CHUYÊN Đề Phân Tích đa thức thành nhân tử Đ1: PP đặt nhân tử chung Đ2: PP dùng hằng đẳng thức. (đã học trong SGK) Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt. Dạng1: f(x) = ax 2 + bx +c VD1: f(x) = x 2 + x - 6 C 1 , = x 2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x+ 3)(x - 2) C 2 , = x 2 - 9 + x + 3 =(x - 3)(x + 3) +(x + 3) =(x +3)(x - 2) C 3 , = (x 2 + 6x + 9)- 5x - 15 =(x + 3) 2 - 5(x + 3) =(x +3)(x + 3 - 5) =(x + 3)(x - 2) 1 1 1 C 4 , =x 2 + 2.x + - - 6 2 4 4 1 25 =(x + ) 2 - 2 4 1 5 1 5 =(x + - )(x + + ) 2 2 2 2 =(x - 2)(x - 3) C 5 , =x 2 - 4x + 4 + 5x - 10 =(x - 2) 2 + 5(x - 2) =(x - 2)(x - 2 + 5) =(x - 2)(x + 3) Nhận xét: * Mục đích làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. * Có nhiều cách tách hoặc thêm bớt hạng tử. * Cách 1 và cách 4 dể phát hiện. Tổng quát: f(x) = ax 2 + bx + c C 1 , Tách b = b 1 + b 2 Thoả mản b 1 .b 2 = a.c C 2 , B 1 , Đa f(x) về dạng: x 2 + bx + c b b b 2 B 2 , f(x) = x 2 + 2.x +( ) 2 - + c 2 2 4 b b 2 - 4c b 2 - 4c 1 = (x + ) 2 - (Nếu = m 2 ) 2 4 4 b b = (x + - m)(x + + m) 2 2 Chú ý: Nếu mọi (b 1 ,b 2 ) không thoả mãn b 1. b 2 = ac b 2 - 4c Hoặc không viết đợc dới dạng m 2 thì f(x) không pt đợc 4 VD 2 : Ptđt x 2 + 4x - 5 C 1 , = x 2 + 5x - x - 5 C 2 , = x 2 + 2.2x + 4 - 9 = x(x + 5) - (x + 5) = (x + 2) 2 - 3 2 = (x + 5)(x - 1) = (x + 5)(x - 1) PVD: f(x) = x 2 + 4x - 3 C 1 , Có ac = 1.(- 3) = -1.3 C 2 , = x 2 + 4x + 4 - 7 Nhng 1 + (-3) = -2 4 = b = (x + 2) 2 - 7 - 1 + 3 = 2 4 = b Số 7 không phải số chính phơng Nên f(x) không pt đợc trên Q Dạng2: f(x) là đa thức bậc cao (kết hợp với pp khác) Bài tập: Ptđt thành nhân tử: a, x 2 - 2x - 3 = (x 3)( x + 1) b, 4x 2 - 4x 3 = (2x 3)(2x + 1) c, 6x 2 - 11x + 3 = (3x 1)(2x 3) d, 2x 2 + 3x - 27 = (x 3)(2x + 9) e, 3x 2 - 8x + 4 = (x 2)(3x 2) g, 2x 2 -5xy + 3y 2 = (x 3y)(2x y) h, 2x 2 - 5xy - 3y 2 = (x 3y)(2x + y) i, 2x 2 + 5xy - 7y 2 = (2x + 7)(x y) Đ5: PP đổi biến. VD 1 : f(x) = x 4 - 8x 2 + 12 Đặt : x 2 = t f(t) = t 2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) Thay t = x 2 f(x) = (x 2 - 2)(x 2 - 6) VD 2 : f(x) = (x 2 +x) 2 + 4x 2 + 4x - 12 = (x 2 + x) 2 + 4(x 2 +x) - 12 Đặt x 2 + x = t f(t) = t 2 + 4t - 12 = ( t - 2)( t + 6) Thay t = x 2 + x f(x) = (x 2 + x - 2)(x 2 + x + 6) = (x + 2)(x - 1)(x 2 + x + 6) VD 3 : f(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) - 12 C 1 , Đặt x 2 + x = t f(t) = (t + 1)(t + 2) -12 = t 2 + 3t + 2 - 12 = t 2 + 5t - 2t - 10 = t(t + 5) - 2(t + 5) 2 = (t + 5)(t - 2) f(x) = (x 2 + x + 5)(x 2 + x - 2) = (x + 2)(x - 1)(x 2 + x + 5) C 2 , Đặt x 2 + x + 1 = y f(t) = t(t +1) - 12 = t 2 + t -12 = (t - 3)(t + 4) f(x) = (x 2 + x + 1 - 3)(x 2 + x + 1 + 4) = (x + 2)(x - 1)(x 2 + x + 5) Tổng quát: B 1 , Viết f(x) = f(g(x)) = f(t) Với t = g(x) B 2 Ptđt f(t) Thành nhân tử B 3 , Thay t = g(x) vào f(t), rồi pt f(x) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử a, (x 2 + 3x + 1) 2 + 2x 2 + 6x 13 = (x 2 + 3x + 1) 2 +2(x 2 + 3x + 1) 15 = t 2 + 2t 15 = (t + 5)(t 3) = (x 2 + 3x + 6) (x 2 + 3x - 2) b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x 2 + 10x)(x 2 + 10x + 24) +128 = t (t + 24) + 128 = t 2 + 24t + 128 = t 2 + 16t + 8t + 128 = (t + 16)(t + 8) = (x 2 + 10x + 16) (x 2 + 10x + 8) = (x + 8)(x + 2)( x 2 + 10x + 8) c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 = (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) 3 = t (t + 2) 3 = t 2 + 2t 3 = (t + 1) 2 4 = (t + 3)(t 1) = (x 2 + 5x + 7)(x 2 + 5x + 3) d, x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 C1, +++= 2 22 11 676 x x xxx + + += 7 1 6 1 2 22 x x x xx Đặt x x 1 = t t 2 = 2 2 1 x x + - 2 = x 2 (t 2 + 6t + 9) = x 2 (t + 3) 2 = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 13 13 += + xx x xx x C2, ( thêm bớt dùng hằng đẳng thức (a + b + c) 2 ) = x 4 + 9x 2 + 1 + 6x 3 2x 2 6x Đ6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm 3 Kiến thức liên quan: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (có thể áp dụng đ/v bậc cao hơn) * 1 , f(x) có nghiệm x = f() = 0 f(x) = (x - ).g(x) * 2 , Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực hiện đợc với x R ) x a b c d a 1 = a b 1 = a +b c 1 = b 1 +c d 1 = c 1 +d Ư(d) * 3 , Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có dạng Ư + (a) * 4 , Đặc biệt: f(x) có tổng các hệ số bằng không f(1) = 0 f(x) có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ f(- 1) = 0 VD 1 : f(x) = x 3 + 3x 2 - 4 F(x) có tổng các hệ số bằng 0 f(x) có nghiệm x = 1 x 1 3 0 - 4 1 1 4 4 0 Vậy f(x) = (x - 1)(x 2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2) 2 Trình bày: C 1 , x 3 + 3x 2 - 4 C 2 , x 3 + 3x 2 - 4 = x 3 - x 2 + 4x 2 - 4 = x 3 - 1 + 3x 2 -3 = x 2 (x - 1) + 4(x 2 - 1) = (x - 1)(x 2 + x + 1) + 3(x 2 -1) = (x - 1)(x 2 + 4x + 4) = (x - 1)(x 2 + x + 1 + 3x + 3) = (x - 1)(x + 2) 2 = (x - 1)(x + 2) 2 VD 2 : f(x) = 2x 3 - 5x 2 + 8x - 3 Ư(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 } Ư(2) = { 1 ; 2 } 1 3 Nghiệm hữu tỉ nếu có là: 1 ; ; 3 ; 2 2 Thử nghiệm: f( 1 / 2 ) = 0 f(x) có nhân tử (x - 1/2) hay (2x - 1) Trình bày: f(x) = 2x 3 - 5x 2 + 8x - 3 = 2x 3 - x 2 - 4x 2 + 2x + 6x - 3 = x 2 (2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(x 2 - 2x + 3) Bài tập Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử a, x 3 - x 2 - 4 = ( x 2 )( x 2 + x + 2 ) b, 2x 3 5x 2 x + 6 = ( x + 1 )( x 2 )( 2x 3 ) c, 3x 3 + 5x 2 - 5x + 1 = ( 3x 1 )( x 2 + 2x 1 ) d, 2x 4 - 3x 3 + 2x 2 1 = ( x 1 )( 2x + 1 )( x 2 x + 1 ) e, 2x 4 + x 3 - 4x 2 + x 6 = ( x + 2 )( 2x 3 )( x 2 + 1 ) f, x 5 - 6x 3 + x 2 + 8x 4 = ( x 1 )( x 2 )( x + 2 )( x 2 + x + 1) g, x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 = ( x + 1 )( x 2 + x - 1 ) 4 h, 2x 3 3x 2 + 3x - 1 = ( 2x 1 )( x 2 - x + 1 ) i, 3x 3 14x 2 + 4x + 3 = ( 3x + 1 )( x 2 - 5x + 3 ) Đ7 : PP hệ số bất định Tổng quát : dạng bậc ba f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1) = (x + m)(ax 2 + b' x + c' ) (*) = ax 3 + (am + b' )x 2 + (b' + c' )x + c'm (2) Đồng nhất hai đa thức (1) và (2) ta có : am + b' = b b' + c' = c b'= ? , c'= ? , m = ?. c'm = d Thay b' , c' , m vào (*) ta có dạng phân tích. Chú ý : Ta chỉ cần chọn một nghiệm nguyên nên ta có thể chọn trớc giá trị của c và m sao cho cm = d VD 1 : f(x) = x 3 + 4x 2 + 5x + 2 (1) = (x + m)(x 2 + b'x + c' ) = x 3 + (m + b')x 2 + (b'm + c' )x + c'm (2) m + b' = 4 m = 1 m = 2 Từ (1) và (2) b'm + c' = 5 b' = 3 Hoặc c = 1 c'm = 2 c' = 2 b = 2 f(x) = (x + 1)(x 2 + 3x + 2) Hoặc f(x) = (x + 2)(x 2 + 2x + 1) = (x + 1) 2 (x + 2) = (x + 1) 2 (x + 2) Trình bày : f(x) = x 3 + x 2 + 3x 2 + 3x + 2x + 2 = x 2 (x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = (x + 1) 2 (x + 2) ( Bài này có thể dùng pp nhẩm nghiệm.) VD 2 : f(x) = x 4 + 6x 3 +7x 2 + 6x + 1 Đa thức không có nghiệm hữu tỉ, nên f(x) có thể pt thành dạng : (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) ( Nên chọn b = 1 , d = 1 ) = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức ta có : a+c = 6 ac + b + d = 7 a = b = d = 1 ; c = 5 ad + bc = 6 bd = 1 Trình bày : f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + 5x 3 + 5x 2 + 5x + x 2 + x + 1 = x 2 (x 2 + x + 1) + 5x(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 2 + 5x +1) Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách này trong trờng hợp bất đắc dĩ 5 Dựa vào kết quả pt trên để trình bày theo pp thêm, bớt . Bài tập Bài 1: Pt đt thành nhân tử a, x 4 + 324 = ( x 2 + 6x + 18 )( x 2 - 6x + 18 ) b, 4x 4 + 4x 3 +5x 2 + 2x + 1 = ( 2x 2 + x + 1) 2 c, x 4 - 8x + 63 = ( 1x 2 + 4x + 9 )( 1x 2 - 4x + 7 ) d, 3x 2 + 22xy +11x +37x +7y 2 + 10 = ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 ) H ớng dẫn : d, dạng pt là : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' ) Bài2: Pt đt thành nhân tử a, 4x 4 + 6x 3 +11x 2 + 6x + 1 = (x 2 + 3x + 1) 2 b, 3x 2 22xy 4 x + 8y + 7y 2 + 1 = (3x y 1)(x 7y 1) c, 12x 2 + 5x 12y 2 + 12y 10xy 3 = (4x 6y + 3)(3x + 2y 1) Đ8 : PP giá trị riêng. Tổng quát: B 1 , Đoán nghiệm của đt f(x) chẳng hạn x = a, b, B 2 , f(x) = k(x - a)(x - b) (1) B 3 , Chọn x = m (bất kì ) Thay vào (1) tìm đợc k dạng pt. VD 1 : f(x) = x 3 - 19x + 30 Nhẩm nghiẹm đợc x = 2 ; 3 ; - 5 F(x) = k(x - 2)(x - 3)(x + 5) Thay x = 0 vào (1) ta có 30 = k.(-2)(-3)( 5) 30 = 30 k k = 1 f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 5) VD 2 : P = ab(a - b) + bc(b - c) +ca(c - a) Nếu thay a = b P = 0 P có nhân tử (a - b) b = c P = 0 P (b - c) c = a P = 0 P (c = a) P = k(a - b)(b - c)(c - a) (1) Thay (a; b; c) = (0; 1; 2) vào (1) 0 + (-2) + 0 = k(-1)(-1).2 k = -1 P = - (a - b)(b - c)(c - a) VD 3 : P = (a + b + c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 Thay a = - b P = 0 P chứa nhân tử (a + b) Tơng tự P chứa nhân tử (b + c)(c + a) P = k(a + b)(b + c)(c + a) Đa thức đúng với mọi (a; b; c ) nên cũng đúng với (1; 0; 1) 6 = k.2 k = 3 P = 3(a + b)(b + c)(c + a) Chú ý: PP này thờng dùng đối với đa thức nhiều biến và các biến có vai trò tơng đơng. Bài tập : Bài1: Pt đt thành nhân tử a, a(b + c - a) 2 + b(c + a - b) 2 + c(a + b - c) 2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) = 4abc b, a(m - a) 2 + b(m - b) 2 + c(m - c) 2 - abc với 2m = a + b + c = - 2(m a)(m b)(m c) 6 = 4 1 (a b c)(b a c)(c a b) c, x 2 (y z) + y 2 (z x) + z 2 (x y) = (y z)( x y)( x z) d, ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) cacbbacaaccbbcbaab ++=++++ Bài 2 Cho a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0 . C/m : ab + cd = 0 Giải Ta có : ab + cd = ab.1 + cd.1 = ab(c 2 + d 2 ) + cd(a 2 + b 2 ) = abc 2 + abd 2 +a 2 cd + b 2 cd = (ac + bd)(ad + bc) = 0. (ad + bc) = 0 Bài tập tổng hợp Pt đt thành nhân tử ( Sử dụng hằng đẳng thức, hoặc pp hệ số bất định ) a, x 4 + 4 = ( x 2 + 2 ) 2 4x 2 = ( x 2 + 2x + 2 )( x 2 - 2x + 2) b, x 4 + 64 = ( x 2 + 8 ) 2 16x 2 = (x 2 + 4x + 8 )( x 2 - 4x + 8) c, ( x 2 8 ) 2 + 36 = x 4 16x 2 + 100 = ( x 2 + 10 ) 2 36x 2 = ( x 2 + 6x + 10 )( x 2 - x + 10 ) d, 64x 4 + 1 = ( 8x 2 + 1) 2 16x 2 = ( 8x 2 + 4x + 1 )( 8x 2 - 4x + 1) e, (1 + x 2 ) 2 4x(1 x 2 ) = (1 - x 2 ) 2 + 4x 2 4x(1 x 2 ) = [(1 x 2 ) 2x] 2 = (x 2 + 2x 1) 2 ( e, Có thể khai triển thành đa thức đối xứng ) Tài liệu tham khảo : Phát triẻn ĐS 8 _ BDHS giỏi ĐS 8 7 . Đề Phân Tích đa thức thành nhân tử Đ1: PP đặt nhân tử chung Đ2: PP dùng hằng đẳng thức. (đã học trong SGK) Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt. Dạng1: f(x) =. 2 4 = b Số 7 không phải số chính phơng Nên f(x) không pt đợc trên Q Dạng2: f(x) là đa thức bậc cao (kết hợp với pp khác) Bài tập: Pt t thành nhân tử: a, x 2 - 2x - 3 = (x 3)( x + 1) b,. Tổng quát: B 1 , Viết f(x) = f(g(x)) = f(t) Với t = g(x) B 2 Pt t f(t) Thành nhân tử B 3 , Thay t = g(x) vào f(t), rồi pt f(x) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử a, (x 2 + 3x +