CHUYEN DE BAI TOAN DAO HINH HOC HAY

CHUYEN DE BAI TOAN DAO HINH HOC HAY qưeqửẻytyiuiio;tgvchghkfggdfhghỵghjkgvdsfdfjhj,vzsxzdffgjvbcfgfjghjkmjh,vvxghgjh,jmvcvxfchhk,j,vvxchvm,j,jáhfjghkjtsdsdfdnhghjghjkfdfsdfsgfgjghkghfdzsdfdfhgfhjmnhgnmcxvcxfhgmnbm,bvcvnbvmbnmfgdfgbvb n ,mnvb mnm,mnnmn,bhnvmnm,nmbnnm,bnbbmnm,bn mnm,nmv

CHUN ĐỀ BÀI TỐN ĐẢO HÌNH HỌC Thái Thị Thư Mệnh đề thuận, mệnh đề đảo cách lập mệnh đề đảo * Khái niệm: mệnh đề khẳng định, là sai * Mệnh đề đảo: cho mệnh đề P => Q mệnh đề đảo Q => P * Cách lập mệnh đề đảo: Ở ta xét mệnh đề thuận mệnh đề +) Mệnh đề thuận Nếu có P có Q, mệnh đề đảo Nếu có Q có P +) Mệnh đề thuận Nếu có P có Q có R, lập mệnh đề đảo là: - Nếu có R có Q có P (đây xem dạng đảo hoàn toàn) - Nếu có R có P có Q (đây xem dạng đảo khơng hồn tồn ,mệnh đề thuận đảo có P giả thiết chung ) - Nếu có R có Q có P(mệnh đề thuận đảo có Q giả thiết chung) +) Mệnh đề thuận dạng Nếu có P, có Q, có R cóH, có P, có Q, có R, có I … Có nhiều cách lập mệnh đề đảo cách đổi chỗ giả thiết kết luận cho nhau, giữ lại phần giả thiết mệnh đề thuận làm giả thiết chung * Mỗi toán xem mệnh đề *Ví dụ 1:Ta xét Bài 65 (SGK tốn 7- tập 1- Tr 137) Cho cân A ( ) Vẽ BH  AC (H AC); CK  AB (K AB) Chứng minh: a AH = AK b Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác Bài toán thuận phân giác Chứng minh: a Hướng dẫn học sinh chứng minh Để chứng minh: AH = AK AH = AK AI tia Cần chứng minh có = (cạnh huyền –góc nhọn) = = ; chung; AB = AC(gt) Yêu cầu học sinh trình bày chứng minh tốn b.Cách 1: Ở học sinh chưa học đường đồng quy tam giác nên việc chứng minh AI tia phân giác ta cần chứng minh A (cạnh huyền- cạnh góc vng) K H I Xét có: AI chung; AH = AK(c/m B C trên) Cách 2: Khi học sinh học đường đồng quy tam giác ta có AI đường cao ; mà cân A suy AI phân giác (tính chất tam giác cân) Sau u cầu học sinh trình bày chứng minh Từ tốn tơi lại đặt vấn đề tốn có tốn đảo hay khơng? Ta lập toán đảo?Với đối tượng học sinh lớp hướng dẫn học sinh bước lập tốn đảo đổi chỗ GT VÀ KL để mệnh đề mệnh đề Bài toán đảo 1: Cho CK ( < ), Vẽ BH AC (H cho AK = AH Chứng minh , cân A Chứng minh: A Hướng dẫn học sinh chứng minh theo sơ đồ sau: Để chứng minh: cân A K H I AB = AC B Cần chứng minh: C c.g) Mà có = = ; chung; AH =AK(gt) Sau yêu cầu học sinh trình bày chứng minh cụ thể Tương tự từ kết luận thứ ta có tốn đảo thứ sau: mệnh đề =>*Bài toán đảo 2: Cho Vẽ BH (CK cắt BH I) Chứng minh ( < ) cho AI tia phân giác cân A Chứng minh có A (gt) AI chung K  H (c huyền - góc nhọn) I  C B  cân A ( theo toán đảo 1) => mệnh đề =>*Bài toán đảo 3: Cho phân giác ( cắt BH I Chứng minh ), vẽ < , tia Chứng minh: Gọi K giao điểm A CI AB Do suy (tính chất tam giác cân) K hay I trực tâm => CI (đpcm) H I B C mệnh đề Tôi yêu cầu học sinh tự lập toán đảo chứng minh Để rèn luyện thêm tư sáng tạo cho học sinh đưa tốn nâng cao tí * Ví dụ : Cho CMR: có AB Mệnh đề thuận => > +) Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: để so sánh hai góc ta cần chuyển hai góc tam giác, sau sử dụng định lý quan hệ góc cạnh tam giác Chứng minh: Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD xét có A MA = MD (theo ta lấy) (đối đỉnh) = B M C MB = MC (gt) => D => = AB = CD Bây việc so sánh hai góc Xét => Hay chuyển thành so sánh có CD < AC (gt cmt) > (đ/lí) > (đpcm) Khơng dừng lại đây, tơi tiếp tục hỏi học sinh, liệu điều ngược lại có khơng? Em phát biểu chứng minh điều Mệnh đề đảo 1: => AB < AC mệnh đề => Ta có* tốn đảo1: Cho ,M trung điểm BC cho A Chứng minh: AB < AC > B Việc chứng minh tốn đảo hồn tồn tương M C tự chứng minh toán thuận Chứng minh: Trên tia đối tia MA lấy D điểm D cho MD = MA Ta có: (Theo cm tốn thuận) => Xét có => AC > AB(định lý) hay AB < AC (đpcm) Mệnh đề đảo 2: => M trung điểm BC.Đây mệnh đề sai Vậy với tốn ta có tốn đảo Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, minh CH = = Kẻ CH vng góc với AB Chứng Bài toán thuận => CH = Chứng minh: A Đối với toán học sinh dễ dàng chứng minh CH = có = ; H => CH = B C Từ tơi yêu cầu học sinh lập toán đảo cách tiếp tục đổi chỗ GT với KL ta *Mệnh đề đảo 1: mệnh đề => Từ yêu cầu học sinh phát biểu toán đảo *Bài toán đảo 1: Cho tam giác ABC cân A, có đường cao CH thõa mãn CH = Chứng minh Chứng minh: Xét Mặt khác có nên ; suy = = Tiếp tục đổi chỗ GT KL ta có : *Mệnh đề đảo 2: mệnh đề => Yêu cầu học sinh lập toán đảo chứng minh *Mệnh đề đảo 3: => => *Bài toán đảo 3: Cho tam giác ABC có Chứng minh tam giác ABC cân A Học sinh tự lập toán đảo Chứng minh: Để chứng minh ta cần chứng minh AB = AC Trong có = Dựng tam giác DBC(D A mệnh đề , kẻ đường cao CH cho phía BC) suy Lấy A M trung điểm AB ,xét có: CH = MB(gt);  suy  M CB = BD D H = cân D(DM đường cao đồng thời đường trung tuyến)=> nên  B C = = = (c.g.c) => AB = AC hay cân A Trong chương trình tốn 8, ta xét tốn Ví dụ Bài 16(SBT - Tốn - Tập - trang 81) Chứng minh hình thang tia phân giác hai góc kề cạnh bên vng góc với +) Bài tốn thuận: Nếu tứ giác ABCD hình thang, Ax Dy phân giác => Ax  Dy Chứng minh: Gọi O giao điểm Ax Dy Ta có: (vì tứ giác ABCD hình A thang) Do (gt); (gt) Xét = D có = => Hay Ax  Dy O (đpcm) vuông O y O 12 => B x C Vậy đến nhiều bạn học sinh xem giải xong tốn, việc học tốn khơng nên dừng lại mà phát triển tốn cách đào sâu, khai thác tốn xét mệnh đề đảo : mệnh đề => =>Ta có *bài tốn đảo 1: Chứng minh tứ giác hai tia phân giác hai góc kề cạnh vng góc với tứ giác hình thang Chứng minh: Cho tứ giác ABCD Kẻ Ax tia phân giác , Dy tia phân giác Để chứng minh tứ giác ABCD hình thang ta cần chứng minh AB // CD Cách1: Chỉ (Cặp góc A phía bù nhau) B y Xét ADO có O => D = = Do (gt); (gt) => (Cặp góc phía bù nhau) => AB// CD hay ABCD hình thang Cách 2: Chỉ cặp góc vị trí so le Gọi E giao điểm Ax với DC, ta chứng minh = (cặp góc vị trí so le x C trong) Vì ; mà => = = = + = = Suy AB // CD hay tứ giác ABCD hình thang Vậy sau giải tốn SGK em có thêm tốn riêng Qua tơi thấy thích thú, hào hứng học sinh Bằng cách kết hợp khác ta có tốn đảo * : mệnh => đề Ta có *bài tốn đảo 2: Cho hình thang ABCD từ D kẻ tia Dy vng góc với tia phân giác O Chứng minh Dy tia phân giác Chứng minh: Gọi M giao điểm Ax DC Ta cần c/m = A B ADM cân D O D (vì = y C M so le x trong)) Từ yêu cầu học sinh chứng minh Tương tự ta có tốn đảo Ta có* tốn đảo 3: Cho hình thang ABCD từ A kẻ tia Ax vng góc với tia phân giác O Chứng minh Ax tia phân giác Chứng minh: x Trên đoạn CD lấy điểm M cho: y MC = CA => DM = DB(do CD = CA + BD) (O; ) OM  CD Ta cần chứng minh M Xét có: M = 1800 - cân C) ( C D Xét có: = 180 - ( O B A => = 3600 - 2( + + = 1800 => 1800 = 3600 - 2( => ) mà tứ giác ABCD có + + ) = 900 => + = 900 hay + = 900 => M thuộc nửa đường trịn tâm O đường kính AB (*) Xét cân C (gt) => cân O => Mà + = = = 900 => + = 900  = 900 Hay OM  CD M (**) Từ (*) (**) => CD tiếp tuyến đường trịn tâm O đường kính AB (đpcm) Tiếp tục khai thác toán từ kết luận thứ ta có tốn đảo tiếp theo: *Bài tốn đảo thứ 3: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB A B(Ax, By nửa đường tròn nằm phía mặt phẳng có bờ AB) Điểm M chuyển động nửa đường tròn Qua M vẽ đường thẳng d cắt Ax, By theo thứ tự y X C D cho: AC.BD = R2 D M Chứng minh: d tiếp tuyến (O) C Chứng minh: Từ AC.BD = R2  AC.BD = OA.OB hay A O B Xét có = 900 = ( gt) => => => Mà => (c.g.c) Xét = có + = 900 = 900 + + + = 1800 + = 900 + = 900=> (Theo tốn đảo ta có CD tiếp tuyến) Hay Hoặc: Do (cm trên) => = (do OB = OA = R) hay Xét có = = 900 (c/m trên)  => => C (c.g.c) = Kẻ ON  CD ( N Xét = có: = 900 OC- chung = => = (cm trên) ( cạnh huyền – góc nhọn) => ON = OA = R hay ON = OM => N trùng M suy OM  CD M => CD tiếp tuyến (O) hay đường thẳng d tiếp tuyến (O)(đpcm) Những toán SGK muốn em vươn tầm với tốn khó Giải khó, lập tốn đảo giải tốn đảo lại khó Nhưng khơng ngại khó em kiên trì tìm tịi thứ đơn giản * Ví dụ 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) điểm M cung BC khơng chứa A Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M đến BC, CA, AB Chứng minh: Chứng minh: A Cách 1:Để chứng minh toán ta sử dụng kết toán sau: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) O điểm M cung BC không chứa A Chứng minh MA = MB + MC B K Thật MA lấy điểm N: MB = MN (1) Xét có : MN = MB=> = = 600 (góc nội tiếp chắn cung AB) tam giác Bây sử dụng kết toán ta giải tốn trên: Xét Có (góc nội tiếp chắn cung BM) = AB = BC (gt) = = 600; ( = (c.g.c) => AN = CM (2) Từ (1) (2) => MA = MB + MC (3) = 600) N I H M C Hoặc sử dụng định lý Ptô lê mê ta có tứ giác ABMC nội tiếp => AB.MC + BM.AC = AM.BC => AM = MB + MC Xét Có: = 900 = ( cm ) = (g.g) => => MC = Xét = (4) có: = 900 (Góc nội tiếp chắn cung = MC) (g.g) => => MB = (5) Thay (4) (5) vào (3) ta có: MA = + 1=  = MH( + ) (đpcm) => Sau giải xong tốn tơi lại khuyến khích em tìm cách giải khác Cách 2: Ta có tứ giác ABMC nội tiếp A => AB.MC + BM.AC = AM.BC (định lý Ptô lê mê) => AM = MB + MC O Ta có điểm K, H, I thẳng hàng(đường thẳng Xim- xơn) Tứ giác BKMH tứ giác HICM nội tiếp nên = B K hay MH tia = phân giác Mà I H C M = +  MK MI = MK.MH + MH.MI  MK.MI = MK.MH +MH.MI  = + => Sau giải xong tốn tơi lại khuyến khích em thử phát biểu toán đảo em chứng minh *Bài toán đảo: Cho tam giác nội tiếp (O) điểm M Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M đến BC, CA, AB cho: Chứng minh M thuộc (O) Chứng minh: Giả sử AM cắt (O) M’ Khi nội tiếp (O) M’ Gọi H’, K’, I’ chân đường vng góc kẻ từ M’ đến BC; AB; AC => + (*) + Ta lại có: A (hệ = định lý Ta-lét) O => M’K’ = I' ; M’I’ = (1) B H H' D C K' I Thay (1) vào (*) ta có M' K + = ( M mà = =>  = (2) Gọi D giao điểm AM BC => = (3) Từ (2) (3) => = Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: =  = mà M’D < M’A => MM’ =  M trùng với M’ Hay M thuộc đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC Từ toán ta đặt vấn đề liệu tam giác ABC tam giác ta có hệ thức Từ ta có tốn tổng qt sau: Ví dụ 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc D AC, CB, BA Chứng minh hệ thức: Bài tốn có nhiều cách giải Cách 1: Phân tích tốn tương tự ví dụ 10 K ta áp dụng định lý ptô lê mê tam giác đồng A B H dạng ta có: O D Do tứ giác ABCD nội tiếp nên I AC.BD = AB.CD + AD.BC (1)(định lý ptơ lê mê) C Xét có = = ; (góc nội tiếp chắn cung AD)  (g.g) => (2) Chứng minh tương tự  CD = ta có =>  AD = (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có AC.BD = AB Chia + BC hai vế cho BD.HD ta có (đpcm) Cách 2: Ap dụng tỉ số lượng giác cotang góc nhọn Ta có tứ giác ABCD nội tiếp nên cotg = ; cotg = Chứng minh tương tự ta có cotg cotg cotg => => Xét => = cotg hay có (1) => (2) (3) Thế (1) vào (3) ta (4) Cộng vế theo vế (3) (4) ta có (đpcm) Cách 3: Hướng dẫn học sinh chứng minh theo cách chứng minh định lý Ptô lê mê Trên cạnh AC lấy điểm E cho Xét Có B K A (ta lấy) H E D I C => (tỉ (g.g) => số đồng dạng tỉ số hai đường cao tương ứng) hay (*) Chứng minh tương tự ta có (g.g) => hay (**) Cộng vế theo vế (*) (**) ta có  (đpcm) Sau định hướng cho học sinh cách giải tốn thuận tơi lại động viên khuyến khích em lập toán đảo thử chứng minh xem Hồn tồn tương tự ví dụ 10 ta lập toán đảo sau *Bài tốn đảo: Cho tứ giác ABCD H, I, K hình chiếu D AC, BC, AB Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Để chứng minh tốn tơi đề nghị em xem lại tốn đảo ví dụ 10, từ học sinh định hướng cách cách chứng minh Chứng minh: Gỉa sử tia BD cắt (O) điểm thứ hai D’ theo tốn thuận ta có (*)( B H’, I’, K’ hình chiếu D’ AC, BC AB).Mặt khác ta có O (hệ định lý I' A Ta lét) => D’I’= ; M H' H I K' D' D’K’ = (2) K Thay (1) (2) vào (*) ta có: D mà  (gt)   Gọi M giao điểm BD AC ta có: (4) suy (4) Từ (3) hay Theo tínhchất tỉ lệ thức ta có : C  mà BD > DM nên DD’ hay D D’ suy tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Ví dụ 11 Cho tam giác ABC cân A có BD, CE đường phân giác Chứng minh BD = CE Việc chứng minh toán tương đối đơn giản với đa số học sinh Nhưng sau học sinh giải xong tốn tơi lại tiếp tục u cầu em lập toán đảo chứng minh Bài toán đảo: Cho tam giác ABC có đường phân giác BD, CE Chứng minh tam giác ABC cân A Đây toán tiếng chương trình tốn học phổ thơng, đa số học sinh cảm thấy lúng túng Chứng minh: Cách 1: Để chứng minh cân A ta chứng minh AB = AC ta giả sử điều ngược lại A Đặt BC = a; AB = c; AC = b K Gỉa sử b > c, Do BD phân giác = = => = => nên ta có: E = D B => CD = C Tương tự ta có BE = D o b > c suy CD > BE (1) Dựng hình bình hành BEKD ta có BE = KD (2) Từ (1) (2) => CD > KD => > Ta lại có b > c => = Từ (3) (4) suy > mà + > (3) => + > => (4) > Xét suy CE > EK mà EK = BD => CE > BD- mâu thuẫn với giả thiết Gỉa sử b < c, chứng minh tương tự dẫn đến điều vơ lí Vậy b = c hay cân A Cách 2: Gỉa sử AC > AB Kẻ tia Bx cho (tia Bx A nằm = phía BD),Bx cắt DA F, cắt CE N A x Gọi M giao điểm BD CE Do AC > AB => > => F > suy E N M => N nằm M E > Ta lại có > nên = > suy CF > BF (2) => có: = (g.g) => = (3) - chung Từ (2) (3) suy BD < CN (4) Từ (1) (4) suy BD < CE- mâu thuẫn với giả thiết toán Gỉa sử AC < AB chứng minh tương tự ta suy điều vơ lí Vậy AB = AC hay Để chứng minh = B => CN < CE (1) Xét D cân A cân A ta cần chứng minh ta có cách chứng minh tiếp theo: C Từ cách chứng minh ta vẽ thêm yếu tố phụ tia Bx để tạo nên cặp góc Vậy thiết nghĩ ta tạo hai đoạn thẳng liệu có không? Cách 4: E A 21 12 M N D B Cách 3: Đặt =2 ; cân C Ta có - - – = nên E D = )– - = - - = - - B (1) K Ta có = = - - )– – = nên - - = - (2) Từ (1) (2) ta có : C A = K I CE = CK suy = Vẽ hình =2 bình hành BDCK ta có = C +) Nếu < nên BK < BE (3) Xét có BC – chung; CE = BD(gt) < nên BE < CD (4) Từ (3) (4) suy BK < CD – vơ lí +) Nếu chứng minh tương tự ta suy điều vơ lí Vậy hay cân A Cách 4: Ta chứng minh toán”Nếu hai tam giác ABC EPQ có BC = PQ, = , đường phân giác AD È hai tam giác nhau” Thật vậy: Đặt tam giác ABC EPQ cho BC A PQ, A E nằm phía với BC nằm phía đối E với đường trung trực BC, EF, AD phân giác Do = => bốn điểm B, E, A, C nằm đường tròn O B F C D Gọi N điểm cung BC => EF AD qua N Ta cần chứng minh E A N Gỉa sử E không trùng A giả sử E thuộc cung => cung NE < cung NA  N E < NA mà EF = AD nên  N F < ND,vơ lí  V ậy E A hay ABC = EPQ Sử dụng kết tốn ta xét ABD E có BD = CE, A – chung, AI phân giác chung hai tam giác nên ABD = Hay E E => AB = AC D I cân A B C Ngồi cách chứng minh tốn đảo tơi tiếp tục u cầu em tìm cách chứng minh khác Một số tập áp dụng Bài Các đường trung tuyến BD, CE tam giác ABC cắt I Cho biết tứ giác ADIE ngoại tiếp đường tròn Chứng minh tam giác ABC tam giác cân HD: Chứng minh phản chứng sử dụng bổ đề”Trong tam giác, đường trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ hơn” Bài tốn đảo: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BD CE cắt I Chứng minh tứ giác ADIE nội tiếp đường tròn HD: Sử dụng định lí “Nếu tứ giác ABCD có tổng cạnh đối AB + CD = BC + AD tứ giác ngoại tiếp đường trịn” Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O,điểm M thuộc cung BC không chứa A Gọi MH, MI, MK theo thứ tự đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AB, AC Chứng minh = + HD: Đây toán tổng quát ví dụ 10 Bài 3: Cạnh đáy tam giác cân song song với tia phân giác góc ngồi đỉnh đối diện HD: Ta lập hai toán đảo Bài toán đảo 1: Cho tam giác ABC cân A, kẻ tia Ax song song với BC Chứng minh Ax tia phân giác góc ngồi đỉnh A Bài tốn đảo 2: Cho tam giác ABC, tia phân giác góc đỉnh A song song với cạnh BC Chứng minh tam giác ABC cân A Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn (O), M điểm cung nhỏ BC Chứng minh MA = MB + MC HD: Bài toán chứng minh ví dụ 10 Bài tốn đảo: Cho tam giác ABC điểm M cho MB + MC = MA Chứng minh M thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC HD: Để chứng minh M thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC ta chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp Sử dụng “bất đẳng thức Ptô lê mê ... OA.OB hay A O B Xét có = 900 = ( gt) => => => Mà => (c.g.c) Xét = có + = 900 = 900 + + + = 1800 + = 900 + = 900=> (Theo tốn đảo ta có CD tiếp tuyến) Hay Hoặc: Do (cm trên) => = (do OB = OA = R) hay. .. K' D' D’K’ = (2) K Thay (1) (2) vào (*) ta có: D mà  (gt)   Gọi M giao điểm BD AC ta có: (4) suy (4) Từ (3) hay Theo tínhchất tỉ lệ thức ta có : C  mà BD > DM nên DD’ hay D D’ suy tứ giác... giác ABCD có + + ) = 900 => + = 900 hay + = 900 => M thuộc nửa đường trịn tâm O đường kính AB (*) Xét cân C (gt) => cân O => Mà + = = = 900 => + = 900  = 900 Hay OM  CD M (**) Từ (*) (**) =>