chuyen de PT nghiem nguyen

Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để[r]

chuyên đề

phươngưtrìnhư

Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Phương pháp 1:Xét số dư vế. Phương pháp 2: Đưa dạng tổng.

Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức

Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư Phương pháp 5: Dùng tính chất số phương

Một số phương pháp khác

Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng

Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng Phương pháp 9: Hạ bậc

I.PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun:

2 2011

x  y  a

a) chia cho có số dư 0, nên chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải

2011chia cho dư

Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun

2,

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình

9x  2 y  y Giải

Biến đổi phương trình: 9x  2 y y( 1)

Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên chia cho dư 2.y y( 1)

Chỉ có thể: , với k nguyên

3 1

y  k  y  1 3k 2

Khi đó: 9x  2 (3 k 1)(3k 2)

9x 9 (k k 1)

  

( 1)

x k k

  

Thử lại, , thỏa mãn phương trình cho.x k k ( 1) y 3k 1

Đáp số với k số nguyên tùy ý( 1)

3 1 x k k

y k

  



II.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG

Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  y2  x y 8 (1)

Giải: (1)  4x2  4y2  4x  4y 32

2

2 2

(4 1) (4 1) 34 | 1| | 1|

x x y y x y

            

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có dạng phân tích thành tồng hai số phương Do phương trình thỏa mãn hai khả năng:

2

3 ,5 | 2 1| 3

| 2 1| 5

x y       

| 2 1 | 5 | 2 1 | 3

x y        Hoặc

III>PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC

Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …

1.Phương pháp thứ tự ẩn

Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải:

Cách 1: Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta có: (1)

x y z x y z   .

Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn: 1  x y z

Do đó: xyz  x y z 3z

Chia hai vế bất đảng thức cho số dương z ta được: Do đó:

3

xyz  z xy 3

{1;2;3}

III>PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC

1.Phương pháp thứ tự ẩn

Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải:

Cách 1: Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta có: (1)

x y z x y z   .

Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn: 1  x y z

Do đó: xyz  x y z 3z

Chia hai vế bất đảng thức cho số dương z ta được: Do đó:

3

xyz  z xy 3

{1;2;3}

xy 

Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z =

2.Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1 1 3 x  y  Giải:

Do vai trị bình đẳng x y, giả sử Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y)

x y

Hiển nhiên ta có nên (1)1 1 3

y  y  3

Mặt khác nên Do đó: nên (2)

1

x  y 1 1

x  y

1 1 1

3  x y y  y y

6 y 

Ta xác định khoảng giá tri y : 4  y 6

Với y = ta được: nên x = 12

Với y = ta được: loại x không số nguyên Với y = ta được: nên x =

Các nghiệm phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6)

1 1 1 1

3 12

x   

1 1 1 2

3 15

x    1 1 1 1

3.Phương pháp nghiệm ngun

Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x cho: 2x 3x 5x Giải:

Viết phương trình dạng: (1) 2 3 1 5 5 x x               Với x = vế trái (1) 2, loại

Với x = vế trái (1) 1,

Với nên: loại Nghiệm phương trình x =

2

x  2 3,

5 5

x x

   

 

       

2 3 5 5

x x

   

       

4.Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

Ví dụ 8: Tìm nghiệm ngun phương trình: (1)

2

x y xy  x  y Giải

Viết (1) thành phương trình bậc hai x: (2)

2 ( 1) ( ) 0

x  y  x  y  y 

Điều kiện cần để (2) có nghiệm ; Do đó: suy ra: 0  

2 2

(y 1) 4(y y) 3y 6y 1 0

       



2

3y 6y 1 0

   

2 3(y 1) 4

  

2

(y 1) 1

  

y – y -1 0 1 Với y = thay vào (2)

Với y = thay vào (2) y = thay vào (2)

Thử lại, giá trị nghiệm với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)

2

1

0 0; 1

x  x   x  x 

2

3

2 0 0; 2

x  x   x  x 

2

5

3 2 0 1; 2

IV.PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ

Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt các biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản

a)Phương pháp phát tính chia hết ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159

Đặt y = 3t ( t số nguyên tùy ý) Thay vào phương trình ta được: 3x + 17.3t = 159

x + 17t = 53

Do đó: 53 17

3

x t

y t

  

  

t  

Giải:

Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình Ta thấy 159 3x chia hết 17y y ( 17 ngun tố

a)Phương pháp phát tính chia hết ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159

Đặt y = 3t ( t số nguyên tùy ý) Thay vào phương trình ta được: 3x + 17.3t = 159

x + 17t = 53

Do đó: 53 17

3

x t

y t

  

  

t  

Đảo lại, thay biểu thức x y vào phương trình ta nghiệm

Vậy phương trình (1) có vơ số nghiệm ngunđược xác định cơng thức:

(t số nguyên tùy ý)xy 53 173t  t 

b)Phương pháp đưa phương trình ước số

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – x – y =

Giải:

Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y =

x(y – 1) – (y – 1) = (y – 1)(x – 1) =



Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số

nguyên, vế phái số Ta có x y số nguyên nên x – y – số nguyên ước

Do vai trị bình đẳng x y phương trình nên giả sử x y, x – y – 1

x – y –

3

-1 -3

Do x

y

4

c.Phương pháp tách giá trị nguyên:

Ví dụ 15: Giải phương trình ví dụ 12 cách khác: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – x – y =

Biểu thị x theo y: x(y – 1) = y +

Ta thấy y ( y = ta có 0x = vơ nghiệm) Do đó:



2 1 3 3

1

1 1 1

y y x

y y y

  

   

  

Do x số nguyên nên số nguyên, y – ước

Lần lượt cho y – -1, 1, -3, ta đáp số ví dụ 12

3 1

V.PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG

*.Sử dụng tính chất: hai số ngun dương ngun tố cùng có tích số phương số đếu là số phương

V.PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG

a.Sử dụng tính chất chia hết số phương

Ví dụ 16: Tìm số nguyên x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp Giải:

Cách 1: Giải sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên thì: 36x + 20 = 4n2  4n

2

36x 21 4n 4n 1

    

2 3(12x 7) (2n 1)

   

Số phương chia hết chia hết cho Ta lại có 12x + khơng chia hết 3(12x + 7) không chi hết cho

Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số nguyên x để 9x + = n(n + 1)

(2n 1)

Cách 2: Giả sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên

Biến đổi Để phương trình bậc hai n có nghiệm nguyên, điều kiện cần số phương

Nhưng chi hết cho không chia hết khơng số phương

Vậy khơng tồn số nguyên n để 9x + = n(n + 1), tức không tồn số nguyên x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp

2 9 5 0

n  n x  

1 4(9x 5) 36x 21

    





b.Tạo bình phương đúng:

Ví dụ 17: Tìm nghiệm ngun phương trình:

2

2x  4x 19 3 y Giải :

Ta thấy y lẻ

Ta lại có nên Khi (2) có dạng:

2

2x  4x  2 21 3 y

2

2(x 1) 3(7 y )

   

2

3(7  y ) 2  7  y 2 

2

7  y 0 y2 1

2

2(x 1) 18

Ta được: x + = , : Các cặp số (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1)

thỏa mãn (2) nên nghiệm phương trình cho

3