Đang tải... (xem toàn văn)
PhÇn “ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö” ë líp 8 lµ mét néi dung quan träng, bëi kiÕn thøc nµy cã liªn quan chÆt chÏ, lµ tiÒn ®Ò ®Ó häc sinh häc tèt c¸c kiÕn thøc vÒ sau.[r]
(1)A Phần mở đầu I/ Lí chọn đề tài
Cùng với phát triển đất nớc, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Các nhà trờng ngày trọng đến chất lợng giáo dục toàn diện bên cạnh đầu t thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trị mơn học cơng cụ, mơn tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác
Dạy nh để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy ln đặt cho
Để đáp ứng đợc yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Điều địi hỏi giảng dạy phải biết chắt lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tốt t toán học
Với đối tợng học sinh khá, giỏi, em có t nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày cao, làm để học sinh phát huy hết khả mình, trách nhiệm giáo viên Bản thân tôi, năm học 2010 – 2011 ddợc nhà trợng phân cơng giảng dạy mơn tốn tơi nhận thấy “Các phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử " đề tài lí thú, phong phú đa dạng mơn
®ai sè lớp thiếu bồi dỡng học sinh giỏi môn toán nh môn toán THCS Với viết này, không tham vọng lớn bàn việc dạy Các
ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử "và ứng dụng chơng trình
toỏn hc ph thụng, tụi xin đa số kinh nghiệm giúp học sinh lớp giải tập “Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử " Tơi hy vọng có ích cho đồng nghiệp bồi dỡng học sinh khá, giỏi
II Nhiệm vụ đề tài
Trong khuôn khổ đề tài thân tơi trình bày “Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp giải tập Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử " Cụ thể :
+ Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiu hng t
+ Tách hạng tử thành nhiều hạng tử + Thêm bớt hạng tử
(2)III Đối t ợng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu qua tiết dạy Các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử "trong SGK Toán tập 1, qua định hớng đổi phơng pháp dạy
to¸n
Đối tợng khảo sát : Học sinh lớp IV Ph ơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu - Phơng pháp thực hành
- Đúc rút phần kinh nghiện qua đồng nghiệp thân dạy phần p
ph©n tích đa thức thành nhân tử
Nội dung
* Tr ớc hết học sinh cần nắm vững số ph ơng pháp phân tích bản Ph
ơng pháp 1 : Phơng pháp đặt nhân tử chung (thừa số) 1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 12x2y - 18y3
b 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2
Giải a Các dạng tử có nhân tử chung 6y, đó: 12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2) b Các hạng tử có nhân tử chung 3x(y - 2z) Do ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2
= 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)] = 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z)
(3)Cã thĨ viÕt lµ: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) xuất nhân tử chung (3y - z). Ph
ơng pháp 2 : Phơng pháp dùng đẳng thức. 1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử
a 4x2 - 12x + c 16x2 - 9(x + y)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 b - 27x3y6
Gi¶i a 4x2 - 12x + = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
b 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x+ 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
d - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4)
2 Chú ý: Đôi phải đổi dấu áp dụng đợc đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2
Ph
¬ng pháp 3 : Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2) b 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) c x2 + 2x + - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2
= (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1)
2 Chó ý: §èi víi đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử Chẳng hạn ví dụ a ph©n tÝch nh sau:
xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10) = x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5)
3 Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thờng phối hợp phơng pháp kể Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung đa thức ngoặc đơn giản đa thức cho Do tiếp tục phân tích n gin hn
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
(4)* Khi học sinh nắm ph ơng pháp phân tích giáo viên đ a ra một vài ph ơng pháp th ờng dùng phân tớch a thc thnh nhõn t
i Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử
Tam thøc bËc hai: F(x) = ax2 + bx + c
Ph
ơng pháp : Tách hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + 8.
* Nhận xét: Đa thức khơng có thừa số chung, khơng có dạng hằng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử thành hay nhiều hạng tử.
LG: C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tư) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Cách 2: N = a2 - 6a + - (T¸ch = - 1)
= (a2 - 6a + 9) - (nhóm hạng tử - xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Sử dụng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
C¸ch 3: N = a2 - 4a + - 2a + (T¸ch = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tư)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng nhân tử)
VÝ dô 2: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + 8
Giải Cách 1: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x +
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
C¸ch 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - 1
(5)= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) C¸ch 4: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) C¸ch 5: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) C¸ch 6: x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4)
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng tam thøc bËc hai ax2 + bx + c ta làm nh sau
+ Bớc 1: Tìm tích a.c
+ Bớc 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách + Bớc 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng b
Trong vÝ dơ trªn x2 - 6x + cã a = 1; b = - vµ c = 8.
Tích a.c = 8, ta phân tích thành tích thừa số, hai thừa số dấu (vì tích chúng 8) âm (để tổng chúng - 6); ví dụ: (- 4, - 2)
VÝ dơ 3: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - Giải
Cách 1: Cách hạng tử thø
9x2 + 6x - = 9x2 - 6x + 12x - = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4)
Chú ý hệ số đợc phân tích thành - 12, có tích 72 9.(- 8) Cách 2: Tách hạng tử thứ
9x2 + 6x - = (9x2 + 6x + 1) - = (3x + 1)2 - 9 = (3x + + 3)(3x + - 3) = (3x + 4)(3x - 2) *Chó ý:
Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tơng tự nh đa thức bậc một biến
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải
C¸ch 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
C¸ch 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
(6)Tam thøc bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d
*Trớc tiên học sinh phải năm vững số kiến thức nghiệm đa thức a Định nghĩa nghiệm đa thức
S a đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0, nh đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a
* Khi xét nghiệm đa thức ta cn nh cỏc nh lý sau:
b Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức
c Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẽ - nghiệm đa thức
d nh lý 3: Nếu đa thức f(x) với hệ số ngun có nghiệm ngun nghiệm ngun ớc hệ số tự
Chó ý: §Ĩ nhanh chóng loại trừ ớc hệ số tự do, không nghiệm đa thức dùng nhận xét sau:
Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f(1)
a−1 vµ
f(−1)
a+1 số nguyờn
Ví dụ 1: phân tích đa thức thành nh©n tư : f(x) = x3– x2 - 4
Giải
Lần lợt kiểm tra với x = 1; 2; 4, ta thÊy f(2) = 23 – 22 - =
Đa thức có nghiệm x =2, chứa nhâ tử x - Cách 1: x3 – x2 - = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x - 4
= x2(x – 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + x+ 2) C¸ch 2: x3 – x2 - = x3 – – x2 + 4
= (x – 2)(x2 + 2x + 2) - (x + 2) (x – 2)
= (x – 2)( x2 + 2x + –x – 2) = (x – 2)(x2 + x+ 2) VÝ dô 2: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
Cã c¸c íc cđa 18 lµ: 1; 2; 3; 6; 9; 18 f(1) = - 13 + - 18 = - 18
f(-1) = - - 13 - - 18 = - 44
Hiển nhiên không nghiệm f(x), ta thÊy: −18
(−3−1) ;
−18
(±6−1) ;
−18
(±9−1) ;
−18
(±18−1) kh«ng nguyªn nªn - 3; 6; 9; 18 không nghiệm f(x);
44
(2+1)
(7)e Định lý 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ x = p
q p ớc
của hệ số tự do, q ớc dơng hệ số cao * Các tập
Phân tích đa thức thành nhân tử a, x3 - 5x2 + 8x – 4
b, x3 - 5x2 + 3x + 9 c, 2x3 - x2 + 5x + 3 Đáp án
a, x3 - 5x2 + 8x - 4
Ta thấy đa thức cho có tổng hệ số - + - = 0, nên nghiệm đa thức Đa thức cho chứa thừa số x - 1; ta tách hạng tử nh sau:
x3 - 5x2 + 8x - = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - 4 = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 b, x3 - 5x2 + 3x + 9
Ta thấy hệ số đa thức + = - + 9, nên đa thức cho có nghiệm -1, đa thức chứa thừa số x +
Ta t¸ch nh sau: x3 - 5x2 + 3x + = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9 = x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2 c, 2x3 - x2 + 5x + 3
Ta thÊy 1; nghiệm đa thức, xét số hữu tỷ dạng p/q vứi p Ư(2) q Ư(3) gồm
2 ;
3
2 Ta cã -
2 nghiệm đa thức nên nã chøa thõa sè 2x +
VËy: 2x3 - x2 + 5x + = 2x3 + x2 - 2x2 + 6x - x + 3 = x2(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x2 - x + 3
II phơng pháp thêm bớt hạng tử 1 Thêm bớt hạng tử làm xuất củ hai bình phơng
(8)Ta nhn thy a thức cho tổng bình phơng (2x2)2 + 92 tơng ứng với số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 + 2AB + B2 thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức:
Ta cã: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9). Ví dụ2 Phân tích đa thức thành nhân tử : 64x4 + y4
LG Thªm bít 16 x2y2
64x4 + y4 = 64x4 + 16 x2y2 + y4 - 16 x2y2 = (8x2 + y2)2 – (4xy)2 = (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 - 4xy)
Chú ý: Nh vây việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình phơng tổng hay hiệu hai bình phơng phân tích triệt để c
* Các tập
Phân tích đa thức thành nhân tử a, 4x4 + 1
b, 4x4 + y4 c, x4 + 324 d, x4 + e, a4 + 64
* Híng dÉn giải a, 4x4 + Thêm bớt 4x2 b, 4x4 + y4 Thªm bít 4x2y2 c, x4 + 324 Thªm bít 36x2 d, x4 + Thªm bít 4x2 e, a4 + 64 Thªm bít 16a2
2 Thêm bớt số hạng để làm xuất thừa số chung Ví dụ1 Phân tích đa thức thành nhân tử : x5 + x -
LG
C¸ch 1: x5 + x – = x5 – x4 + x3 + x4 – x3 + x2 – x 2 + x - 1 = x3(x 2 - x + 1) + x2(x 2 - x + 1) - (x 2 - x + 1)
= (x 2 - x + 1) (x 3 + x2 - 1) Cách 2: Thêm bớt x2
(9)= x2(x3 +1) - (x 2 - x + 1) = (x 2 - x + 1)[x2(x 2 + 1) – 1] =(x 2 - x + 1) (x 3 + x2 - 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : x2 + x2 + LG
x2 + x2 + = x2 - x + x2 + x + 1 = x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)]
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1).
III phơng pháp biến đổi
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tö : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 LG
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)( x2 + 10x + 24) + 128 Đặt
x2 + 10x + 12 = t đa thức cho có dạng (t – 12)(t + 12) + 128 = t2 – 16 = (t + 4)(t – 4)
= (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) NhËn xÐt:
Trong ví dụ trên, nhờ phơng pháp biến đổi, ta đa đa thức bậc bốn x thành đa thức bậc hai t
* Các tập
Phân tích đa thức thành nhân tử a, (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
b, (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 * Híng dÉn gi¶i
a, Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y - 12. Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12
= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tơng đơng với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)
(10)= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)
b, (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x3 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tơng đơng với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)
Iv Phơng pháp hệ số bt nh
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3 LG
C¸c hƯ sè 1; Ư(3) nhng nghiệm đa thức nên đa thức nghiệm hữu tỷ
Nh vậy, đa thức phân tích sÏ cã d¹ng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả:
x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta đợc
a + b =
ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd =
XÐt bd = víi b, d z; b { 1; 3}; víi b = d = Hệ thành:
a + b = - ac = a + bc = -14
2c = -14 -(-6) = c = - 4; a = -
Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3
(11)V Phơng pháp xét giá trị tuyệt đối
Trong phơng pháp trớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định tha s cũn li
Ví dụ1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) LG
Nên thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y)
Nh vËy P chøa thõa sè x - y Do vai trß cđa x, y, z nh P nªn P chøa x - y chứa y - z z - x
Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z
Ta cã: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= k(x - y)(y - z)(z - x) ỳng vi x, y, z
Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta cã: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = -
VËy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
c c¸c øng dơng cđa
phân tích đa thức thành nhân tử
1 Chứng minh quan hÖ chia hÕt
(12)VÝ dô: Chøng minh r»ng
A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt cho 24 víi mäi sè tù nhiªn n Ta cã 24 = 8.3
A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6)
= n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1)(n2 + 5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trong số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + có thừa số chia hết cho 2, số chia hết cho 4, A chia hết cho
MỈt khác số tự nhiên liên tiếp tồn mét sè chia hÕt nªn n(n + 1)(n + 2) chia hết cho
Vì ƯSCNN (3,8) = nªn A chia hÕt cho
VËy A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) chia hÕt cho với n. 2 Giải phơng trình bậc cao
F(x) = có nghiệm thờng đợc giải cách phân tích f(x) thành nhân tử giải phơng trình bậc ẩn
VÝ dơ 1: Giải phơng trình
(x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192
(x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
(x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192
(x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 3) = 192 Đặt x2 + 2x - = y ta cã:
(y + 2)(y - 2) = 192 y2 - = 192 y2 = 196 y = 14 * Víi y = 14 ta cã x2 + 2x - = 14
x2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5) = x = vµ x = - 5 * Víi y = - 14 ta cã x2 + 2x - = - 14
x2 + 2x + 13 = (x + 1)2 + 12 = (loại) Vậy nghiệm phơng trình lµ x = vµ x = - VÝ dụ 2: Giải phơng trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16
Đặt x - = y, phơng trình cho (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16
2y4 + 12y2 + = 16 y4 +6y2 + = y4 +6y2 - = 0
(y2 - 1)(y2 + 7) = 0
(13)Vậy x = x = nghiệm phơng trình 3 Tìm tập xác định rút gọn phân thức
Muốn tìm tập xác định rút gọn phân thức đại số ta phải phân tích mẫu thức tử thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Tìm tập xác định rút gọn phân thức sau
A = x
3 - 5x2 - 2x + 24 x3 - x2 - 10x - 8
Ph©n tÝch tö thøc: x3 - 5x2 - 2x + 24
= x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2)
(x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x + 4) Ph©n tÝch mÉu thøc: x3 - x2 - 10x - 8
= x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 3x - 4) (x + 2)(x + 1)(x - 4)
Tập xác định phân thức x -1; x -2; x Phân thức đợc rút gọn
A = (x + 2)(x - 3)(x + 4) = x - (x + 2)(x + 1)(x - 4) x + 4 Giải bất phơng trình
Ví dụ 1: Gải bất phơng trình sau: x2 - 2x - < 0
x2 - 4x + 2x - < 0
x(x - 4) + 2(x - 4) <
(x - 4)(x + 2) < LËp b¶ng xÐt dÊu:
x -
x +2 - + +
x - - - +
(x - 4)(x + 2) + - +
NghiƯm cđa bÊt phơng trình - < x < Ví dụ 2: Giải bất phơng trình
x3 - 3x + 2
x2 - 5x + 6
(14)- Tập xác định x 2, x
- Biến đổi tử thức: x3 - 3x + = (x - 1)(x - 2)
- Bất phơng trình cho tơng đơng với bất phơng trình sau: x -
x -
- LËp b¶ng xÐt dÊu
x
x - - + +
x - - - +
x −1
x+3 + - +
- Nghiệm bất phơng trình x 1vµ x
d KÕt luËn
Với kinh nghiệm nh trình bày, sau nhiều năm bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, thân tơi thấy trình độ học sinh đợc nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh phân tích thành thạo tam thức bậc thành nhân tử Học sinh giỏi sử dụng linh hoạt phơng pháp nh đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào đa thức phức tạp thành nhân tử Học sinh tỏ sáng tạo trình giải tập, tập em giải theo nhiều cách, sau em lựa chọn cách giải dễ hiểu để trình bày
e Bµi häc kinh nghiƯm
Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” lớp nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề để học sinh học tốt kiến thức sau Do trớc tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phơng pháp phân tích nêu SGK, tiếp đến phơng pháp tách hạng tử, đặc biệt tách tam thức bậc phơng pháp hay sử dụng Với học sinh giỏi cần hớng dẫn thêm cho em phơng pháp thêm bớt, đặt ẩn phụ, phơng pháp hệ số bất định Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, giáo viên cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo tìm tịi cho em
Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao./
(15)