THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I HÀM SỐ TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Với hàm số y = f(x), ta có: D = {x | y tồn tại}, D gọi tập xác định hàm số SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Một hàm số y = f(x) gọi tăng hay đồng biến khoảng (a, b) với x1, x2 thuộc khoảng ta có: x1 < x2 f(x1) < f(x2) Một hàm số y = f(x) gọi giảm hay nghịch biến khoảng (a, b) với x1, x2 thuộc khoảng ta có x1 < x2 f(x1) > f(x2) TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D Hàm số y = f(x) gọi hàm chẵn với xD ta có: x D f ( x) f ( x) Hàm số y = f(x) gọi hàm lẻ với xD ta có: x D f ( x) f ( x) NhËn xÐt: Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a trục đối xứng đồ thị y = f(x) với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Y y y Y hàm số Y = F(X) hàm số chẵn TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: Điểm I(a; b) tâm đối xứng đồ thị y = f(x) với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Y y b y Y b hàm số Y = F(X) b hàm số lẻ II HÀM SỐ BẬC NHẤT Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b, a, b số a Cho hàm số: y = ax + b, với a Miền xác định D = Sự biến thiên: hàm số đơn điệu Cụ thể: Với a > 0, hàm số đồng biến Với a < 0, hàm số nghịch biến Bảng biến thiên: Với a > Với a < x - x - + + + y y + - - Đồ thị: đồ thị hàm bậc đường thẳng (d), cần xác định hai điểm thuộc (d) ta có đồ thị (d) Nếu b = 0, đồ thị (d) qua gốc toạ độ O điểm A(1, a) b Nếu b 0, đồ thị (d) qua hai điểm B(0, b) C( , 0) a a>0 C y B a y=ax+b y=ax A O x y B a 0, sang trái p đơn vị p < 0, ta nhận đồ thị hàm số y = a(x p)2 gọi (P1) Tịnh tiến (P1) lên q đơn vị q > 0, xuống q đơn vị q < 0, ta nhận đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c = b2 4ac, p = Đồ thị hàm số bậc hai: đồ thị hàm số Parabol (P) có đỉnh S( b làm trục đối xứng và: 2a Hướng bề lõm lên a > Hướng bề lõm xuống a < Từ đồ thị hàm số bậc hai, ta suy bảng biến thiên: Với a > Với a < b b x x - - + 2a 2a + + y y 4a - 4a Vậy, ta có kết luận: Vậy, ta có kết luận: o Hàm số nghịch biến o Hàm số đồng biến b b khoảng (-; ) khoảng (-;) 2a 2a o Hàm số đồng biến khoảng o Hàm số nghịch biến b b (; +) khoảng (; +) 2a 2a b , ) 2a 4a nhận đường thẳng x = o Khi x=- b hàm số đạt cực tiểu 2a o Khi x=- + - trên b hàm số đạt cực 2a đại b b )=ymax=f()=2a 4a 2a 4a Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai không thực phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax2 mà thực sau: Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S hai điểm A, B đối xứng với qua S Nối ASB để góc thực vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc Ta có trường hợp: Vi a > thì: y y y ymin=f(- (P) B A -/4a O S -b/2a -b/a O O A -b/2a -b/2a x x x S B (P) O x S y -b/2a -b/a S A -b/a -/4a y -b/a -b/2a O -b/a (P) B A S Với a < thì: y -/4a (P) B A B (P) x S -/4a -b/a O (P) -b/2a A B x NhËn xÐt chung: > Parabol cắt trục hoành hai điểm phân biệt = Parabol tiếp xúc với trục hồnh < Parabol khơng cắt trục hồnh B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN Đ1 HM S Dạng toán 1: Tỡm xỏc nh hàm số Phương pháp thực Ta lựa chọn mt hai phng phỏp sau: Phương pháp 1: Tỡm tập D x để f(x) có nghĩa, tức tìm: D = {x | f(x) } Phương pháp 2: Tỡm E ca x f(x) khơng có nghĩa, tập xác định hàm số D = \E Chú ý: 10 Thông thường f(x) cho biểu thức đại số với: ThÝ dơ f ( x ), f ( x ) cã nghÜa f1 ( x ) điều kiện f2 ( x) f2 ( x) f ( x ) cã nghÜa f(x) = k f1 ( x ) (k ) điều kiện f ( x ) f(x) = Tìm tập xác định hàm số: x 1 a y = b y = x 2x x 1 + x 3x Giải a Hàm số xác định khi: x x2 2x x 3 Vậy, tập xác định hàm số D = \{3, 1} b Hàm số xác định khi: x 1 x 1 x 1 x x ( x 1)( x 2) 1 x x 3x x Vậy, tập xác định hàm số D = [1; 1][2; +) Chú ý: ThÝ dô x3 khẳng định hàm số xác định x + x 3 tập D = \{3} Đây lời giải sai phép biến đổi hàm số phép biến đổi tương đương Trong câu a), em học sinh biến đổi hàm số dạng y = Tìm tập xác định hàm số: a y = 3x 2x víi x b y = x x víi x Giải a Hàm số xác định khi: 2 3x x / x< 1 x x / 1 Vậy, tập xác định hàm số D = ; 2 11 b Hàm số xác định khi: x víi x x 3 víi x x 2 x víi x x víi x x Vậy, ta D = Nhận xét: ThÝ dơ Như vậy, thí dụ trên: Ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa biểu thức dấu dạng đơn mẫu số Ở câu b), gặp dạng hàm số hợp Tìm m để hàm số sau xác định đoạn [1; 3]: y = x mx m 15 Giải Hàm số nghĩa khi: 2x2 + mx + m + 15 2x2 + mx + m + 15 (1) Bài toán chuyển việc tìm m để (1) nghiệm với x [1; 3] Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm với x[1; 3] Nghiệm với x = 1, x = 9 m 8 | 2m 17 | 1 2m 17 22 m = 8 | 3m 23 | 1 3m 23 8 m Vậy, với m = 8 điều kiện cần để (1) nghiệm với x [1; 3] Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có: (1) 2x2 8x + 7 1 2x2 8x + 2 2 x x ( x 2) x 2 x x x x Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện đầu Dạng toán 2: Xột s bin thiờn ca hm s Phương pháp thực Ta lựa chọn hai phng phỏp sau: Phương pháp 1: S dng nh ngha Phương pháp 2: Thc hin theo cỏc bc: Bước 1: Lấy x1, x2(a, b) với x1 x2 ta thiết lập tỉ số: f ( x1 ) f ( x2 ) A= x1 x2 Bíc 2: Khi đó: Nếu A > với x1, x2(a, b) x1 x2 hàm số đồng biến (a, b) 12 Nếu A < với x1, x2(a, b) x1 x2 hàm số nghịch biến (a, b) ThÝ dô Khảo sát biến thiên hàm số: a y = f(x) = x + b y = f(x) = x2 + x + Giải a Với x1, x2 x1 x2 ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 3) ( x2 3) A= = =1>0 x1 x2 x1 x2 Vậy, hàm số đồng biến b Với x1, x2 x1 x2 ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 x1 1) ( x22 x2 1) A= = = x1 + x2 + x1 x2 x1 x2 Khi đó: 1 A > suy hàm số đồng biến ( ; +) 2 1 Nếu x1, x2 < A < suy hàm số nghịch biến (; ) 2 Nếu x1, x2 > Chú ý: Với hàm số y = f(x) = ax + b, a 0, thì: Lấy x1, x2 x1 x2 ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) ( ax1 b) ( ax2 b) A= = = a x1 x2 x1 x2 Khi đó: Nếu a > hàm số đồng biến Nếu a < hàm số nghịch biến Với hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c, a 0, thì: Lấy x1, x2 x1 x2 ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) ( ax12 bx1 c ) ( ax22 bx2 c ) A= = x1 x2 x1 x2 b = a(x1 + x2 + ) a Khi đó: a Với a > 0, ta có: 13 Nếu x1, x2 > b A > nên hàm số đồng biến ( 2a b + ) 2a Nếu x1, x2 < b A < nên hàm số nghịch biến 2a b ) 2a b Với a < 0, ta có: (; Nếu x1, x2 > ( b + ) 2a Nếu x1, x2 < (; ThÝ dô b A < nên hàm số nghịch biến 2a b A > nên hàm số đồng biến 2a b ) 2a Khảo sát biến thiên hàm số: a y = f(x) = x3 + 2x + b y = f(x) = x3 + 3x2 + 7x + Giải a Với x1, x2 x1 x2 ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) A = x1 x2 = ( x13 x1 8) ( x23 x2 8) = x1 x2 ( x13 x23 ) (2 x1 x2 ) x1 x2 1 (x1 + x2)2 + ( x12 x22 ) + > 0, x 2 Vậy, hàm số đồng biến b Với x1, x2 x1 x2 ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) ( x13 3x12 x1 1) ( x23 3x22 x2 1) A= = x1 x2 x1 x2 = x12 x22 + x1x2 + = ( x13 x23 ) 3( x12 x22 ) 7( x1 x2 ) = x12 x22 + x1x2 + 3x1 + 3x2 + x1 x2 1 = (x1 + x2)2 + ( x12 x22 ) + 3(x1 + x2) + 2 = 14 1 [(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + ( x12 x22 ) + 2 1 = [(x1 + x2) + 3]2 + ( x12 x22 ) + > 0, x 2 Vậy, hàm số đồng biến = ThÝ dô Khảo sát biến thiên hàm số: x2 x 2x a y = f(x) = b y = f(x) = x 1 3x Giải a Viết lại hàm số dạng: y= + 3(3x 1) Với x1, x2 \{ } x1 < x2 ta có: 3x1 < 3x2 3x1 < 3x2 3(3x1 1) < 3(3x2 1) 5 5 2 > + > + 3(3x1 1) 3(3x2 1) 3(3x1 1) 3(3x2 1) f(x1) > f(x2) Vậy, hàm số nghịch biến \{ } b Viết lại hàm số dạng: y x x 1 Với x1, x2 \{1} phía so với 1, ta có: x1 x x2 x f ( x1 ) f ( x2 ) A x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 1 >0 x1 x2 x1 1 x2 1 Vậy, hàm số đồng biến \{1} x1 x2 ThÝ dô Khảo sát biến thiên hàm số: 15 a y = f(x) = x2 x2 x b y = f(x) = Giải a Với x1, x2 x1 x2 ta có: x12 x22 f ( x1 ) f ( x2 ) A= = x1 x2 x1 x2 = ( x12 2) ( x22 2) ( x1 x2 )( x x 2) 2 = x1 x2 x x22 2 Khi đó: Nếu x1, x2 > A > suy hàm số đồng biến (0; +) Nếu x1, x2 < A < suy hàm số nghịch biến (; 0) b Với x1, x2 x1 x2 ta có: A= x12 x1 x22 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 x2 ( x12 x1 3) ( x22 x2 3) = ( x1 x2 ) x1 x2 x x1 x22 x2 x12 x1 x22 x2 Khi đó: Nếu x1, x2 > 1 A > suy hàm số đồng biến (1; +) Nếu x1, x2 < 1 A < suy hàm số nghịch biến (; 1) ThÝ dô Cho hàm số: ax x2 a Với a = 1, khảo sát biến thiên hàm số (2; +) b Tìm a để hàm số đồng biến (2; +) y = f(x) = Giải Với x1, x2 (2; +) x1 x2 ta có: ax1 ax2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2a x x2 A= = = x1 x2 ( x1 2)( x2 2) x1 x2 a 16 Với a = 1, suy ra: A < với x1, x2(2; +) x1 x2 Vậy, với a = hàm số nghịch biến (2; +) = y0 = (m 1)x0 + 2m 3, m (x0 + 2)m – x0 – – y0 = 0, m x0 x0 2 x0 y0 y 1 Vậy, đồ thị hàm số qua điểm cố định M(–2 ; –1) ThÝ dô Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình: (dm): (m 1)x + (2m 3)y m = Xác định m để: a (dm) qua A(2, 1) b (dm) có hướng lên c (dm)//Ox d (dm) vng góc với đường thẳng (1): 3x + 2y 100 = e (dm) song song với đường thẳng (2): x 2y + 12 = Tìm điểm cố định mà họ (dm) ln qua Giải Ta có: a (dm) qua điểm A(2, 1) điều kiện là: (m 1).2 + (2m 3).1 m = 3m – = m = b (dm) có hướng lên điều kiện là: ab < (m 1)(2m 3) < m < c (dm) song song với Ox điều kiện là: m – = m = d (dm) vng góc với đường thẳng (1) điều kiện là: 3(m 1) + 2(2m 3) = 7m = m = e (dm) song song với đường thẳng (2) điều kiện là: m 2m 4m = m = 2 Giả sử đồ thị hàm số ln qua điểm M(x0 ; y0), ta có: (m 1)x0 + (2m 3)y0 m = 0, m (x0 + 2y0 – 1)m – x0 – 3y0 – = 0, m x0 y0 x0 x0 y0 y 2 Vậy, đường thẳng (dm) qua điểm cố định M(5 ; – 2) ThÝ dô 30 Cho hai hàm số f(x) = (m2 + 1)x g(x) = mx + 2, với m Giải Chứng minh rằng: a Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x) g(x) hàm đồng biến b Hàm số g(x) f(x) hàm nghịch biến a Ta xét: Hàm số f(x) có hệ số a = m2 + > hàm đồng biến Hàm số: f(x) + g(x) = (m2 + 1)x + mx + = (m2 + m + 1)x có hệ số: 1 a = m + m + = m + >0 2 đó, hàm đồng biến Hàm số: f(x) g(x) = (m2 + 1)x (mx + 2) = (m2 m + 1)x có hệ số: 1 a = m m + = m + >0 2 đó, hàm đồng biến b Hàm số: g(x) f(x) = mx + [(m2 + 1)x 4] = (m2 m + 1)x + có hệ số: 3 a = (m m + 1) = m < đó, hàm nghịch biến ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a a Chứng minh với giá trị x0 tuỳ ý cho trước, tìm hai số m n cho f(m) < f(x0) < f(n) b Chứng minh hàm số bậc khơng có giá trị lớn nhỏ Giải a Ta biết với x0 tuỳ ý cho trước, có: x0 < x0 < x0 + Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với a > 0, hàm số đồng biến, đó: f(x0 1) < f(x0) < f(x0 + 1) từ đó, ta chọn m = x0 n = x0 + 31 Trường hợp 2: Với a < 0, hàm số nghịch biến, đó: f(x0 1) > f(x0) > f(x0 + 1) từ đó, ta chọn m = x0 + n = x0 b Giả sử trái lại hàm số có: Giá trị lớn f(x1) ứng với x1 Giá trị nhỏ f(x2) ứng với x2 Theo kết câu a), ln tìm hai số m n cho: f(x1) < f(n) f(x1) giá trị lớn f(x2) > f(m) f(x2) giá trị nhỏ ThÝ dô Giải Cho hàm số y = f(x) = ax, với a a Chứng minh f(kx1) = kf(x1) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) b Các hệ thức câu a) với hàm số: y = g(x) = ax + b, với b hay khơng ? a Ta có: f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm b Ta xét: Với hệ thức: g(kx1) = kg(x1) a(kx1) + b = k(ax1 + b) b0 akx1 + b = akx1 + bk b(k 1) = k = Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) với k = Với hệ thức: g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b) ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b b = 0, loại Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) khụng ỳng Dạng toán 2: Lp phng trỡnh ng thng Phương pháp thực Thực theo bước: ThÝ dơ Giải 32 Viết phương trình y = ax + b đường thẳng: a Đi qua hai điểm A(4, 3) B(2, 1) b Đi qua điểm A(1, 1) song song với Ox a Ta có: A(4, 3) (d): y = ax + b = 4a + b (1) B(2, 1) : y = ax + b 1 = 2a + b (2) Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = 5 Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x b Đường thẳng (d) qua điểm A(1, 1) song song với trục hoành nên có phương trình: y = 1 ThÝ dơ Cho hàm số y = ax 3a a Xác định giá trị a để đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm a) Giải a Đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4) khi: 4 = a.0 3a 3a = 4 a = y Vậy, hàm số có dạng y = x + 4 B Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0) H A | b Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng O Trong OAB vng O, ta có: OA.OB 4.3 1 12 OH = = = 2 2 2 OH OA OB OA OB 3 Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng x 12 Đ3 HM S BC HAI Dạng toán 3: Kho sỏt biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hai Phương pháp thực Dựa lý thuyết phần kiến thức cần nhớ ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = x2 4x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận đồ thị hàm số y = x2 c Giải thích với giá trị m phương trình x2 4x + = m x2 = m có số nghiệm 33 Giải a Ta tính: b = = y=x22 y 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(2, 2), nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: O x + 2 CĐ + + y 2 y=x24x+2 x S Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị A(0, 2), B(4, 2) b Giả sử: y = x2 = f(x + a) x2 = (x + a)2 4(x + a) + = x2 + (2a 4)x + a2 4a + Suy ra: 1 a = 0 2a 2 a a Vậy, ta y = x2 = f(x + 2) Do đó, đồ thị hàm số suy phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái đơn vị c Vì số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x2 4x + y = x2 2, chúng có số nghiệm ThÝ dơ Cho hai hàm số (P1) (P2), biết: x 4x + a Khảo sát vẽ đồ thị hai hàm số (P1) (P2) hệ trục toạ độ b Tìm m để đường thẳng y = m cắt hai đồ thị vừa vẽ (P1): y = x2 + 2x + 3, (P1): y = Giải a Ta có bảng sau: Khảo sát (P1) b = = 2a 4a Bảng biến thiên: 34 Khảo sát (P2) b = = 5 2a 4a Bảng biến thiên: x x + + y CĐ y + -5 + CT Đồ thị: Hoành độ giao điểm (P1) (P2) nghiệm phương trình: x x2 + 2x + = x2 4x + 3x2 12x = 3x(x 4) = x y Khi đó, toạ độ giao điểm là: (P1) S2 E(0, 3) F(4, 5) b Từ đồ thị (P1) (P2), đường thẳng y = m cắt hai đồ thị O x 5 m -5 Vậy, với 5 m thoả mãn điều kiện đầu S1 (P2) ThÝ dô Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x2 2(m 1)x + m a Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số với m = (tương ứng (P0)) Bằng đồ thị tìm x để y 0, y b Viết phương trình đường thẳng qua đỉnh (P0) giao điểm (P0) với Oy c Xác định m để (Pm) Parabol Tìm quĩ tích đỉnh Parabol (Pm) m thay đổi d Chứng tỏ (Pm) qua điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định y Giải a (P0) Với m = ta (P0): y = x2 + 2x (d) B -3 -1 O A x Ta tính: -3 C b = 1 = 4 -4 S 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x - -1 + CT + + y -4 Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm đồ thị A(1, 0), B(-3, 0), C(0, -3) Từ đồ thị suy ra: Cabri3D_Download_212_Win.exe y0 y 3 x 35 b Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A2 + B2 > Vì S(1, 4) C(0, 3) thuộc (d), ta được: A 4B C A B 3B 3 B C C 3B Thay (I) vào (1), ta được: (d): Bx + By + 3B = (d): x y = c Để (Pm) Parabol điều kiện là: (1) A B C 3B (I) + m m 1, m 1 (Pm) có đỉnh Sm( , ) m 1 m 1 Để nhận phương trình quĩ tích đỉnh Parabol (Pm) m thay đổi, ta thực việc khử m từ hệ: m 1 4 y m 1 1 x m x m y x= 2x + y = 4 y y m y 1 y y m 1 Vậy, quĩ tích đỉnh Sm đường thẳng (): 2x + y = d Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà (Pm) ln qua, đó: y0 = (1 + m) x02 2(m 1)x0 + m 3, với m ( x02 2x0 + 1)m + x02 + 2x0 y0 = 0, với m x02 x0 x0 x0 x0 y0 y0 Vậy, họ (Pm) qua điểm cố định M(1; 0) ThÝ dô Giải Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = |x 1|(x + 3) Viết lại hàm số dạng: y=x 1(x + 3) ( x 1)( x 3) nÕu x x x nÕu x y1 y= = (1 x )( x 3) nÕu x x x nÕu x S1 A O B Bảng biến thiên: x x 1 + CT + y y= x2 x + Đồ thị: ta lấy điểm A(3; 0), S(1; 4), B(1; 0) 36 Dạng toán 4: Hm số dạng y = ax2 + bx + c, với a Phương pháp thực Thực theo bước: Bíc 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a Bíc 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần: Phần từ trục hoành trở lên đồ thị (P) Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh (P) qua trục hồnh Bíc 3: Dựa vào đồ thị ta lập bảng biến thiên hàm số y = ax2 + bx + c ThÝ dô Giải Cho hàm số (P): y = x2 + 2x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên, tuỳ theo giá trị m, cho biết số nghiệm phương trình |x2 + 2x 3| = m y y=|x +x3| a Ta tính: y=m b x 1 = 1 = 4 2a 4a 3 4 Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1; 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x 1 + CĐ + + y 4 Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị A(3; 0), B(1; 0) b Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = |x2 + 2x 3| (phần đường đậm) đường thẳng (d): y = m, ta được: Với m < 0, phương trình vơ nghiệm Với m = 0, phương trình có hai nghiệm x = x = 3 Với < m < 4, phương trình có bốn nghiệm phân biệt Với m = 4, phương trình có ba nghiệm phân biệt Với m > 4, phương trình có hai nghiệm phân biệt D¹ng to¸n 5: Lập phương trình Parabol Phương pháp thực Thực theo bước: Bíc 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a Bíc 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c 37 Trong bước ta cần lưu ý điều kiện thường gặp sau: Điểm A(x0, y0) (P) ta nhận điều kiện: y0 = a x02 + bx0 + c (P) có đỉnh S(x0, y0) ta nhận điều kiện: b x0 2a y0 4a (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0 ta nhận điều kiện: a a (hoặc ) y y 0 4a 4a (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) điểm có hoành độ x0 ta nhận điều kiện: a a b (hoặc b ) x x 0 2a 2a (P) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng ta nhận điều kiện: b x0 = 2a Bíc 3: Kết luận ThÝ dô Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết parabol đó: a Đi qua hai điểm M(1; 5) N(2; 8) b Đi qua điểm A(3; 4) có trục đối xứng x = c Có đỉnh I(2; 2) d Đi qua điểm B(1; 6) tung độ đỉnh Giải a Ta có: M(1; 5) (P) = a + b + N(2; 8) (P) = 4a 2b + Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = Vậy, ta (P): y = 2x2 + x + b Ta có: A(3; 4) (P) 4 = 9a + 3b + 38 (1) (2) (1) Trục đối xứng x = b = b = 3a 2a Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = Vậy, ta (P): y = c (2) b = 1 x x + Ta có: b b Đỉnh I(2; 2) Mà đỉnh S ; =2 nên 2a 2a 4a I(2, 2) (P) 2 = 4a + 2b + 2a + b = 2 Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = 4 Vậy, ta (P): y = x2 4x + d Ta có: B(1; 6) (P) = a b Tung độ đỉnh: = = a b2 8a = a b2 = 9a 4a Từ (1) (2) ta có: a b b a b a b a 2 b 9a b 9a ( a 4) 9a a a 16 (1) (2) (1) (2) a b 3 ( P ) : y x x a 16 ( P ) : y 16 x 12 x b 12 Vậy, có hai parabol thoả mãn đề b a a a 16 ThÝ dô Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c a Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C(1; 1) b Có đỉnh I(1; 4) qua điểm D(3; 0) c Có giá trị cực tiểu 1 qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3) Giải a Ta có: A(0; 1) (P): y = ax2 + bx + c 1 = c B(1; 1) (P): y = ax2 + bx + c 1 = a + b + c C(1; 1) (P): y = ax2 + bx + c = a b + c Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 1, b = c = Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2 x b Ta có: (1) (2) (3) 39 D(3; 0) (P): y = ax2 + bx + c = 9a + 3b + c I(1; 4) (P): y = ax2 + bx + c = a + b + c b I(1; 4) đỉnh (P) = b = 2a 2a Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 1, b = c = Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2 + 2x + c Ta có: A(2; –1) (P) –1 = a.22 + b.2 + c B(0; 3) (P) = a.0 + b.0 + c Có giá trị cực tiểu –1 = –1 4a Từ (1), (2) (3) ta có: a = ; b = ; c = Vậy, phương trình (P): y = 2x2 + 6x + (1) (2) (3) (1) (2) (3) C CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VÝ dơ 1: Tìm m để hàm số: x 1 xác định [0; 1) x 2( m 1) x m 2m b y = x 2m xác định (1; 3) 2x m a y = Giải a Điều kiện: x m x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m (x – m)(x – m – 2) x m Vậy, để hàm số xác định [0; 1) {m ; m + 2} [0; 1) m m 2 m 1 m m m 1 m b Điều kiện: x 2m x 2m m 2 x m x Để hàm số xác định (1; 3) (1; 3) tập (*), tức là: m < 2m m = 2 40 (*) Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu Cho a , xác định tất hàm số f(x) cho: f(a x) = f(x), với x VÝ dô 2: Giải a a a t suy t = x a x = + t Khi đó: 2 a a (1) f( + t) = f( t), t 2 a a Đặt g(t) = f( + t), suy g(t) = f( t) Khi đó: 2 (2) g(t) = g( t), t g(t) hàm chẵn a Vậy hàm số f(x) = g(x ) với g(x) hàm chẵn tuỳ ý (1) Đặt x = (2) VÝ dô 3: Cho ba đường thẳng: (d1): y = 2x 1, (d2): y = x, (d3): y = ax + Xác định a để ba đường thẳng đồng quy, vẽ đồ thị ba đường thẳng hệ trục toạ độ Giải Để (d1), (d2), (d3) đồng quy (d3) phải qua giao điểm (d1) (d2) Hoành độ giao điểm (d1) (d1) xác định bởi: 2x – = – x x = y = Do đó, giao điểm (d1) (d2) điểm M(1 ; 1) Lại có, M (d3) suy ra: = a.1 + a = – Vậy, với a = – 2, ba đường thẳng cho đồng quy điểm M(1; 1) Học sinh tự vẽ hình VÝ dơ 4: Giải Xác định a, b, c cho biết parabol y = ax2 + bx + c qua điểm A(8, 0) có đỉnh I(6, 12) Ta có: A(8, 0) (P) = 64a + 8b + c Đỉnh I(6, 12) (P) 12 = 36a + 6b + c b Đỉnh có hoành độ = b = 12a 2a Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 3, b = 36, c = 96 Vậy, ta (P): 3x2 36x + 96 (1) (2) (3) 41 VÝ dô 5: Cho hàm số y = ax2 + bx + c, a Chứng minh đồ thị hàm số b nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng 2a Giải Với phép biến đổi toạ độ: b b X x x X 2a 2a Y y y Y hàm số có dạng: 2 b b b b Y = a X + b X + c = a X + b X + c 2a 2a 2a 2a b b b = a X X + b X +c a a a b2 b2 – + c hàm số chẵn với a, b, c 4a 2a b Vậy, hàm số nhận đường thẳng x = – làm trục đối xứng 2a = aX2 + Cho hàm số (P): y = x2 + 2x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 2|x| + m = y Giải S a Ta tính: A b = = O x 2a 4a y=m Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1; 1), nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề y= x2 + x lõm xuống Bảng biến thiên: x + CT y Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị O(0; 0), A(2; 0) b Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = x2 + 2x (phần đường đậm) đường thẳng (d): y = m, ta được: Với m > 1, phương trình vơ nghiệm Với m = 1, phương trình có hai nghiệm x = 1 x = VÝ dô 6: 42 Với < m < 1, phương trình có bốn nghiệm phân biệt Với m = 0, phương trình có ba nghiệm phân biệt Với m < 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt VÝ dơ 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng song song với Oy Giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy x = a (a 0) Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Y y y Y hàm số Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 hàm số chẵn Ta có: Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 = X4 + (4 + 4a)X3 + (6a2 + m + 12a)X2 + (4a3 + 12a2 + 2ma)X + a4 + ma2 + 3a3 Hàm số (1) chẵn (1) 4a 12a 2ma m a a Vậy, với m = hàm số nhận đường thẳng x = –1 làm trục đối xứng VÝ dô 8: Cho hàm số: x ( m 4) x 2m y= x2 Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng Giải Điểm I(2; 1) tâm đối xứng đồ thị với phép biến đổi toạ độ: X x x X Y y y Y 1 hàm số sau hàm lẻ 2( X 2) ( m 4)( X 2) 2m X ( m 3) X Y+1= Y= X X Để hàm số hàm lẻ điều kiện là: m + = m = 3 Vậy, với m = 3 thoả mãn điều kiện đầu VÝ dô 9: Cho hàm số: 43 y = x3 3mx2 + 3(m2 1)x + m2 (Cm) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ Giải Hai điểm: A(xA, yA) với yA = x 3A 3m x A2 + 3(m2 1)xA + m2, B(xB, yB) với yB = x 3m x + 1)xB + (2) thuộc đồ thị hàm số Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ (3) x A xB y A y B (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được: 3m x A2 = m2 Để tồn hai điểm A B phương trình (5) phải có nghiệm Do < x A2 nên: B B 3(m2 m 1 m2 0< 3m 0 m Vậy, với m < 1 < m < thoả mãn điều kiện đầu 44 (1) m2, (5) ... O S -b/2a -b/a O O A -b/2a -b/2a x x x S B (P) O x S y -b/2a -b/a S A -b/a -? ??/4a y -b/a -b/2a O -b/a (P) B A S Với a < thì: y -? ??/4a (P) B A B (P) x S -? ??/4a -b/a O (P) -b/2a A B x NhËn xÐt chung:... (d) B -3 -1 O A x Ta tính: -3 C b = 1 = 4 -4 S 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x -? ?? -1 +... đỉnh S hai điểm A, B đối xứng với qua S Nối ASB để mét gãc råi thùc hiƯn vÏ ®êng cong parabol lùon theo đường góc Ta có trường hợp: Với a > thì: y y y ymin=f (- (P) B A -? ??/4a O S -b/2a -b/a
Ngày đăng: 11/12/2021, 20:24
Xem thêm:
