Ôn tập trọng tâm kiến thức môn Toán lớp 12 : Phần 2 - Trần Đình Cư

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Bài giảng trọng tâm Toán 12 sẽ tiếp tục trình bày kiến thức lý thuyết và bài tập về chủ đề: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng; Số phức; Khối đa diện; Mặt nón, mặt trụ và khối trụ;... Cùng tham khảo để nắm được chi tiết nội dung cuốn sách nhé các bạn.

BÀI NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng đoạn nửa đoạn ) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Định lý 1: Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C, hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K Định lý 2: Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  có dạng F  x   C , với C số Hai định lý cho thấy: Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K F  x   C , C   họ tất nguyên hàm f  x  K Kí hiệu  f  x dx  F  x   C Chú ý: Biểu thức f  x  dx vi phân nguyên hàm F  x  f  x  , dF  x   F '  x  dx  f  x  dx Tính chất nguyên hàm Tính chất  f '  x  dx  f  x   C Tính chất  kf  x  dx  k  f  x  dx , k số khác Tính chất   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm  0dx  C   x dx  x 1 C  1  xdx  ln x  C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    dx  x  C ( ax  b) 1 C a  1 1  (ax  b)dx  a ln ax  b  C   (ax  b) dx  163  e dx  e x x ax b e C a  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C C e  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C x  a dx   cos x  sin x  x   a dx  dx  tan x  C dx xa  ln  C,  a  0 a 2a x  a  xdx   dx  x  C x  sin  ax  b  dx   a cot x  C dx   cot x  C dx  a x   C a ln a 1  cos2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C ax C ln a x ax  b a x x C   dx xa   ln  C,  a  0 2a x  a x ax  b dx   ax  b  ax  b  C a 1 dx  ax  b  C a ax  b II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu  f (u )du  F (u)  C u  u( x) có đạo hàm liên tục thì:  f u ( x).u '( x)dx  F u( x)  C Hệ quả: Với u  ax  b  a   ta có  f  ax  b dx  a F  ax  b   C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u  u  x  v  v  x  có đạo hàm liên tục K thì:  u  x v '  x  dx  u  x  v  x    u '  x v  x  dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Câu 1: Khẳng định sau sai? A  dx  C e x B  x dx  x5 C C  x dx  ln x  C D dx  e x  C Lời giải Chọn C LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   164 Ta có: Câu 2:  x dx  ln x  C  C sai Tìm nguyên hàm F  x     2dx A F  x    x  C F  x   x2 B F  x   2 x  C C F  x   3 C D C Lời giải Chọn A Ta có F  x     dx   x  C Câu 3: Cho  f  x  dx  F  x   C Khi với a  , a , b số ta có  f  ax  b  dx A  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C B  f  ax  b  dx  a  b F  ax  b   C C  f  ax  b  dx  F  ax  b   C D  f  ax  b  dx  aF  ax  b   C Lời giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: Câu 4:  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  A x3  C B x3  xC C 6x  C D x  x  C Lời giải Chọn D x3  x  C  x3  x  C Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x  Ta có Câu 5:   3x  1 dx  A F  x   x3  x  B F  x   x  x  C C F  x   x  x  x  C D F  x   x  x  C Lời giải Chọn C Nguyên hàm hàm số f  x   x  x  F  x   x  x  x  C Câu 6: Họ nguyên hàm hàm số f  x   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   1  x  x 165 A  x4  x2  C 3x B 2  2x  C x2 C  x4  x2  C 3x D  x3 x   C x Lời giải Chọn D 1 1 x3 x   Ta có    x   dx    x 2  x   dx      C 3 3 x 3 x  Câu 7: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e.x e  B e x e 1  C A 101376 C x e 1  4x  C e 1 D e.x e 1  4x  C e 1 Lời giải Chọn D Ta có Câu 8:  f  x  dx    e.x e   dx  e.x e 1  4x  C e 1 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x)   3x  1 ?  3x  1 A F  x   C F  x   18  3x  1 8 B F  x   D F  x   18  3x  1 2 18  3x  1 6 Lời giải Chọn D Áp dụng   ax  b  dx    ax  b  a  1  1  C với   1 C số Vậy hàm số phương án D thỏa yêu cầu đề Câu 9: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x  A 20 x3  12 x  C B x5  x3  x  C C 20 x5  12 x3  x  C D x4  2x2  2x  C Lời giải Chọn B Ta có  5x  x  1 dx  x5  x3  x  C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   166 Câu 10: Nguyên hàm hàm số f  x   x 2018 , ( x  ) hàm số hàm số đây? x 2019  C , (C  ) 2019 D F  x   2018.x 2017  C , (C  ) A F  x   2017.x 2018  C , (C  ) B F  x   C F  x   x 2019  C , (C  ) Lời giải Chọn B x 2019 C 2019 2018 Ta có:  x dx  Câu 11: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  x  thỏa mãn F    , giá trị F 1 A B 13 C D 11 Lời giải Chọn B Ta có:  x  x  3dx  x3  x  3x  C F  x  nguyên hàm hàm số f  x  có F     C  Vậy F  x   13 x3  x  x   F 1  3 Câu 12: Xét I   x  x  3 dx Bằng cách đặt: u  x  , khẳng định sau đúng? A I  u 5du 16  B I  u 5du C I   u 5du 12  Lời giải D I  u du 4 Chọn A u  x   du  16 x3dx  I  Câu 13: Cho du  x3dx 16 u 5du 16   x  3x   dx  A  3x    B  3x    C với A , B   C   Giá trị biểu thức 12 A  B 23 241 A B 252 252 C 52 D Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   167 Chọn D Đặt t  x   x  t2  dt  dx 3 Ta có: t2 t8 t 7 d  t +2 t d t t t   C   3x     3x    C      9 3 36 63 Suy A  4 , B  , 12   36 63 36 63 Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  ln x   x x C x  ln x   x  C x 1   x x2  2x  C x D x  ln x   x  C x Lời giải B x  ln x  Chọn D  f  x  dx Câu 2:  x  ln x   2x  C x Nguyên hàm hàm số f  x   A ln x   C B là: x2 ln x   C C ln  x    C D ln  x    C Lời giải Chọn A Câu 3: Nguyên hàm hàm số f  x   A  f  x  dx  2 ln  x  C C  f  x  dx   ln  x  C  2x B  f  x  dx  ln  x  C D  f  x  dx  ln  x  C Lời giải Chọn C Ta có 1   x dx   ln  x  C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   168 Câu 4: Tìm họ nguyên hàm hàm số y  A   x  1 C   x  1 dx  dx   x  1 1  x  C C x 1 B   x  1 D   x  1 2 dx   dx  C x 1 2  x  1 C Lời giải Chọn B   x  1 Câu 5: dx    x  1 dx    x  1  C  2 1 Một nguyên hàm hàm số f  x   1 C x 1 x x 1  f  x  dx  x  ln x   C  f  x  dx  x  ln  x  1 A B  f  x  dx  ln x   x  D x  ln  x  1 Lời giải Chọn A x  x  dx   Vậy Câu 6: x 1 1   dx      dx  x  ln x   C x 1  x 1   f  x  dx  x  ln x   nguyên hàm f  x  F    F 1 x 1 C D Lời giải Biết F  x  nguyên hàm f  x   A ln B  ln Chọn B dx  ln x   C mà F    nên F  x   ln x   x 1 Do F 1   ln F  x   Câu 7: Nguyên hàm F  x  hàm số f  x    e 1  , biết F    là: 2x 1   A F  x   ln x   C F  x   ln x   B F  x   ln x   D F  x   ln x   Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng cơng thức ngun hàm mở rộng LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   169 F  x   1 dx  ln x   C 2x 1  e 1   e 1  Mà F     C   C     ln  2     Câu 8: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   A F    ln  F    ln  B F    ln  ; biết F 1  Tính F   2x 1 C F    ln  D Lời giải Chọn B Ta có F  x   ln x   C ; F 1   C  2 1  F  x   ln x    F    ln  2 Câu 9: Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   A x  C x 1 B   x  1 x2  x  x 1 C C x2  ln x   C D x  ln x   C Lời giải: Chọn C Ta có f  x   x2  x  1  x x 1 x 1   f  x  dx  x2  ln x   C 2x2  x  dx x3 A I  x  x  ln x   C B I  x  x  ln x   C C I  x  x  ln x   C D I  x  x  ln x   C Câu 10: Tính nguyên hàm I   Lời giải Chọn A Ta có: I    2x2  x   dx    x    dx  x  x  ln x   C x3  x   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   170 Câu 11: Cho biết x  13  ( x  1)( x  2) dx  a ln x   b ln x   C Mệnh đề sau đúng? A a  2b  B a  b  C 2a  b  Hướng dẫn giải D a  b  Chọn D Ta có 1 x  13    ( x  1)( x  2) dx    x   x   dx  5 x  dx  3 x  dx  5ln x   3ln x   C a  Vậy   ab 8 b  3 Biết F    , 2x 1 b b F 1  a  ln a , b , c số nguyên dương phân số tối giản Khi c c giá trị biểu thức a  b  c A B C D 12 Lời giải Chọn A 1   Ta có F  x     x   dx  x  ln x   C 2x 1   Do F     C   F  x   x3  ln x  Vậy F 1   ln  a  1; b  1; c   a  b  c  2 1  Câu 13: Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   f    Giá trị 2x 1 2 Câu 12: F  x  nguyên hàm hàm số f  x   3x  biểu thức f  1  f  3 A  ln15 B  ln15 C  ln15 Lời giải D ln15 Chọn C Ta có f  x    f   x  dx   dx   2x 1 d  x  1  ln x   c 2x 1 f     c   f  x   ln x    f  1  ln   f  1  f  3   ln15   f  3  ln  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133   171 Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nguyên hàm hàm số f  x   x   0;   23 x  x  C F  x   x x  x D F  x   x x A F  x   B F  x   Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : Câu 2:   x  dx  x  xC Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x 2018 x 2019 C 673 A x C x 2019  C x 673 B x  D x Hướng dẫn giải x 2019 C 2019  6054 x 2017  C Chọn B Ta có:  3 Câu 3: x  x 2018    x x 2019 x 2019 dx    3x  x 2018  dx    C  x3  C 2019 2019   Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x  A  f  x  dx  x C  f  x  dx   x   2x   C 2x   C B  f  x  dx   x  3 D  f  x  dx  2x   C 2x   C Lời giải Chọn B Xét I   Đặt   x  dx x   t  t  x   2tdt  2dx 1 I   t.tdt   t dt  t  C  3 Câu 4:  x   C   f  x  dx   x  3 x   C Một nguyên hàm hàm số f  x    x là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    172 d  M , P   d  M , Q    x  y  z  15  2x  y  2z  4x  y  4z   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133    355  BÀI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa:  Phương trình ttham số đường thẳng  qua điểm M0 có vectơ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) ,   a0 x  x0  a1t   y  y0  a2t (t  R) z  z  a t  Nếu a1, a2, a3 khác khơng.Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau: x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 Vị Trí tương đối hai đường thẳng: Chương trình 1)Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng Chương trình nâng cao 1)Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng  x  xʹo  aʹ1tʹ  dʹ :  y  yʹo  aʹ2 tʹ  ʹ ʹ  z  zo  a3tʹ  qua Movà d’có vtcp uʹ qua Mo’   u , uʹ phương   u  kuʹ d // d’   M0  dʹ   u  kuʹ d ≡ d’   M0  dʹ   u , uʹ Không phương  x  xo  a1t  d :  y  y o  a2 t z  z  a t   x  xo  a1t  d :  y  y o  a2 t z  z  a t   vtcp u   x  xʹo  aʹ1tʹ  dʹ :  y  yʹo  aʹ2 tʹ  ʹ ʹ  z  zo  a3tʹ  vtcp u qua Movà d’có vtcp uʹ qua Mo’  xo  a1t  xʹo  aʹ1tʹ  ʹ ʹ  yo  a2 t  yo  a2 tʹ  ʹ ʹ  z0  a3t  zo  a3tʹ    [u,uʹ]=0 //    M o  dʹ    [u,uʹ]=0 ≡    M0  dʹ   u,uʹ     cắt      u,uʹ  Mo Mʹ0       chéo  u,uʹ  M0 Mʹ0    d chéo d’Hệ Ptrình vơ nghiệm d cắt d’ Hệ Ptrình có nghiệm Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    Phương pháp 356  Trong Kg Oxyz cho   : Ax  By  Cz  D   x  xo  a1t  d :  y  yo  a2 t z  z  a t  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  d qua M có vtcp a  (a1 ; a2 ; a3 )    : Ax  By  Cz  D  có vtpt n  ( A; B;C)  cắt  a.n  Phương trình A  x0  a1t   B  y0  a2 t   C  z0  a3 t   D  P.trình vơ nghiệm d // P.trình có nghiệm d cắt P trình cóvơsốnghiệm thìd thuộc Đặc biệt :   ( d )  (  )  a,n phưong   a.n  //    M  ( )   a.n  nằm mp    M  ( ) Khoảng cách : Khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0 cho côngthức d( M , )  Ax0  By0  Cz0  D A  B2  C Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 1: Lập ptmp(  ) qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp(  ) d d =MH Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 2: Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 1:  d qua M; cóvtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 2:  d qua M; cóvtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) d’qua M’; vtcp aʹ  (aʹ1 ; aʹ2 ; aʹ3 ) d’qua M’; vtcp aʹ  (aʹ1 ; aʹ2 ; aʹ3 )  Lập ptmp(  ) chứa d song song với d’ d= d)   [M0 M ,u] d( M ,  )   u     [a,aʹ].MMʹ Vhop d(  , ʹ)     Sday [a,aʹ] Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng  qua M có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 )  qua M’ có VTCP aʹ  (aʹ1 ; aʹ2 ; aʹ3 ) LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    357    a.aʹ   a1 aʹ1  a2 aʹ2  a3 aʹ3 cos  cos(a,aʹ)     a aʹ a12  a22  a32 aʹ12  aʹ22  aʹ32 Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng mặt phẳng   qua M0 có VTCP a , mp có VTPT n  ( A; B;C) Gọi j góc hợp mp   sin  cos(a,n)  Aa1 +Ba2 +Ca3 A  B2  C a12  a22  a32 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho E (-1;0;2) F (2;1;-5) Phương trình đường thẳng EF x 1  x 1 C  A y z2  7 y z2  3 x 1 y z    7 x 1 y z  D   1 B Lời giải Chọn B  Ta có: EF  (3;1; 7) Đường thẳng EF qua điểm E ( 1; 0; 2) có VTCP   x 1 y z  u  EF  (3;1; 7) có phương trình:   7 Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  qua điểm M  2;0; 1 có vectơ  phương a   4; 6;2  Phương trình tham số   x  2  4t  A  y  6t  z   2t   x   2t  B  y  3t  z  1  t   x   2t  C  y  6 z   t   x  2  2t  D  y  3t z  1 t  Lời giải Chọn B  a   4; 6;2   2; 3;1 \  Do đường thẳng  có vectơ phương u   2; 3;1 Vậy phương trình tham  x   2t   số  qua M  2;0; 1 có vectơ phương u   2; 3;1 là:  y  3t  z  1  t  Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1;  2; 1 , N  0; 1;  Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    358  x 1 y  z 1   1 x y 1 z    C 1 x 1 y  z    1 2 x y 1 z   D  1 2 A B Lời giải Chọn C  MN   1; 3;   Đường thẳng MN qua N nhận MN   1; 3;  làm vectơ phương có phương trình x y 1 z    1 Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz A z  x   B  y  t z   x  t  C  y  z   x   D  y  z  t  Lời giải Chọn D  Trục Oz qua gốc tọa độ O  0;0;0 nhận vectơ đơn vị k   0;0;1 làm vectơ x   phương nên có phương trình tham số  y  z  t  Câu 5: Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số đường thẳng qua điểm M  2;0; 1  có véctơ phương a   2; 3;1  x   2t  A  y   z   t   x  2  2t  B  y   3t z  1 t   x  2  4t  C  y   6t  z   2t   x   2t  D  y   3t  z  1  t  Lời giải Chọn D Theo lý thuyết dường thẳng không gian Oxyz, ta có phương trình tham số  đường thẳng qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có véctơ phương a   a1 ; a2 ; a3   x  x0  a1t   y  y0  a2t ,  t    z  z  a t  Do đó, đáp án D Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; ;  , B  3; ;1 , C  5; ;   Đường thẳng di qua A song song với đường thẳng BC có phương trình LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    359  x  y 1 z    8 2 5 x  y 1 z  C   8 2 5 x2  8 x2 D  8 A B y 1  2 y 1  2 z 3 5 z 3 5 Lời giải Chọn A  BC   8;  2;   vectơ phương đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC Câu 7:  x   2t  Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số  y  3t ; t    z  3  5t  Khi đó, phương trình tắc d x2 y z3 x2 y z 3     A B 3 5 3 C x   y  z  D x   y  z  Lời giải Chọn A  x   2t  Ta có phương trình đường thẳng d:  y  3t qua điểm A(2;0;  3) có vectơ   z  3  5t  x2 y z3 phương u  (2;  3;5) nên có phương trình tắc   3 Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng d qua điểm I 1; 2;3  nhận  u   4; 5;6  vectơ phương có phương trình tham số  x  1  4t  A  y   5t  z  3  6t  x   t  B  y   2t   z   3t x   t  C  y  5  2t  z   3t  Lời giải  x   4t  D  y  2  5t  z   6t  Chọn D  Đường thẳng d qua điểm I 1; 2;3  nhận u   4; 5;6  vectơ phương có  x   4t  phương trình tham số  y  2  5t  z   6t  Câu 9: x 1 y  z    Phương trình sau 2 phương phương trình tham số d ? Trong hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d : LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    360  x   A  y   t  z  2  3t  x  1 t  B  y   2t  z   3t  x  1 t  C  y   2t   z  2  3t Lời giải x   D  y   t z  1 t  Chọn C  Đường thẳng d có VTCP u 1; 2;3 qua M 1; 2; 2  x  1 t  Vậy đường thẳng d có phương trình tham số  y   2t   z  2  3t Câu 10: Trong khơng gian tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A 1; 2;5 B  3;1;1 ? x 3  x 1 C  A y 1 z 1  2 y  z 5  4 x 1 y  z    2 x 1 y  z  D   4 Lời giải B Chọn C  + Ta có AB   2;3; 4 vectơ phương đường thẳng AB , từ đáp án ta loại đáp án A đáp án B + Đáp án C thỏa mãn qua điểm A 1; 2;5 nên đáp án C đáp án + Thay tọa độ điểm A 1; 2;5 vào đáp án D:  2   nên loại đáp án   4 D Câu 11: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm E  2, 4,  song song với đường thẳng MN với M  3, 2,  ; N  1, 1,   x   2m  A  y   3m ; m    z   3m   x   2t  B  y  1  3t ; t    z   3t   x   2n  C  y  4  3n ; n    z   3n  D Hai câu A B Lời giải Chọn C  Một vectơ phương  d  : MN   2, 3, 3     2,3,  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    361   x   2n    d   y  3n  ; n    z   3n  Câu 12: Phương trình tham số đường thẳng qua I  1, 5,  song song với trục x ʹ Ox x  t   ;t  A  y  z    x  m  B  y  5m ; m    z  2m   x  2t  C  y  10t ; t    z  4t  D Cả A C Lời giải Chọn A   D  / / x ʹ Ox  Vectơ phương  D  : e1  1,0,0  x  t     D y  ; t   z   Câu 13: Viết phương trình tham số đường thẳng  D  qua E  2, 1, 3  vng góc với hai đường thẳng  D1  : x 1 z2  y 1  ;  D  : 2x  y3   z  x   7t  A  y  t  ; t    z   10t   x   7t  B  y  1  t ; t    z   10t   x   8t  C  y  7t  ; t    z   10t   x   9m  D  y  m  ; m    z  10 m   Lời giải Chọn D   Hai vectơ phương  D1   D2  : a   3,1,  ; b   2,4, 1    Một vectơ phương  D  : c   a , b    9,7,10      D  : x   9t ; y  t  1; z  10t  1; t   Câu 14: Cho tam giác ABC có A  1, 2, 3  ; B  2, 1,  ; C  3, 2,  Viết phương trình tham số trung tuyến AM:  x   3t  A  y   7t ; t    z  15t    x   3m  B  y   m ; m    z  3  15m   x   3cos t  C  y   cos t ; t    z  15cos t   D Hai câu A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    B 362  Lời giải Chọn A 5 9 Trung điểm M BC: M  ,  ,  2 2   15  Một vecto phương AM: AM   ,  ,    3, 7,15  2 2   AM : x   3t ; y   7t ; z  15t  3; t  Câu 15: Cho tam giác ABC có A  1, 2, 3  ; B  2, 1,  ; C  3, 2,  Viết phương trình tắc cạnh AB y2 z3 A x    3 2y z3 C x    B x   y 1 z 4  3 D Ba câu A, B C Lời giải Chọn D Một vecto phương AB:  AB   1, 3,7  y2 z3 y 1 z 4   hay x   3 3 7 2y z3  hay x    AB : x   Câu 16: Hai đường thẳng A Song Song  D  : x 2  y   z 3 ;  d  : x 3  B Trùng y 1 z   C Chéo Lời giải D Cắt Chọn C  A  1, 3,    D   D  có vecto phương a   2,1,   B  2,1, 4    d   d  có vecto phương b   3,2,4      AB   3, 4, 6    a , b  AB   2,1,1  3, 4, 6        D   d  chéo Câu 17: Hai dường thẳng  D  : x  2t  3; y  t  1; z  3t  2;  d  : x  4t  1; y  2t  5; z  6t  1; t   A Song song B Chéo Chọn A C Cắt Lời giải D Trùng   D  qua M  3,1, 2  có vecto phương a   2,1,    d  qua M  1, 5,1 có vecto phương b   4, 2,6    2,1,3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    363     a b phương   D   d  phương   MN   4, 6,  không phương với a   D  / /  d  Câu 18: Đường thẳng  D  : A Song song x 1 z2 mặt phẳng  P  : x  y  z  23  :  1 y  B Vng góc C Cắt D chứa Lời giải Chọn C   D  có vecto phương a   2, 1,3   P có pháp vecto: n  1, 2, 4    a.n  2.1  1.2   4   12    D   P cắt Chú ý: địi hỏi hính tọa độ giao điểm viết phương trình tham số  d  : x  2t  1; y   t ; z  3t  Tọa độ giao điểm M  1, 2, 5  Thay x , y , z vào phương trình  P  ta có t  1  Câu 19: Với giá trị m hai đường thẳng sau song song? y3 y 1  D  : x 2  m  mz 12 ;  d  : x    z 2 A B C m  0, m  D Lời giải Chọn D   D  qua  1,3,1 có vecto phương a   2, m, m   ; m  m    d  qua B  3, 1,  có vecto phương b  1, 3,   D  / /  d    m3  m 2 A   d   m   x   4t  Câu 20: Với giá trị m n đường thẳng  D  :  y   4t  t    song song với mặt z  t   phẳng  P  :  m  1 x  y  z  n   ? A m  4; n  14 B m  4; n  10 C m  3; n  11 D m  4; n  14 Lời giải Chọn D  D  qua A  3,1, 3   có vecto phương a   4, 4,1 Vecto pháp tuyến  P  :  m  1, 2, 4   a.n  m  m    D  P    m  n  2 n  14  A   P  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    364  Câu 21: Với giá trị m đường thẳng  D  : phẳng  P  : x  y  z  A B x 1 y  z 1 vng góc với mặt   m m2 C Lời giải D 7 Chọn C  Vecto phương  D  : a   2, m, m    Vecto pháp tuyến  P  : n   1, 3,     D    P   a n phương:  m3  m 2  m  Câu 22: Tính góc hai đường thẳng  D  : x 1 y  z    4  d  : x   2t ; y  2t  4; z   t    A 750 B 600 Chọn D C 300 Lời giải  D 450   D   d  có vec-tơ phương a   2, 4,  ; b   2,2,0   cos   2.2  4.2  4.0 6.2     450  x  2t    y  3t   z  4t   x   t '   y  1  4t '  z  20  t ' ( d ) :  cắt C Câu 23: Hai đương thẳng ( d1 ) : Tọa độ điểm C là: A C (3, 7,18) B C (3,7,18) C C (3, 7, 18) D C ( 3,7,18) Lời giải Chọn B  2t    t '  Hệ phương trình 3t   1  4t ' có nghiệm t  3, t '  2  4t   20  t '  Từ có C (3, 7,18) Câu 24: Cho hai đường thẳng:  d1  : x 7 y 3 z 9  x  y 1 z 1      d  :  2 1  1 Chọn câu trả lời đúng: A  d1   d  cắt B  d1   d  vng góc C  d1   d  trùng D  d1   d  chéo Lời giải Chọn D Phương trình  d1    d1  cho A  7, 3,  vectơ phương  d1  : LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    365   a  1,2, 1 Phương trình  d  cho B  3,1,1   d  vectơ phương  d  :  b   7, 2,3     a, b    8, 4,16  ; AB   4, 2, 8       a, b  AB  32   128    d1   d  chéo   Câu 25: Cho điểm A  3, 2,1 đương thẳng  d  : d  x y   z  Mặt phẳng   chứa điểm A có phương trình tổng qt là: A 14 x  15 y  z  24  B 14 x  y  z  24  C 14 x  y  z  24  D 14 x  y  z  24  Lời giải Chọn D Phương trình  d  cho B  0, 0, 3   d  vectơ phương  d  :  a   2, 4,1    AB   3, 2, 4  ;  AB, a   14, 5, 8  Gọi M  x , y, z     , BM   x, y, z  3     AB, a  BM   14 x  y  z  24  phương trình      x   2t  Câu 26: Cho đường thẳng  d  :  y   t điểm I  2, 1,  Điểm K đối xứng với điểm I qua  z  3t  đường thẳng  d  có tọa độ: A K  4, 3, 3  B K  4,3, 3  C K  4,  3,  D K  4, 3,  Lời giải Chọn D d   có vectơ phương a   2, 1,3 Xét mặt phẳng   : x  y  z  D  I    nên D  14   : x  y  z  14  Thế x , y , z theo t t    d  cắt   M  3,1,  M trung điểm IK nên K  4, 3,  vào phương trình   Câu 27: Cho ba điểm A  1, 2,  , B  2,1,1 , C  5, 0,  Gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tọa độ điểm H là:  7  A H  , ,  3 3   4 5  C H  , ,   3 3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133     4 5 7  B H  , ,   3   4  D H  , ,   3 3 366  Lời giải Chọn D  x  1  t  Đương thẳng AB có phương trình tham số  y   t  z   2t  Gọi   mặt phẳng chứa C vng góc với AB Phương trình   có dạng: x  y  2z  D  C     D  5 Phương trình   : x  y  z   Thế x , y , z theo t từ phương trình tham số AB t    H có tọa độ:  4  H , ,   3 3 Câu 28: Cho điểm A  2, 3,  mặt phẳng  P  : x  y  z  17  Gọi A’ điểm đối xứng A qua  P  Tọa độ điểm A’ là:  12 18 34  A A '  , ,   7   12 18 34  C A '  ,  ,   7  7  12 18 34  B A '  ,  ,  7  7  12 18 34  D A '   , ,     7 Lời giải Chọn A  x   2t  Phương trình tham số đường thẳng  d  qua A vng góc với  P  :  y   3t Thế z   t  x , y , z theo t vào phương trình  P  t   14 vào phương trình  d  guao điểm I  d   P  : 14  26 39 69  I  , ,   14 14 14  I trung điểm AA’ nên: Thế t    12 18 34   A' , ,   7  Câu 29: Cho ba điểm A  4, 4,  , B  2, 0,  , C 1, 2, 1 Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB A 13 B 17 C 26 D 19 Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    367     CA   5, 2,1 ; CB  1, 2,5 ; AB   6, 4,    CA, CB  36  169  16    Khoảng cách cần tìm bằng:   13 AB 944 (d1 ) : x  y 1 z 1 x 7 y 3 z 9   , (d ) :   7 1 Câu 30: Cho hai đường thẳng: mặt phẳng ( ) : x  y  z   Hình chiếu ( d ) theo phương ( d1 ) lên mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát:  x  y  z  53  A  x  y  z    x  y  z  53  C  x  y  z    x  y  z  53  B  x  y  z    x  y  z  53  D  x  y  z   Lời giải Chọn C   Vectơ phương ( d1 ) : a  ( 7, 2, 3) Vectơ phương ( d ) : b  (1, 2, 1) Phương trình mặt phẳng chứa ( d ) có phương ( d1 ) có dạng: 2x  y  4z  D  Điểm A(7,3,9) thuộc mặt phẳng  D  53 Giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng ( ) hình chiếu ( d ) theo phương  x  y  z  53  ( d1 ) lên ( ) :  x  y  z   Câu 31: Hai đường thẳng  d1  : Tọa độ A là: A A  3, 2,1 x  y 1 z  x  y  z 1      d  : cắt tạiA 14 5 B A  3, 2,1 C A  3, 2, 1 D A  3, 2,1 Lời giải Chọn B  d1   x   14t '  x   2t   có dạng tham số:  y   3t ;  d  có dạng tham số:  y  2  5t '   z   2t '   z   6t 5  2t   14t '  Hệ phương trình: 1  3t  2  5t ' có nghiệm t   , t '  7  6t   2t '    d1  cắt  d  A  3, 2,1 Câu 32: Cho hai đường thẳng Tọa độ A là: A A(3, 2,1) x 1 y  z x 3 y  z     d2 (d ) : cắt tạiA 14 4 2 B A(3, 2,1) C A(3, 2, 1) D A( 3, 2,1) Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    368  Dễ thấy  d1  / /  d  A 1, 2,    d1  ; B  2, 2,    d    a  1, 2, 2 vectơ phương  d1  ; AB  1,0,0      AB, a   (0, 2, 2)  n   0,1,1   Phương trình mặt phẳng chứa  d1   d  có dạng y  z  D  ,cho qua A D  2 Vậy y  z   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    369  ... 121 2x A  122 x dx  121 2? ?? 4x ln 12  C B  122 x dx  121 2x ln 12  C 121 2x 1 C D  12 dx  ln 12 Lời giải 121 2x C C  12 dx  ln 12 2x 2x Chọn D Ta có  121 2x dx  Câu 3: 121 2x 121 2x 1 12x 12x... a 26 27 B 26 27 C - 27 26 D - 25 27 Lời giải Chọn B Ta c? ?: ị 3x + =ò x -1 dx = ò ( ) dx = x 3x - x -1 2 9x - 9x +1 ò (3x ) - x x - dx æ x - 1d (9 x - 1) = çç x - çè 18 3 x dx - ị 18 1 26 ... = - cot - p + = - p x 2p sin 2 Do a = -1 ; b =  P = - (-1 ) - 32 = -7 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 3 32? ?133    195  Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x - sin2 x A x2 + cos2 x + C B x2