Đang tải... (xem toàn văn)
(NB) Ebook Bài giảng chuyên sâu Toán 12 do Trần Đình Cư biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn lý thuyết, tổng hợp các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao của Toán 12. Nội dung chính của ebook có 813 trang được chia làm 3 phần. Phần 3 - Hình học, gồm có: Khối đa diện và thể tích khối đa diện; nón - trụ -cầu và phương pháp tọa độ trong không gian. Mời các bạn tham khảo!
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A LÍ THUYẾT I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP Khối lăng trụ phần không gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi… hình đa diện tương ứng d Miền Điểm N Điểm M Ví dụ - Các hình khối đa diện: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 576 - Các hình khơng phải khối đa diện: Hình a Hình b Hình c Giải thích: Hình a khơng phải hình đa diện tồn cạnh khơng phải cạnh chung hai mặt; Hình b khơng phải hình đa diện có điểm đặc biệt hình, điểm khơng phải đỉnh chung hai đa giác; Hình c khơng phải hình đa diện tồn cạnh cạnh chung bốn đa giác III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ¢ xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , phép biến hình biến điểm M thành điểm M ¢ cho MM ¢ = v Kí hiệu T v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) phép biến hình biến điểm thuộc ( P ) thành nó, biến điểm M khơng thuộc ( P ) thành điểm M ¢ cho ( P ) mặt phẳng trung trực MM ¢ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình ( H ) thành ( P ) gọi mặt phẳng đối xứng ( H ) c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ¢ cho O trung điểm MM ¢ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành O gọi tâm đối xứng ( H ) d) Phép đối xứng qua đường thẳng D là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng D thành nó, biến điểm M khơng thuộc D thành điểm M ¢ cho D đường trung trực MM ¢ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 577 Nếu phép đối xứng qua đường thẳng D biến hình ( H ) thành D gọi trục đối xứng ( H ) Nhận xét Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ¢) , biến đỉnh, cạnh, mặt ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng ( H ¢) Ví dụ:Cho hình lập phương ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ Khi đó: Các hình chóp A A ¢B ¢C ¢D ¢ C ¢ A BCD (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A ¢B ¢C ¢D ¢ biến thành hình chóp C ¢ A BCD ) Các hình lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ AA ¢D ¢ BB ¢C ¢ (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng ( AB ¢C ¢D ) hình lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ biến thành hình lăng trụ AA ¢D ¢ BB ¢C ¢ ) A D C B A D C B O A' B' A' D' C' B' D' C' Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện đa diện IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) cho ( H1 ) ( H ) khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) Khi ta nói ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) để khối đa diện ( H ) Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , xét hai khối chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 578 Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm chung (tức khơng tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại) Hợp hai khối chóp S ABC S ACD khối chóp S ABCD Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay hai khối chóp S ABC S ACD ghép lại thành khối chóp S ABCD Ví dụ Cắt khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ mặt phẳng ( A ¢BC ) Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai khối đa diện Nếu ta cắt khối chóp chóp A ¢BCB ¢ A ¢BCC ¢B ¢ A ¢A BC A ¢BCC ¢B ¢ mặt phẳng ( A ¢B ¢C ) ta chia khối chóp A ¢BCC ¢B ¢ thành hai khối A ¢CC ¢B ¢ Vậy khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ chia thành ba khối tứ diện A ¢A BC , A ¢BCB ¢ A ¢CC ¢B ¢ MỘT SÔ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG +) Kết 1: Một khối đa diện có mặt +) Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh +) Kết 3: Cho H đa diện mà tất mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt H lẻ p phải số chẵn +) Kết 4: Cho H đa diện có m mặt, mà mặt đa giác có p cạnh Khi số cạnh H c pm +) Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Trang 579 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 +) Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện +) Kết 7: Mỗi đỉnh đa diện đỉnh chung cạnh +) Kết 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung cạnh số đỉnh phải số chẵn Tổng quát: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng đỉnh số chẵn +) Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh +) Kết 10: Không tồn hình đa diện có cạnh +) Kết 11: Với số nguyên k tồn hình đa diện có 2k cạnh +) Kết 12: Với số nguyên k tồn hình đa diện có 2k cạnh +) Kết 13: Khơng tồn hình đa diện có +) Số mặt lớn số cạnh; +) Số đỉnh lớn số cạnh +) Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Điều kiện để hình hình đa diện – khối đa diện Phương pháp giải Hình đa diện hình tạo Ví dụ: số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: Các hình khối đa diện : +) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung +) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Các hình khơng phải khối đa diện: Bài tập Bài tập 1: Cho hình sau Hình khơng phải hình đa diện Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 580 A Hình (a) B Hình (b) C Hình (c) D Hình (d) Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng tính chất hình đa diện: Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt; Hai mặt có đỉnh chung, có cạnh chung, khơng có điểm chung Hình d vi phạm quy tắc: có cạnh cạnh mặt Bài tập 2: Trong hình đây, hình hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Hướng dẫn giải Chọn C Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại A Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại B Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại D Hình hình đa diện thỏa mãn khái niệm hình đa diện Dạng Xác định số đỉnh, cạnh, mặt khối đa diện Phương pháp giải Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Ví dụ: Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự Hình sau có 11 đỉnh, 20 cạnh, 11 mặt gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 581 Bài tập Bài tập Số mặt hình đa diện hình vẽ ? A 11 B 10 C 12 D Hướng dẫn giải Chọn D Hình đa diện có mặt ABD ; BDC ; ADC ; ABFE ; BFGC ; ACGE ; HFE ; HFG ; EHG Bài tập 2: Cho hình đa diện hình vẽ bên Hỏi có đoạn thẳng nối đỉnh hình đa diện khơng cạnh hình đa diện? A 66 B 30 C 36 D 102 Chú ý: Hình đa diện có n đỉnh có Cn2 cạnh nối đỉnh hình đa diện Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 582 khơng cạnh hình đa diện hiệu Hướng dẫn giải Chọn C Ta có khối đa 20 mặt có 12 đỉnh Số đoạn thẳng tạo thành 12 đỉnh C122 cạnh Cn2 số Số cạnh khối 20 mặt 30 cạnh cạnh khối đa diện Vậy số đoạn thẳng nối hai đỉnh hình đa diện khơng phải cạnh hình đa diện C122 30 36 Bài tập Cho hình chóp có số đỉnh 2018, số cạnh hình chóp Chú ý: + Hình chóp có n A 2019 B 1009 đỉnh C 4036 D 4034 n 1 cạnh Hướng dẫn giải có + Hình chóp có n Chọn D đỉnh có n mặt Hình chóp có 2018 đỉnh đa giác đáy có 2017 đỉnh, nên có 2017 cạnh đáy 2017 cạnh bên Vậy hình chóp có 2017 2017 4034 cạnh Dạng Phân chia, lắp ghép khối đa diện Phương pháp giải Nếu khối đa diện H hợp hai khối đa diện H1 , H cho H1 H2 chung điểm ta nói chia khối đa diện H thành hai khối đa diện H1 H , hay lắp ghép hai khối đa diện H1 H với để khối đa diện H Bài tập Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 583 Bài tập Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A B , điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳng CDM ABN , ta chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện sau ? A MANC , BCDN , AMND, ABND B NACB, BCMN , ABND, MBND C ABCN , ABND, AMND, MBND D MBND, MBNC , AMDN , AMNC Hướng dẫn giải Chọn D Dựa vào hình vẽ, ta thấy hai mặt phẳng CDM ABN chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện MBDN , MBNC , AMDN , AMNC Bài tập Các khối lập phương đen trắng xếp chồng lên xen kẽ màu tạo thành khối rubik (như hình vẽ) Gọi x số khối lập phương nhỏ màu đen, y khối lập phương nhỏ màu trắng Giá trị x y A 1 B C D Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 584 Chọn C Có lớp hình vng xếp chồng lên Mỗi lớp có 35 khối nhỏ Ta thấy hai lớp đáy, khối đen chồng lên khối trắng (hay ngược lại) nên số lượng khối đen, trắng Tương tự lớp bên có số lượng khối đen, trắng Ta xét lớp có 18 khối màu đen có 17 khối màu trắng x y Bài tập Mặt phẳng ( AB ¢C ¢) chia khối lăng trụ A B C D ABC A ¢B ¢C ¢ thành khối đa diện nào? Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác Hai khối chóp tam giác Một khối chóp tam giác khối chóp ngũ giác Hai khối chóp tứ giác Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng ( AB ¢C ¢) chia khối lăng trụ chóp tam giác A A ¢B ¢C ¢ khối chóp tứ giác ABC A ¢B ¢C ¢ thành khối A BCC ¢B ¢ A C B C' A' B' Bài tập Lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ), ( H ) để tạo thành khối đa diện ( H ) , ( H1 ) khối chóp tứ giác có tất cạnh a , ( H ) khối tứ diện cạnh a cho mặt ( H1 ) trùng với mặt ( H ) hình vẽ Hỏi khối da diện ( H ) có tất mặt? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Khối đa diện ( H ) có mặt Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác có mặt Khối tứ diện có mặt Ghép hai hình lại hình vẽ ta khối đa diện ( H ) có mặt Bài tập Có thể chia hình lập phương thành khối tứ diện nhau? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 585 x f f 0 + 16 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f t f Suy , d bé m n Do T m n 4 Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z 2 Tính khoảng cách từ M 2;1; 1 tới d Cho đường thẳng qua điểm Hướng dẫn giải M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương u a; b; c Khi khoảng cách từ điểm M đến tính cơng thức: M M1; u d M1 , u Ta A 1; 2; 2 d AM 3; 1;1 , u 1; 2; 2 có Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: AM ; u d M;d u Bài tập Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A 1;1; 1 cho trước, nằm mặt phẳng P : x y z cách điểm M 0; 2;1 khoảng lớn A x 1 y 1 z 3 1 B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z 1 D x 1 y 1 z 1 1 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 790 Hướng dẫn giải Chọn C Ta gọi B hình chiếu M lên đường thẳng d MB MA Suy MBmax MA nên đường thẳng d qua điểm A vng góc với MA Đồng thời đường thẳng d nằm mặt phẳng P nên ta có ud MA, n P 1;3; 1 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1; 2 , B 5;1;1 mặt cầu S : x y z y 12 z Xét đường thẳng d qua A tiếp xúc với S cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d x A y t z 2 2t x B y 4t z 2 t x 2t C y 2t z 2 t x t D y 4t z 2 t Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu S : x y z y 12 z có tâm I 0; 3; 6 bán kính R IA R A S , IB 10 R nên B nằm S Đường thẳng d qua A tiếp xúc với S nên d nằm mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S A Mặt phẳng P qua A nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình x y z Gọi H hình chiếu B lên P tọa độ H 4; 1; 1 Ta có: d B; d d B; P BH Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ d qua H Ta có ud AH 2; 2;1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 791 x 2t Suy phương trình đường thẳng d là: y 2t z 2 t Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương hai đường thẳng x 4t u a; b; c qua M x0 ; y0 ; z0 ; có x 1 y z d : y 1 2t , t d1 : 1 z 2t vectơ phương u a; b; c qua M 0 x0 ; y0 ; z0 Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 qua điểm M 1; 2;0 có vectơ phương u1 2; 1;1 Đường thẳng d qua điểm N 1; 1; có vectơ phương u 4; 2; Khi khoảng cách 1 tính Do u1 phương với u2 M d nên u , u M M 0 công thức d 1 , d1 //d u , u u1 , MN Nếu 1 // ( u1 u2 phương Suy d d ; d d N ; d 1 u1 M ) d 1 , d M , Ta có MN 0;1; , u , MN 3; 4; 2 u1 , MN 3 4 22 174 Suy u1 22 1 Vậy d d1 ; d 174 Bài tập Bài tập Cho phương trình mặt phẳng P : x y z , đường thẳng d : x 1 y z điểm A 0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A , nằm P cho khoảng cách d d đạt giá trị lớn A x y z 1 9 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B x y z 1 Trang 792 C x y z 1 7 D x y z 1 7 9 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d x t Phương trình d1 là: y 2t z 1 t Trên đường thẳng d1 lấy điểm B 1; 0;0 Gọi Q mặt phẳng chứa d d1 Ta có d d , d d d , Q d B, Q Do d1 cố định d d , d d B, Q d B, d1 Đẳng thức xảy nQ BH H hình chiếu B lên d1 5 2 Ta tìm H ; ; nên BH ; ; nQ 5; 2;1 3 3 3 3 Ta có ud n P ; nQ 1;7; 9 Vậy phương trình đường thẳng d x y z 1 9 Lưu ý : Vì đường thẳng d qua A nên ta loại đáp án cách thay tọa độ điểm A vào đáp án Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng có vectơ phương a a1 ; a2 ; a3 qua M x0 ; y0 ; z0 mặt phẳng : Ax By Cz D có vectơ pháp tuyến n A; B; C cắt a.n Aa1 Ba2 Ca3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 793 a.n Aa1 Ba2 Ca3 // Ax0 By0 Cz0 D M P Aa1 Ba2 Ca3 a.n Ax0 By0 Cz0 D M P a n phương a1 : a2 : a3 A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z mặt 3 1 phẳng P : x y z Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với P B d song song với P C d vng góc với P D d nằm P Hướng dẫn giải Chọn A Đường thẳng d nhận u 1; 3; 1 làm vectơ phương Mặt phẳng P nhận n 3; 3; làm vectơ pháp tuyến Do u.n hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt không vuông góc với P Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d: x y 1 z 1 mặt phẳng P : x my m 1 z với m tham số thực Tìm 1 1 m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng P A m m 1 C m B m 1 D m Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng d có vectơ phương u 1;1; 1 mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n 1; m; m 1 m 1 d // P u n u.n m m m m m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 794 Thử lại ta thấy với m 2 d P (loại) Vậy m 1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z mặt phẳng : x y z , mệnh đề đúng? A d // B d C d cắt khơng vng góc với D d Hướng dẫn giải Chọn B x 2t Ta có d : y 4t , t z t x 2t y 4t Xét hệ phương trình: z t x y 2z 1 2 3 * Thay (1), (2), (3) vào (*) ta 2t 4t t Phương trình có vơ số nghiệm Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x y z 0, Q : x y z hai đường thẳng 1 : x y 1 z 1 x y z 1 , 2 : 2 1 Đường thẳng song song với hai mặt phẳng P , Q cắt 1 , tương ứng H , K Độ dài đoạn HK A 11 B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có u nP , nQ 1; 1; 3 Gọi H 2t ;1 t ; 1 2t ; K m; m;1 2m HK m 2t ;1 m t ; 2m 2t Vì song song với mặt phẳng P , Q nên HK ku nên Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 795 m 2t m t 2m 2t 1 3 11 Suy HK Tính m ; t 7 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : m2 m x m2 1 y m z m2 m chứa đường thẳng cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến là? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: m m x m 1 y m z m m 0, m m x y 1 m x z 1 x y z 0, m 2 x y 2 x y y z 2 x z 2 x z 2 x y 4 x y z t x Vậy P chứa đường thẳng cố định: y t z t Đường thẳng qua A ;0;0 có vectơ phương u ;1;1 OA, u Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến là: d O; u Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 a b c x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ có vectơ phương u1 a; b; c d : a b c phương u2 a; b; c Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 796 a1 a2 a3 u1 / / u2 +) d1 trùng d b1 b2 b3 M d M d a1 a2 a3 u1 , u2 u1 / / u2 b1 b2 b3 +) d1 //d M d u1 , M 1M M d u1 , u2 +) d1 cắt d u1 , u2 M 1M +) d1 chéo d u1 , u2 M 1M Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z x3 y9 z 2 d : m m 0 Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 //d có số phần tử là: A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng d1 qua A 1; 1; có vectơ phương u1 1; 2;1 Đường thẳng d qua B 3; 9; 2 có vectơ phương u2 4;8; m Đường thẳng d1 //d u1 phương với u2 hai đường thẳng d1 d không trùng Vì 3 9 2 nên B nằm đường thẳng d1 Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng khơng thể song song Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x 1 y z x 3 y 3 z , 2 : 1 2 2 A 1 song song với B 1 chéo với C 1 cắt D 1 trùng với Hướng dẫn giải Chọn C 2 nên vectơ phương u1 2; 2;3 đường thẳng 1 không phương với 1 2 vectơ phương u2 1; 2;1 Vì Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 797 Suy 1 chéo với 1 cắt Lấy M 1; 1;0 1 , N 3;3; 2 Ta có MN 2; 4; 2 Khi u1 , u2 MN Suy u1 , u2 , MN đồng phẳng Vậy 1 cắt Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp x x0 a1t Cho đường thẳng d : y y0 a2t z z0 a3t 1 2 3 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z 2 25 đường mặt cầu S : x a y b z c R 2 có tâm I a; b; c , bán kính R x 2 2t thẳng d có phương trình y 3t z 3 2t Chứng minh d cắt S hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I Mặt cầu mặt cầu S đến đường thẳng d IM a h d I,d a S có tâm I 0;0; 2 bán kính R Đường thẳng d qua M 2; 2; 3 có vectơ phương u 2;3; IM , u Ta có h d I , d u Bước 2: So sánh d I , d với bán kính R mặt cầu: Vì h R nên d cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt Nếu d I , d R d không cắt S Nếu d I , d R d tiếp xúc S Nếu d I , d R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu S Phương pháp đại số Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 798 Thế (1), (2), (3) vào phương trình S S : x2 y z 2 17 cắt trục Oz hai rút gọn đưa phương trình bậc hai theo điểm A, B Tìm độ dài đoạn AB t * Hướng dẫn giải Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d Gọi M giao điểm S với trục Oz không cắt S Ta có M Oz nên M 0;0; t Nếu phương trình (*) có nghiệm Mà M S nên 02 02 t 17 d tiếp xúc S Nếu phương trình (*) có hai nghiệm d cắt S hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t t 2 17 t 17 t 17 t 2 17 Suy tọa độ giao điểm A 0;0; 2 17 , B 0;0; 2 17 AB 17 vào phương trình đường thẳng d Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 0; 0; 2 đường thẳng có phương trình x2 y 2 z 3 Phương trình mặt cầu tâm A , cắt hai điểm B C cho BC A x y 3 z 1 16 B x y z 25 C x y z 25 D x y z 16 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi S mặt cầu tâm A 0; 0; 2 có bán kính R Đường thẳng qua M 2; 2; 3 có vectơ phương u 2;3; Gọi H trung điểm BC nên AH BC MA.u Ta có AH d A, u MA 2; 2;1 MA.u 7; 2;10 AH Với u 2;3; 7 2 2 102 22 32 22 Bán kính mặt cầu S là: R AB AH HB 32 42 Vậy phương trình mặt cầu S là: x y z 25 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 799 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 điểm M 1;3; 1 Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho thuộc đường trịn C có tâm J a; b; c Giá trị 2a b c A 134 25 B 116 25 C 84 25 D 62 25 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có mặt cầu S có tâm I 1; 1; bán kính R Khi IM R M nằm mặt cầu x Phương trình đường thẳng MI x 1 4t z 3t Tâm J a; b; c nằm MI nên J 1; 1 4t ; 3t Xét MHI vng H có MI 5; IH MH MI HI M 1;3; 1 Mặt khác MJ J 1; 1 4t ; 3t MJ MI MH MJ 2 16 4 4t 2t 4 4t 3t 256 25 t 369 25t 50t 0 25 t 25 41 25 11 23 139 73 Suy J 1; ; J 1; ; 25 25 25 25 11 23 +) Với J 1; ; IJ IM (nhận) 25 25 41 139 73 IM (loại) +) Với J 1; ; IJ 25 25 84 11 23 Vậy J 1; ; nên 2a b c 25 25 25 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 800 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu x 1 y z 3 2 S có phương trình 14 x4 y4 z4 đường thẳng d có phương trình Gọi 3 2 A x0 ; y0 ; z0 , x0 điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu S có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P x0 y0 z0 A B 16 C 12 D Hướng dẫn giải Chọn C I tâm mặt cầu I 1; 2;3 Gọi O giao điểm mặt phẳng BCD đoạn AI Vì theo giả thiết AB AC AD IB IC ID 14 nên AI vng góc với mặt phẳng BCD O Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp BCD 14 Đặt AI x x Ta có AB AI IB x 14 14 14 14 OB IB IO IB IO.IA OI 3x 3x 2 BD OB OD 2OB.OD.cos120 3OB 14 196 BD 3OB BD 3OB 9x Do ABCD tứ diện nên AB BD x 14 14 196 14 196 x 14 3 3x 9x 14 x x 56 x 196 x 14 x 14 A d nên A 3t ; 2t ; t Suy AI 14 3t 1 2t t 3 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 14 Trang 801 A 4; 4; t t 1 t 2 A 2;0; Do x0 nên điểm A có tọa độ A 4; 4; Suy P 12 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) cho PQR 1 1 Biết mặt phẳng 2 OP OQ OR tiếp xúc với mặt cầu S cố định Đường thẳng d thay đổi qua 1 M ; ;0 cắt S hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn AOB 2 A 15 B C 17 D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng PQR Dễ thấy 1 1 1 OH 2 2 2 OH OP OQ OR OH Khi PQR tiếp xúc với mặt cầu S tâm O , bán kính R 2 Ta có OM R nên điểm M nằm mặt cầu S 4 Gọi I trung điểm AB , OAB cân O nên S OAB OI AB Đặt OI x Vì OI OM nên x AB x Ta có S OAB x.2 x x x x x Xét hàm số f x x x , x Vì f x x x với x 0;1 nên f x f 1 Suy diện tích OAB lớn đạt M trung điểm AB Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 802 Dạng 10: Một số tốn cực trị Bài tập 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1; 2; 3 đường thẳng d : x 1 y z Tìm vectơ phương u đường thẳng qua M , 2 1 vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé A u 2; 2; 1 B u 1;7; 1 C u 1;0; D u 3; 4; 4 Hướng dẫn giải Chọn C Xét P mặt phẳng qua M P d Mặt phẳng P qua M 2; 2;1 có vectơ pháp tuyến nP ud 2; 2; 1 nên có phương trình: x y z Gọi H , K hình chiếu A lên P Khi AK AH const nên AK đạt giá trị nhỏ K H Đường thẳng AH qua A 1; 2; 3 có vectơ phương ud 2; 2; 1 nên AH có phương x 2t trình tham số y 2t z 3 t Vì H AH nên H 1 2t ; 2t; 3 t Lại H P nên 1 2t 2t 3 t t 2 H 3; 2; 1 Vậy u HM 1;0; Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z điểm A 5;3; 2 Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức S AM AN A S 30 B S 20 C S 34 D S 34 Hướng dẫn giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 803 Mặt cầu S có tâm I 2; 1;1 , bán kính R 22 1 12 3 Ta có: AI 5 1 3 1 2 34 R nên A nằm mặt cầu S Ta lại có: S AM AN Đặt AM x, x 34 3; 34 3 Mà AM AN AI R 34 25 AN Do đó: S f x x 25 AM 100 với x 34 3; 34 3 x Ta có: f x 100 x 100 với x 34 3; 34 3 x2 x Do đó: f x f 34 3; 34 3 34 34 Dấu “=” xảy A, M , N , I thẳng hàng AM 34 3; AN 34 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 9;6;11 , B 5; 7; điểm M di động mặt cầu S : x 1 y z 3 36 2 Giá trị nhỏ AM 2MB A 105 B 26 C 29 D 102 Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu S : x 1 y z 3 36 có tâm I 1; 2;3 bán kính R 2 Ta có IA 12 R Gọi E giao điểm IA mặt cầu S suy E trung điểm IA nên E 5; 4; Gọi F trung điểm IE suy F 3;3;5 IF IM Xét MIF AIM có AIM chung IM IA Suy MIF # AIM c.g.c MA AI MA MF MF MI Do AM 2MB MF MB BF 29 (theo bất đẳng thức tam giác) Dấu “=” xảy M giao điểm FB mặt cầu S Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 804 ... khối đa điện Đó loại ? ?3; 3 , 4 ;3? ?? , ? ?3; 4 , 5 ;3? ?? ? ?3; 5 Tứ diện Khối bát diện Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0 834 332 133 Khối lập phương Khối... Thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a3 C 3a 3 D 3a 3 Hướng dẫn giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0 834 332 133 Trang 605 Gọi M trung điểm AD... ABCD A 2a 3 B a3 C a3 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0 834 332 133 Trang 606 Ta có AC BD S ABCD AC.BD 3a Do AC