  b; ab  sin x  sin x  2 Khi A  t  4t  Ta có A   t    mặt khác, Ta có: sin x cos x  a b Đặt cos x  t b  A  a a  b Câu 24: Đáp án A Ta có: sin x  Cách giải: a  0,  A  b Câu 23: Đáp án B  cos x  Nhận xét: Với biểu thức dấu giá trị tuyệt đối A, cho a, b hai số thực khác nhau: a b Dấu "  " xảy  cos x  (sai) - Nếu số 0, giả sử Dấu "  " xảy  ""  M  3; m   M  n  a b y  a sin x  b cos x  a, b    Dấu   cos x     1 0 A a Tổng qt: Hàm số ln có y  a  b   cos x  sin x   -  a   ;b   5 cos x  cos x    cos x  sin x    5  3sin x  cos x  Dấu "  " xảy  2  cos x  sin x  t  cos x  t  1) : b  1: 2a  11 11    sin x     2 4     sin x  - Nếu 1  Dấu "  " xảy b , max hàm số đạt 2a đầu mút, đầu mút  sin x  t / m Câu 25: Đáp án C Cách làm sai: + a   hàm số đạt t b hàm số đạt 2a max gần với  LOVEBOOK.VN | 39 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book + a   max hàm số đạt b , hàm số đạt 2a đầu mút, đầu mút gần t với  b hàm số đạt 2a  4  y    y  f  x   sin x   M  4; m   M  m   Câu 27: Đáp án C sin x   sin x x  y Ta có:       nên tồn 3  2 sin a  x  sin x   b®t AM-GM  sin x b   giá trị lớn -Nếu 2a a cho: nhỏ nằm đầu mút, đầu mứt làm cho hàm số lớn đạt max, cịn lại Ví dụ câu 15, hàm số đạt cos a  Khi P  3sin a  cos a  1 sin x  , 1 cách giá trị Vậy P  4 Tổng quát: f  x   sin x  Dấu "  " xảy đạt GTNN:  sin a cos a    3sin a  cos a  5  sin a   ;cos a    t / m  5 + a  a  xa  max hàm số đạt 1 , max A  Còn   , max, câu 16 A đạt sin x   sin x sin x y  sin x  1 t / m   5   P    4  P  Câu 28: Đáp án A Câu 26: Đáp án D Vì tan  , tan  hai nghiệm Xét hàm số y  sin x  3sin x  có  b  1,5  2a Khi hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sin x  1;sin x  1 Với sin x   y  4 Với sin x  1  y   (vì  sin x  ) sin x Dấu ''  '' xảy cos x  1; Amin   cos x  =2  phương trình x  px  q  nên theo định lí Viet, ta có  tan   tan    p   tan  tan   q tan   tan  p  tan        tan  tan  q  Câu 29: Đáp án D a sin x f  x min  sin x  +  a  f  x min  a  sin x  a + 1  a  f  x min   sin x  a Câu 30: Đáp án B Ta có y   cos x  t / m cos   ĐKXĐ: sin x  Hoặc    cos x   cos x LOVEBOOK.VN | 40 The Best or Nothing  cos x    cos x Câu 31: Đáp án A +) Áp dụng câu 25, ta có: m   2  m  2 m2 m2 m2  f  x min   m  m 4 m f  x min   m  5  4m  m  20   m  4m  20  (vô nghiệm) 1  cos15  cos 45  cos 30.cos15 Câu 35: Đáp án D  cos15 2 6  cos15   1 sin  5  a   sin  2.2    a   cos15    Với Câu 34: Đáp án B Vậy không xác định góc  thỏa t  cos15  cos  12 sin 5 7  sin 12 12 Cho 2m    m  (khơng t/m) Ví dụ trên, nhập  sin x  1 sin x  -Với sin x  1  f  x   2m  - sin x   f  x    (không Rồi ấn Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Khi gán cos15  A (để chế 3   3     sin  cos 10 10 Câu 33: Đáp án A       tan   mãn yêu cầu toán Câu 37: Đáp án C Chia tử mẫu cho sin x ta được:  cot x 17 17 A    cot x 15 15 Có thể bấm máy tính tìm góc  cách bấm: Ta góc  , gán vào giá trị A nhập biểu thức t/m) Câu 32: Đáp án B Câu 36: Đáp án D Ấn máy tính ta có kết tương tự 5 7  sin sin  t2 12 12 Hoặc ta bấm máy tính cách tính giá trị t gán vào biến A máy, sau tính biểu thức cần tính đề thử đáp án, đáp án có kết trùng với biểu thức cần tính chọn m   f  x min +) = sin   a   sin a sin A  cos A sin A  cos A độ tính độ), nhập vào hình: kết cần tìm 5 7 sin sin  A  A2 12 12 5 7 sin sin  A2 12 12 Chú ý: sin A viết máy tính  sin  A  , tương tự với cos A, tan A Câu 38: Đáp án D … Khi ta kết đáp án cần tìm LOVEBOOK.VN | 41 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book  3  cos    sin     A  cos  7  x   3sin   x 9          cos    cos  x   sin x 2   cos   x   3cos  x     sin x  sin x  cos    2   cos x  3cos x  2sin x  2sin x  cos x Câu 42: Đáp án C Câu 39: Đáp án B Nhân tử mẫu G với 3cos x sin  cos  ta có: A  sin x  cos x  cot x  cos   3sin  3cos x 2 G    3sin x cos x  cos   sin  4 15 sin x  1  cos    2 2 9  19   3sin x cos x  3sin x cos x  =  8 13 Ấn máy tính: Nhập kiến thức   cos   9 vào máy với x góc bất kì, Câu 43: Đáp án A nhiều gốc kết Ta có tan a   cos a  kết cần tìm Chia tử mẫu cho cos3 a ta Câu 40: Đáp án C Đối chiếu với  có:   A  có góc  thỏa mãn  cot   9 sin   cot    cot   2 mà       cot    cot   2 10 3m  10   m  Vậy có giá trị m để P số  Câu 45: Đáp án A 16 16     33 2 sin x cos x tan x cot x 16    16 cot x 2 sin x cos x  tan x  33 16    16 cot x 2 sin x cos x + 16  tan x   50 32    50 sin x cos x 16    25 sin x cos x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: sin   Để P khơng phụ thuộc vào   tan a  cos a  tan a cos a  tan a   tan a =  tan a  tan a  16   =  288 Câu 44: Đáp án B P  m  sin   cos    sin   cos   12sin  cos  1  tan     cot  2  m 1  3sin  cos    Câu 41: Đáp án C  m   sin  cos   3m  10  2sin  cos   12sin  cos    16 2     sin x  cos x   sin x cos x     1  25  25  16    2  sin x cos x  sin x  cos x  25 Dấu "  " xảy   sin x  cos x sin x cos x Mà  sin x  cos x   5cos x   cos x   (vì  x  ) LOVEBOOK.VN | 42 The Best or Nothing sin x  Câu 49: Đáp án D  (vì  x  ) cos15.cos 45.cos 75 Dùng máy tính ta tìm góc x cos15.cos 75 2 2   cos 60  cos 90    4 Câu 50: Đáp án B    79  Khi ta có: tan  x    4  Câu 46: Đáp án C A sin x  cos x  cos x  2 1  cos x   cos    cos    2 Thử đáp án có đáp án C thỏa mãn Câu 47: Đáp án C  sin a  cos a   sin a  cos a    sin a   cos a  2 sin a  cos a   A  cot 30  cot 40  cot 50  cot 60 Ta có:   cot 30  cot 60    cot 40  cot 50 cos a  cos a  1 1  tan a  1 tan a  tan 2a   tan a  sin a      82  1  8 2 1 1  Vì   a  Nên 1  cos x   sin x      1 1    1  cos3 10  3cos10  cos3 10  3cos10  1   1   12 3   Câu 48: Đáp án D P  sin a  cos a =1-2sin2 a cos a   =1   9 Ta có: cos 30  cos  3.10  7  7  sin 90 sin 90  sin 30.sin 60 sin 40.sin 50 1   cos 30  cos 90 cos10  cos 90 2   cos 30 cos10 cos10.cos 20   cos 20 cos 30.cos10 Câu 51: Đáp án D   1  kh«ng t/m cos a     1  t/m cos a   1    cos a    cos a  2   cos a  cos a   0 sin 2a  cos10 11 nghiệm phương trình x3  x   Câu 52: Đáp án C A  sin a  sin 5a   sin 3a  cos a  cos 5a   cos 3a 2sin 3a cos 2a  sin 3a cos 3a cos 2a  cos 3a sin 3a  cos 2a  1 =  tan 3a cos 3a  cos 2a  1 = LOVEBOOK.VN | 43 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 Câu 53: Đáp án A cos 10  cos 20  cos 30 + + cos 180   cos 10  cos 100    cos 20  cos 110     cos 90  cos 180    sin 100  cos 100    sin 110  cos 110     sin 180  cos 180   1  1   1  9 sè h¹ ng Cách bấm máy: Nhập vào hình biểu thức: 18  cos2 10 X  x 1 Câu 54: Đáp án B A  cos 20  cos 40   cos160  cos180   cos 20  cos160    cos 40  cos140  More than a book  CTTQ là: A   ABC  + Tại B   AC  Thử máy tính thấy khơng thỏa mãn 2018 Nếu 1  sin B sin C  sin  B  C   sin  B  C   1 3  sin  B  C    2    sin  B  C    B  C   cos180  1 Câu 55: Đáp án B B C  B C TH sin B 3cos C 1 sin C cos B  cos C   50  B   80 Giả sử  AC Câu 56: Đáp án A (loại n  1; 2;3;  2n Vậy với n  2018 A     cos80  cos160   cos180 Ta sử dụng cách thử máy tính Thơng thường biểu thức thường có cơng thức tổng qt Khi cơng thức n Vì thử với sin B cos A  cos C 1 1 sin C cos B  cos C  C   cos A  cos B   A B 1  ; 21 1 n2 A  ; 1 n 3 A  ; 1 n4 A  16 n 1 A  5 B C  mà C    C   60 A B thỏa mãn  ABC   VP  + Tại C   A B sin B  C  1 B sin C   ABC Vậy ABC nên không thỏa mãn) Câu 57: Đáp án C  C   60 Dễ thấy  A B đẳng thức cho  loại B III Đề kiểm tra chủ đề Câu 1: Đáp án 15  27    2 ;    2.2 ; 7 7 20     3 7 3 D (vì khơng có dạng Xét ABC cân: k 2  k    nên không thỏa mãn)  C  + Tại A  B Câu 2: Đáp án B LOVEBOOK.VN | 44 The Best or Nothing l  2.20 150 50  360 Câu 3: Đáp án B 3 3 3  l  2 R  R 2 3 R   R  14 3 Câu 4: Đáp án C 18km / h  5m / s  500cm / s  l  R 3.3  3R  số đo cung 3rad Câu 6: Đáp án A 5  180  300 3 Câu 7: Đáp án B 15  15    180 12 Câu 8: Đáp án C Vì ABC vuông A   90  BAC  BC đường kính  O   Chu vi bánh xe 20 cm , suy thời gian quay hết vong bánh xe là: 20  0,12569  s  500 Câu 5: Đáp án B  25  2.12    s® Ox; Oz     tia đối Với k  1  AC  Số điểm M thỏa mãn là: 2 :     BAC    s®BC  BOC    O  có:     60  120  BOH  BC  BH  2.BO.sin BOH  2.BO Có 2   nên xác định  10 (điểm) Câu 10: Đáp án C qua O 5 Câu 12: Đáp án D Câu 9: Đáp án A Gọi AH đường cao  AH     k 2 7 =  k 2  k     AC  Cứ kim giây quay 60 vòng, quay 60.5  300 vòng Sau kim giây quay góc: 360.300  108000 điểm M cách Nhận xét: Số k tăng lên (hoặc giảm đi) đơn vị điểm M trùng với A (bắt đầu từ k  , sau đến k  8; k  16; ; k  8i  i    ) Vậy sau số k đó, M lại bắt đầu chu kì giống cũ Câu 11: Đáp án C  BO  R LOVEBOOK.VN | 45 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book + Nếu M  A  M  A ' khơng có điểm thỏa mãn yêu cầu Câu 21: Đáp án A Câu 18: Đáp án B  tan x 5cot x  Theo đề sin   0;cos    M thuộc góc phần tư thứ II Vậy có điểm M thỏa mãn Câu 13: Đáp án B 25 3   3  4   uOv 7 Câu 14: Đáp án A  3230  350  8.360  uOv  360  350  10 Câu 15: Đáp án D tan  cot     tan  , cot  Câu 19: Đáp án C    3       2    cos       I 2     3 3     2 2    sin       II 2  tan x  5cot x  tan x  5cot x (bất đẳng thức AM-GM) Câu 22: Đáp án C Vì tan  , tan  hai nghiệm phương trình x  px  q  nên theo định lí Viet, ta có  tan   tan   p   tan  tan   q  tan      tan   tan  p   tan  tan   q  P  cos     dấu khoảng xác định      cos       cot      2 2    III sai Câu 16: Đáp án D Câu 20: Đáp án C Giả sử với    sin   0;   x  cos   k  3      cos   n 2   ví i k ch½n     cos  4  n 2    ví i k lỴ      q   p q  q p   1  q   p cos    tan    cot  không xác định Câu 17: Đáp án D + Nếu M không trùng với A A '  có điểm N thỏa mãn yêu cầu tốn (hình vẽ)  1  p.tan      q.tan        p.tan      q.tan      tan      p  p  p  q   1 q  1 q   p  1    1 q  2 1 Câu 23: Đáp án B f  x   cot x tan x    tan x   x  k  2  LOVEBOOK.VN | 46 The Best or Nothing Với x  k  k  Z  cot x  Mà tập giá trị cot x  (với cos x  ) Vậy tập giá trị f  x   tan x  \ 0 Câu 24: Đáp án C  sin x    sin 2016 x    sin 2018 x  sin x 1  cos 2015 x    cos x  cos 2017 x  cos x  sin 2018 x  cos 2017 x  sin x  cos x  Dấu "  " xảy  sin x   sin x    2017   cos x   cos x     sin x  1  cos x    sin 2018 x   cos x   A sin x  A cos x  A  sin x  cos x   cos a  cos a  sin a sin120   A  1 sin x  A  cos x  A   cos a  sin a sin120  2 2   A  A    A  1  A      A2  A  Câu 29: Đáp án B  A2  A   y  A  sin  x  y  cos y  cos  x  y  sin y  A  A 10    sin  x  y  y   sin x      A A  10   Câu 30: Đáp án D   A   Vậy a  b   cos a  cos18  cos 78 Câu 26: Đáp án B  sin 48  cos 42   sin  x    sin x  cos x; 4   a  42  k 360  k      a  42  k 360  k    Vậy giá trị dương nhỏ    sin   x   cos x  sin x 4  cos C   cos  A  B  Câu 27: Đáp án B mãn sin x  0x;sin x  0x Câu 25: Đáp án A  A  sin x  2sin x   3x Điều kiện xác định: D   Dấu "  " xảy (Vì sin x  cos x  sin x    sin x   t/m sin x  Ta có:  2sin  30  sin 48   cos  x    cos x  sin x 4    sin  x    sin x  cos x; 4  Vậy có cặp  sin x, cos x  thỏa  12  12     )  42 Câu 31: Đáp án A  cos A cos B  sin A sin B  42   20 52   1   1   65    13  20 12 20  36 16     65 13 65 65  Câu 32: Đáp án C  tan x  cot x  10  tan x, cot x   tan x.cot x  Câu 28: Đáp án A nghiệm phương trình: M  cos a  cos  a  120  t   t  10t     t    cos  a  120  Vậy có cặp giá trị thỏa mãn LOVEBOOK.VN | 47 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 5  5   Câu 35: Đáp án B  cot   tan  6;5  6;5  More than a book   cot   tan   4r s 2   tan    cos   r  s  h2 Câu 33: Đáp án B 3 tan  cot   tan   cot   sin x cos x   sin x  cos x   sin x  cos x   2  m3  3m  25     1   16  32 Câu 34: Đáp án B  cos x  sin x    cos x sin x   cos x  sin x     cos x  sin x     cos x  sin x   cos x sin x     cos x,sin x nghiệm phương trình: t 1 t2     t  Mà sin x  1 1 ;cos x  4 1   tan x   6 1  sin x  4 4   3  p  4; q   r  s  2r s  4r s r  s2   r  s2   2  r s  2  r  s2   cos    2  r s  r  s2  cos   2 r s (vì cos    Câu 36: Đáp án C sin    sin   cos  A  cos       1    sin   cos   1    1  cos   cos   1   tan    cos  Câu 37: Đáp án A Chia tử mẫu cho sin  có: cot  2 2 sin  A  sin  12  cot  1  cot    cot  1  cot    12  cot  30  60 1   12  4.27 Câu 38: Đáp án D  tan   cot     tan   cot    tan  cot   m2   tan   cot    m  nhọn r  s  0) Câu 40: Đáp án A  4 3sin x  cos x   2 cos x   sin x   2sin x  sin x    cos x   sin x   sin x    sin x  3cos x  cos x   Câu 41: Đáp án B Q  sin x cos3 x  cos x sin x  sin x cos x  cos x  sin x  1  sin x cos x  sin x Câu 42: Đáp án A Với a, b  áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Câu 39: Đáp án D LOVEBOOK.VN | 48 The Best or Nothing A sin x  sin x  2sin x cos x  2sin x cos x  2sin x cos x  sin x  sin x  sin  sin x  sin x  sin x  sin x sin x  sin x  A  sin x  sin x cos x     a  b a   a   sin x  cos x    sin x cos x   a b ab Dấu "  " xảy Câu 45: Đáp án C sin x cos x sin x  cos x   a a ab Khi đó: Xét biểu thức:   sin x cos x      b  a  b  a    sin x cos x     b  a  b  a 1 a  b 1  a  b  a  b 3 Câu 43: Đáp án A Thử với n   sin 1 2  3  2 3 n   sin  sin  sin 4  1 n   sin    sin Thử giá trị n vào đáp án, ta có đáp án A thỏa mãn Câu 44: Đáp án A  1 x x  cos  cos 2 Câu 48: Đáp án B  tan x  tan x 1  tan x  tan x  tan x    tan x  tan x  tan x 1  tan x  1 1   cos x 2 2 tan x.tan x  tan x 1  1  tan x   sin x cos8 x  a3 b sin x  sin x  cos x  cos x        a  a  b  b   A Áp dụng 1 ta có: a a a  tan  tan 2 2 a a   2n 1 tan n 1  2n tan n 2 a  tan a  2n tan n Câu 46: Đáp án A S n  tan a  tan Ta có: R  2 R  p 2  R  R  p  p  2 R 2 (bđt AM – GM)  R 2  S quat   R p2 16  R 2 p   2 16 Dấu "  " xảy  2R   R    Câu 49: Đáp án C sin x  cos x sin x.cos x 2   2sin x cos x sin x tan x  cot x  Câu 47: Đáp án B x cos 1  cos x  cos x   2 2 x  cos 2  R 2 S R  2 Cquat  R  R  2 R 2  S  S Dấu "  " xảy    Câu 50: Đáp án B LOVEBOOK.VN | 49 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book Gọi tiếp tuyến chung hai đường tròn AB, A ' B '  A, A '   I ; R  ; B ', B   J ; R   Từ I kẻ IH  BJ  BH  R1   JH  BJ  BH  R2  R1   Có cos BIJ JH   IJ   60  BJB '  BJI   120  BJI '  120 Dễ thấy  AIA '  BIB  AB '  AB  IH  IJ sin BJH  4 Chiều dài dây là: AB  A ' B ' l  lBMB ' ANA ' 120 240 2  10 360 360 22 8 3  36,89  cm  8 3 LOVEBOOK.VN | 50 The Best or Nothing LOVEBOOK.VN | 51 ... Lớp 10 §2 Giá trị lượng giác cung Công thức lượng giác A Lý thuyết dạng tốn điển hình I Giá trị lượng giác cung α đường tròn lượng giác Trên đường trịn lượng AM có sđ giác, cho cung   AM  ... A Góc lượng giác  Ou; Ov  có số đo dương góc lượng giác tia đầu tia cuối với có số đo dương B Góc lượng giác  Ou; Ov  có số đo dương góc lượng giác  Ou; Ov  có số đo âm  ; u C Hai góc. .. điểm đầu cung lượng giác đường trịn lượng giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo 27? ?? A M điểm cung phần tư thứ B M điểm cung phần tư thứ hai C M điểm cung phần tư thứ ba D M điểm cung phần