Thuật toán xác định mật độ giao thông đối với bài toán LWR không thuần nhất với điều kiện biên hỗn hợp

Bài toán về việc xác định mật độ giao thông đóng vai trò là một trong những nhân tố chính đối với hệ thống giao thông thông minh với mục tiêu là dự báo sự ùn tắc cho mỗi tuyến đường. Bài toán này đặt ra yêu cầu nghiên cứu sự dịch chuyển của các phương tiện trên một đoạn đường được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, mô hình toán học của bài toán mô tả luồng giao thông thông qua mối quan hệ giữa lưu lượng, mật độ và vận tốc trung bình của phương tiện giao thông.

TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73 AN ALGORITHM FOR TRAFFIC DENSITY DETERMINATION FOR NON HOMOGENEOUS LWR PROBLEM WITH THE MIXED BOUNDARY CONDITION Nguyen Dinh Dung TNU - University of Information and Communication Technology THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 14/9/2021 Ngày hoàn thiện: 05/11/2021 Ngày đăng: 08/11/2021 TỪ KHÓA Intelligent traffic Conservation laws Traffic flow Difference scheme Numerical algorithms TÓM TẮT In last few decades, it is observed that urban transport faces several problems due to rapid urbanization and motorization Therefore, it is necessary to develop a sustainable transport system The promotion of Intelligent Transportation System is one of the measures to minimize inconvenience of congested roads and raising the level of service of the roads Traffic flow broblem plays a pivotal role in predicting the onset of traffic congestion This broblem can be defined as the study of how the vehicles move between origin and destination, mathematical models have been built which study the consistent behavior between the traffic streams via relationships such as flow, density and the mean velocity, traffic flow was represented using a first order partial differential equation and was based on a hyperbolic system of conversation laws In this paper, we consider one- nonhomogeneous equation Lighthill Witham Richards (LWR) model combined with the mixed boundary condition and designing an algorithm to solve this problem THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH MẬT ĐỘ GIAO THƠNG ĐỐI VỚI BÀI TỐN LWR KHƠNG THUẦN NHẤT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Nguyễn Đình Dũng* Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông - ĐH Thái Nguyên ARTICLE INFO Received: 14/9/2021 Revised: 05/11/2021 Published: 08/11/2021 KEYWORDS Giao thơng thơng minh Định luật bảo tồn Lưu lượng giao thơng Lược đồ sai phân Thuật tốn số ABSTRACT Trong thập kỷ gần đây, ngành giao thông đô thị quốc gia phải đối mặt với nhiều khó khăn trước gia tăng nhanh chóng phương tiện giao thơng đường Vì vậy, phát triển hệ thống giao thơng bền vững yêu cầu cấp thiết đặt ra, thúc đẩy phát triển hệ thống giao thơng thông minh mục tiêu cần đạt nhằm giảm thiểu ùn tắc nâng cao chất lượng phục vụ lĩnh vực giao thơng đường Bài tốn việc xác định mật độ giao thơng đóng vai trị nhân tố hệ thống giao thông thông minh với mục tiêu dự báo ùn tắc cho tuyến đường Bài toán đặt yêu cầu nghiên cứu dịch chuyển phương tiện đoạn đường xác định điểm đầu điểm cuối, mơ hình tốn học tốn mơ tả luồng giao thơng thông qua mối quan hệ lưu lượng, mật độ vận tốc trung bình phương tiện giao thơng Dựa định luật bảo tồn luồng, tốn thực tiễn dẫn tốn phương trình đạo hàm riêng cấp dạng hyperbolic Trong báo này, chúng tơi xét tới tốn phương trình LWR không với điều kiện biên hỗn hợp xây dựng thuật tốn tìm nghiệm xấp xỉ cho toán DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5050 Email: dungnd@tnu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 67 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73 Giới thiệu Bài toán xác định mật độ giao thơng lần mơ hình hố tác giả LighthillWhitham-Richards vào năm 1955, 1956 Các kết [1], [2] mơ tả mơ hình toán sau: Ký hiệu mật độ phương tiện giao thơng vị trí x đoạn đường thời điểm t u ( x, t ) , đơn vị tính số phương tiện đơn vị độ dài quãng đường; lưu lượng xe vị trí x , thời điểm t Q( x, t ) , xác định số lượng xe qua vị trí x , thời điểm t , có đơn vị tính số lượng xe đơn vị thời gian Bài tốn đặt tìm mật độ giao thông quãng đường x = x2 − x1 Áp dụng định luật bảo toàn luồng, ta có phương trình sau:  u ( x, t )dx = Q( x1 , t ) − Q( x2 , t ) t x1 (1)  u ( x, t ) Q( x, t )  +  dx =0 t x  x1 (2) u ( x, t ) Q( x, t ) + =0 t x (3) x Hay viết: x2   Từ (2), ta suy ra: Trong đó, Q( x, t ) hàm phụ thuộc vào mật độ vận tốc phương tiện, tức Q( x, t ) = Q(u, v(u )) v(u ) vận tốc phương tiện phụ thuộc vào mật độ phương tiện giao thông, Q(u, v(u )) v(u ) hàm liên tục, mơ hình Greenshields [3], vận tốc  đại lượng phụ thuộc tuyến tính vào mật độ xác định v(u ) = vmax 1 −  u   Ở đây, umax  umax , vmax giới hạn mật độ tối đa vận tốc tối đa cho phép lưu thông quãng đường xét Tại điểm đầu cuối đoạn đường, hàm mật độ thoả mãn điều kiện biên Dirichlet Cụ thể, xét tốn đối phương trình (3) đoạn đường có chiều dài l = b − a , ta cần xác định u ( x, t ) thoả mãn (3) với ( x, t )  T = a  x  b ;  t  T  thoả mãn điều kiện đầu, điều kiện biên: u ( x,0) = g ( x) , a  x  b , u(a, t ) = g a (t ); u(b, t ) = gb (t )  t  T , (4) (5) Hiện có nhiều cơng trình nghiên cứu xây dựng mơ hình tính tốn tìm lời giải cho tốn phương trình (3) nhiều góc độ, giả thiết từ đưa mơ hình tốn học khác phương pháp tìm nghiệm tốn tuỳ thuộc vào mơ hình thiết lập M O Gani [4] sử dụng lược đồ sai phân Lax-Friedrichs để tìm nghiệm tốn (3)(5), phương pháp hội tụ với điều kiện vmax t bước lưới thời gian t  , x bước lưới không gian, x Trong trường hợp hàm lưu lượng mô tả hàm Moskowitz thoả mãn điều kiện Hamilton-Jacobi [5] nghiệm tốn phương trình (3) hồn tồn tìm nhờ công thức Lax-Hopf [5] http://jst.tnu.edu.vn 68 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73 Năm 2013, Wen-Long Jin [6] nghiên cứu mô hình hố tốn phương trình (3) xét trường hợp nhiều đường, với giá trị mật độ điểm đầu, điểm cuối đoạn đường thoả mãn điều kiện entropy [6] Nahid Sultana [7] đề xuất phương pháp sai phân tiến sai phân trung tâm tìm nghiệm số tốn (3)-(5) vận tốc hàm phụ thuộc tuyến tính vào mật độ Năm 2018, Michael Burger [8] xét toán mơ hình Lighthill-Whitham-Richards có trễ đưa lược đồ sai phân Lax-Friedrichs tìm nghiệm tốn (3)-(5) Khi xét tới tốn tìm mật độ có tính đến đoạn đường xảy ùn tắc, vị trí tắc nghẽn (“nút thắt cổ chai”) làm giảm vận tốc phương tiện, Gabriella Bretti cộng [9] mơ hình hố tốn đưa hai thuật tốn tìm nghiệm số, bao gồm lược đồ sai phân WFT-ODE nửa rời rạc lược đồ sai phân Godunov-ODE-FS, hội tụ lược đồ chứng minh minh hoạ cụ thể kết tính toán số Gần đây, Thibault Liard [10] tiếp tục phát triển kết [4] đưa mô hình tốn Riemann - Cauchy Trong có mơ tả mối liên hệ lượng nhiên liệu tiêu thụ hàm phụ thuộc vào tốc độ đặt mục tiêu tốn tìm vận tốc cho lượng nhiên liệu tiêu thụ nhỏ Mơ hình tốn học Từ mơ hình tốn học cơng bố trước đó, chúng tơi xét tốn cụ thể sau: Cho số a, b với a  b Chiều dài đoạn đường l = b − a Trên tuyến đường, chúng tơi mở rộng tốn (3) vế phải đại lượng khác khơng trường hợp có sai số mơ hình với điều kiện biên hỗn hợp, tức nghiệm toán thoả mãn điều kiện biên hàm điều kiện biên đạo hàm Bài toán cụ thể sau: u (Q) Lu  + = f ( x, t ) , ( x, t ) T (6) t x u ( x,0) = g ( x) , a  x  b (7) u (a, t ) = g a (t ); u (b, t ) = gb (t ) ,  t  T t (8) Trong đó, g(x) mật độ giao thông thời điểm đầu; ga(t) mật độ điểm vào a; gb(t) mô tả biến động theo thời gian mật độ điểm b; Q( x, t ) = Q(u, v(u )) Lược đồ sai phân 3.1 Lưới sai phân xấp xỉ đạo hàm Chọn hai số nguyên N  , M  đặt: b−a ; xi = a + ix; i = 0,1, 2, , N N T t = ; t j = j.t ; j = 0,1, 2, , M M Ta chia miền QT thành ô đường thẳng x = xi , t = t j , điểm (xi , t j ) gọi x = nút ký hiệu (i , j ) Mục tiêu phương pháp tìm nghiệm gần toán nút (i , j ) , và: x gọi bước lưới không gian t gọi bước lưới thời gian Tập tất nút (i , j ) tạo thành lưới sai phân miền: T = a  x  b ;  t  T  http://jst.tnu.edu.vn 69 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73 Sau ta xấp xỉ đạo hàm đạo hàm lưới Q Q ( xi +1 , t j ) = Q ( xi , t j ) + h ( xi , t j ) x  2Q + ( xi , t j ) x + O ( x)3 x Q ( xi −1 , t j ) = Q ( xi , t j ) − x (9) Q ( xi , t j ) x (10)  2Q + ( xi , t j )x + O (x)3 2 x Từ (9), (10) suy ra: Q( xi +1 , t j ) − Q( xi −1 , t j ) 2x = Q ( xi , t j ) + o(x ) x (11) Có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phương án khác để thay toán vi phân toán sai phân Sau chúng tơi thiết kế lược đồ sai phân tìm nghiệm xấp xỉ lưới sai phân 3.2 Lược đồ sai phân j Bài tốn đặt tìm nghiệm gần ui  u ( xi , t j ) Xấp xỉ đạo hàm ta có: u ( xi , t j +1 ) − u ( xi , t j ) Q( xi +1 , t j ) − Q( xi −1 , t j ) u Q (12) ( xi , t j ) + ( xi , t j ) + o(t + x ) t 2x t x j j j Đặt Qi  Q( xi , t j ) , vi  v(u ( xi , t j )) , ui  u ( xi , t j ) ta đưa (12) toán sai phân sau: + = uij +1 − uij Qi +j − Qi −j + = f ( xi , t j ) ; i = N − 1, j = M − t 2x t j +1 j j j Đặt  = (12) viết thành: ui = ui −  (Qi +1 − Qi −1 ) +  f ( xi , t j ) 2x (13) (14) Đến đây, ta xấp xỉ: uij = j (ui −1 + uij+1 ) (15) Kết hợp (14), (15) với điều kiện đầu điều kiện biên, ta có tốn sai phân: uij +1 = ( (uij−1 + uij+1 ) − 2 (Qij+1 − Qi −j ) ) + t f ( xi , t j ) ; i = N − 1, j = M − ui0 = g ( xi ) i = N − u = g a (t j ), u = u j j N j −1 N (16) (17) + tgb (t j ); j = M (18) Từ (16) ta thấy, xuất phát từ nút lưới sai phân lớp (j=0), ta tính nghiệm xấp xỉ nút lưới thứ (j=1), từ lớp thứ tính nghiệm nút kết hợp với điều kiện cho biên, ta tính nghiệm xấp xỉ nút lưới lớp thứ hai,… kết hợp nghiệm xấp xỉ tính lớp thứ M-1 điều kiện biên ta tính nghiệm xấp xỉ lớp thời gian T Định lý sau rằng, lược đồ sai phân (16)-(18) ổn định hội tụ Định lý: http://jst.tnu.edu.vn 70 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73  Q  x lược đồ sai phân (16)-(18) ổn định hội tụ : x  a, b  , t   0, T    u  t cấp t cấp hai x Nếu sup  Một số kết tính tốn Trong mục này, chúng tơi thực số tính toán thử nghiệm để kiểm tra lý thuyết hội tụ thuật tốn trình bày mục Sau số kiện cho trước để tính tốn cho lược đồ sai phân: Hàm vận tốc hàm phụ thuộc mật độ có dạng:  u  v = vmax 1 −  u max   Hàm lưu lượng: Q = uv(u ) Hàm phải f ( x, t ) =  2t ( x − b)   umax  + 1   x − b + vmaxt  T (b − a)   T (b − a)   Mật độ thời điểm ban đầu u ( x,0) = g ( x) = umax   Mật độ cửa vào u (a, t ) = umax 1 − Biến động mật độ cửa t T  ,  u (b, t ) = x  Với kiện này, ta có mật độ xác (nghiệm đúng) u = umax 1 −  t (b − x)   T (b − a )  vmax t vận tốc v = (b − x) T (b − a ) Ta giải thiết a=0; b=2 km; T=1 giờ; umax=120 xe/km; vmax=80 km/h;  Sai số tính tốn xác định Err = max uij − u ( xi , t j )  Với kiện cho trên, ta có Q = v 1 − 2u  , sup( J ) = vmax max u u  umax  Để trình lặp ổn định hội tụ bước lưới phải thỏa mãn t 1  = = 0.0125 x vmax 80 Bảng Kết tính tốn lược đồ sai phân Lax-Friedrichs N x (Km) M 20 20 20 20 20 20 500 1000 5000 10000 20000 50000 t (Giờ) 0,1000 0,1000 0,1000 0,1000 0,1000 0,1000 0,00200 0,00100 0,00020 0,00010 0,00005 0,00002 Err (xe) Inf 105,9528 57,5254 29,6553 13,7533 5,1550 t , sai số gặp phải  x vmax lớn, q trình tính tốn khơng ổn định, thuật tốn khơng hội tụ Bắt đầu từ hàng thứ bảng 1, Từ bảng ta thấy, với trường hợp N=20, M=100 http://jst.tnu.edu.vn 71 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73 cho M tăng dần từ 1000 đến 50000 ta nhận thấy điều kiện lặp đảm bảo ổn định hội tụ, sai số giảm dần từ 105.9528 đến 5.1550 Kết cho thấy tính tốn thực nghiệm hồn tồn phù hợp với lý thuyết đưa Độ phức tạp tính tốn O(M.N) Các đồ thị minh họa cho kết tính tốn thể hình 1, hình 2, hình hình Hình Đồ thị mật độ giao thơng xấp xỉ Hình Đồ thị nghiệm Hình Đồ thị sai số Hình Đồ thị nghiệm xấp xỉ nghiệm thời điểm sau đồng hồ (N=20,M=50.000) Ở đồ thị Hình 4, đường nét – nghiệm đúng, đường nét * nghiệm xấp xỉ (mật độ tính tốn thời điểm sau đồng hồ) Kết luận Trong báo này, thiết kế lược đồ sai phân tìm mật độ giao thơng cho tốn khơng với điều kiện biên hỗn hợp Chúng chứng minh lược đồ sai phân ổn định hội tụ với độ xác cấp bước lưới thời gian cấp hai bước lưới không gian đặt điều kiện giới hạn tỷ số bước lưới Các kết tính tốn theo lược đồ sai phân thực môi trường Matlab 2014, kết số khẳng định hội tụ phương pháp phù hợp với lý thuyết đưa báo TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] M Herty, A Klar, and A K Singh, “An ODE traffic network model,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 203, pp 419-436, 2007 [2] A Salaam and A AIkhazraji, “Traffic Flow Problem with Differential Equation,” AL-Fatih Journal, vol 35, pp 39-46, 2008 [3] M H Holmes, Introduction to the Foundations of Applied Mathematics, Springer-Verlag New York, 2009 http://jst.tnu.edu.vn 72 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(16): 67 - 73 [4] M O Gani, M M Hossain, and L S Andallah, “A finite difference scheme for a fluid dynamic traffic flow model appended with two point boundary condition,” J Bangladesh Math Soc (ISSN 16063694), vol 31, pp 43-52, 2011 [5] E S Canepa and C G Claudel, "Exact solutions to traffic density estimation problems involving the Lighthill-Whitham-Richards traffic flow model using Mixed Integer Programming,” 15th International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems, 2012, pp 832-839 [6] W -L Jin, “A multi-commodity Lighthill-Whitham-Richards model of lane-changing traffic flow,” Procedia - Social and Behavioral Sciences 80, 2013, pp 658-677 [7] N Sultana, M Parvin, R Sarker, and L S Andallah, “Simulation of Traffic Flow Model with Traffic Controller Boundary,” International Journal of Science and Engineering,” International Journal of Science and Engineering, vol 5, no 1, pp 25-30, 2013 [8] M Burger, S Găottlich, and T Jung, Derivation of a first order traffic flow model of Lighthill-Whitham-Richards type,” IFAC Papers OnLine, vol 51, no 9, pp 49-54, 2018 [9] G Bretti, E Cristiani, C Lattanzio, A Maurizi, and B Piccoli, “Two algorithms for a fully coupled and consistently macroscopic PDE-ODE system modeling a moving bottleneck on a road,” Mathematics in Engineering, vol 1, no 1, pp 55-83, 2019 [10] T Liard, R Stern, and M L D Monache, “Optimal driving strategies for traffic control with autonomous vehicles,” Preprints of the 21st IFAC World Congress (Virtual) Berlin, Germany, pp 5396-5403, 2020 http://jst.tnu.edu.vn 73 Email: jst@tnu.edu.vn ... vế phải đại lượng khác khơng trường hợp có sai số mơ hình với điều kiện biên hỗn hợp, tức nghiệm toán thoả mãn điều kiện biên hàm điều kiện biên đạo hàm Bài toán cụ thể sau: u (Q) Lu  + = f... (b − a)   Mật độ thời điểm ban đầu u ( x,0) = g ( x) = umax   Mật độ cửa vào u (a, t ) = umax 1 − Biến động mật độ cửa t T  ,  u (b, t ) = x  Với kiện này, ta có mật độ xác (nghiệm... (mật độ tính tốn thời điểm sau đồng hồ) Kết luận Trong báo này, thiết kế lược đồ sai phân tìm mật độ giao thơng cho tốn khơng với điều kiện biên hỗn hợp Chúng chứng minh lược đồ sai phân ổn định