Pt nghiem nguyen hay

Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1:Xét số dư vế Phương pháp 2: Đưa dạng tổng Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư Phương pháp 5: Dùng tính chất số phương Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Phương pháp 7: Xét chữ số tận Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng Phương pháp 9: Hạ bậc Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm ngun Dạng 1: Phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên Dạng 5: Phương trình dạng phân thức Dạng 6: Phương trình dạng mũ Dạng 7: Hệ phương trình vơ tỉ Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên Dạng 9: Hệ phương trình Pytago Dạng 10: Phương trình Pel Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên Phần 3: Bài tập áp dụng Phụ lục Lời cảm ơn Phương trình tốn với nghiệm nguyên đề tài lý thú Số học Đại số, từ toán tính loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến chuyên gia toán học lớn với toán định lý lớn Fecma Được nghiên cứu từ thời Điôphăng kỉ thứ III, phương trình nghiệm ngun cịn đối tượng nghiên cứu tốn học Phương trình nghiệm ngun vơ đa dạng, thường khơng có quy tắc giải tổng qt Mỗi tốn, với số liệu riêng nó, địi hỏi cách giải riêng phù hợp Thời gian qua, nhờ hướng dẫn giáo viên môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” Chuyên đề tập hợp phương pháp dạng phương trình khác phương trình nghiệm nguyên, chúng em sưu tầm từ nguồn kiến thức khác Chúng em mong muốn chuyên đề giúp ích phần cho việc tìm hiểu bạn học sinh vấn đề nêu Quyển chuyên đề gồm có phần Đầu tiên chúng em xin giới thiệu phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm ngun, sau việc tìm hiểu cách giải dạng phương trình khác cuối phần tập Trong trình biên soạn, sưu tầm tập hợp phương pháp ví dụ, tập, chúng em cố gắng nhiều thiếu sót điều khó tránh khỏi Vì vậy, chúng em mong thầy bạn xem xong chuyên đề đóng góp ý kiến để giúp chuyên đề sau hoàn thành tốt Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT NGHIỆM NGUYÊN 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: a) x − y = 1998 b) x + y = 1999 Giải: a) Dễ chứng minh x , y chia cho có số dư nên x − y chia cho có số dư 0, 1, Cịn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun b) x , y chia cho có số dư 0, nên x + y chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình 9x + = y2 + y Giải Biến đổi phương trình: x + = y ( y + 1) Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên y ( y + 1) chia cho dư Chỉ có thể: y = 3k + , y + = 3k + với k nguyên Khi đó: x + = (3k + 1)(3k + 2) ⇔ x = 9k ( k + 1) ⇔ x = k ( k + 1) Thử lại, x = k (k + 1) , y = 3k + thỏa mãn phương trình cho  x = k (k + 1) với k số nguyên tùy ý  y = 3k + Đáp số  2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 − x − y = (1) Giải: (1) ⇔ x + y − x − y = 32 ⇔ (4 x + x + 1) + (4 y − y + 1) = 34 ⇔| x − |2 + | y − |2 = 32 + 52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có dạng phân tích thành tồng hai số phương 32 ,52 Do phương trình thỏa mãn hai khả năng: | x − |= | x − |=   | y − |= | y − |= Giải hệ ⇒ phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( − ; − 2), ( − ; − 1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp thứ tự ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải: Cách 1: Gọi số ngun dương phải tìm x, y, z Ta có: x + y + z = x y z (1) Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn: ≤ x ≤ y ≤ z Do đó: xyz = x + y + z ≤ 3z Chia hai vế bất đảng thức xyz ≤ 3z cho số dương z ta được: xy ≤ Do xy ∈ {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = loại y ≤ z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Cách 2: Chia hai vế (1) cho xyz ≠ được: 1 + + =1 yz xz xy Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ ta có 1 1 1 1= + + ≤ 2+ 2+ = yz xz xy z z z z Suy ≤ z ≤ nên z = Thay z = vào (1): z x + y + = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ x ( y − 1) − ( y − 1) = ⇔ ( x − 1)( y − 1) = Ta có x − ≥ y − ≥ nên x–1 y–1 Suy x y Ba số phải tìm 1; 2; Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt Giải Vì vai trị x, y, z, t nên giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t Khi : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 ⇒ yzt ≤ 15 ⇒ t ≤ 15 ⇒ t ≤ Với t = ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 ⇒ yz ≤ 30 ⇒ z ≤ 30 ⇒ z ≤ Nếu z = 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 Dễ thấy phương trình có nghiệm (x = 35; y = 3) (x = 9; y = 5) Giải tương tự cho trường lại trường hợp t = Cuối ta tìm nghiệm nguyên dương phương trình cho (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị số b) Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 + = x y Giải: Do vai trị bình đẳng x y, giả sử x ≥ y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) 1 Hiển nhiên ta có < nên y > (1) y 1 Mặt khác x ≥ y ≥ nên ≤ Do đó: x y 1 1 = + ≤ + = nên y ≤ (2) x y y y y Ta xác định khoảng giá tri y ≤ y ≤ 1 1 Với y = ta được: = − = nên x = 12 x 12 1 Với y = ta được: = − = loại x không số nguyên x 15 1 1 Với y = ta được: = − = nên x = x 6 Các nghiệm phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp nghiệm ngun Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x cho: x + 3x = x Giải: Viết phương trình dạng: x x    3 + (1)  ÷  ÷ =1  5  5 Với x = vế trái (1) 2, loại Với x = vế trái (1) 1, x x  3 2 Với x ≥  ÷ < ,  ÷ < nên:  5 5 x x    3  ÷ +  ÷ < + = loại 5  5 5 Nghiệm phương trình x = d) Sử dụng diều kiện V≥ để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm nghiệm ngun phương trình: x + y + xy = x + y (1) Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai x: x − ( y + 1) x + ( y − y ) = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm V≥ V= ( y + 1) − 4( y − y ) = −3 y + y + ≥ ⇔ 3y2 − y −1 ≤ ⇔ 3( y − 1) ≤ Do ⇔ ( y − 1)2 ≤ suy ra: y–1 y -1 0 1 2 Với y = thay vào (2) x − x = ⇔ x1 = 0; x2 = Với y = thay vào (2) x − x = ⇔ x3 = 0; x4 = 2 Với y = thay vào (2) x − 3x + = ⇔ x5 = 1; x6 = Thử lại, giá trị nghiệm với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản a) Phương pháp phát tính chia hết ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình Ta thấy 159 2x chia hết 17y M3 y M3 ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t ∈ ¢ ) Thay vào phương trình ta được: 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17t = 53  x = 53 − 17t ( t∈¢ )  y = 3t Do đó:  Đảo lại, thay biểu thức x y vào phương trình ta nghiệm Vậy phương trình (1) có vơ số nghiệm ngunđược xác định cơng thức:  x = 53 − 17t (t số nguyên tùy ý)   y = 3t Ví dụ 10: Chứng minh phương trình : x − y = 27 (1) khơng có nghiệm số nguyên Giải Một số nguyên x biểu diễn dạng x = 5k x = 5k ± x = 5k ± ú k  ã Nu x = 5k : (1) ⇔ (5k ) − y = 27 ⇔ 5(5k − y ) = 27 Điều vơ lí, vế trái chia hết cho với k y số ngun, cịn vế phải khơng chia hết cho • Nếu x = 5k ± : (1) ⇔ (5k ± 1) − y = 27 ⇔ 25k ± 10k + − y = 27 ⇔ 5(5k ± 4k − y ) = 23 Điều vơ lí, vế trái chia hết cho với k y số ngun, cịn vế phải khơng chia hết cho • Nếu x = 5k ± : (1) ⇔ (5k ± 2)2 − y = 27 ⇔ 25k ± 20k + − y = 27 ⇔ 5(5k ± 4k − y ) = 23 Lập luận tương tự trên, điều vơ lí Vậy phương trình cho khơng có nghiệm số ngun Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau : 19x2 + 28y2 = 729 Giải Cách Viết phương trình cho dạng (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1) Từ (1) suy x2 + y2 chia hết 3, x y chia hết cho Đặt x = 3u, y = 3v (u, v ∈ ¢ ) Thay vào phương trình cho ta : 19u2 + 28v2 = 81 (2) Từ (2) lập luận tương tự ta suy u = 3s, v = 3t ( s, t ∈ ¢ ) Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = (3) Từ (3) suy s, t khơng đồng thời 0, 19s2 + 28t2 ≥ 19 > Vậy (3) vô nghiệm phương trình cho vơ nghiệm Cách Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4), điều không xảy với số nguyên x Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Phương pháp đưa phương trình ước số Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – x – y = Giải: Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y = ⇔ x(y – 1) – (y – 1) = ⇔ (y – 1)(x – 1) = Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số nguyên, vế phái số Ta có x y số nguyên nên x – y – số nguyên ước 23 Do vai trị bình đẳng x y phương trình nên giả sử x ≥ y, x – 1≥y – Ta có: x–1 -1 y–1 -3 Do đó: x y -2 Nghiệm nguyên phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x + xy + y = Giải Phương trình cho đưa dạng : (x + 1)(y + 1) = 10 (1) Từ (1) ta suy (x + 1) ước 10 hay ( x + 1) ∈ {±1; ±2; ±5; ±10} Từ ta tìm nghiệm phương trình : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2) Ví dụ 14: Xác định tất cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau x + 3367 = n Giải Để sử dụng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho Từ phương trình cho ta suy x ≡ 2n (mod 7) Nếu n khơng chia hết cho 2n chia cho cho số dư 2, 7, x chia cho cho số dư 0, 1, nên khơng thề có đồng dư thức x ≡ 2n (mod 7) Vậy n = 3m với m số nguyên dương Thay vào phương trình cho ta x + 3367 = 23m (2 m − x )[(2m − x ) + 3x.2 m ] = 3367 (1) m Từ (1) ta suy − x ước 3367 Hơn nữa, (2 m − x ) < 3m − x = 3367 nên (2 m − x ) ∈ {1;7;13} Xét 2m − x = , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 1) = × 561, vơ nghiệm Xét 2m − x = , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 13) = × 15, vơ nghiệm Xét 2m − x = , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 7) = 24 × 32 Từ ta có m = 4; n = 3m = 12, x = Vậy (x; n) = (9; 12) c) Phương pháp tách giá trị ngun: Ví dụ 15: Giải phương trình ví dụ cách khác Giải: Biểu thị x theo y: x(y – 1) = y + Ta thấy y ≠ ( y = ta có 0x = vơ nghiệm) y + y −1+ 3 = = 1+ Do đó: x = y −1 y −1 y −1 Do x số nguyên nên số nguyên, y – ước Lần lượt cho y – -1, 1, -3, ta y −1 đáp số ví dụ 5) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Sử dụng tính chất chia hết số phương Ví dụ 16: Tìm số ngun x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp Giải: Cách 1: Giải sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên thì: 36x + 20 = 4n + 4n ⇒ 36 x + 21 = 4n + 4n + ⇒ 3(12 x + 7) = (2n + 1) Số phương (2n + 1) chia hết chia hết cho Ta lại có 12x + khơng chia hết 3(12x + 7) không chi hết cho Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số nguyên x để 9x + = n(n + 1) Cách 2: Giả sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi n + n − x − = Để phương trình bậc hai n có nghiệm nguyên, điều kiện cần V số phương Nhưng V= + 4(9 x + 5) = 36 x + 21 chi hết cho không chia hết hco nên khơng số phương Vậy không tồn số nguyên n để 9x + = n(n + 1), tức không tồn số nguyên x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp b) Tạo bình phương đúng: Ví dụ 17: Tìm nghiệm ngun phương trình: 10 ... Do xy ∈ {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = loại y ≤ z Vậy ba số phải tìm... ≤ Do ⇔ ( y − 1)2 ≤ suy ra: y–1 y -1 0 1 2 Với y = thay vào (2) x − x = ⇔ x1 = 0; x2 = Với y = thay vào (2) x − x = ⇔ x3 = 0; x4 = 2 Với y = thay vào (2) x − 3x + = ⇔ x5 = 1; x6 = Thử lại, giá... x ) ∈ {1;7;13} Xét 2m − x = , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 1) = × 561, vơ nghiệm Xét 2m − x = , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 13) = × 15, vơ nghiệm Xét 2m − x = , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 7) =