Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI GIẢNG CHUYÊN SÂU TOÁN 12
THS TRẦN ĐÌNH CƯ CS 1: P5, Dãy 14 tập thể xã tắc Đường Ngô Thời Nhậm CS 2: Trung Tâm luyện thi - 18 kiệt 87 Bùi Thị Xuân CS 3: Trung tâm cao thắng - 11 Đống Đa LƯU HÀNH NỘI BỘ CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K * Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2 K ; x1 x2 f x1 f x2 Nhận xét: - Hàm số f x đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải * Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2 K ; x1 x2 f x1 f x2 Nhận xét: Hàm số f x nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Định lý Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f x 0, x K hàm số đồng biến khoảng K Nếu f x 0, x K hàm số nghịch biến khoảng K Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang x f f 0 + 16 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f t f Suy , d bé m n Do T m n 4 Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z 2 Tính khoảng cách từ M 2;1; 1 tới d Cho đường thẳng qua điểm Hướng dẫn giải M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương u a; b; c Khi khoảng cách từ điểm M đến tính công thức: M M1; u d M1 , u Ta A 1; 2; 2 d AM 3; 1;1 , u 1; 2; 2 có Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: AM ; u d M;d u Bài tập Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A 1;1; 1 cho trước, nằm mặt phẳng P : x y z cách điểm M 0; 2;1 khoảng lớn A x 1 y 1 z 3 1 B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z 1 D x 1 y 1 z 1 1 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 790 Hướng dẫn giải Chọn C Ta gọi B hình chiếu M lên đường thẳng d MB MA Suy MBmax MA nên đường thẳng d qua điểm A vng góc với MA Đồng thời đường thẳng d nằm mặt phẳng P nên ta có ud MA, n P 1;3; 1 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1; 2 , B 5;1;1 mặt cầu S : x y z y 12 z Xét đường thẳng d qua A tiếp xúc với S cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d x A y t z 2 2t x B y 4t z 2 t x 2t C y 2t z 2 t x t D y 4t z 2 t Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu S : x y z y 12 z có tâm I 0; 3; 6 bán kính R IA R A S , IB 10 R nên B nằm S Đường thẳng d qua A tiếp xúc với S nên d nằm mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S A Mặt phẳng P qua A nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình x y z Gọi H hình chiếu B lên P tọa độ H 4; 1; 1 Ta có: d B; d d B; P BH Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ d qua H Ta có ud AH 2; 2;1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 791 x 2t Suy phương trình đường thẳng d là: y 2t z 2 t Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương hai đường thẳng x 4t u a; b; c qua M x0 ; y0 ; z0 ; có x 1 y z d : y 1 2t , t d1 : 1 z 2t vectơ phương u a; b; c qua M 0 x0 ; y0 ; z0 Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 qua điểm M 1; 2;0 có vectơ phương u1 2; 1;1 Đường thẳng d qua điểm N 1; 1; có vectơ phương u 4; 2; Khi khoảng cách 1 tính Do u1 phương với u2 M d nên u , u M M 0 công thức d 1 , d1 //d u , u u1 , MN Nếu 1 // ( u1 u2 phương Suy d d ; d d N ; d 1 u1 M ) d 1 , d M , Ta có MN 0;1; , u , MN 3; 4; 2 u1 , MN 3 4 22 174 Suy u1 22 1 Vậy d d1 ; d 174 Bài tập Bài tập Cho phương trình mặt phẳng P : x y z , đường thẳng d : x 1 y z điểm A 0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A , nằm P cho khoảng cách d d đạt giá trị lớn A x y z 1 9 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 B x y z 1 Trang 792 C x y z 1 7 D x y z 1 7 9 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d x t Phương trình d1 là: y 2t z 1 t Trên đường thẳng d1 lấy điểm B 1; 0;0 Gọi Q mặt phẳng chứa d d1 Ta có d d , d d d , Q d B, Q Do d1 cố định d d , d d B, Q d B, d1 Đẳng thức xảy nQ BH H hình chiếu B lên d1 5 2 Ta tìm H ; ; nên BH ; ; nQ 5; 2;1 3 3 3 3 Ta có ud n P ; nQ 1;7; 9 Vậy phương trình đường thẳng d x y z 1 9 Lưu ý : Vì đường thẳng d qua A nên ta loại đáp án cách thay tọa độ điểm A vào đáp án Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng có vectơ phương a a1 ; a2 ; a3 qua M x0 ; y0 ; z0 mặt phẳng : Ax By Cz D có vectơ pháp tuyến n A; B; C cắt a.n Aa1 Ba2 Ca3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 793 a.n Aa1 Ba2 Ca3 // Ax0 By0 Cz0 D M P Aa1 Ba2 Ca3 a.n Ax0 By0 Cz0 D M P a n phương a1 : a2 : a3 A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z mặt 3 1 phẳng P : x y z Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với P B d song song với P C d vng góc với P D d nằm P Hướng dẫn giải Chọn A Đường thẳng d nhận u 1; 3; 1 làm vectơ phương Mặt phẳng P nhận n 3; 3; làm vectơ pháp tuyến Do u.n hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt khơng vng góc với P Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d: x y 1 z 1 mặt phẳng P : x my m 1 z với m tham số thực Tìm 1 1 m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng P A m m 1 C m B m 1 D m Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng d có vectơ phương u 1;1; 1 mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n 1; m; m 1 m 1 d // P u n u.n m m m m m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 794 Thử lại ta thấy với m 2 d P (loại) Vậy m 1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z mặt phẳng : x y z , mệnh đề đúng? A d // B d C d cắt khơng vng góc với D d Hướng dẫn giải Chọn B x 2t Ta có d : y 4t , t z t x 2t y 4t Xét hệ phương trình: z t x y 2z 1 2 3 * Thay (1), (2), (3) vào (*) ta 2t 4t t Phương trình có vơ số nghiệm Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x y z 0, Q : x y z hai đường thẳng 1 : x y 1 z 1 x y z 1 , 2 : 2 1 Đường thẳng song song với hai mặt phẳng P , Q cắt 1 , tương ứng H , K Độ dài đoạn HK A 11 B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có u nP , nQ 1; 1; 3 Gọi H 2t ;1 t ; 1 2t ; K m; m;1 2m HK m 2t ;1 m t ; 2m 2t Vì song song với mặt phẳng P , Q nên HK ku nên Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 795 m 2t m t 2m 2t 1 3 11 Suy HK Tính m ; t 7 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : m2 m x m2 1 y m z m2 m chứa đường thẳng cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến là? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: m m x m 1 y m z m m 0, m m x y 1 m x z 1 x y z 0, m 2 x y 2 x y y z 2 x z 2 x z 2 x y 4 x y z t x Vậy P chứa đường thẳng cố định: y t z t Đường thẳng qua A ;0;0 có vectơ phương u ;1;1 OA, u Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến là: d O; u Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 a b c x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ có vectơ phương u1 a; b; c d : a b c phương u2 a; b; c Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 796 a1 a2 a3 u1 / / u2 +) d1 trùng d b1 b2 b3 M d M d a1 a2 a3 u1 , u2 u1 / / u2 b1 b2 b3 +) d1 //d M d u1 , M 1M M d u1 , u2 +) d1 cắt d u1 , u2 M 1M +) d1 chéo d u1 , u2 M 1M Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z x3 y9 z 2 d : m m 0 Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 //d có số phần tử là: A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng d1 qua A 1; 1; có vectơ phương u1 1; 2;1 Đường thẳng d qua B 3; 9; 2 có vectơ phương u2 4;8; m Đường thẳng d1 //d u1 phương với u2 hai đường thẳng d1 d khơng trùng Vì 3 9 2 nên B nằm đường thẳng d1 Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng song song Bài tập Trong khơng gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x 1 y z x 3 y 3 z , 2 : 1 2 2 A 1 song song với B 1 chéo với C 1 cắt D 1 trùng với Hướng dẫn giải Chọn C 2 nên vectơ phương u1 2; 2;3 đường thẳng 1 không phương với 1 2 vectơ phương u2 1; 2;1 Vì Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 797 Suy 1 chéo với 1 cắt Lấy M 1; 1;0 1 , N 3;3; 2 Ta có MN 2; 4; 2 Khi u1 , u2 MN Suy u1 , u2 , MN đồng phẳng Vậy 1 cắt Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp x x0 a1t Cho đường thẳng d : y y0 a2t z z0 a3t 1 2 3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z 2 25 đường mặt cầu S : x a y b z c R 2 có tâm I a; b; c , bán kính R x 2 2t thẳng d có phương trình y 3t z 3 2t Chứng minh d cắt S hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I Mặt cầu mặt cầu S đến đường thẳng d IM a h d I,d a S có tâm I 0;0; 2 bán kính R Đường thẳng d qua M 2; 2; 3 có vectơ phương u 2;3; IM , u Ta có h d I , d u Bước 2: So sánh d I , d với bán kính R mặt cầu: Vì h R nên d cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt Nếu d I , d R d khơng cắt S Nếu d I , d R d tiếp xúc S Nếu d I , d R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu S Phương pháp đại số Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 798 Thế (1), (2), (3) vào phương trình S S : x2 y z 2 17 cắt trục Oz hai rút gọn đưa phương trình bậc hai theo điểm A, B Tìm độ dài đoạn AB t * Hướng dẫn giải Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d Gọi M giao điểm S với trục Oz khơng cắt S Ta có M Oz nên M 0;0; t Nếu phương trình (*) có nghiệm Mà M S nên 02 02 t 17 d tiếp xúc S Nếu phương trình (*) có hai nghiệm d cắt S hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t t 2 17 t 17 t 17 t 2 17 Suy tọa độ giao điểm A 0;0; 2 17 , B 0;0; 2 17 AB 17 vào phương trình đường thẳng d Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 0; 0; 2 đường thẳng có phương trình x2 y 2 z 3 Phương trình mặt cầu tâm A , cắt hai điểm B C cho BC A x y 3 z 1 16 B x y z 25 C x y z 25 D x y z 16 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi S mặt cầu tâm A 0; 0; 2 có bán kính R Đường thẳng qua M 2; 2; 3 có vectơ phương u 2;3; Gọi H trung điểm BC nên AH BC MA.u Ta có AH d A, u MA 2; 2;1 MA.u 7; 2;10 AH Với u 2;3; 7 2 2 102 22 32 22 Bán kính mặt cầu S là: R AB AH HB 32 42 Vậy phương trình mặt cầu S là: x y z 25 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 799 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 điểm M 1;3; 1 Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho ln thuộc đường trịn C có tâm J a; b; c Giá trị 2a b c A 134 25 B 116 25 C 84 25 D 62 25 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có mặt cầu S có tâm I 1; 1; bán kính R Khi IM R M nằm mặt cầu x Phương trình đường thẳng MI x 1 4t z 3t Tâm J a; b; c nằm MI nên J 1; 1 4t ; 3t Xét MHI vuông H có MI 5; IH MH MI HI M 1;3; 1 Mặt khác MJ J 1; 1 4t ; 3t MJ MI MH MJ 2 16 4 4t 2t 4 4t 3t 256 25 t 369 25t 50t 0 25 t 25 41 25 11 23 139 73 Suy J 1; ; J 1; ; 25 25 25 25 11 23 +) Với J 1; ; IJ IM (nhận) 25 25 41 139 73 IM (loại) +) Với J 1; ; IJ 25 25 84 11 23 Vậy J 1; ; nên 2a b c 25 25 25 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 800 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu x 1 y z 3 2 S có phương trình 14 x4 y4 z4 đường thẳng d có phương trình Gọi 3 2 A x0 ; y0 ; z0 , x0 điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu S có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P x0 y0 z0 A B 16 C 12 D Hướng dẫn giải Chọn C I tâm mặt cầu I 1; 2;3 Gọi O giao điểm mặt phẳng BCD đoạn AI Vì theo giả thiết AB AC AD IB IC ID 14 nên AI vng góc với mặt phẳng BCD O Khi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD 14 Đặt AI x x Ta có AB AI IB x 14 14 14 14 OB IB IO IB IO.IA OI 3x 3x 2 BD OB OD 2OB.OD.cos120 3OB 14 196 BD 3OB BD 3OB 9x Do ABCD tứ diện nên AB BD x 14 14 196 14 196 x 14 3 3x 9x 14 x x 56 x 196 x 14 x 14 A d nên A 3t ; 2t ; t Suy AI 14 3t 1 2t t 3 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 14 Trang 801 A 4; 4; t t 1 t 2 A 2;0; Do x0 nên điểm A có tọa độ A 4; 4; Suy P 12 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) cho PQR 1 1 Biết mặt phẳng 2 OP OQ OR tiếp xúc với mặt cầu S cố định Đường thẳng d thay đổi qua 1 M ; ;0 cắt S hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn AOB 2 A 15 B C 17 D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng PQR Dễ thấy 1 1 1 OH 2 2 2 OH OP OQ OR OH Khi PQR ln tiếp xúc với mặt cầu S tâm O , bán kính R 2 Ta có OM R nên điểm M nằm mặt cầu S 4 Gọi I trung điểm AB , OAB cân O nên S OAB OI AB Đặt OI x Vì OI OM nên x AB x Ta có S OAB x.2 x x x x x Xét hàm số f x x x , x Vì f x x x với x 0;1 nên f x f 1 Suy diện tích OAB lớn đạt M trung điểm AB Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 802 Dạng 10: Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1; 2; 3 đường thẳng d : x 1 y z Tìm vectơ phương u đường thẳng qua M , 2 1 vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé A u 2; 2; 1 B u 1;7; 1 C u 1;0; D u 3; 4; 4 Hướng dẫn giải Chọn C Xét P mặt phẳng qua M P d Mặt phẳng P qua M 2; 2;1 có vectơ pháp tuyến nP ud 2; 2; 1 nên có phương trình: x y z Gọi H , K hình chiếu A lên P Khi AK AH const nên AK đạt giá trị nhỏ K H Đường thẳng AH qua A 1; 2; 3 có vectơ phương ud 2; 2; 1 nên AH có phương x 2t trình tham số y 2t z 3 t Vì H AH nên H 1 2t ; 2t; 3 t Lại H P nên 1 2t 2t 3 t t 2 H 3; 2; 1 Vậy u HM 1;0; Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z điểm A 5;3; 2 Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức S AM AN A S 30 B S 20 C S 34 D S 34 Hướng dẫn giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 803 Mặt cầu S có tâm I 2; 1;1 , bán kính R 22 1 12 3 Ta có: AI 5 1 3 1 2 34 R nên A nằm mặt cầu S Ta lại có: S AM AN Đặt AM x, x 34 3; 34 3 Mà AM AN AI R 34 25 AN Do đó: S f x x 25 AM 100 với x 34 3; 34 3 x Ta có: f x 100 x 100 với x 34 3; 34 3 x2 x Do đó: f x f 34 3; 34 3 34 34 Dấu “=” xảy A, M , N , I thẳng hàng AM 34 3; AN 34 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 9;6;11 , B 5; 7; điểm M di động mặt cầu S : x 1 y z 3 36 2 Giá trị nhỏ AM 2MB A 105 B 26 C 29 D 102 Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu S : x 1 y z 3 36 có tâm I 1; 2;3 bán kính R 2 Ta có IA 12 R Gọi E giao điểm IA mặt cầu S suy E trung điểm IA nên E 5; 4; Gọi F trung điểm IE suy F 3;3;5 IF IM Xét MIF AIM có AIM chung IM IA Suy MIF # AIM c.g.c MA AI MA MF MF MI Do AM 2MB MF MB BF 29 (theo bất đẳng thức tam giác) Dấu “=” xảy M giao điểm FB mặt cầu S Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 804