chuyen de PT da thuc thanh nhan tu

GIÁO ÁN DẠY HSG TOÁN NĂM HỌC 2009-2010 Ngày soạn: CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/ MỤC TIÊU: - HS nắm phương pháp phân tích thành nhân tử - HS thực hành phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo, vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán liên quan, - Rèn luyyện tư logic, khả phán đốn, suy luận thơng qua dạng tập - Giáo dục ý thức học tập chủ động tích cực, sáng tạo, tinh thần say xua, hứng thú học tập II/ CHUẨN BỊ - GV: nghiên tài liệu, soạn nội dung dạy - HS: làm việc theo hướng dẫn GV - Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Toán Sách tập Toán Toán bồi dưỡng đại số 400 toán chọn lọc Toán học tuổi trẻ số hàng tháng Toán học tuổi thơ II số hàng tháng Tuyển tập toán chọn lọc THCS III/ NỘI DUNG Tuần: PHẦN 1: GV GIỚI THIỆU CÁC PP PHÂN TÍCH ĐA THỨC YHÀNH NHÂN TỬ phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp : + Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc( kể dấu chúng) b) Ví dụ: +) 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a) +) 2x( y – z) + 5y( z –y ) = 2(y- z) – 5y(y- z) = (y – z)(2- 5y) +) xm + xm+3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) 2) Phương pháp dùng đẳng thức a) Phương pháp: Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ: 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x- 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Phương pháp: Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b) Ví dụ: 2x3- 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 - 2xy + y2 – 16 = ( x- y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) 4) Phối hợp nhiều phương pháp a) Phương pháp :+ Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b) Ví dụ: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x( y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 - 6axy2 – 3a2 xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y –y2 – 2ay- a2+ 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) - (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1)- ( y+ a)][(x – 1) + (y+ a)] = 3xy( x -1 – y – a)(x -1 +y + a) Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a) Phương pháp: Tách hạng tử thành hani hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung b) Ví dụ: Phân tích: x2 - 6x + * Cách 1: x2 – 6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x- 2)(x- 4) * Cách 2: x2 - 6x + = x2 – 6x + - = (x – 3)2 – = ( x – -1)(x-3 + 1) = (x- 4)( x- 2) * Cách 3: x2 - 6x + = x2 – – 6x + 12 = ( x – 2)(x+ 2) – 6(x- 2) = (x- 2)(x- 4) * Cách 4: x2 - 6x + = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x- 4)(4 + x) - 6(x – 4) = (x- 4)( x + – 6) = (x - 4) ( x – 2) * Cách : x2 - 6x + = x2 – 4x + – 2x + = (x- 2)2 – 2( x -2) = (x- 2)( x- – 2) = ( x- 2)(x – 4) Tuy có nhiều cách tách thơng dụng hai cách sau: * Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax + bx + c thành nhân tử ta làm sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx tách thành hạng tử bậc Ví dụ: 4x2 – 4x – Tính tích: ac = 4.(-3) = - 12 Phân tích : - 12 = -1.12 = 1.(-12) = - 2.6 = -3.4 = 3.(-4) Chọn thừa số có tổng : - (-6) 4x2 – 4x – = 4x2 + 2x - 6x – = 2x(2x + 1) – 3(2x+ 1) = (2x+ 1)(2x – 3) * Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Ví dụ: 4x2 – 4x – = 4x2 – 4x +1 – = ( 2x – 1) -22 = ( 2x -1 -2)( 2x- 1+ 2) = (2x + 1)(2x- 3) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x-2)2 – x2 = ( 2x – – x)(2x – + x) = (x -2)(3x – 2) phương pháp thêm bớt hạng tử a) Phương pháp : Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2 – b2 sau thêm bớt b) Ví dụ: 4x4+ 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2+ 9)2 – (6x)2 = (2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 +1)(x- 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2+ x+ 1)(x5- x4 – x2 - x + 1) II Các phương pháp khác: Phương pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ) a) Phương pháp: Đặt ẩnphụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng cac phương pháp b) Ví dụ: Đa thức cho có dạng : +) 6x4- 11x2+ Đặt x2 = y ta có 6y2-11y + = ( 3y – 1)( 2y – 3) Vậy : 6x4- 11x2+ = (3x2 – 1)( 2x2 – 3) +) (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + Đặt x2 + x = y Ta có y2 + 3y +2 = ( y + 1)( y + 2) Vậy : (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + = (x2 + x + 1)(x2+x + 2) 2.Phương pháp hệ số bất định a) Phương pháp: Phân tích thành tích hai đa thức bậcnhất bậc hai hay đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai dạng ( ax +b)( cx2 + dx + m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức vơí hệ số đa thức b) Ví dụ: x3 – 19x – 30 Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + ( ab + c)x + ac Vì hai đa thức đồng a+ b = ;ab + c = -19 ac = -30 Chọn a =2, c = - 15 Khi b = - thoả mãn điều kiện Vậy: x3 – 19x – 30 = (x + 2))( x2 - ;2x – 15) Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp: Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định số lại b) Ví dụ: p = x2( y – z) + y2 (z – c) + z(x - y) Thay x y p = y2 ( y – z) + y2( z – y) = Như p chứa thừa số(x – y) Ta thấy thay x y , thay y z, thay z x p khơng đổi (đa thức p hốn vị vịng quanh) Do p chứa thừa số ( x – y) chứa thừa số ( y – z), ( z – x) Vậy p có dạng k(x – y)(y – z)(z- x) Ta thấy k phải số p có bậc tập hợp biến x, y, z; cịn tích (x – y)(y- z)(z – x) có bậc tập hợp biến x,y,z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x –y)(y – z)(z- x) với x, y, z Nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng chẳng hạn: x =2 , y = 1, z = ta 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) suy k =1 Vậy p = -(x – y)(y – z)(z – x) = (x- y)(y – z)( x – z) Phương pháp tìm nghiệm đa thức: a) Phương pháp: Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên cảu đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ: x3 + 3x – Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử ( x- a) nhân tử cịn lại có dạng x2 + bx = c suy –ac = - suy a ước - Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước (-4) -1; 1; -2; 2; - 4; Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức suy đa thức chứa nhân tử ( x – 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x – 1) * Cách 1: x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x -1)(x + 1) = ( x – 1)(x2+ 4x +4) = (x- 1)(x+ 2)2 * Cách 2: x3 + 3x2 – = x3 – + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1) = ( x – 1)( x+ 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức chứa nhân tử (x – 1) + Nếu đa thức có tổng hệ số ;các hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ: * Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – có 1-5 + – = Suy đa thức có nghiệm hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1) * Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + có (- 5) + = 1+ Suy đa thức có nghiệm -1 hay đa thức chứa thừa số ( x+ 1) + Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p/q p ước hạng tử khơng đổi, q ước dương hạng tử cao Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – Nghiệm hữu tỷ Nếu có đa thức là: ( - 1); 1; (-1/2); 1/2 ; ( -3/2); 3/2 ; -3 Sau kiểm tra ta thấy x = 1/2 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x - 1/2) hay (2x – 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x – 1) 2x3 - 5x2 + 8x – = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – = x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3) Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c Nếu b2 – 4ac bình phương mmột số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số một; phương pháp biết Nếu b2 – 4ac khơng bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp b) Ví dụ: 2x2 – 7x + a = , b = -7 , c = Xét b2 – 4ac = 49 – 4.2.3 = 25 = 55 Suy Phân tích thành nhân tử: 2x2 – 7x + = ( x – 3)(2x – 1) Hoặc phân tích cách để bình phương đủ 2x2 – 7x + = 2/9x2 – 7/2x + 3/2 = 2( x2 – 2.7/4 + 49/16 – 25/16) = 2[(x – 7/4)2 – (5/4)2] = 2(x – 1/2)(x – 3) = (2x -1)(x- 3) Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c có nghiệm x1 , x2 P(x) = a( x- x1)(x – x2) ; ; PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC Bài tốn rút gọn biểu thức a) Ví dụ: Cho A = (;) a) Rút gọn A b) Tính giá trị A với x = 998 c) Tìm giá trị x để A > b) Đường lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức p;;;;hát triển trí thơng minh Bài tốn giải phương trình: a) Đường lối giải: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B = b) Ví dụ: +) Giải phương trình: ( 4x + 3)2 – 25 = Giải : áp dụng phương p;;;háp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng 8(2x – 1)( x+ 2) = ⇒ x = 1/2 x = -2 +) Giải phương trình: 3x2 + 5x - = Giải: áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng ( 3x – 1)( x + 2) = ⇒ x = 1/3 x = -2 Bài tốn giải bất phương trình a) Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích ( A.B < 0) A.B > 0) hay bất phương trình thường b) Ví dụ: Giải bất phương trình x − >1 x−2 x−3 −2 >0 ( x − 2)( x − Vì - < ⇒( x- 2)(x- 3) < ⇒ < x< 3x3 – 10x – > ⇒ ( 3x + 2)( x – 4) > lập bảng xét dấu tích ⇒ x < - 2/3 hoạc x > 4; Bài toán chứng minh chia hết a) Đường lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết b) Ví dụ: * Chứng minh ∀x ∈ Z ta có biểu thức: P = ( 4x + 3) – 25 chia hết cho Phân tích P = 8( 2x – 1)( x + 1) chia hết cho * Chứng minh rằng: ∀n ∈ Z biểu thức n n n3 + + Biến đổi biểu thức dạng số nguyên 2n + 3n + n Và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hết ch;o 2n + 3n + n3 = n( n+ 1)( n +2) tích số ngun liên tiếp có thừa số chia hết cho chia hết cho mà (2;3) = nên tích chia hết cho Vậy ∀n ∈ Z biểu thức n n n3 + + số nguyên * GV lưu ý: Trên loại toán áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Tất nhiên khơng có dạng mà cịn có số tập khác ( khơng điển hình, gặp) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải tốn nhanh hơn, thơng minh Đường lối giải tập học sinh biết vận dụng phương pháp thích hợp để giải Giáo viên tác động đến đối tượng cho phù hợp với học sinh trung bình cần gợi ý tỷ mỉ, học sinh giỏi nêu nét hướng dẫn giải theo đường ngắn Có học sinh tích cực tìm tịi phát huy trí học Qua tập vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần rèn luyện củng cố phương pháp tư tổng hợp ;;;;;;;;;;;;;;;;; ... 2) * Cách : x2 - 6x + = x2 – 4x + – 2x + = (x- 2)2 – 2( x -2) = (x- 2)( x- – 2) = ( x- 2)(x – 4) Tuy có nhiều cách tách thơng dụng hai cách sau: * Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng... nhân tử Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải tốn nhanh hơn, thông minh Đường lối giải tập học sinh biết vận dụng phương pháp thích hợp để giải Giáo