x là số nguyên và là số tự nhiên..[r]
(1)Bài 1: Tồn hay không các số nguyên tố a,b,c cho: ab+2011=c Bài 2: Tìm 2011 số nguyên tố cho tích các số nguyên tố này tổng các lũy thừa bậc 2010 chúng Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x y 3xy x y 0 Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: y x 2 x x x Bài : Tìm các số nguyên không âm x, y cho : x2 y2 y 1 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 y z Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x x x x y Bài 8: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y là số chính phương (2) Bài 1: ab+2001=c Nếu c=2 loại c>2 nên c lẻ hay ab chẵn Suy a=2 2b+2011 nguyên tố Nếu b=2 suy 4+2011=2015 loại Nếu b>2 nên b=2k+1→22k+1+2011≡0(mod3) loại Vậy không tồn a,b,c thỏa đề Bài 2: Gọi các số nguyên tố là a1,a2, ,a2011 (chú ý 2011P) Suy a20111+a20112+ +a20112011=a1.a2 a2011 Nếu các số trên không có số nào là 2011 suy theo định lý Fermat nhỏ Vt≡0(mod2011) Do 2011|VP nên có số số chia hết cho 2011 và giả sử có k (k>0) số không chia hết cho 2011 với 0<k<2011 Suy áp dụng Fermat nhỏ VT≡k(mod2011) mà k<2011→k không chia hết cho 2011 k=0 suy a1=a2= =a2011=2011 Vậy có các nghiệm là (a1,a2, ,a2011)=(2011,2011, ,2011) Bài 3: Viết thành phương trình bậc hai x: x (3 y 1) x (2 y y 3) 0 (2) (3 y 1) 4(2 y y 3) y y 11 Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương (3) y y 11 k ( k ) (3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta y1 5, y2 Với y = thay vào (2) x 14 x 48 0 Ta có: x1 8, x2 Với y = -3 thay vào (2) x 10 x 24 0 Ta có x3 6, x4 4 Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) Bài Điều kiện: x 1 y ( x 1) x ( x 1) x | x | | x | x 1 | x | Xét hai trương hợp: a) Với x = thì y =2 b) Với x 2 thì y x x 2 x 2 Do đó: y 4( x 1) Do x 2 nên có thể đặt x – = t với t nguyên dương x t Ta có: y 2t Kếtt luận: nghiệm phương trình là: (1 ; 2), ( t ; 2t) với t là số nguyên dương tùy ý Bài Nếu y = thì x = Nếu y thì từ phương trình đã cho ta suy y < x < y + 1, vô lí (4) Bài Vì vai trò x, y, z nên có thể giả sử y z Từ phương trình đã cho ta suy x y z yz Suy ( x y z ) 3( x y z ) 4 yz 12 (1) Vì là số vô tỉ nên từ (1) ta suy : x – y – z = 4yz – 12 = yz = y = 3, z = và x = y + z =4 Đáp số : phương trình có nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3) Bài : Giải: Ta có: x 0, y 0 Bình phương hai vế chuyển vế: x x x y x k ( k ) Bình phương hai vế chuyển vế: x x k x m(m ) Bình phương hai vế: x x m 2 Ta biết với x nguyên thì x là số nguyên là số vô tỉ Do x x m ( m ) nên Ta có: x không là số vô tỉ Do đó x là số nguyên và là số tự nhiên x ( x 1) m Hai số tự nhiên liên tiếp x và x có tích là số chính phương nên số nhỏ 0: (5) x =0 Suy ra: x = 0; y = thỏa mãn phương trình đã cho Nghiệm phương trình là (0 ; 0) Bài 8: đ (6)