Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu cũng trình bày các phương pháp và mẹo trắc nghiệm nhanh các câu phức nâng cao, giúp chúng ta có thể tối ưu tuyệt đối kì thi trắc nghiệm của mình bằng tốc độ và sự đa dạng về [r]
(1)`
SỐ PHỨC rất đơn giản lại quan trọng ứng dụng của chính mơn Tốn ngành khoa học kĩ thuật công nghệ Một tư tự nhiên muốn phát triển tồn diện nên biết trang bị cho kiến thức số phức thật hồn chỉnh từ cuối lớp 10 THPT
Nếu trước kia, số phức xem câu đơn giản đề thi tự luận dập khn máy móc, đây, mà BỘ GIÁO DỤC cải cách chuyển sang chế thi Toán trắc nghiệm số phức chiếm phần đáng kể Trắc nghiệm tồn diện, hướng tới phần, chuyên đề có câu khó câu dễ bình đẳng, tránh học tủ học nòi, biết chăm chăm vào câu điểm 8,9,10 phận nhỏ chuyên đề Tốn
(2)Tơn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
(3)MỤC LỤC
I CƠ BẢN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC……… ……… …………7
1.1 Các định nghĩa tập số phức C……… … ….………7
1.2 Các phép toán tập số phức……… ……… …… … ……
1.3 Các tính chất số phức……… …..….……….……
1.4 Lũy thừa số ảo in – Cấp số cộng cấp số nhân số phức……… ……….10
1.5.Hàm số phức – Bài toán đồng hàm số ảo f(i) = Ai + B……… ……… ….11
II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC – CÔNG THỨC Ơ LE………… …….…….15
2.1 Cách chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác số phức…… ……… ……….….15
2.2 Ứng dụng dạng lượng giác – Công thức Ơ le – Công thức Moivre ………… …16
2.3.Ứng dụng dạng lượng giác vào số toán cực trị lũy thừa lớn……… …….17
2.4 Ứng dụng dạng lượng giác vào số toán số phức có mơ đun 1……… … 20
III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT… 26
3.1 Phương trình bậc chứa biến.…… ……… ….26
3.2 Phương trình bậc chứa hai biến.…… ……… ……… ….27
3.3 Biện luận theo tham số phức phương trình bậc phức……….….28
3.4 Hệ phương trình bậc số phức……… ………29
IV CĂN BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – XỬ LÍ MƠ ĐUN………… 32
4.1 Căn bậc hai số âm….…… ……… ….32
4.2 Căn bậc hai số phức ………… …… ……… ……… ….32
4.3 Phương trình bậc tập số phức …… ……… ……… ….35
4.4 Phương trình bậc cao – Phân tích nhân tử – Đặt ẩn phụ – Khai thức ………… ………36
4.5 Các định lí VIET áp dụng vào phương trình bậc cao trắc nghiệm phức……… … 38
4.6 Phương trình phức dạng đa thức với hệ số thực……… 44
4.7 Xử lí mơ đun phương trình phức…… ….49
V BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ PHỨC – BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 54
(4)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
6 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
5.2 Bất đẳng thức CÔ SI – Bất đẳng thức BUNHIA vận dụng số phức….……… 58
5.3 Một số bất đẳng thức không mẫu mực số phức………61
VI MẶT PHẲNG PHỨC – GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC… 62
6.1 Biểu diễn điểm công thức mặt phẳng phức ……… ….62
6.2 Bất đẳng thức tam giác ứng dụng vào số bất đẳng thức hình học………64
6.3 Quỹ tích đường thẳng mặt phẳng phức……… ……… ….72
6.4 Quỹ tích đường trịn mặt phẳng phức… ……… ……… ….79
6.5 Elip mặt phẳng phức – Các toán nâng cao ……… …….……… ….84
6.6 Quỹ tích đường hypebol bản……….…96
6.7 Các đường cong bất kì: Đường thẳng – Đường trịn – Elip – Hypebol – Parabol……… 105
6.8 Phép quay số phức – Nâng cao tư véc tơ phức……….107
6.9 Bài toán tương giao mặt phẳng phức – Hệ phương trình mơ đun phức ………… 111
6.10 Biểu diễn số phức miền hình phẳng – Cực trị phức miền D………113
6.11 Bài toán tâm tỉ cự mặt phẳng phức……….……… …….……… ….120
6.12 Bình phương vơ hướng ứng dụng mặt phẳng phức.…… ….123
6.13 Các số phức có mơ đun – Bài tốn phân bố véc tơ vịng trịn………… 130
VII BÀI TẬP ƠN TẬP TỰ LUẬN………… 136
VIII TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO 142
IX ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO 189
(5)1.1 Các định nghĩa tập số phức C:
Định nghĩa số ảo: i2 = –1.
Gọi z = a + ib số phức; a,b R Kí hiệu C tập số phức: zC
a gọi phần thực số phức z {Re z}; b gọi phần ảo số phức z {Im z} Ví dụ 1.1.1. Cho số phức: z1 = + 4i , phần thực phần ảo
z2 = -4 + 5i , phần thực -4 phần ảo
z3 = , phần thực phần ảo Còn gọi số phức thực Vậy số
phức thực số phức có phần ảo
z4 = 7i , phần thực phần ảo Còn gọi số phức ảo Vậy số
phức ảo số phức có phần thực
Chú ý: số phức z = 0, vừa số phức ảo (phần thực 0), vừa số phức thực Số phức liên hợp: Nếu z = a + ib số phức liên hợp kí hiệu là: z a – ib Như vậy, số phức liên hợp giữ nguyên phần thực đảo dấu phần ảo
Ví dụ 1.1.2. Cho số phức: z = + 4i Khi số phức liên hợp là: z – 4i Cịn số phức đối là: -z = -(3 + 4i) = -3 – 4i Lưu ý phân biệt số phức liên hợp số phức đối
Mô đun số phức: Cho số phức z = a + ib, mơ đun số phức z kí hiệu là: 2 | |z a b
Mô đun số phức liên hợp: 2 2
|z | a ( b) a b | |z
Xét tích:
2 2 2 | |
( )( ) | | | | z
z z a ib a ib a b z z z z
Mặt phẳng phức: Với hệ tọa độ đề Oxy, Ox trục thực Oy trục ảo
Cho số phức z = x + iy, điểm M biểu diễn số phức z M = (x;y) Có thể viết véc tơ sau:
O
x ( trục thực) y ( trục ảo)
M = (x;y)
x y
-y M1 = (x;-y)
z
z -x
M2 = (-x;-y)
(6)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
8 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Điểm M1= (x;-y) biểu diễn số phức liên hợp: z x iy, đối xứng với M qua trục Ox Điểm M2 = (-x;-y) biểu diễn số phức đối: z x iy, đối xứng với M qua gốc O Ta có: OM |OM| | | z
1.2 Các phép toán tập số phức:
Phép cộng phép trừ: Cho hai số phức: z1 = a1 + ib1 z2 = a2 + ib2 Khi phép cộng trừ
hai số phức định nghĩa là: z1z2 (a1a2)i b( 1b2) Tức là, thực cộng trừ thực ảo cộng trừ ảo
Ví dụ 1.2.1 Thực phép cộng phép trừ: (1 ) (3 ) i i (1 3) i(2 4) 4 6i
(3 ) (1 ) i i (3 1) i(4 5) 2 i
Hai số phức nhau: Cho hai số phức : z1 = a1 + ib1 z2 = a2 + ib2 Hai số phức nhau:
z1 = z2 2
a a b b
hoặc: z1 – z2 =
Phép nhân hai số phức: z z1 2 (a1ib a1)( 2ib2)(a a1 2b b1 2)i a b( 1 2a b2 1)
Ví dụ 1.2.2
(1 )(2 ) i i 2 5i6i15i (2 15) 11 i 13 11 i Ví dụ 1.2.3. Rút gọn số phức sau:
1 z(3 )( ) 5 i i i
2
(1 ) (1 ) (5 )
B i i i
3
(1 ) (1 ) (1 )
C i i i
Phép chia hai số phức: 1 2 2 2 | 2|
z z z z z
z z z z = nhân tử mẫu với liên hợp mẫu số
Ví dụ 1.2.4 Thực phép rút gọn sau:
2
2 15
1 (1 )(2 ) 13 11
2 (2 )(2 ) 25 29 29
i i i
i i i
i
i i i
2
9 12 18 24
3 (3 )( ) 15 30
4 ( )( ) 16 25 25 5
i i i
i i i
i i
i i i
2
5
5 (5 )
2
i i i i i
i
i i i i
Ghi nhớ: Tất phép toán rút gọn số phức đơn giản với số liệu cụ thể dùng máy tính cầm tay CASIO giải nhanh gọn Chúng ta phải biết cách làm để xử lí toán rút gọn chứa tham số giải phương trình phức có phân số
1.3 Các tính chất số phức:
Liên hợp tổng (hiệu) tổng (hiệu) liên hợp : z1z2 z1z2
(7)Ví dụ 1.3.1. Cho z1 = + 2i z2 = + 4i Khi đó: z1z2 (1 ) (3 ) i i 4 6 i4 6 i z1z2 1 2i 3 4i 1 2i 3 2i4 6 i
Liên hợp tích tích liên hợp: z z1 z z1
Ví dụ 1.3.2. Cho hai số phức: z1 1 ;i z2 3 4iz z1 (1 )(3 ) i i 5 10i 5 10i
z z1 2 1 4i i(1 )(3 ) i i 5 10i
Liên hợp thương thương liên hợp: 1 2
(z ) z
z z
Liên hợp lũy thừa lũy thừa liên hợp: zn ( )z n
Đặc biệt: Cho z = a + ib , ta có: z z 2a ; z z 2ib
Phép thử số phức: Nếu số phức z thực thì: z z; số phức z ảo thì: z z
Tích cặp số phức với số phức liên hợp: 2 2
( )( ) | | | |
z z aib a ib a b z z Mô đun môt tích bằng tích mơ đun: |z1.z2| = |z1|.|z2|
Ví dụ 1.3.3.| (1 )(3 ) | |1 | | | i i i i 34 170
Mô đun lũy thừa lũy thừa mơ đun: |zn| | | z n
Ví dụ 1.3.4. 20 20 20 10
| (1 ) | |1 | i i ( 5) 5
Mô đun thương thương mơ đun: 1 2
| |
| |
| |
z z
z z
Ví dụ 1.3.5 |1 | |1 |
3 | | 5
i i
i i
Ví dụ 1.3.6 Rút gọn biểu thức sau:
1 10
(1 )
2
i
z i
i
2 (1 )(2 )
1
i i i
A
i i
3 20
w (1 )
6
i i
i
Ví dụ 1.3.7 Tính mô đun sau:
1
| (1 ) (3 ) | i i
2
2
(4 )
| |
(3 )(1 )
i i i
3 6
(8)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
10 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
1.4 Lũy thừa số ảo in – Tổng cấp số cộng cấp số nhân số phức Phép lũy thừa số ảo xử lí đơn giản:
Ví dụ 1.4.1. Với:
i i i i i Với : 2
( ) ( 1)
i i
Với: i2017 i2016.i( )i2 1008.i ( 1)1008.ii. Ví dụ 1.4.2 Tính tổng: 60
1
n
S i i i i Giải:
Nhận thấy tổng lũy thừa liên tiếp: 4 2
( ) ( ) (1 ) (1 )
i i i i i i i i i i i i Vậy suy tổng 4k lũy thừa liên tiếp
Vậy suy tổng: 60
1 ( ) 1
n
S i i i Ví dụ 1.4.3 Tính tổng: 93
n
S i i i i
2 94
n
S i i i i
3 81
n
S i i i i
4 101
n
S i i i i
Cấp số cộng: Nhắc lại cấp số cộng: cho dãy số: u1 , u2 , … , un cấp số cộng thỏa
mãn tính chất sau: u2 = u1 + d; u3 = u2 + d = u1 + 2d ; … ; un = un-1 + d = u1 + (n – 1)d Trong
đó u1 gọi số hạng đầu d gọi công sai cấp số cộng
Một số hạng ln trung bình cộng hai số hạng đứng trước sau nó:
1
2
k k k
u u u
Tổng n số hạng liên tiếp:
1
n
n n
u u S u u u n
Ví dụ 1.4.4. Tính tổng cấp số cộng sau: Sn = + (1 + i) + (1 + 2i) +…+ (1 + 200i) Giải:
Nhận thấy có 201 số hạng, nên ta có: Sn = 200.201 (1 200 ).201 201 20100
2
u u i
i
Ví dụ 1.4.5. Tính tổng cấp số cộng sau: Sn = + (2 + 2i) + (3 + 4i) +…+ (300 + 598i)
Cấp số nhân: Nhắc lại cấp số cộng: cho dãy số: u1 , u2 , … , un cấp số nhân thỏa
mãn tính chất sau: u2 = u1.q; u3 = u2q = u1.q2 ; … ; un = un-1.q = u1.qn – Trong đó: u1 số
hạng đầu q gọi công bội cấp số nhân
Một số hạng ln trung bình nhân hai số hạng đứng trước sau nó:
uk u uk1 k1
Tổng n số hạng liên tiếp: 1 2 1
1
n
n n
q S u u u u
q
(9)Ví dụ 1.4.6 Tính tổng cấp số nhân sau: Sn = + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)11 Giải:
Tổng có số hạng cấp số nhân có cơng bội: q = + i số hạng đầu: u1 = Áp dụng công thức:
12
6
1 (1 )
S (2 1)
1 (1 )
n n
q i
u i
q i i
Ví dụ 1.4.7 Tính tổng cấp số nhân sau:
1 Sn = + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)31
2 Sn = + (1 – 2i) + (1 – 2i)2 + … + (1 – 2i)49
3 Sn = (1 – i) + (1 – i)2 + … + (1 – i)55
1.5 Hàm số phức – Bài toán đồng hàm số ảo f(i) = Ai + B
Số phức có nhiều ứng dụng, ví dụ phép đồng hàm có sử dụng giá trị hàm phức số ảo f(i):
Bài toán 1.5.1 Cho hàm số
3
2 2
2
( )
( 1)( 4)( 1)
x x f x
x x x
Người ta phân tích hàm số thành dạng
của phân số tối giản: ( ) A2 B C2 D E 2 F
1 ( 1)
x x
f x
x x x x
Hãy tìm hệ số thực phép
phân tích trên: A, B, C, D, E, F
Giải:
Với hệ số E F ta biết tìm chun đề khác Chúng ta khơng bàn chuyên đề số phức gây phức tạp cồng kềnh kiến thức
Ta tìm hệ số A, B, C, D ứng dụng hàm phức:
Nhân hai vế f(x) với (x2 + 1) ta được:
3
2
2 2
2 C D E F
( 1) ( ) A B ( 1){ }
( 4)( 1) ( 1)
x x x
x f x x x
x x x x x
(1)
Thay x = i , vào hai vế phương trình (1), ta được:
3
2
2 2
2 C D E F
A B ( 1){ }
( 4)( 1) |x i ( 1)
x x x
i i
x x x x x
2
2
A B
( 4)( 1) |x i
i i
i
i i
1 A =
2
A B B = i i
Tương tự, nhân hai vế f(x) với (x2 + 4) ta được:
3
2
2 2
2 A B E F
( 4) ( ) C D ( 4){ }
( 1)( 1) ( 1)
x x x
x f x x x
x x x x x
(10)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
12 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Thay x = 2i , vào hai vế phương trình (2), ta được:
3
2
2 2 2
2 A B E F
2C D (4 4){ }
( 1)( 1) |x i ( 1)
x x x
i i
x x x x x
3
2 2
2(2 ) 2(2 )
2C D
(4 1)(2 1) |x i
i i
i
i i
28 C =
83 56 75
2C D 83 75 75 D = 75 i i
Ví dụ 1.5.2 Cho hàm số
3
2 2
4
( )
( 1)( 9)(3 1)
x x f x
x x x
Người ta phân tích hàm số thành dạng
của phân số tối giản: ( ) A2 B C2 D E 2 F
1 (3 1)
x x
f x
x x x x
Hãy tìm hệ số thực
phép phân tích trên: A, B, C, D.
Ví dụ 1.5.3 Chứng minh hai hàm sau đồng nhất: ( ) arctan ln | |
x i
f x x
i x i
Giải:
Xét nguyên hàm của: I = 2 arctan
dx
x x
(1)
Theo cách khác: I = 2 2 2 1
1 ( )( )
dx dx dx
dx
x x i x i x i i x i x i
I = ln | | ln | | ln | |
2
x i x i x i
i i x i
(2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh
Ví dụ 1.5.4 Chứng minh hai hàm sau đồng nhất: ( ) 1arctan ln | |
2
x x i
f x
i x i
Ví dụ 1.5.5 Chứng minh hai hàm sau đồng nhất: ( ) 1arctan ln | |
2
x x ai f x
a a ai x ai
Bài toán 1.5.6 Tính giá trị biểu thức phức sau:
1 S2019 = + 2i + 3i2 + … + 2019.i2018
2 S2017 = i + 2i2 + 3i3 + … + 2017i2017
3
2 2016 2016
2 2016
i i i S i
4
3 2018
2017
2 2017
i i i S i
Giải:
Những tốn dạng tốn có sử dụng đạo hàm tích phân
(11)1 S2019 = + 2i + 3i2 + … + 2019.i2018
Ta có tổng cấp số nhân có u1 = cơng bội q = x là:
1
2
1
1
n n x
x x x
x
(1) Áp dụng công thức 1, ứng với n = 2019, ta có:
2019 2020 2019 1
1
1
x x
x x x
x x
Đạo hàm hai vế phương trình ta được:
2020 2019 2020 2018
2
1 2020 ( 1) ( 1)
0 2019 ( ) '
1 ( 1)
x x x x
x x x
x x 2019 2020 2018
2020 ( 1) ( 1)
1 2019
( 1)
x x x
x x x
x
(2)
Thay x = i vào hai vế đẳng thức (2) ta được:
2019 2020 2018
2019
2020 ( 1) ( 1)
1 2019 1010 1010
( 1)
i i i
S i i i i
i
2 S2017 = i – 2i2 + 3i3 – … + 2017i2017
Ta có: S2017 = i(1 – 2i + 3i2 – … + 2017i2016)
Ta tính tổng Sn = – 2i + 3i2 – … + 2017i2016 sau: Có:
2017 2018 2017 ( ) 1
1
1
x x
x x x
x x
Đạo hàm hai vế, ta được:
2017 2018 2016
2
2018 ( 1) (1 )
1 2017
( 1)
x x x
x x x
x
Thay x = i vào hai vế đẳng thức ta được:
2017 2018 2016
2
2018 ( 1) (1 )
1 2017 1009 1008
( 1)
i i i
i i i i
i
Suy ra: Sn = 1009 – 1008i S2017 i S n i(1009 1008 ) 1008 1009 i i
3
2 2016 2016
2 2016
i i i S i
Xét tổng cấp số nhân:
2016 2016 2015 ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
1
ix ix
ix ix ix
ix ix
Suy ra:
2016 2016 2017 2016 2 2015 2015
2
1 ( 1)( 1)
1
1 ( 1).( 1)
x x ix i x i x x
i x i x i x
ix ix ix x
Nhân hai vế với i vào ta được:
2017 2016 2016 2015
2
1
x x i x i i i x i x i x
x
(1)
(12)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
14 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
1 2017 2016
2 2016 2015
2
0
( )
1
x x i x i
i i x i x i x dx dx
x
1 2017 2016 2016
1 2016
2
0
0
1
( ) A B
2 2016 | 1
x x x
x x x
ix i i i dx i dx i
x x
2 2016
2016 A B 0,347 0, 785
2 2016
i i i
S i i i
4
3 2018
2017
2 2017
i i i S i
Xét tổng cấp số nhân:
2017 2017 2016 ( )
1 ( ) ( ) ( )
( ) 1
ix i x ix ix ix
ix ix
Suy ra:
2017 2017 2018 2017 2 2016 2016
2
( 1)( 1) ( )
1
1 ( 1)( 1)
i x i x ix x i x x
i x i x i x
ix ix ix x
Nhân hai vế với i2 vào ta được:
2018 2017 2018 2016
2
( 1) ( )
1
x i x x
i i x i x i x
x
(1)
Lấy tích phân hai vế theo biến x , cận từ đến 1, ta được:
1 2018 2017
2 2018 2016
2
0
( 1) ( )
( )
1
x i x x
i i x i x i x dx dx
x
1 2018 2017 2017
1 2018
2
0
0
1
( ) A+ B
2 2017 | 1
x x x
x x x
i x i i i dx i dx i
x x
1 2018 2017 2018
2
2017 2
0
1
0,785+0,347i
2 2017 1
x x x
i i i
S i dx i dx
x x
Ví dụ 1.5.7 Tính giá trị biểu thức phức sau: S2018 = + 2i + 3i2 + … + 2018.i2017
2 S2020 = i2 + 2i3 + 3i4 + … + 2020i2021
3
2 2015 2016
2 2016
i i
i
S
4
4 2019
2017
2 2017
i i i S i
(13)II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC – CÔNG THỨC Ơ LE
2.1 Cách chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác số phức:
Cho số phức z = a + ib; hai số a, b R Dạng lượng giác số phức z:
z| | (cosz isin )
Trong đó: 2
| |z a b góc gọi Argument z, xác định
cos | | sin | | a z b z
Chúng ta hạn chế dùng công thức: tan b arctanb
a a
Vì công thức dễ nhầm lẫn dấu phần thực phần ảo
Ví dụ 2.1.1. Cho số phức z 1 i Hãy chuyển số phức dạng lượng giác Giải:
Mô đun: 2
| |z ( 3) 2
Xác định Argument:
1 cos 3 sin
Vậy dạng lượng giác số phức z là: 2(cos( ) sin( ))
3
z i Ví dụ 2.1.2 Cho số phức z 3i Viết dạng lượng giác z
Giải:
Mô đun:
| |z ( 3) 1
Xác định Argument:
3 cos sin
Vậy dạng lượng giác số phức z là: 2(cos5 sin5 )
6
z i
Chú ý: Nhiều người tính Argument theo cách: tan
6
b a
sai Ví dụ 2.1.3 Đưa số phức sau dạng lượng giác:
(14)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
16 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
2.2 Ứng dụng dạng lượng giác – Công thức Ơ le – Công thức Moivre bản: a Công thức Ơ le:
Định nghĩa: ei cosisin
Từ suy ra: (
cos( sin( cos sin
i i
e e i i
Và viết được: cos ;sin
2
i i i i
e e e e
i
; i i
e e
b Công thức Moivre:
Xuất phát từ: ( )
cos sin ( ) (cos sin ) cos sin
i i n n i n
e i e i e ni n
Vậy công thức: (cosisin ) n cosnisinn gọi công thức Movie
Công thức dùng rộng rãi ứng dụng nhiều khai triển số phức bậc cao Bài toán 2.2.1 Cho số phức z 1 i Hãy đưa số phức z dạng lượng giác tính z20, z2016.
Giải:
Đưa dạng lượng giác số phức z đơn giản phần trên: 2(cos sin )
3
z i
Áp dụng cơng thức movie ta có:
20 {2(cos sin )}20 {cos20 20 sin20 } {cos(20 ) sin(2 +6 )}
3 3 3
z i i i
= {cos20 sin2 } = {20 3} = 219 219
3 i i i
2016 {2(cos sin )}2016 22016.{cos2016 sin2016 } 22016.{cos672 sin 672 }
3 3
z i i i
22016.{1i.0}=22016
Ví dụ 2.2.2. Cho số phức z 3i Hãy đưa số phức z dạng lượng giác tính z2016, z2017. Ví dụ 2.2.3 Hãy xác định giá trị n để số phức (1i 3)n ảo
Các công thức quan trọng khác:
(cos1isin1)(cos2isin2)cos(12)isin(12)
1
1 2 2
cos sin
cos( ) sin( )
cos sin
i
i i
ncos isin cos k2 isin k2
n n
; k = 0; 1;… ; n – n số tự nhiên
Đặc biệt khai bậc 2: cos sin (cos sin )
2
i i
(15) Phép nghịch đảo Ơ LE: 1
cos sin
i i e
i e
Ví dụ 2.2.4 Rút gọn biểu thức phức sau:
1 (cos sin )(cos sin )
3 6
A i i 2 22 22
(cos sin ) (cos sin )
3 3
B i i
3
5
cos sin
12 12
cos sin
6
i C
i
4
cos sin
3
D
i
Số phức có Argument 0; ; ; ; ;
6
gọi số phức có dạng lượng giác Tức số phức có: 0; 1; 3; ;
3
b
a Những số phức tiện lợi
cho việc tính tốn khai bậc cao
Bài toán 2.2.5 Cho số phức z 1 i Hãy đưa dạng lượng giác khai căn:
; ;
z z z
Giải:
Dạng lượng giác số phức z: 2(cos sin )
3
z i
Căn bậc 2:
2
3
2(cos sin ) ( 0;1)
2
k k
z i k
Với k = 0, ta được: 2(cos sin )
6 2
z i i
Với k = 1, ta được: 2(cos7 sin7 )
6 2
z i i
Ví dụ 2.2.6. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình:
1
z Ví dụ 2.2.7 Xác định bậc của: 1i 3; 3i;1i
2.3 Ứng dụng dạng lượng giác vào số toán cực trị lũy thừa lớn:
Bài toán 2.3.1 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác Gọi z3 = a0 + ib0
1 Hãy tìm giá trị lớn a0/a3
2 Hãy tìm giá trị nhỏ b0/b3
Giải:
Áp dụng dạng lượng giác ta có: z a ib| | (cosz i.sin ) với: a| | cosz ; b| | sinz
Khi đó: 3 3 3
0
| | (cos sin ) | | (cos sin ) | | cos | | sin
(16)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
18 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Trong đó: 3
0 | | cos ; | | sin
a z b z
Áp dụng vào câu hỏi: Hãy tìm giá trị lớn a0/a3
Ta có:
3
3 3
| | cos cos
( )
| | (cos ) cos
a z f a z
Chúng ta sử dụng cơng thức góc bậc 3, sử dụng khảo sát hàm số:
3
2
3sin cos cos ( 3cos sin )
' ' sin cos cos sin
'( )
cos cos
u v uv f v
'( ) 3sin(3 4 ) 3sin 24
cos cos
f
Cho: '( ) 3sin 24 6sin3 sin 0
cos cos
f
Thay giá trị vào hàm:
3 cos ( ) cos a f a
; giá trị lớn là:
3
max ( )f max(a ) f(0)
a
2 Hãy tìm giá trị nhỏ b0/b3
Tương tự ta có:
3
3 3
| | sin sin
( )
| | sin sin
b z f b z
Đạo hàm:
3
6
3cos sin sin (3sin cos ) cos sin sin cos
'( )
sin sin
f
'( ) 3sin( 4 ) 3sin 24 cos3
sin sin sin
f
Thay vào suy giá trị nhỏ nhất:
min( ) ( ) ( )
2 b f f b
Bài toán 2.3.2 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác Gọi z5 = a0 + ib0 Biện luận
giá trị nhỏ lớn cần tìm đây: Hãy tìm giá trị nhỏ a0/a5
2 Hãy tìm giá trị nhỏ b0/b5
Giải:
Áp dụng dạng lượng giác ta có: z a ib| | (cosz i.sin ) với: a| | cosz ; b| | sinz
Khi đó: 5 5 5
0
| | (cos sin ) | | (cos sin ) | | cos | | sin
z z i z i z i z a ib
Trong đó: 5
0 | | cos ; | | sin
a z b z
(17)1 Hãy tìm giá trị nhỏ a0/a5
Ta có:
5
5 5
| | cos cos
( )
| | (cos ) cos
a z f a z
Chúng ta khảo sát chu kì: [ ; ] Đạo hàm:
5
10
5sin cos cos ( 5.cos sin ) sin cos cos sin
'( )
cos cos
f
1 1 1
0
sin(5 ) sin sin cos
'( ) 5 20
cos cos cos
4
n n n
f
cos 5( )
(0) 1; ( )
4 cos ( )
4 f f
Vậy giá trị nhỏ
5 cos ( ) cos a f a
bằng: -4
2 Hãy tìm giá trị nhỏ b0/b5
Ta có:
5
5 5
| | sin sin
( )
| | (sin ) sin
b z f b z
Đạo hàm:
5
10
5cos sin sin (5sin cos ) cos sin sin cos
'( )
sin sin
f
'( ) 5sin( 6 ) 5sin 46 20cos cos 26
sin sin sin
4 f
sin 5( )
( ) 1; ( )
2
sin ( ) f f
Vậy giá trị nhỏ của:
5 sin ( ) sin b f b
bằng: -
Ví dụ 2.3.3 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác 0, a > Gọi z2 = a0 + ib0 Hãy xác
định giá trị nhỏ của: a
a giá trị nhỏ
(b b)
b a
Ví dụ 2.3.4 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác 0, a > Gọi z3 = a0 + ib0 Hãy xác
định giá trị nhỏ của: a0 a
a
(18)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
20 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
2.4 Ứng dụng dạng lượng giác vào số tốn số phức có mơ đun 1:
Có thể coi cơng thức hẹp dành riêng cho nội ôn luyện thi trắc nghiệm dùng riêng cho học sinh theo học tác giả quê hương Thuận Thành
Cơng thức hẹp TTper05: Cho số phức z có mô đun: |z| = , với: z = a + ib, a b số thực, ta có tính chất sau đây:
Phần thực phần ảo: 1 a b, 1
2
1z 2az z 2az 1 (1)
2
1z 2ibz z 2ibz 1 (2)
|1z| 2(1a) (3)
Chứng minh cơng thức (1):
Ta có: 1z2 1 a2b22abi(1b2)a22abia2a22abi2 (a a ib )2az
Suy ra: 2
1z 2az z 2az 1 (đpcm)
Chứng minh công thức (2):
Ta có: 2 2
1z 1 a b 2abib b 2abi 2 (ib a ib ) 2ibz
Suy ra: 2
1z 2ibz z 2ibz 1 (đpcm)
Chứng minh cơng thức (3):
Ta có: 2 2
|1z| |1 a ib| (1a) b 2 aa b 2 a 1 22a 2(1a)
Chúng ta sử dụng dạng lượng giác để chứng minh công thức sau:
Áp dụng dạng lượng giác ta có: z a ib| | (cosz i.sin ) cosi.sin (vì |z| = 1)
Suy gọi: 1 acos ; bsin 1 | | ; | | 1a b
Ta có:
1z2 1 (cosisin ) 1 cos 2isin 22 cos22 sin cosi 2 cos (cos isin )
Suy ra: 2
1z 2 cos (cos isin ) 2 cos z2 a zz 2az 1 (đpcm)
Ta áp dụng cơng thức tính nhanh hẹp để giải toán liên quan tới số phức có mơ đun Như vậy, ghi nhớ công thức giảm thiểu dài dịng số tốn lớn:
Bài tốn 2.4.1 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác Có mơ đun |z| = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhỏ của: P = |z2 + 1|.
2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của:
| | | |
P z z z z z
Giải:
(19)1 Hãy tìm giá trị lớn nhỏ của: P = |z2 + 1|.
Ta có:
| 1| | | | | | | | | | |
P z az a z a P a
Giá trị lớn P là: Pmax = |a| = , b = (vì: a2b2 | |z 21) z 1
2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của:
| | | |
P z z z z z
Vì có |z| = 1, nên ta nhân biểu thức P với |z| sau:
4
| | | | | | | | | | | 1| | |
P z z z z z z z z z z a z z a
(Chú ý
| |
z z z )
Biến đổi biểu thức P :
2 2 2 2
| ( 1) | | | | (2 ) | | | | | | | | | 2 | |
P z z a az z a z a a a a
Đặt: t2 | |a [0;2] ; thay vào P ta được:
P| 4a22 | | | a t2 2 t t2 t f t( )
Ycbt tìm MAX MIN hàm số:
( )
P f t t t đoạn [0;2]
Dễ dàng suy được: MAX P = Pmax = t2 | | 2a a 1;b 0 z
MIN P = Pmin = 7/4 | | | | | | 15 15
2 4 4
i
t a a b a z
Bài toán 2.4.2 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác Có mơ đun |z| = Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P |1 z||z z |
Giải: Với: z a ib 1 | |z a b, | | 1z
Ta có: P | z||z z | 2(1a) | | a
Đặt:
2(1 ) 2 ; 2(1 ) 2(1 1)
t a a t t a
Thay vào biểu thức P ta được:
| | ( )
P t t f t ; với t [0; 2]
Trường hợp 1: 0 t
P t | 2t2| f t( ) 2 t t2 đoạn [0; 2] suy ra: Max = 9/4 Min = Trường hợp 2: 2 t
P t | 2t2 | f t( )t2 t đoạn [ 2;2] suy ra: Max = Min =
Ta phải kết hợp hai trường hợp suy GTLN GTNN biểu thức P
(20)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
22 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 2.4.3 Cho số phức z = a + ib, với a b hai số thực khác Có mơ đun |z| = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhỏ của: P = |z2 – 1|.
2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của:
| | | |
P z z z z z
Giải: Ta có: |z| = a2 + b2 = {trong đó: z = a + ib}
Khi ta có: – z2 = – a2 + b2 – 2abi = 2b2 – 2abi = -2ib(a + ib) = -2ibz (đpcm)
1 Hãy tìm giá trị lớn nhỏ của: P = |z2 – 1|.
Ta có:
| 1| | | | | | | | | | |
P z ibz b z b P b
Giá trị lớn P là: Pmax = |b| = , a = (vì: a2b2 | |z 21) z 1
2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của:
| | | |
P z z z z z
Vì có |z| = 1, nên ta nhân biểu thức P với |z| sau:
P| | |z z34z z ||z z | | z44z2z z ||z z | | z44z21||z z |
Chú ý
| |
z z z
Biến đổi biểu thức P :
P| (z21)22z2|| 2ib| | ( 2 ibz)22z2|| | |b z2| | 4 b22 || | 4b b2 2 | |b Đặt: t2 | |b [0;2] ; thay vào P ta được:
P4b2 2 | |b t2 2 t t2 t 2 f t( )
Ycbt tìm MAX MIN hàm số:
( )
P f t t t đoạn [0;2]
Dễ dàng suy được: MAX P = Pmax = t2 | | 2b b 1;a 0 z i
MIN P = Pmin = 7/4 | | | | | | 15 15
2 4 4
i
t b b a b z
Bài toán 2.4.4 Cho số phức z có |z| = Hãy trả lời câu hỏi sau:
1 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P2 |1z| |1 z| Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:
|1 | |1 |
P z z z
Giải:
1 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P2 |1z| |1 z| Biến đổi nhanh theo công thức hẹp biểu thức P sau:
(21) P2 |1z| |1 z| 2(1 a)3 2(1a) 2 1a3 1a ; đó: 1 a1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia ta suy giá trị lớn khó suy giá trị nhỏ
nhất từ BĐT bản:
2
(2 ) (8 18)(1 ) 52 13
P a a a a P
Chúng ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số cho tối ưu kiến thức:
Đặt: 2
0 t 2 a 22a 2 t P2t3 4t f t( )
2 2
2
0
3
'( ) 2 4
16 13
4
13
t t
t
f t t t t
t t t t
Khi: 12 12
13 13 13 13
13
i t a b z (0) ; (2) ; ( ) 13
13
f f f
Vậy giá trị lớn biểu thức P : Pmax = 13
5 12
13 13
i
z ; giá trị nhỏ biểu thức P là: Pmin = t = a = - b = z = –1
2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:
|1 | |1 |
P z z z
Biến đổi nhanh theo cơng thức hẹp với số phức có |z| = 1, ta được:
P |1 z||1 z z2| 2(1a) | 2 azz| 2(1a) | 2 a1| | |z 2(1a) | 2 a1|
Đặt:
0 t 2(1a)22a 2 t {vì 1 a1 }
Biểu thức: 2
2(1 ) | 1| | 1| | |
P a a t t t t Chia trường hợp sau:
Trường hợp 1: 0 t
Biểu thức: P t 3 t2 t2 t 3 f t( ) '( ) 1
2
f t t t
(0) ; ( )1 13 ; ( 3)
2
f f f
Ở trường hợp thì: Max P = 13
4 khi: t =
2 ; Min P = t = Trường hợp 2: 3 t
(22)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
24 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – '( ) 1
2
f t t t (loại) f( 3) ; f(2)3
Ở trường hợp thì: Max P = khi: t = ; Min P = t = Kết hợp hai trường hợp ta có:
Pmax = 13
4 khi: t =
2
2 7 15 15
2
4 8 8
i
a t a b z
Pmin = t = 2 1 3
2 2
i
a t a b z
Ví dụ 2.4.5 Cho số phức z có mơ đun Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau :
1 P|z z | |1 z|
2
|1 | |1 |
P z zz
3
| | | |
P z z z z z
Ví dụ 2.4.6 Cho số phức z có |z| = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: P = |1 – z| + |z3 + 1|
2 P = 2|1 + z| + |z3 – 1|
3 P = 3|z + 1| – 2|z – 1|
Bài toán 2.4.7 Cho số phức z có: |z| = Khi phần thực số phức:
1z bao nhiêu?
Giải:
Cách 1: Sử dụng cơng thức lượng giác Vì |z| = suy ra: z ei cos i.sin
Thay vào biểu thức:
2
1 1
1 cos sin
2 sin sin cos sin (cos sin )
2 2 2
z i
i i i
cos sin
1 2 2
.cot
1 2
2 sin
i
i z
i
phần thực 1z
1
Cách 2: Đại số túy: z = a + ib , đó: a2 + b2 = Suy ra:
1 1 2 2 2 2 1
1 (1 )(1 ) (1 ) 2 2 2
a ib a ib a ib a ib ib
z a ib a ib a ib a b a a b a a
Vậy suy phần thực của: 1z
1
(23)Bài toán 2.4.8 Cho số phức z có: |z| = Khi phần thực số phức: 2
1z bao nhiêu? Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức lượng giác
Vì |z| = suy ra: zei cosi.sin
Suy ra: 2 2 2
1z 1 (cos i.sin ) 1 cos 2 i.sin 2 2 cos i.2 sincos
2 cos sin tan
1 cos (cos sin ) cos 2
i i
z i
Vậy phần thực số phức: 2 1z
1
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số túy: Gọi z = a + ib, đó: a2 + b2 = 1
2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 2 2
a ib a ib ib z a b abi a abi a a ib a a b a a
Vậy phần thực số phức: 2 1z
1
Ví dụ 2.4.9 Cho số phức z có |z| = Hãy xác định phần thực số phức: 1
1z 2
1 1z
Ví dụ 2.4.10. Hãy xây dựng cơng thức tổng qt, cho z có |z| = r phần thực số phức:
rz
1 2r
Ví dụ 2.4.11. Hãy xây dựng cơng thức tổng qt, cho z có |z| = r phần thực số phức: 2
1
r z
(24)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
26 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
III PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT PHỨC
3.1 Phương trình bậc chứa biến (z z ):
Phương pháp giải: Ta biến đổi đưa dạng: A z B z B A
A z B z B
A
Bài tốn 3.1.1. Giải phương trình: (1 + 3i)z – (2i + 3)(1 + z) = 4i (1)
Giải:
Pt (1) z(1 + 3i – 2i – 3) = 4i + 2i + z(-2 + i) = + 6i
i
z i
i
Nhận xét: Đây phương pháp chung.Nhưng ta trắc nghiệm gặp nhiều tình u cầu xử lí thơng minh tốc độ
Ví dụ 3.1.2 Giải phương trình phức bậc ẩn sau:
1 z i(2 3) (1 i iz)( 1)2i3 (1i z) (z i)(2i)5i
Bài tốn 3.1.3 Cho z thỏa mãn phương trình: (z 2 )(4 )i i 2 i Hãy tính: |z + – 3i| = ?
Giải:
Đây tốn, nhìn qua đơn giản, phương trình bậc đơn giản làm nhanh để giải nghiệm nghiệm z thay vào biểu thức mơ đun tính xong Tuy nhiên, để tối ưu thời gian nên xử lí mơ đun sau:
Từ: (z 2 )(4 )i i 2 i | (z 2 )(4 ) | | 2i i i| |z 2 | | | | 2i i i|
Suy ra: | | | |
| | 5
i z i
i
Bài toán 3.1.4 Cho z thỏa mãn phương trình: (z 1 )(2 )i i 3 4i Hỏi |iz – + i| = ?
Giải:
Với tốn này, nên xử lí mơ đun sau:
Từ: (z 1 )(2 )i i 3 4ii z( 1 )(2 )i i i(3 ) i (iz i 2)(2 ) i i(3 ) i
| ( 2)(2 ) | | (3 ) | | | | (3 ) |
| | 29
i i iz i i i i iz i
i
Ghi nhớ: Khi cần tính mơ đun lưu ý tới cách xử lí mơ đun cho tốc độ, hạn chế lối mòn tư duy: “cứ giải nghiệm thay vào biểu thức mơ đun xong ”
Ví dụ 3.1.5 Cho z thỏa mãn phương trình: (z3i5)(2i) 4 i Hỏi |z + + 3i| = ? Ví dụ 3.1.6 Cho z thỏa mãn phương trình: (z3i5)(2i) 4 i Hỏi |iz + 5i – 3| = ? Ví dụ 3.1.7. Tìm x y thực thỏa mãn phương trình: (x + 2iy)(1 – 2i) + i(x – iy) =
(25)3.2 Phương trình bậc chứa hai biến (z z ):
Phương pháp giải: Ta gọi z = x + iy, x y, Rz x iy 2
| |z x y Sau thay vào phương trình cho tiến tới giải hệ suy x, y suy z
Bài tốn 3.2.1. Giải phương trình: (1 + 2i)z + (i – 1)(i + z ) = i (1)
Giải:
Gọi: z x iy; x y, R z x iy Thay vào phương trình (1), ta được:
4
(1 )( ) ( 1)( ) ( 1) (3 2)
3 2
1
y x
i x iy i i x iy i y i x y
x y
y
Vậy ta có nghiệm là:
3
z i Ví dụ 3.2.2. Giải phương trình tìm z:
1 (3 ) i z(2i z) 4 5i (z1)3i(2z i)(4 ) i 11i
Ví dụ 3.2.3 Cho z thỏa mãn phương trình: (1i z) 2 (1i i z) 7i2 Hãy xác định số phức
w z 2i z ?
Ví dụ 3.2.4 Cho z thỏa mãn phương trình: (3 ) i z(3i2)z 5 3i Hãy xác định số phức
wiz z ?
Ví dụ 3.2.5 Cho z thỏa mãn phương trình: (1 ) i z i (1 ) i z 1 i Hãy xác định số phức
w z i z ?
Ví dụ 3.2.6 Cho z thỏa mãn: (2 ) i z(2i5)z 11 4 i Hãy xác định số phức wiz z ?
Bài toán 3.2.7 Cho số phức z thỏa mãn phương trình:
| | 2( )
2
1
z z i
iz
z i
Tìm z ?
Giải: Nhận xét:
2 | |z
z z
2 1i i
Phương trình cho z 2iz(1i z)( i)0 (1)
Gọi z = x + iy ; a b số thực Thay vào (1) ta được:
(1) x iy 2 (i x iy ) (1 i x iy i)( )0
1
(2 1) (3 1)
5
x
x y i x
y
Vậy số phức:
3
(26)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
28 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Ghi nhớ: Có phương trình bậc đơn giản che mờ công thức biến đổi làm cho phức tạp hóa vấn đề Chúng ta phải cố gắng nhìn biến đổi cơng thức này:
2 | |z
z z
Ví dụ 3.2.8 Cho số phức z thỏa mãn phương trình:
| | 2( 1)
(1 )
1 z z i z z i
Tìm z?
Ví dụ 3.2.9 Cho số phức z thỏa mãn phương trình:
| | 5( )
2
3
z z i
z
i z
Tìm z?
Bài tốn 3.2.10 Giải phương trình bậc sau tập số phức:
3
i i
z i z iz
(1)
Giải:
Đây phương trình bậc với hai ẩn số Nếu gọi z = x + iy thay vào phương trình ln cồng kềnh rễ mắc sai lầm
Chúng ta rút gọn trước giải thay ẩn z vào sau:
(1) ( 1)4 ( 1)(1 ) (1 ) 10
1
i
z iz z i z i i i z
i
z (1i z) 11 0 Đến ta thay: z = x + iy vào phương trình được:
( ) (1 )( ) 11 ( 11) ( ) 22 22 11
11
x
x iy i x iy y i x y z i
y Ví dụ 3.2.11 Giải phương trình bậc tập số phức sau:
1
4
i i
z i i
2 10
3
2
i i
z i
z i z
3
2
i i
z i z z i
3.3 Biện luận theo tham số phức phương trình phức bậc nhất: Amz + Bm = 0: Nhắc lại kiến thức phương trình bậc chứa tham số:
Cho phương trình: Az + B = (1)
Phương trình (1) vơ nghiệm
0 A B
Phương trình có nghiệm A0
Phương trình (1) với z, tức có vơ số nghiệm z
(27)Bài tốn 3.3.1. Cho phương trình bậc tham số phức u Giải biện luận phương trình theo u (u 3 )i z 4 6i0 (1)
Giải:
Đây dạng phương trình bậc ẩn, biện luận bình thường:
Nếu: u 3 2i0u 3 2i phương trình cho vơ nghiệm
Nếu: u 3 2i0u 3 2iphương trình có nghiệm
Bài tốn 3.3.2. Cho pt bậc ẩn z hai tham số phức u, v: (u 1 )i z(1i v) 2 4i0 Biết phương trình có nghiệm với z Hãy xác định giá trị u v ?
Giải:
Đã biết phương trình dạng Az + B = có nghiệm với z A = B = Nên để phương trình cho nghiệm với z ta phải có:
1
1
2
(1 )
1
u i
u i
i
i v i v i
i
Ví dụ 3.3.3. Để phương trình: (u 2 i z) 4 2i0 khơng tồn nghiệm phức z số phức u bao nhiêu?
Ví dụ 3.3.4. Để phương trình: (u 3 )i z(3 ) i v 1 3i0 nghiệm với z số phức u v bao nhiêu?
Ví dụ 3.3.5. Để phương trình: u(1 2 iz) (2 i z) 3w4i0 nghiệm với z số phức u w bao nhiêu?
Ví dụ 3.3.6. Để phương trình: u(3 i iz) (2 ) i z2w3i 1 không tồn số phức z thỏa mãn số phức u w bao nhiêu?
3.4 Hệ phương trình bậc số phức:
Bài tốn 3.4.1. Giải hệ phương trình bậc hai ẩn z w : (3 )w = (1)
2 w (2)
iz i z i i
Giải: Từ (1) suy ra: w
3
iz i
(3); vào phương trình (2), ta được:
(2) 2 2(3 ) (1 ) (3 )(2 ) (7 ) 47 32
3 53 53
iz
z i i i z i iz i i i z i z i
i
Thế z vào (3), ta được:
47 32
1 ( )
11 12
53 53
w
3 53 53
i i
i i
(28)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
30 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài tốn 3.4.2. Giải hệ phương trình bậc hai ẩn z w : (1 ) w (1)
2 (2 )w (2)
i z i i
z i i
Giải:
Chúng ta sử dụng phương pháp cộng (trừ) đại số sau:
Nhân hai vế (1) với 2, nhân hai vế (2) với (1 – i) lấy chúng trừ được:
Hệ phương trình cho 2(1 ) w (3)
2(1 ) (1 )(2 )w (1 )(2 ) (4)
i z i i
i z i i i i
Lấy (3) trừ (4), vế theo vế, ta được:
w (1 )(2 )w (1 )(2 ) (3 )w w 23
17 17
i i i i i i i i i
Thế vào phương trình (1) ta được: 3 31
1 34 34
i iw
z i
i
Ghi nhớ: Khi nắm vững thao tác phép toán phức bản, nên dùng CASIO để tính tốn cho đạt tốc độ phù hợp với yêu cầu thi cử.
Bài tốn 3.4.3. Giải hệ phương trình bậc ba ẩn u , v , w :
(2 ) 3w (1)
2 (1 )w (2)
(1 ) (3 )w (3)
i u iv i
u iv i
i u v i i
Giải:
Chúng ta sử dụng phương pháp đại số, cộng đại số, sử dụng định thức cho hệ ba phương trình bậc ba ẩn
Chúng ta sử dụng phương pháp thế:
Từ phương trình (2), suy ra: 3 w
2 2
i i
u v (4) , vào (1), ta được:
(2 ) 3 w 3w ( ) (1 )w
2 2 2
i i i i
i v iv i i v
35 (18 25 )w
73 73 73 73
i i
v
(5)
Thay vào (4) ta suy ra:
3 35 (18 25 )w w 57 ( 74 46 )w
2 73 73 73 73 73 73 73 73
i i i i i i
u
(6)
Thay (5) (6) vào phương trình (3), ta được:
(1 ) 57 ( 74 46 )w 35 (18 25 )w (3 )w
73 73 73 73 73 73 73 73
i i i i
i i i
(29) Suy ra: ( 156 22 )w 233 352 w 151 341
73 73 73 73 85 170
i i i
Thay vào (5) (6), suy ra: 33 53 ; 112 261
170 85 85 85
i i
v u Ví dụ 3.4.4. Giải hệ phương trình bậc hai ẩn z1 , z2 :
1
1
(1 )
(3 ) (1 )
i z iz i i z i z i
2
1
( 2)
(3 ) (1 )
iz i z
i z i z i
3
1
(2 )
2 (3 1)
i z iz i z i i z i
Ví dụ 3.4.5. Giải hệ phương trình bậc ba ẩn:
1
2 (2 )w
2 w 4i
(1 ) (2 ) 3w
u iv i i
iu v i
i u i v
2
1
1
1
2 (1 )z
(3 ) z 2i
(1 ) ( 2)
iz z i i
z i z i
i z z i z
(30)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
32 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
IV CĂN BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – XỬ LÍ MƠ ĐUN
4.1 Căn bậc hai số âm
Đúng ra, mà cịn thi tự luận, nghe nói cấm viết 1 cấm viết z mà phải viết là: bậc (-1) viết bậc z Không cần bàn vấn đề sai Nhưng mở hướng thi trắc nghiệm cho mơn Tốn nên viết ngắn gọn cho dễ làm dễ hình dung: 1 ; z ; 4 i
Với số phức, biết: 2
1 i i i
Căn bậc số thực âm:
a i a i a
Ví dụ 4.1.1 Tính bậc hai số thực âm sau:
1 64 i 64 8i 100 =
3 16 = 19 =
4.2 Căn bậc hai – Căn bậc n số phức 4.2/1 Số phức tổng quát
Bài toán 4.2.1. Khai bậc hai số phức: z = + 4i
Giải: Cách 1: Tổng quát cho trường hợp
Ta gọi 2
3 4 i x iy 3 4i(x iy ) x y 2xyi ; x y số thực
Suy ra:
2
2
2 (2)
3 (3)
xy y x x y
Thế (2) vào (3), ta được:
2
2
2
1(Loai)
3
4
x
x x x
x x x
Từ thay vào (2) suy được: y
x
Vậy bậc hai số phức ln ln có hai giá trị:
3 (2 )
i x iy i i x iy i
Cách 2: Ta nhận thấy: 2
3 4 i4 4 i i (2i) 4 i (2i) (2i)
Ghi nhớ: Để khai nhanh số phức biến đổi cách nhanh cách nhiều Thế nhưng, ta làm cách vấn đề quan trọng
(31)4.2/2 Số phức phương bội số phức phương:
Ở đây, tác giả mạnh dạn đưa vào khái niệm số phức phương cho tối ưu tốc độ thực phép khai Vì tài liệu lưu hành nội nên không câu nệ tới công nhận hội đồng giáo sư tiến sĩ đơn giản phục vụ học thi
Số phức phương: là số phức có bậc hai số phức với phần thực phần ảo nguyên: z phương z x iy đó: x y, Z
Ví dụ 4.2.2. Số phức z = – 6i số phức phương vì: 2
8 (9 ) (3 )
z i i i i
z (3i)2 (3i)
Số phức: z = + i khơng phải số phức phương vì:
2
i i
Số phức: z = 16 – 12i = 2(8 – 6i) = 2(3 – i)2 bội số phức phương Khi khai căn
số phức này:
16 12 i 2(3i) 2(3i) (3 2i 2)
Ví dụ 4.2.3. Hãy tính bậc số phức: z = 15 + 8i
Ta nhận thấy: z = 16 + 8i + i2 = (4 + i)2 Vậy số phức phương nên ta có ngay:
15 8 i (4i) (4i)
Ví dụ 4.2.4. Hãy tính bậc số phức: z = 12 + 16i
Ta để ý: + 4i = + 4i + i2 = (2 + i)2 nên:
12 16 i4(2i) Vậy z bội số
phương, nên ta khai sau:
12 16 i 4(2i) 2(2i) (4 ) i Ví dụ 4.2.5. Hãy tính bậc số phức sau:
1 z = 2i z = -2i z = 8i z = -16i z = -8 + 6i z = 32 – 24i z = 65 + 72i
4.2/3 Số phức dạng lượng giác
Số phức lượng giác: Chúng ta nên hiểu số phức mà dạng lượng giác góc (hoặc Argument) góc đặc biệt: 0, 300, 450, 600, 900, …
Chúng ta áp dụng công thức khai nhanh số phức: cos sin (cos sin )
2
i i
(32)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
34 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 4.2.6. Cho số phức: z 1 i Căn bậc hai số phức z là?
Giải:
Ta có: 2(cos sin )
3
z i i Vậy suy ra:
2(cos sin ) (cos sin )
3 6 2 2
i
i i i i
Ví dụ 4.2.7 Khai số phức lượng giác sau: z 1 i
2 z 3i z 4 4i
Bài toán 4.2.8 Sử dụng CASIO để khai bậc hai số phức phương pháp lượng giác: z = -45 + 108i
2 z = -13 – 84i
Giải:
Cho số phức: | | (cos sin ) ( | |.cos | |.sin )
2
za ib z i z z i z
Các bước thực CASIO sau:
Bước 1: Xác định bậc hai môđun số phức z lưu vào A: | |z A Bước 2: Xác định argument số phức z chia cho lưu vào B:
tan b arctanb (shift_ tan)b B
a a a
Bước 3: Phần thực sau khai bậc số phức z là: | |.cos cos
z A B
Phần ảo sau khai bậc số phức z là: | |.sin sin
z A B
Suy ra: z ( cosA B iA sin )B z = -45 + 108i
Ta có: A | |z | 45 108 | i 3 13
tan 108 arctan108
45 45
b
B a
Suy ra: z ( cosA B iA sin )B (9 ) i
(33)2 z = -13 – 84i
Ta có: A | |z | 13 84 | i 85
tan 84 arctan 84
13 13
b
B a
Suy ra: z ( cosA B iA sin )B ( )i Ví dụ 4.2.9 Sử dụng CASIO khai số phức sau: z = 119 – 120i
2 z 3 2i
4.3 Phương trình bậc hai tập số phức: Bài tốn 4.3.1. Giải phương trình bậc 2:
4
z z
Giải:
Chúng ta làm bình thường với phương trình bậc hai học từ cấp
b24ac424.1.5 4 4i2 2i
1 2 ; 2 2
2 2
b i b i
z i z i
a a
Ghi nhớ: Với phương trình bậc hai tập phức với hệ số thực nên sử dụng CASIO để bấm cho nhanh đơn giản.
Ví dụ 4.3.2. Giải phương trình bậc hệ số thực sau:
8 20
z z 2
2 10
z z
3
4
z z 4
4
z z
5
16
z
4
z z
Bài tốn 4.3.3. Giải phương trình bậc hệ số phức:
(2 1)
z i z i (1)
Giải:
2
(2i 1) 4.1.(i 1) 4i 4i 4i 1
1 1 ; 2 1
2 2
b i b i
z i z i
a a
Ví dụ 4.3.4. Giải phương trình bậc hệ số phức sau:
(2 3)
z i z i 2
4 12
z iz
(4 ) 11
z i z i
(2 5)
z i z i
(23 ) 162 17
z i z i
(37 ) 392 19
(34)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
36 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
4.4 Phương trình bậc cao – Phân tích nhân tử – Đặt ẩn phụ – Khai phức:
Mỗi phương trình biến tập số phức có số nghiệm số bậc phương trình ta tính nghiệm bội
Một phương trình phức biến tập số phức khơng có khái niệm: vơ nghiệm
Đa số phương trình bậc cao thường phải dùng CASIO để nhẩm nghiệm thực thực phép phân tích đưa phương trình bậc thấp giải cho dễ
Bài tốn 4.4.1 Giải phương trình bậc tập số phức: z3 – =
Giải:
Nhẩm nhanh z = nghiệm, ta thực phép phân tích:
1
1 ( 1)( 1) 1 3
2
z
z z z z i
z
Ghi nhớ: Chúng ta tránh sai lầm giải phương trình tập số phức mà xử lí tập số thực như: 3
1 1
z z z Bài tốn 4.4.2. Giải phương trình bậc tập số phức:
2
z z
Giải:
Chúng ta sử dụng máy tính CASIO để nhẩm nhanh nghiệm thực chẵn: z = pt
Từ thực phép phân tích nhân tử:
1
1 11
2 ( 1)( 3)
2
1 11
2
z i
z z z z z z
i z
Ghi nhớ: Với phương trình bậc ba hệ số thực sử dụng hồn tồn CASIO để tìm ba nghiệm
Ví dụ 4.4.3 Giải phương trình phức bậc cao sau: z3 – = 0.
2
3
z z
Bài tốn 4.4.4 Giải phương trình phức bậc 3:
4
z z i (1)
Giải: Tính chất: Một phương trình bậc mà có dạng:
0
z az ib có nghiệm dạng ảo: z = iy
(35) Ta thay nghiệm z = iy vào pt (1) được:
z34z3i 0 i y3 34iy3i 0 iy34iy3i 0 y34y 3 y1 Vậy phương trình (1) có nghiệm: z = i Ta phân tích sau:
(1)
1
2
( )( 3)
z i
z i z iz z
z
Đa số tốn có câu hỏi dạng: Gọi z1 z2 hai nghiệm không
thuần ảo phương trình (1), tính giá trị biểu thức chứa z1 z2 dạng VIET Ví dụ 4.4.5 Giải phương trình phức bậc 3:
4
z z i (1) Gọi z1 z2 hai số phức không
thuần ảo phương trình (1) Khi tính giá trị biểu thức: A = (z1 + i)(z2 + i) ;
1 2
5
B = |z | |z |
z z
Ví dụ 4.4.6. Giải phương trình bậc 4:
4
z z z z (1)
Giải:
Đây phương trình đối xứng bậc 4, nhận thấy z = nghiệm, ta chia hai vế (1) cho z2 phương trình:
(1) 2
2
4 1
4 ( ) 4( )
z z z z
z z z z
(2)
Đặt ẩn phụ: 2 2
2
1 1
2
t z t z z t
z z z
; thay tất vào (2) ta được:
(2)
2
2
2
1
1
2
( 2)
1
3
2
i
t z z z z
z
t t t t
t z z z z
z
Ví dụ 4.4.7. Giải phương trình bậc dạng phân tích nhân tử phức:
4
z z z z (1)
(1) 2 2 2 2
4 ( ) ( 1) ( ) ( 1)
z z z z z z z z z z z
2
2 2
2
2 ( 1) (2 )
( ) { ( 1)}
2 ( 1) (2 )
z z i z z i z i z z i z
z z i z z i z i
Ví dụ 4.4.8. Giải phương trình sau tập số phức:
5
z z i
6
z z
2
z z z z
4
4
z z z z
3
z z z
(1 3)
z i
7
3
z i
2
z z z z
1
z
10 2
(z 3 )i 4 11 2
(z 2 )iz 2z 4iz 3 12
2
(36)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
38 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
4.5 Hệ thức VIET áp dụng vào trắc nghiệm phương trình bậc cao phức:
Bài toán 4.5.1 Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: z2(4i5)z 3 5i0
Mô đun số phức w1 = (z1 + i + 2)(z2 + i + 2) bao nhiêu?
Giải:
Bài toán nhận thấy phương trình ban đầu lẻ nên ta sử dụng định lí Vi ét đảo cho phương trình bậc cách biến đổi w1 sau:
w1 z z1 2 (i 2)(z1 z2) (i 2)2 c (i 2)( b) 4i (3 ) (i i 2)(4i 5) 4i
a a
Dùng CASIO ta rút gọn nhanh được: w112 12 i| w | 12 21
Ghi nhớ: Vẫn kiến thức học từ phương trình bậc hồi cấp Ta áp dụng định lí Vi ét vào biểu thức nghiệm đối xứng phương trình phức bậc 2.
Cho phương trình phức bậc 2:
0
az bz c có hai nghiệm phức: z z1; 2 có định lí Vi ét
là:
1
1 b
z z
a c z z
a
Ví dụ 4.5.2 Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: z2(3i2)z 1 2i0
1 Số phức w1 = (z1 – i + 1)(z2 + – i) bao nhiêu?
2 Số phức w2 = (z1 + i – 1)(iz2 + + i) bao nhiêu?
3 Mô đun số phức: w2 = (z1 + 2i +3)(iz2 – + 3i) bao nhiêu? Bài toán 4.5.3 (TN) Cho phương trình bậc hai tập số phức:
(9 23 ) 92 108
z i z i Hai
nghiệm phương trình
A.2 + 9i + 3i B. + 7i 11 + 2i C.5 + 7i + 16i D. – 8i + 31i
Giải:
Cách 1: CASIO mà tác giả viết tài liệu này, chưa có tính giải phương trình phức bậc với hệ số phức, vậy, tốn phải làm tay bình thường:
2
(9 23 )i 4.( 92 108 )i 80 18i 81i 18i (9i 1) (9i 1)
Hai nghiệm: 1 (9 23 ) (9 1) ; 2 (9 23 ) (9 1) 16
2
i i i i
z i z i
Với cách này, phải biết khai triển nhận biết số phương, điều mà lúc dễ làm dễ thấy
Cách 2: Sử dụng phương pháp thay cặp nghiệm vào có kết hợp định lí Viet đảo
Nếu thay hết tất trường hợp vào lâu, nên sử dụng định lí VIET đảo để thử nhanh cặp nghiệm sau: z1 z2 b; z z1 2 c
a a
(37) Đa số thi cử trắc nghiệm cần thử trường hợp tổng hai nghiệm: z1 z2 b a
là đủ để nhận biết
Khi tiến hành thử ta thấy: A. (z1 z2 12 )i ( b 23 )i a
B. (z1 z2 16 )i ( b 23 )i
a
C.(z1 z2 23 )i ( b 23 )i
a
D. (z1 z2 23 )i ( b 23 )i
a
Vậy có đáp án C D thỏa mãn điều kiện tổng hai nghiệm: z1 z2 b a
Dùng đáp án C ta thử nốt điều kiện tích hai nghiệm: C. z z1 2 92 108i c a
; nhận thấy
trường hợp thỏa mãn Vậy đáp án toán C.
Ghi nhớ: Cách diễn giải dài trắc nghiệm nhanh. Ví dụ 4.5.4 (TN) Cho phương trình bậc hai tập số phức:
(13 15 ) 14 97
z i z i Hai nghiệm phương trình
A.11 + 2i + 11i B.13 + 8i 7i
C.6 + 7i + 8i D.15 –i + 16i
Hệ thức VI_ET tổng quát cho phương trình bậc 3:
0
az bz czd , với ba nghiệm
phức phân biệt: z1 , z2 , z3 :
1
1 2 3
1
b
z z z
a c
z z z z z z
a d z z z
a
Hệ thức VI_ET tổng quát cho phương trình bậc 4:
0
az bz cz dz e , với bốn
nghiệm phức phân biệt: z1 , z2 , z3, z4 :
1
1 4
1 4
1
b
z z z z
a
c
z z z z z z z z z z z z
a d z z z z z z z z z z z z
a e
z z z z a
(38)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
40 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 4.5.5 Cho phương trình bậc phức:
(3 2)
z i z iz i (1) Gọi ba nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 Khi giá trị biểu thức A sau rút gọn
bao nhiêu? Với: A = (z1 – 1)(z2 – 1)(z3 – 1)
Giải:
Đây dạng tốn xử lí biểu thức Viet bậc cao, giải cụ thể nghiệm thay vào được, việc giải phương trình khó khăn
Biến đổi đưa Viet: A = (z11)(z21)(z31)(z1z2z ) (z z3 1 2z z2 3z z ) (z z z ) 13 1 1 3 Áp dụng định lí Viet vào biểu thức ta có:
A ( (3i2)) ( ) ( ( 2 i i1)) 1 2i
Bài tốn 4.5.6. Cho phương trình bậc phức với tham số thực m:
2 ( 1)
z iz m z i m Gọi nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 Có: A = (z1 + 1)(z2 + 1)(z3 + 1) Biết
|A| = Hãy tìm tất giá trị thực m?
Giải:
Biểu thức A biểu thức Viet bậc nên ta biến đổi sau:
A = (z11)(z21)(z31)(z1z2z ) (z z3 1 2z z2 3z z ) (z z z ) 13 1 1 3 Áp dụng định lí Viet vào biểu thức ta có:
A (2 ) ( 1) ( ) (2 ) | A | (2 )2
6
m
i m i m m i m
m
Ghi nhớ: Biểu thức VIET thường kết hợp với tốn tìm tham số phương trình bậc cao đặc biệt phương trình bậc
Ví dụ 4.5.7. Cho phương trình bậc phức với tham số thực m:
3 ( )
z iz m i z i m Gọi nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 Có: A = (z1 + 1)(z2 + 1)(z3 + 1) Biết |A|
= Hãy tìm tất giá trị thực m?
Ví dụ 4.5.8. Cho phương trình bậc phức với tham số thực m:
(2 )
z iz m i z im Gọi nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 Biết
1
1 1
| (1 )(1 )(1 ) | 10
z z z
Hãy
tìm tất giá trị thực m?
Bài tốn 4.5.9. Cho phương trình bậc trùng phương tập phức:
4
z z (1) Gọi bốn nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 , z4 Khi giá trị biểu thức:
1
A = |z | | z | | z | | z | bao nhiêu?
Giải:
(39) Với toán này, ta sử dụng CASIO bấm nhanh nghiệm phương trình trùng phương:
z2 2 2i|z2|| |z 2| 2 | i 2 2| |z 2 Tức bốn nghiệm phức phương trình có mơ đun nhau, nên suy nhanh được: A4 2
Bài toán 4.5.10. Cho phương trình bậc trùng phương tập phức:
4
z z (1) Gọi bốn nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 , z4 Khi giá trị biểu thức:
1
A = |z | | z | | z | | z | bao nhiêu?
Giải:
Với toán này, ta sử dụng CASIO bấm nhanh nghiệm phương trình trùng phương:
2
1,2 2
3,4
1 | | | |
3 3 | | | |
z z i z z
z z i z z
Nên suy nhanh được: A = 2+2 Ví dụ 4.5.11. Cho phương trình bậc trùng phương tập phức:
6 13
z z (1) Gọi bốn nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 , z4 Khi giá trị biểu thức:
1
A = |z | | z | | z | | z | bao nhiêu?
Ví dụ 4.5.12. Cho phương trình bậc trùng phương tập phức:
6
z z (1) Gọi bốn nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 , z4 Khi giá trị biểu thức:
1
A = |z | | z | | z | | z | bao nhiêu?
Bài toán 4.5.13 Cho phương trình đối xứng bậc 4:
2015 2017 2015
z z z z Gọi z1 , z2 , z3
, z4 nghiệm phương trình cho Tính giá trị của: T (z121)(z221)(z321)(z421)
Giải:
Áp dụng hệ thức VIET cho phương trình bậc 4, ta có: z1z2z3z4 = e/a = Biến đổi:
2
2 2
3
1
1 4
1 4
1
1 1 1 1
(z )(z )(z )(z ) ( )( )( )( )
T z z z z z z z z
z z z z z z z z
(2)
Chúng ta biến đổi phương trình đối xứng bậc dạng: 2
1
(z ) 2015(z ) 2017
z z
(3)
Đặt 2
2
1
2
t z z t
z z
Thay vào phương trình (2), ta được:
(2) 2
(t 2)2015t20170t 2015t20150 ; gọi t1 t2 hai nghiệm tương ứng
thì ta có: t1t2 = 2015
Gọi z1 z3 hai nghiệm phương trình: 1
z t z
Suy ra: 1
1
1
z t
z
3
1
z t
z
Gọi z2 z4 hai nghiệm phương trình: z t2
z
Suy ra: 2 2
2
1
z t
z
4 2
1
z t
z
Thay vào biểu thức (2) ta được: 2 2
1 1.(2015) 2015
(40)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
42 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 4.5.14 Cho pt đối xứng bậc 6:
2016 2017 2018 2017 2016
z z z z z z (1)
Gọi z1, z2 , z3, z4 , z5 , z6 nghiệm (1) Hãy tính:
1 Tích số: P = z1.z2z3z4z5z6 = ?
2 Tính tích số: 2 2 2
1
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)
T z z z z z z = ?
Giải: Tích số: P = z1.z2z3z4z5z6 = ?
Theo hệ thức VIET ta có tích tất nghiệm bằng: P = z1.z2z3z4z5z6 = 1
g
a (tại
lại g
a
mà khơng phải: g
a
tự phải hiểu)
2 Tính tích số: 2 2 2
1
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)
T z z z z z z = ?
Biến đổi biểu thức T sau:
2 2
2 2
3
1
1
1
1 1
1 1
(z )(z )(z )(z )(z )(z )
T z z z z z z
z z z z z z
1 2 3 4 5 6
1
1 1 1
( )( )( )( )( )( )
T z z z z z z
z z z z z z
(2)
Chúng ta xử lí phương trình đối xứng cách chia hai vế (1) cho z3, ta được:
(1)
3
1 1
(z ) 2016(z ) 2017(z ) 2018
z z z
Đặt: 3 2 1
z t t
z t z z z t z
; thay vào phương trình ta được:
(t33 ) 2016(t t22)2017t20180t32016t22017t20140 (2)
Nếu gọi t1 , t2 , t3 nghiệm phương trình (2) ta có: t1t2t3 = 2014 Gọi z1 z4 hai nghiệm pt: 1 1 1
1
1
z t z t
z z
4 1
1
z t
z
Gọi z2 z5 hai nghiệm pt: 2 2
1
z t z t
z z
4 1
1
z t
z
Gọi z3 z6 hai nghiệm pt: 3 6 3
1
z t z t
z z
4 1
1
z t
z
Thay vào biểu thức T (2), ta được: 2 2 2014 T t t t
(41)Ví dụ 4.5.15. Cho phương trình
2016 2020 2016
z z z z có nghiệm phân biệt z1 , z2, z3
, z4 Tính giá trị biểu thức: T (z121)(z221)(z321)(z421) ? Ví dụ 4.5.16 Cho pt đối xứng bậc 6:
3 11 14 11
(42)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
44 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
4.6 Phương trình phức dạng đa thức với hệ số thực: zn + an-1zn-1 + … + a1z+ a0 = Tích chất phương trình phức dạng đa thức với hệ số thực: Một
phương trình phức dạng đa thức với hệ số thực Nếu có nghiệm phức (khơng thực) là: z0 có nghiệm dạng liên hợp z0 là: z0
Chứng minh tính chất dễ dàng sau:
Xét phương trình phức dạng đa thức:
1 0
n n n
z a z a z a (1)
Với hệ số thực: a1, a2, … , an-1
Gọi nghiệm phức phương trình (1) z0 Khi ta có: z0n an1 0zn1 a z1 0a0 0
Lấy liên hợp hai vế đẳng thức ta được:
1
0 0 0 0 0 0
n n
n n n n
n n n
z a z a z a z a z a z a z a z a z a Chứng tỏ phương trình có nghiệm: z0
Hệ quan trọng phương trình bậc hệ số thực:
Cho phương trình bậc hai hệ số thực: z2 + az + b = 0, với a b hai hệ số thực Khi đó
phương trình có nghiệm phức phải có hai nghiệm phức, hai nghiệm phức phải liên hợp
Tức phương trình có hai nghiệm phức: z z1, 2 cho: z1 z2 |z1| |z2| | |z C b A
Chúng ta áp dụng tính chất để xử lí số toán cho linh hoạt tốc độ sau
Bài tốn 4.6.1. Cho phương trình phức bậc hệ số thực: z2 + az + b = Biết phương trình có
nghiệm phức: z = + 3i Hỏi a, b bao nhiêu?
Giải:
Cách 1: Thay nghiệm z = + 3i vào phương trình tìm a b
Thay nghiệm vào phương trình ta được:
(1 )2 (1 ) ( 8) (3 6)
3 10
a b a
i a i b a b i a
a b
Cách 2: Phương trình có nghiệm z = + 3i, suy có nghiệm phức liên hợp: z’ = – 3i
Áp dụng hệ thức VIET cho phương trình bậc hai, ta có:
' 3
' (1 )(1 ) 10 10
z z a i i a
z z b i i b
Ghi nhớ: Cách mẻ khó hiểu cách nhiên ứng dụng được những tốn khó hơn, nâng cao hơn, toàn diện hơn.
(43)Ví dụ 4.6.2 Cho phương trình phức bậc hệ số thực: z2 + az + b = Biết phương trình có
nghiệm: z = + 8i Hỏi a, b bao nhiêu?
Ví dụ 4.6.3 Cho phương trình phức bậc hai với hệ số a, b thực: z2 + az + b = Biết phương trình
có nghiệm phức: z = + 5i Hỏi giá trị a, b bao nhiêu?
Bài toán 4.6.4 Cho phương trình bậc hai với hệ số a, b thực: z2 + 2az + b2 + 3b = Biết phương
trình có nghiệm phức không thực thỏa mãn: |z1| = Giá trị b bao nhiêu? Điều
kiện hệ số a nào?
Giải:
Vì phương trình có nghiệm phức z1 nên có nghiệm phức z2 liên
hợp z1 tất nhiên có : |z2| = |z1| =
Theo hệ thức VIET cho phương trình bậc 2, ta có: z1z2 = b2 + 3b
Lấy mơ đun hai vế ta được: |z1z2| = |b2 + 3b| |z1| |z2| = |b2 + 3b| = Suy ra:
2
2
3 ( )
3
1
3
3
4
b b VN
b b
b
b b
b b
b
Phương trình bậc hai trở thành:
2
z az (1)
Để phương trình có nghiệm phức thì: '
(1) a a
Ghi nhớ: Chúng ta phải để ý kĩ tới điều kiện phương trình bậc hai để có nghiệm phức Nếu áp dụng hệ thức VIET ln rễ sai lầm khơng triệt để.
Ví dụ 4.6.5 Cho phương trình bậc hai hệ số thực: z2 + az + b2 – 6b = Biết phương trình có
nghiệm phức khơng thực z1 có mơ đun |z1| = Hãy xác định giá trị b điều kiện a Ví dụ 4.6.6 Cho phương trình bậc hai hệ số thực: z2 + 2az + a2 – a – = Biết phương trình có
nghiệm phức khơng thực z1 có mơ đun |z1| = Hãy xác định giá trị a
Bài tốn 4.6.7 Cho phương trình phức bậc hệ số thực: z2 + az + b = Biết phương trình có hai
nghiệm phức (w + 5i – 4) (3w – i + 1) Hãy tìm số phức w?
Giải:
Phương trình bậc hai hệ số thực có hai nghiệm phức chúng liên hợp nhau, nên ta suy kết quả:
3w i w5i 4 w 5i 4 3w w 4i5
Gọi w = a + ib, thay vào phương trình ta được:
3(a + ib) – (a – ib) = – 4i – 2a + 4ib = – 4i –
5
5 w
2
a
i b
(44)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
46 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Ví dụ 4.6.8. Cho phương trình bậc hệ số thực: z2 + az + b = Có hai nghiệm phức (2w –
8i + 1) (3w – + i) Tìm số phức w ?
Ví dụ 4.6.9. Cho phương trình bậc hệ số thực: z2 + az + b = Có hai nghiệm phức (2w –
4i) (5w – 12 + 3i) Tìm tích số phần thực phần ảo số phức w ?
Bài toán 4.6.10 Cho phương trình bậc ba hệ số a, b , c thực: z3 + az2 + bz+ c = Biết phương trình
có nghiệm thực z1 = nghiệm phức z2 = – i Hãy xác định hệ số a, b , c ?
Giải:
Cách 1: Ta thay hai nghiệm z1 z2 vào phương trình bậc ba cho sau suy
được phương trình (hệ phương trình bậc ẩn a, b, c)
Với z1 = 3, thay vào phương trình: 27 + 9a + 3b + c = (1)
Với z2 = – i, thay vào phương trình rút gọn: (2 – i)3 + a(2 – i)2 + b(2 – i) + c = – 11i + a(3 – 4i) + b(2 – i) + c = (3a + 2b + c + 2) + i(– 4a – b – 11) =
2 (2)
4 11 (3)
a b c a b
Giải hệ phương trình (1) , (2) , (3) ta được: a 7;b17;c 15
Cách 2: Phương trình có hệ số thực nên có nghiệm phức tồn nghiệm phức lên hợp nữa: z3 = z3z2 2 i 2i
Áp dụng hệ thức VIET cho phương trình bậc ta có:
1
1 2 3
1
3 2 7
3.(2 ) (2 )(2 ) (2 ).3 17 17
3.(2 )(2 ) 15 15
B
z z z a i i a
A C
z z z z z z b i i i i b
A D
z z z c i i c
A
Vậy a = - 5, b = , c = -
Bài toán 4.6.11 Cho phương trình bậc bốn hệ số a, b , c , d thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = Biết
phương trình có hai nghiệm phức z1 = – i z2 = + 2i Hãy xác định hệ số: a, b , c , d ?
Giải:
Cách 1: Ta thay hai nghiệm z1 z2 vào phương trình bậc bốn cho sau suy
được hệ phương trình bậc ẩn a, b, c , d
Với nghiệm z1 = – i , thay vào ta được: (1 – i)4 + a(1 – i)3 + b(1 – i)2 + c(1 – i) + d =
(45) -4 + a(-2 – 2i) + b(-2i) + c(1 – i) + d = (-2a + c + d – 4) + i(-2a – 2b – c) =
Suy ra: (1)
2 (2)
a c d a b c
Với nghiệm z2 = + 2i , thay vào ta được: (3 + 2i)4 + a(3 + 2i)3 + b(3 + 2i)2 + c(3 + 2i) + d = (-119 + 120i) + a(-9 + 46i) + b(5 + 12i) + c(3 + 2i) + d =
(-9a + 5b + 3c + d – 119) + i(46a + 12b + 2c + 120) =
Suy ra: 119 (3)
46 12 120 (4)
a b c d a b c
Giải hệ phương trình (1), (2), (3), (4) ta được: a 8;b27;c 38;d 26
Nhận xét: Khá dài thụ động việc giải hệ phương trình bậc ẩn phương trình
Cách 2: Áp dụng tính chất phương trình phức dạng đa thức hệ số thực ta có cặp nghiệm liên hợp từ giả thiết là: z1 = – i , z3 = + i , z2 = + 2i , z4 = – 2i
Áp dụng hệ thức VIET cho phương trình bậc 4, ta có:
1
1 4
1 4
1
(1 ) (1 ) (3 ) (3 ) 8
27
38 38
26
B
z z z z a i i i i a
A
C
z z z z z z z z z z z z b
A D
z z z z z z z z z z z z c c
A E
z z z z d
A
Nhận xét: Cách làm thứ hai cần nhớ hệ thức VIET bấm CASIO trực tiếp đáp án Ví dụ 4.6.12 Cho phương trình bậc hệ số thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = Biết phương trình có hai
nghiệm là: z1 = + 2i z2 = + 3i Hỏi a, b, c, d bao nhiêu?
Ví dụ 4.6.13 Cho phương trình bậc hệ số thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = Biết phương trình có hai
nghiệm là: z1 = + i z2 = + i Hỏi a, b, c, d bao nhiêu?
Ví dụ 4.6.14. Cho phương trình bậc hệ số thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = Có nghiệm phức lần
lượt là: (w + i) , (2w + 3i) , (3w – 2i + 2) Hỏi nghiệm lại hệ số a, b, c, d bao nhiêu? Ví dụ 4.6.15. Cho phương trình bậc hệ số thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = Có nghiệm phức lần
lượt là: (w + 2i) , (w + i + 1) , (2w – 2i + 1) Hỏi nghiệm lại hệ số a, b, c, d bao nhiêu?
Bài toán 4.6.16. Cho số phức z không thực thỏa mãn: w 2
z z
số thực Trong m số
thực khác Hãy xác định |z| ?
(46)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
48 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Cách 1: Sử dụng tính chất phương trình phức dạng đa thức có hệ số thực
Từ giả thiết: 2
2
2 2
w 1
1 w w
z
z z z z
z
(1)
Phương trình (1) phương trình bậc hai hệ số thực, có nghiệm z khơng thực tức có cặp nghiệm phức liên hợp: z z1, 2 với: z1 z2 |z1| | z2| | | z
Theo hệ thức VIET, ta có: 2
1 | 2| | 1| | 2| | | | |
C
z z z z z z z z
A
Cách 2: Sử dụng tính chất liên hợp số phức thực nó:
Có số: w 2
1
z z
thực, suy ra:
2 2
2 2
2 2
w w ( ) (1 ) (1 ) | | | |
1 1
z z z
z z z z z z z z z z
z z z
2
(z z)(1 | | ) z 0| |z 1 | | 1z (Vì z khơng thực lên ta có: (z z)0)
Ghi nhớ: Nếu sử dụng cách tổng quát hóa kết quả: Cho số phức z không thuần thực thỏa mãn: w 2mz 2
R z
số thực, suy được: |z| = R Với R số thực
dương m số thực.
Ví dụ 4.6.17. Cho số phức z không thực thỏa mãn: w 2
z z
số thực Trong m số
thực khác Hãy xác định giá trị biểu thức: | | 2
3 | |
z P
z
?
Ví dụ 4.6.18. Cho số phức z không thực thỏa mãn:
2
w
z z z z
số thực Trong m số
thực khác Hãy xác định giá trị biểu thức: | | 3
1 | |
z P
z
?
(47)4.7 Xử lí mơ đun phương trình phức:
Bài tốn 4.7.1 Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình: z22iz3i 2 Giá trị 2
1
|z i| + |z i| bao nhiêu?
A. B. 18 C.13 D.6
Giải:
Phân tích: Nếu mà giải phương trình làm bình thường cách thay nghiệm vào mà bấm máy khó lâu…Đặc biệt CASIO khơng có hỗ trợ giải phương trình hệ số phức Như vậy, ta liệt kê tốn vào dạng tốn xử lí mơ đun (thầy tự đặt tên)
Từ phương trình cho phân tích thơng minh:
z2 2iz3i 2 (z i )2 3i
Như vậy: 2
1
|z i| | (z i) | | 3 i3 | 2 , tương tự: 2 2
|z i| | (z i) | | 3 i3 | 2
Vậy kết là: 2
1
|z i| |z i| 6 Vậy chọn đáp án A.
Ghi nhớ: Khi dẫn giải dài, bắt tay vào làm nhanh theo lối tư
Ví dụ 4.7.2 Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z26iz3i 7 Hãy tính giá trị
của biểu thức: 2
1
| | | |
A z i z i
Bài toán 4.7.3 Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z2(3i2)z 1 Hãy tính giá
trị biểu thức: 2
1
1
1
| | | |
A z z
z z
?
Giải: Vẫn toán xử lí mơ đun
Từ phương trình ta suy ra: 1
(3 2) (3 2) (3 2)
z i z z i z i
z z
Vậy ta có: 2 2
1
1
1
| | | | | | | | 26
A z z i i
z z
Ví dụ 4.7.4 Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z2(3i4)z 2 Hãy tính giá trị
của biểu thức: 2
1
1
2
| | | |
A z z
z z
?
Bài toán 4.7.5 Cho số phức:
2
i
z Hãy tính giá trị của: 2 3
2
1 1
( ) ( ) ( )
A z z z
z z z
Giải:
(48)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
50 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
2 2
(2 1) (2 1) ( 3) 4
2
i
z z i z i z z z z
Từ suy ra: z 1 z 1
z z
Chúng ta biết: 2
2
1
( ) ( 1)
z z
z z
z3 13 (z 1)3 (z z 1) (z 1)3 3(z 1) ( 1)3 3.( 1)
z z z z z z
z4 14 (z2 12)2 ( 1)2
z z
Thay vào biểu thức A ta được: 2 3
2
1 1
( ) ( ) ( ) ( 1) (2)
A z z z
z z z
Bài toán 4.7.6 Cho số phức:
2
i
z Hãy tính giá trị của: 64 2016 64 ( ) A z z ? Giải:
Tương tự tốn trên, ta suy từ nghiệm: 1 i z z z
Bây ta chứng minh: 2 1 n n n P z z
với giá trị n số tự nhiên: n = 0, 1, 2, …
Phương pháp quy nạp: Với n = 0, ta có: 0
2 2
1
1
P z z
z z
(đúng)
Giả sử đẳng thức đến n = k, tức ta có: 2 1 k k k P z z
(1)
Ta chứng minh đến n = k +1, tức phải chứng minh: 1
2 2 1 k k k P z z
(2)
(1) 1 1
2 2
2 2 2
1
2 2
1 1
( 1) ( k k ) ( k) ( k ) k k k k
k k
P z z z P z
z z z z
Vậy suy ra: 64 2016
64
1
( )
A z
z
Ví dụ 4.7.7 Cho số phức:
2
i
z Hãy tính giá trị của: 2 3 4
2
1 1
( ) ( ) ( )
A z z z
z z z
?
Ví dụ 4.7.8 Cho số phức:
2
i
z Hãy tính giá trị của: 2 3 4
2
4 16
( ) ( ) ( )
A z z z
z z z
?
Bài toán 4.7.9 Cho z thỏa mãn phương trình phức:
(1 ) i z (3i4)z 0 Hãy xác định mô đun số phức z, tức tính: |z| = ?
Giải:
Nhận xét: Đây phương trình phức chứa hai biến (z ; z) làm theo phương
(49)pháp chung gọi: z = x + iy thay vào phương trình biến đổi tìm giá trị thực x y khó khăn thời gian Chúng ta lại sử dụng tốn Mơ đun để lấy tốc độ đơn giản trắc nghiệm sau:
2
(1 ) i z (3i4)z 0(1 ) i z (3i4)z
Tới ta lấy mô đun hai vế sử dụng tính chất mơ đun: | | |z z | |zn| | | z n:
| (1 ) i z2| | (3 i4) |z |1 | | |i z 2| 3i4 | |z | | |z 25 | |z | |z
Ghi nhớ: Tổng quát: | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | |
n
m m n m n
m n
B B
A z B z A z B z z z
A A
Ví dụ 4.7.10 Cho z thỏa mãn phương trình phức:
(1 ) i z (3i4)z 0 Hãy xác định mô đun số phức z là: |z| = ?
Ví dụ 4.7.11 Cho z số phức thỏa mãn đồng thời hai phương trình phức:
(1i z) (5 ) i z 0
( )
1
m i z i i
Trong m tham số thực Giá trị m bao nhiêu? Bài toán 4.7.12 Cho z thỏa mãn phương trình phức: (3 i) | |z 15 3i
z
Hãy xác định mô đun
của số phức z, tức tính: |z| = ?
Giải: Đây dạng toán xử lí mơ đun
Ta có: (3 i) | |z 15 3i (3 i) | | 3z i 15
z z
Đến ta lấy mô đun hai vế: | (3 ) | | | |2 15 | | (3 ) | | | 15 | |
i z i i z i
z z
(1)
Đặt ẩn phụ cho dễ nhìn: t| |zR , t0 , thay vào (1) ta được:
| (3 i t) |i 15 | (3t 1) i t( 3) | 15 (3t 1)2 (t 3)2 15 10t2 10 602
t t t t
2
2 2
3( )
6
1
2 | |
t Loai
t t t
t t t z
Ví dụ 4.7.13 Cho z thỏa mãn phương trình phức: (2 ) | |i z 12 3i
z
Hãy xác định mô đun
số phức z, tức tính: |z| = ?
Ví dụ 4.7.14 Cho z thỏa mãn phương trình phức: (3 ) | | 3 i z z 2i1 Hãy xác định mô đun số phức z, tức tính: |z| = ?
(50)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
52 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Bài tốn 4.7.16. Cho phương trình phức:
5
z z i Gọi z1 z2 hai nghiệm phức
khơng ảo phương trình Hãy xác định giá trị của: 2
6
| | | |
P z z
z z
?
Giải: Nhận thấy phương trình có nghiệm: z = i, ta phân tích:
( )( 6) 2
6
z i z z i z i z iz
z iz
Chúng ta không quan tâm tới nghiệm phức ảo: z = i, nên xét tới phương trình:
1
1
6 6
6 | | | | ; | | | |
z iz z i z i z i
z z z
Suy ra: 1 2
1
6
| | | |
P z z
z z
Ví dụ 4.7.17 Cho phương trình phức:
7
z z i Gọi z1 z2 hai nghiệm phức không
thuần ảo phương trình Hãy xác định giá trị của: 1 2
6
| | | |
P z z
z z
?
Ví dụ 4.7.18 Cho phương trình phức:
7
z iz z i Gọi z1 z2 hai nghiệm phức
không ảo phương trình Hãy xác định giá trị của: 1 2
1
| | | |
P z z
z z
?
Bài toán 4.7.19 Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện: z, z + w khác z + 2w 0 ;
sao cho : 1
zzw z 2w |w| = Hãy tìm mơ đun số phức z: |z| = ?
Giải:
Ta có: 1 2
(z w)(z 2w) + z(z 2w) z(z w) z 4wz + 2w
zzw z 2w (1)
Đây phương trình đẳng cấp:
z
2
z z w
( ) +
z w w 2 w
Từ suy ra:
z
| | | z | | 2 | 2 w
z
(51)Bài toán 4.7.20 Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện: z, w khác z + 3w 0 ;
cho : 1
zw z 3w |w| = Hãy tìm mơ đun số phức z: |z| = ?
Giải:
Ta có: 1 2
w(z 3w) + z(z 3w) zw z 3wz + 3w
zw z 3w (1)
Đây phương trình đẳng cấp: z z z 3
( ) +
w w w i
Đến ta môn đun hai vế được: | z | | 3| | z | | z |
w 2i
Ví dụ 4.7.21 Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện: z, z + w , z + 4w 0 ; cho :
1 1
zz + w z4w |w| = Hãy tính mơ đun số phức z: |z| = ? Ví dụ 4.7.22 Cho hai số phức z w khác không cho : 1
zw zw |w| = Hãy tính mơ đun số phức z: |z| = ?
Ví dụ 4.7.23 Cho hai số phức z w khác không cho : 1
(52)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
54 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
V BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TRONG SỐ PHỨC:
5.1 Bất đẳng thức tam giác dạng đại số – Bài toán số phức đồng dạng:
Cho hai số phức: z1 z2, ta ln có BĐT tam giác: |z1||z2||z1z2| Chúng ta ghi nhớ: Tổng mơ đun lớn mô đun tổng
Dấu “=” xảy z1k z 2 Trong hệ số thực k khơng âm: kR k; 0 Cịn gọi trường hợp xảy dấu “=” trường hợp: số phức z1 đồng dạng dương so với số phức z2
Ta có BĐT tam giác: |z1z2||z1||z2 |
Chúng ta ghi nhớ: Mơ đun hiệu lớn hiệu mô dun
Dấu “=” xảy z1 k z 2 Trong hệ số thực k thỏa mãn: kR k; 1 Còn gọi trường hợp xảy dấu “=” trường hợp: số phức z1 đồng dạng to so với số phức z2
Áp dụng cho nhiều số phức: |z1| | z2| | zn||z1z2 zn| Dấu “=” xảy số phức đồng dạng: z2 k z2 1 ;z3 k z3 1 ; ;zn k zn 1 ; với số thực: k k2, 3, ,kn 0 Bài toán 5.1.1. Biết số phức z thỏa mãn: |z + 3i| = |z| + có |z – 1| = Hãy tìm z?
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác có: |z3 | | | | | | | 3i z i z
Bài toán cho dấu “=” xảy nên suy ra: zk.(3 )i 3ki , k số thực: k 0
Vậy số phức z số ảo có phần ảo khơng âm
Điểm biểu diễn số phức z nửa trục ảo dương kể gốc O
Bài toán 5.1.2. Biết số phức z thỏa mãn: |z – 2i| = |z| – thỏa mãn |z + 3| = Hỏi z = ?
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác có: |z2 |i | |z | |i | |z
Bài toán cho dấu “=” xảy ra, nên ta suy ra: zk.( ) i 2ki Trong k số thực: k1
Ta lại có:
|z3 | | 2 ki3 | 4k 9 5 k 2z 4i
Ví dụ 5.1.3. Biết số phức z thỏa mãn: |z + – 4i| = |z| + thỏa mãn |z + 1| = Hỏi z = ? Ví dụ 5.1.4. Biết số phức z thỏa mãn: |z + + 3i| = |z| + 10 thỏa mãn |z| = Hỏi z = ? Ví dụ 5.1.5. Biết số phức z thỏa mãn: |z – (3 + 2i)| = | |z 13 thỏa mãn |z| = Hỏi z = ? Bài toán 5.1.6 Chứng minh biểu thức: P|z2i3 ||z2 |i 5 Khi dấu “=” xảy tìm z , biết rằng: |z| = 13
3
Giải:
(53) Ta có: P|z2i3 ||z2 | |i z2i3 | | z |i |z2i 3 ( z ) |i | | i 5 Khi dấu “=” xảy ra, ta có:
z2i 3 k( z ) ;i k0 Suy ra: (1 )
i k z
k
Thay vào giả thiết: |z| = 26, ta được:
| | | (1 )| 13 | (1 ) | 13 |1 | 92 36(1 )2 13.(1 )
1
i k
z i k k k k
k
2
2
2
3
117 72 36 13(1 ) 23 98 104
52 23 58
23 25 75
i
k z
k k k k k
i
k z
Bài toán 5.1.7 Cho số phức z thỏa mãn: |z – 2| = |z + i – 1| đồng thời: P = |z – 2i| + |z + 1| đạt giá trị nhỏ Tìm số phức z ?
Giải: Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
P|z2 |i |z 1| | 2iz||z 1| | 2i z z 1| |1 |i
Dấu “=” xảy hai số phức đồng dạng: (2 )
1
ki z k i z z
k
(k > 0) Ta vào
điều kiện cho: | 2 | | 1| | 2 | | |
1 1
ki ki ki k ki i ki k
i
k k k k
2 2
| 2 k2ki| | 2 k (3k1) |i (2k3) 4k (k2) (3k1) k k
1( )
2( )
k loai k TM
Với k = 2, suy số phức 2.2
1 3
ki i
z i
k
Vậy giá trị nhỏ P = Pmin =
3
z i
Ghi nhớ: Có nhiều tốn, đánh giá nhanh bất đẳng thức tam giác giá trị nhỏ Pmin Thế số phức z bị ràng buộc thêm nhiều điều kiện khác
thì phải xét tới điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức tam giác Rất khơng tồn số phức z để dấu bất đẳng thức xảy ra.
Ví dụ 5.1.8 Cho biết: |z 3 i||z 2 i| 29 |z| =
3
Ví dụ 5.1.9 Cho biết: |z 1 |i |z 2 |i 5 |z| = 61
(54)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
56 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất: Pmin ?
Ví dụ 5.1.11 Cho số phức z thỏa mãn: |z – 3i| = Tìm z để biểu thức: P = | z + – i| + |z – 3i| đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất: Pmin ?
Bài tốn 5.1.12 Cho biết số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 2z
|z z | 6 Hãy tìm z = ?
Giải:
Đây toán dạng bất đẳng thức tam giác Ta nhận thấy:
|z | 4 |z | | | 2 z
Áp dụng bất đẳng thức tam giác sau:
|z2z | | z2||z | 2 6
Bài toán cho dấu “=” xảy nên:
z k z , với số thực k0
Đến ta lấy môđun hai vế ta được: 2
|z | | k z || |z k z| || |z k 2
Suy ra: 2 2
2 | | 2.2 8
z z z z z z z z
2
( 2)( 4)
1
z z z z
z i
Bài toán 5.1.13 Cho biết số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 2z
|z z | 2 Hãy tìm z = ?
Giải:
Đây toán dạng bất đẳng thức tam giác Ta nhận thấy:
|z | 4 |z | | | 2 z
Áp dụng bất đẳng thức tam giác sau:
|z2z | | z2 ( z) | | z2| | z | 2 2
Bài toán cho dấu “=” xảy nên:
.( )
z k z với số thực: k1
Mô đun hai vế ta được:
|z | | ( k z) |k z| || |z k 2
Vậy ta có: 3
2 2 | | 8 ( 2)( 4)
z z z z z z z z z z
Giải phương trình ta ba nghiệm: z 2;z 1 Ví dụ 5.1.14 Cho biết số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 2z
| 2z z | 10 Hãy tìm z = ? Ví dụ 5.1.15 Cho biết số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 3z
|z 2 | 15z Hãy tìm z = ? Ví dụ 5.1.16 Cho biết số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 4z
| 2z 3 | 20z Hãy tìm z = ? Ví dụ 5.1.17. Chứng minh rang: |z1z2z3| | z1z2z3| | z1 z2z3| | z1z2 z3| Ví dụ 5.1.18. Chứng minh rang: |z1z2| | z2z3| | z3z1| | z1| | z2| | z3| | z1z2z3| Bài toán 5.1.19 (TL) Cho z thỏa mãn: |z i | | z i | 12 Hãy tìm giá trị lớn |z| ?
Giải:
(55) Áp dụng BĐT tam giác ta có: | zi||zi|3 |z i z i| | |z (1)
Và: |z i || | | | | | 1z i z 2 |z i |2 | | 2z (2)
Suy ra: 123 |z i | | z i | | z i | | z i |2 |z i |6 | | | | 2z z 8 | | 2z | | 14
8
z
Dấu “=” xảy dấu “=” (1) (2) xảy
7
;
4
( )
11
| | | |
4
i z k i k z z i m z i
m z k i k
Vậy giá trị lớn |z| max | |
4
z xảy z =
i
(56)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
58 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
5.2 Bất đẳng thức CÔ SI – Bất đẳng thức BUNHIA vận dụng số phức:
BĐT CÔ SI cho hai số phức:
1 2
| | | |
| | | | | | | | | |
2
z z
z z z z z z Dấu “=” xảy
|u| = |v|, tức u v số phức có điểm biểu diễn nằm đường trịn tâm O có bán kính R
Trường hợp nhiều số phức, ta có:
1
| | | | | |
| |
n n
n
z z z
z z z n
Dấu “=” xảy
1
|z | | z | | zn | , tức số phức xuất BĐT nằm đường trịn tâm O, bán kính R
BĐT Bunhia cho hai số phức: 2 2
1 2
(m z| |n z| |) (m n )(|z | |z | ) Dấu “=” xảy
chỉ khi: |z1| |z2|
m n
BĐT Bunhia tổng quát: 2 2 2
1 2 2
(m z| |m z| | m zn| n|) (m m mn)(|z | |z | |zn| )
Dấu “=” xảy khi: 2
| |
| | | |
n
n
z
z z
m m m
Một số trường hợp đặc biệt hai BĐT CÔ SI BUNHI số phức:
2 2
| | | |
| |
2
z z z z
2
1 2 3 1 2 3 1
|z z z z z z ||z z ||z z ||z z ||z | |z | |z |
2 2
1 4 |z z z z ||z z ||z z | (|z | |z | )(|z | |z | )
Hoặc BĐT viết là: 2 2
|aubv| (| |a | | )(| |b u | | )v Một số toán cụ thể vận dụng BĐT CÔ SI BĐT BUNHIA:
Bài toán 5.2.1. Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình bậc hai: z2 + az + – 8i = Trong a
tham số thực Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = |z1| + |z2| ? Xác định giá trị a biểu
thức P đạt giá trị nhỏ nhất?
Giải: Áp dụng hệ thức VIET, ta có: z z1 2 3 4i
Áp dụng BĐT CÔ SI, ta có: P|z1||z2|2 |z1| |z2|2 |z z1 2|2 | | i 2 10 Dấu “=” xảy | 1| | 2| 10
2
P z z
Theo hệ thức VIET, ta có: z1z2 a Rz1x1iy z; 2 x2iy
(57) Dựa vào điều kiện bên trên, hai mô đun nhau: |z1| = |z2| , ta suy ra:
2 2 2 2 2
1 2
1 2
( )
2
0
a a
x x z z y i loai
x y x y x x
x x x x a a
Vậy để P đạt giá trị nhỏ nhất: Pmin 2 10 thì: a0
Nhận xét: Thường điều kiện để biểu thức đạt GTLN (hoặc GTNN) không quan tâm nhiều, đa số trọng phương pháp tìm giá trị cực trị biểu thức phức.
Bài toán 5.2.2. Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình bậc hai: z2 + az + + 4i = Trong a
tham số thực Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2|z1| + 3|z2| ?
Giải: Áp dụng hệ thức VIET, ta có: z z1 2 3 4i
Áp dụng BĐT CƠ SI ta có: P2 |z1| | z2|2 |z1| |z2|2 |z z1 2|2 | | i 2 30
Dấu “=” xảy 2
30 30
2 | | | | 30 | | ; | |
2
P
z z z z
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P là: Pmin = 30
Bài toán 5.2.3. Gọi z1 , z2 , z3 ba nghiệm phương trình bậc ba: z3 + az2 + bz + 8i = Hãy tìm giá
trị nhỏ biểu thức: P = 2|z1| + 4|z2| + |z3| ?
Giải: Áp dụng hệ thức VIET, ta có: z z z1 3 D 8i
A
Áp dụng BĐT CƠ SI ta có: 3
1 3
2 | | | | | | | | | | | | | | 12
P z z z z z z i Dấu “=” xảy | 1| | 2| | 3| 12 | 1| ; | 2|
3
P
z z z z z Vậy giá trị nhỏ biểu thức P là: Pmin = 12
Ví dụ 5.2.4 Cho z1 z2 nghiệm phương trình: z2 + az – + 6i = Hãy tìm giá trị nhỏ
của biểu thức sau: P = |z1| + |z2|
2 Q = 2|z1| + 3|z2|
3
1 2
2 | |
R z z z
(58)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
60 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Ví dụ 5.2.5 Cho z1 , z2 , z3 ba nghiệm phương trình bậc 3: z3 + az2 + bz + + 2i = Hãy xác
định giá trị nhỏ biểu thức: P|z1| | z2| | z3|
2 P2 |z1| | z2| | z3| P| (1i z) | | 41 z2| | 2 iz3|
Ví dụ 5.2.6. Cho z1, z2, z3, z4 bậc số phức: z = + 6i Khi giá trị nhỏ
của biểu thức sau bao nhiêu? P|z1| | z2| | z3| | z4|
2 Q2 |z1| | z2| | (3 ) i z3| | 2 iz4|
Bài toán 5.2.7. Gọi z số phức thỏa mãn điều kiện: |z| = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P|z 2 | |i z 2 |i Tìm giá trị z Pmax ?
Giải:
Với BĐT BUNHI yêu cầu phải học qua phép bình phương vơ hướng quen với việc xử lí tồn cực trị phần 6. áp dụng nhuần nhuyễn
Ở toán chấp nhận kết quả: 2 2
|uv| |uv| 2(| |u | | )v Biểu thức: P|z 2 | |i z 2 | |i z(2 ) | | i z(2 ) | | i z v | | z v | Trong đó: v 2 3i| |v 13
Áp dụng BĐT BUNHIA, ta có:
P2 (|zv||zv|)2(121 )(|2 zv|2 |zv| )2 2(| |z | | )v 2(62( 13) )2 98
Suy ra: P 987
Dấu “=” xảy |z v ||z v ||z 2 | |i z 2 |i
Ta có hệ phương trình điều kiện số phức z:
18 12
| | 13 13
| | | | 18 12
13 13
i z
z
z i z i i
z
Vậy giá trị lớn biểu thức P là: Pmax =
Ví dụ 5.2.8 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = Hãy xác định giá trị lớn biểu thức: P = |z + – 4i| + |z – + 4i| ?
Ví dụ 5.2.9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = Hãy xác định giá trị lớn biểu thức: P = |3z + – 12i| + |2z – + 8i| ?
(59)5.3 Một số đẳng thức bất đẳng thức khác số phức:
Bài toán 5.3.1 Cho hai số phức z z0, thỏa mãn: |z – z0| = Chứng minh rang, ta có BĐT:
2 0
1 | |
| | | |
2
z
z z Tìm điều kiện xảy dấu “=”
Giải:
Chúng ta chứng minh tổng quát ghi nhớ để áp dụng nhanh làm trắc nghiệm
Bài toán 5.3.4 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn: |z1| = |z2| = |z3| = R Chứng minh rang, ta
có BĐT:
1 2 3 3 1
|z z | |z z | | z z | |z z | | z z | |z z | 9 R Tìm điều kiện xảy dấu “=”
(60)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
62 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
VI MẶT PHẲNG PHỨC – GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC
6.1 Biểu diễn điểm công thức mặt phẳng phức:
Mặt phẳng phức: giống Oxy với Ox trục thực Oy trục ảo Tức hoành độ thực tung độ ảo
Cho số phức z = x + iy Điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng phức có tọa độ: M(x;y).Có thể coi như: OM( ; )x y z x iy Khi đó: 2
OM | OM | | | z x y
Gọi A B hai điểm biểu diễn số phức: A = zA = x + iy = (x;y) B = zB = x’ + iy’ = (x’;y’) Khi véc tơ: ABzB zA ( 'xx)i y( 'y)( 'x x y; 'y)
Độ dài véc tơ: 2
AB | AB | | zBzA| ( 'xx) ( 'y y)
Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB điểm M biểu diễn số phức:
2
A B M
z z z
Gọi N điểm thỏa mãn điều kiện: NA NB ( )
1
A B A N B N N
z kz
k z z k z z z
k
Gọi G trọng tâm ABC, A, B, C biểu diễn ba số phức zA , zB , zC điểm
G biểu diễn số phức tương ứng là:
3
A B C G
z z z z
Nếu zN biểu diễn điểm N thỏa mãn hệ thức tỉ cự: NANANA0
số phức zN
xác định: A B C ( ; )
N N N
z z z
z x y
O x ( trục thực)
y ( trục ảo)
M = (x;y)
x y
A zA = x + iy
B zB = x’ + iy’ AB = |zB – zA|
(61)Bài toán 6.1.1 (TL) Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C biểu diễn số phức tương ứng là:
1 ; ;
A B C
z i z i z i
1 Tìm số phức zM biểu diễn điểm M trung điểm AB
2 Tìm số phức zG biểu diễn điểm G trọng tâm ABC
3 Tìm số phức zN biểu diễn điểm N thỏa mãn: NA3NB0
Tìm số phức zP biểu diễn điểm P thỏa mãn: PA2PBPC
Khoảng cách hai điểm BC = ?
Giải:
1 Áp dụng công thức trung điểm: (1 ) ( ) ( 5; )
2 2 2
A B M
z z i i
z iM
2 Áp dụng công thức trọng tâm: (1 ) ( ) (6 ) (1; 2)
3
A B C G
z z z i i i
z iG
3 Gọi số phức biểu diễn điểm N zN Khi ta có:
3( ) (1 ) 3( ) 11
4 4
A B A N B N N
z z i i
NA NB z z z z z i
4 Gọi số phức biểu diễn P zP Từ: PA2PBPC (zAzP) 2( zBzP)(zCzP)
Suy ra: 2.( ) (6 ) (1 )
2 2
B C A P
z z z i i i
z i
5 Khoảng cách hai điểm mặt phẳng phức:
Ta có cơng thức: BC = | zCz | | (6B i) ( 4 2 ) | |10i i| 101
Ví dụ 6.1.2 Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C biểu diễn số phức tương ứng là:
3 ; 1 ;
A B C
z i z i z i
1 Tìm số phức zM biểu diễn điểm M trung điểm AB
2 Tìm số phức zG biểu diễn điểm G trọng tâm ABC
3 Tìm số phức zN biểu diễn điểm N thỏa mãn: NA2NB0
Tìm số phức zP biểu diễn điểm P thỏa mãn: PA3PB2PC
Tı́nh khoảng cách hai điểm BC ?
Ví dụ 6.1.3 Cho tam giác ABC có ba đỉnh biểu diễn ba số phức: zA = + i ; zB = -4 + 3i ; zC = + 2i
1 Xác định chu vi tam giác ABC
(62)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
64 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
6.2 Bất đẳng thức tam giác ứng dụng vào số bất đẳng thức hình học:
Phát biểu lại bất đẳng thức tam giác: Cho hai véc tơ u v mặt phẳng, ta có bất đẳng thức tam giác tổng quát: | u v | | u ||v | Dấu xảy u v hướng với u k v , k số thực khơng âm: k0
Suy bất đẳng thức tam giác số phức: MA MB AB Dấu “=” xảy điểm M nằm đoạn thẳng AB
Chúng ta suy ra: | u v ||u ||v | MA MB AB Dấu “=” xảy A, B, M thẳng hàng B nằm A M Nói cách khác M nằm tia đối tia BA
Tất nhiên, toán số phức phải biết biến đổi qui dẫn dạng bất đẳng thức tam giác dạng hình học
Bài tốn 6.2.1. Tìm GTNN biểu thức: P |z 4 |i |z 2 |i ?
Giải:
Gọi A điểm biểu diễn số phức zA = – 5i = A = (4;-5) ; gọi B điểm biểu diễn số phức:
zB = -2 + 3i = B = (-2;3) Suy độ dài đoạn thẳng AB = |zA – zB| = |6 – 8i| = 10 Gọi M điểm biểu diễn số phức z, đó: P = |z – zA| + |z – zB| = MA + MB Áp dụng BĐT tam giác, ta có: PMA MB AB10
Dấu “=” xảy M nằm đoạn thẳng AB
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P là: Pmin = AB = 10
Bài tốn 6.2.2. Tìm GTLN biểu thức: P |z 3 |i |z 1 i| ?
Giải:
|z1| |z
2|
|z1 – z2| Dấu “=” xảy
M
A B
B
A M
|z1| |z
2|
|z1 – z2| Dấu “=” xảy
M
A B
B A
M
(63) Gọi A điểm biểu diễn số phức zA = – 5i = A = (3;-5) ; gọi B điểm biểu diễn số phức:
zB = -1 – i = B = (-1;-1) Suy độ dài đoạn thẳng AB = |zA – zB| = |4 – 4i| = Gọi M điểm biểu diễn số phức z, đó: P = |z – zA| – |z – zB| = MA – MB Áp dụng BĐT tam giác, ta có: PMA MB AB4
Dấu “=” xảy A, B, M thẳng hàng B nằm A M M nằm tia đối tia BA
Vậy giá trị lớn biểu thức P là: Pmax = AB =
Ví dụ 6.2.3. Hãy xác định GTLN biểu thức: P |z 4 |i |z 2 |i ?
Ví dụ 6.2.4. Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn điều kiện: |z1 – z2| = Hãy xác định GTNN biểu
thức: P |zz1||zz2| ?
Chúng ta nên biết số bất đẳng thức hình học quan trọng để xử lí tốn cực trị phức quy dạng hình học Nếu vận dụng kiến thức hình học vào tốn cực trị phức đơn giản thoát nhiều so với cách biến đổi đại số
Bất đẳng thức tứ giác lồi: Cho tứ giác lồi ABCD, tổng khoảng cách từ điểm M đến bốn điểm ABCD lớn tổng hai đường chéo:
P MA MB MC MDACBD
Dấu “=” xảy M giao điểm hai đường chéo AC BD
Cách chứng minh bất đẳng thức tứ giác lồi đơn giản: Gọi M điểm bất kì, theo bất đẳng thức tam giác:
MA MC AC Dấu “=” xảy M nằm AC
MBMDBD Dấu “=” xảy M nằm BD
Suy ra: MA MB MC MDACBD Dấu “=” xảy M giao điểm AC với BD
Ghi nhớ: Quan trọng toán thường phải xác định rõ điểm cố định A, B, C, D đâu hai đường chéo tứ giác lồi, khơng dễ mắc sai lầm.
B
C
D A
M I B
C
D A
I
(64)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
66 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 6.2.5 Cho biểu thức: P = |z| + |z – 2i| + |z – – i| + |z – + 2i| Hãy xác định giá trị nhỏ biểu thức P ? Tìm số phức z ?
Giải:
Nếu đánh giá tùy tiện mà khơng thơng qua vẽ hình dễ mắc sai lầm điều kiện xảy dấu “=”
Sai lầm triển khai tùy tiện bất đẳng thức tam giác: | | |z z2 |i | | | 2z iz| |z2iz| | | 2 i
|z 3 i||z 4 |i |z 3 i|| 2 iz| |z 3 i 2iz| |1 | i 10
Suy ra: P 2 10
Thế điều kiện xảy dấu “=” khơng có
Cách làm chắn ta phải áp dụng bất đẳng thức tứ giác lồi:
Trước hết phải xác định rõ xem tứ giác ABCD tứ giác lồi với đỉnh bố trí nào, áp dụng bất đẳng thức tứ giác lồi
Biểu thức: PMA MB MC MD| | |z z2 | |i z 3 i| | z 4 |i
Trong đó: A = O = zA = 0; B = zB = 2i ; C = zC = + i ; D = zD = – 2i Chúng biểu diễn
hình vẽ minh họa bên dưới:
Từ hình vẽ ta nhận thấy hai đường chéo tứ giác lồi là: AC BD
Độ dài đoạn: AC|zAzC | | 3 i| 10 Độ dài đoạn: BD|zBzD | | 2 i(4 ) | 2 i
Suy ra: PMA MB MC MDACBD 104 Dấu “=” xảy M ACBD
Chúng ta lập phương trình đường thẳng AC BD:
VTCP đường thẳng AC là: ACzCzA 3 i (3;1)VTPT n: (AC) ( 1;3)
A O
B
C
D
x y
1
3
4
-2
M
(65) Phương trình đường thẳng (AC): 1(x0) 3( y0)0 x 3y0
VTCP BD là: BDzDzB 4 2i(2 )i 4 4i(4; 4) VTPT n: (BD) (4; 4)
Phương trình đường thẳng (BD): 4(x0) 4( y2) 0 x y
Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
3
3 3
( ; )
2 2 2
2
M
x
x y i
M z
x y
y
Ví dụ 6.2.6 Cho biểu thức: P = |z| + |z – 4| + |z – – 2i| + |z – + 2i| Hãy xác định giá trị nhỏ P giá trị tương ứng số phức z để P nhỏ ?
Ví dụ 6.2.7 Cho biểu thức: P = |z – 1| + |z – – 3i| + |z – – 4i| + |z – + i| Hãy xác định giá trị nhỏ P giá trị tương ứng số phức z để P nhỏ ?
Bất đẳng thức TTper02: Tổng khoảng cách nhỏ từ điểm M đến điểm A, B, C cố định cho trước: PMA MB MC AD Trong đó: D điểm thỏa mãn tam giác BCD tam giác đều, A với D nằm khác phía so với BC.Dấu “=” xảy M nằm AD Việc tìm vị trí điểm M dấu xảy khó khăn nan giải, đa số trường hợp áp dụng bất đẳng thức dừng lại việc tìm giá trị nhỏ biểu thức P
Nếu cần quan tâm tới vị trí điểm M làm theo cách sau:
PMA MB MC AD Trong D điểm nằm khác phía A so với BC BCD dấu “=” xảy M nằm đoạn thẳng AD
PMA MB MC BE Trong E điểm nằm khác phía B so với AC ACE dấu “=” xảy M nằm đoạn thẳng BE
Như vậy, M giao điểm AD BE Cũng rườm rà khó khăn để tìm điểm M
Nếu ta gọi ba cạnh tam giác ∆ABC a, b, c diện tích S Khi rút gọn lại định lí quan trọng thành dạng đại số:
2 2
2
( )
2
a b c P MA MB MC S
Đây BĐT có áp dụng sáng tạo nhanh, khác hồn tồn với áp dụng nguồn kiến thức khác, đa số nguồn kiến thức khác vận dụng BĐT ptoleme phức tạp
B
C
D
A M
B D
A
M
(66)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
68 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 6.2.8 Cho ba số phức z1 , z2, z3 thỏa mãn: |z1 – z2| = |z2 – z3| = 6; |z3 – z1| = Hãy xác định
giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – z1| + |z – z2| + |z – z3| ?
Giải:
Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 , B điểm biểu diễn số phức z2 , C điểm biểu diễn số
phức z3 Khi ta có: |z1 – z2| = AB = , |z2 – z3| = BC = , |z3 – z1| = CA = Giá trị biểu thức: P = MA + MB + MC
Áp dụng tổng khoảng cách nhỏ tới ba đỉnh cố định tam giác ta có:
PMA MB MC BD Trong đó: ACD tam giác đều, D nằm khác phía B so với AC
Độ dài đoạn BD tính: BD = BI + ID = 2 2
6 4 4 2 54
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P là: Pmin 2 54
Cách 2: Chúng ta tính diện tích tam giác ABC: 1.8.2
2
ABC
S AC BI Suy ra:
2 2 2
2 6
( ) 2.8 68 16 15
2
a b c
P MA MB MC S Suy ra: P2 54
Ghi nhớ: Khi tam giác ABC cân đâu ta nên chọn làm đỉnh để tính giá trị nhỏ của tổng MA + MB + MC cho hợp lí nhanh hơn.
Bài toán 6.2.9 Cho ba số phức z1 , z2, z3 thỏa mãn: |z1 – z2| = |z2 – z3| = 12; |z3 – z1| = 12 Hãy xác
định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – z1| + |z – z2| + |z – z3| ?
Giải:
Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 , B điểm biểu diễn số phức z2 , C điểm biểu diễn số
phức z3 Khi ta có: |z1 – z2| = AB = 12 , |z2 – z3| = BC = 12 , |z3 – z1| = CA = 12
Nhận thấy ABC vuông cân B Biểu thức: P = MA + MB + MC BD Trong D điểm nằm khác phía B so với AC cho tam giác ACD
6
A
D B
C
8 I
8
8
(67) Hình vẽ minh họa:
Độ dài đoạn: BD BI ID1 12 6
2
n
Vậy suy giá trị nhỏ P là: Pmin 6 26
Bài toán 6.2.10 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: |z1 | = 4; |z2 | = 5; |z2 – z1| = Hãy xác định giá trị
nhỏ biểu thức: P = |z | + |z – z1| + |z – z2| ?
Giải:
Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 , B điểm biểu diễn số phức z2 Khi ta có tam giác OAB
với cạnh: OA = |z1| = 4; OB = |z2| = 5; AB = |z2 – z1| =
Biểu thức: P = MO + MA + MB OD ; D điểm khác phía O so với AB cho tam giác ABD cạnh AB =
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc: OAB có:
2 2
4
cos sin
2.4.6 16 16
Áp dụng định lí hàm số COSIN tam giác, ta có:
OD2 OA2AD22OA AD .cos(60 ) 42622.4.6.(cos cos 60 sin sin 60 )
77 15 21 154 30 21
16 36 48.( )
16 16 2
OD OD
4 A
D O
C
6
6 600 α
12
A
D B
C 12
12 I
(68)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
70 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Suy giá trị nhỏ P là: Pmin = 154 30 21
Ví dụ 6.2.11 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: |z1 | = |z2 | = 4; |z2 – z1| = Hãy xác định giá trị nhỏ
nhất biểu thức: P = |z | + |z – z1| + |z – z2| ?
Ví dụ 6.2.12 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: |z1 | = |z2 | = |z2 – z1| = Hãy xác định giá trị nhỏ
nhất biểu thức: P = |z | + |z – z1| + |z – z2| ?
Ví dụ 6.2.13 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn: |z1 | = |z2 | = 6; |z3| = 10 Hãy xác định giá trị nhỏ
nhất biểu thức: P = |z – z1| + |z – z2| + |z – z3| ?
Bài toán 6.2.14 Cho hai số phức z1 z2 khác Chứng minh rằng: 1 2 2 1
| | | |
| | | |
| | | |
z z
z z z z
z z
Từ
đó áp dụng giải tốn: Cho số phức z có |z| = R Hãy xác định giá trị nhỏ biểu thức:
1 2
| |
| | | | | | | |
| |
z
P z z z z z z z z
z
?
Vận dụng vào toán: Cho số phức z thỏa mãn: |z i |1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức
| | | |
P z i z i ?
Giải:
Để chứng minh đẳng thức hiển nhiên:
1 2
| | | |
| | | |
| | | |
z z
z z z z
z z
, ta sử dụng phép bình
phương vơ hướng véc tơ sau:
Đặt: u1 z1 ;u2 z2
Xét: 2 2
1 2 2
|z z | |u u | |u | |u | 2 u u
Và: 2 2 2 2
1 2 2
1 2 2
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | ( ) ( ) 2( ).( )
| | | | | | | | | | | | | | | |
z z u u u u u u
z z u u u u u u
z z u u u u u u
2 2
1 2 1 2
| | | |
| | | | | |
| | | |
z z
z z u u u u
z z
Suy ra: 2 2
1 2 2
1 2
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
z z z z
z z z z z z z z
z z z z
Áp dụng giải toán: Cho số phức z có |z| = R Hãy xác định giá trị nhỏ biểu thức: 1 | | | | | | | | z
P z z z z z
?
Áp dụng CT ta có:
2
1
1
1
| | | | | | | |
| | | | | |
| | | | | | | |
z z z z
z z z z z z
z z z z
Suy ra:
2
1 1
1 2
2
1
| | | | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | | | |
z z z z z
P z z z z z z z z
z z z z z
(69) Áp dụng BĐT tam giác:
2 2
1 2
2 2
1 1
| | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | |
z z z
z z z z z z z z z z
z z z
Suy ra:
2
1 1
1 2
2
1 1
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
z z z z z z
P z z z z z z z z
z z z z z z
Vậy với |z| = R giá trị nhỏ
1
| |
| | | |
| |
z
P z z z z z
có MIN là:
2 1
| | | |
| |
| | | |
z z
z z
z z
Hoặc mạnh dạn đề cử dạng này:
1 2
| | | | |z |
P z z z z z
với: | 1|
| |
z z
Vận dụng vào toán: Cho số phức z thỏa mãn: |z i |1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức
| | | |
P z i z i ?
Đặt: |z+i| = |u| = Với z1 ; z2 22i
Khi đó:
2
2
| | | 2 | | | | 2.( 2 ) |
2
z
P u u i z i Ví dụ 6.2.15. Cho |z| = Tìm giá trị nhỏ của: P|z4 | | z 3 |i
(70)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
72 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – 6.3 Quỹ tích đường thẳng mặt phẳng phức:
Phương trình đường thẳng tổng quát: ax by c 0
Khi b = có dạng: x = số, đường thẳng đứng song song với trục tung Oy
Khi a = có dạng: y = số, đường thẳng nằm ngang song song với trục Ox
Về cách tìm quỹ tích tổng qt ta gọi: 2
;| |
z x iyz x iy z x y thay vào hệ thức cho biến đổi suy quỹ tích điểm
Bài tốn 6.3.1. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn phương trình: |z – 2i + 3| = |z + i + 1| (1)
Giải: Gọi z = x + iy; x, y R Thay vào (1) ta được:
|x iy 2i3 | | x iy i 1| | (x3)i y( 2) | | ( x1)i y( 1) |
(x3)2(y2)2 (x1)2(y1)2 (x3)2(y2)2 (x1)2(y1)2
4x6y11 0 Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1) đường thẳng : 4x6y11 0
Ghi nhớ: Nếu định tính điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình dạng:
1
1
| | | |
| | | |
| | | |
z z z z
z z z z
z z z z
quỹ tích đường thẳng
Trên dấu hiệu nhận biết phương trình đường thẳng bản, cịn nhiều dạng phương trình đường thẳng mặt phẳng phức
Ví dụ 6.3.2 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình: |z2i5 | | z 3i4 |
2 |z i 1| | 2z 5i3 | |z i | |z1|
Bài toán 6.3.3 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z2i5 | | z 4i3 |? A.đường thẳng: x + 2y – = B.đường thẳng 2x – y + =
C.đường thẳng: 4x + y – 11 = D.đường thẳng: 4x + y + =
Giải:
Nếu làm bình thường có lâu Vì vậy, đơi ta cần thử mẹo nhỏ làm việc xử lí tốn có tốc độ hơn, trình bày đây:
Chúng ta để ý rằng: |z 4i3 | | z 4i3 | | z 3 | |i z(3 ) | i
(71) Vậy phương trình cho |z ( ) | |i z(3 ) | i |zz1| | zz2|; đó: z1 = -5 +
2i z2 = + 4i
Ta nhận thấy |zz1| là khoảng cách từ điểm z tới điểm z1 |zz2| là khoảng cách từ điểm
z tới điểm z2 Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn z tập hợp điểm cách z1 z2 Đây
chính đường trung trực đoạn z1z2 Cho nên trung điểm z1 z2 phải nằm
đường thẳng trung trực z1z2 (đường thẳng đường biểu diễn số phức z thỏa
mãn điều kiện cho)
Như vậy: để kiểm tra xem liệu đường thẳng có phải đường thẳng quỹ tích cần tìm khơng, ta việc thử xem trung điểm z1z2 có thuộc khơng
Xét lại tốn có: |z ( ) | |i z(3 ) | i |zz1| | zz2|
Trung điểm là: 1 3 ( 1;3)
2
M
z z i i
z i Ta dùng điểm thử vào đáp án nhận thấy có đáp án D thỏa mãn Vậy chọn đáp án D
Hình vẽ minh họa cho phương trình đường thẳng biểu diễn bởi: |z – z1| = |z – z2|:
Bài toán 6.3.4. Cho đường thẳng (d): |z – + 2i| = |z – 3| Tìm đường thẳng (∆) điểm M biểu diễn số phức z1 cho: M gần O tương đương với câu hỏi: |z1| nhỏ nhất?
Giải: Phương trình cho biểu diễn đường thẳng
Gọi z = x + iy, ta suy ra: |(x – 1) + i(y + 2)| = |(x – 3) + iy| (x – 1)2 + (y + 2)2 = (x – 3)2 + y2 4x + 4y – = x + y – = (∆)
Một điểm gần O (tương đương với số phức biểu diễn có mơ đun nhỏ nhất) Một điểm xa O (tương đương với số phức biểu diễn có mơ đun lớn nhất)
x O
y
z1
z2
2
z z
(72)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
74 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài tốn u cầu tìm điểm M đường thẳng ∆ gần O điểm M hình chiếu vng góc O lên ∆
Ta tìm hình chiếu vng góc O lên đường thẳng ∆ sau:
Gọi M nằm ∆ có tọa độ M(m;1 – m) suy ra: OM( ;1m m) VTCP đường thẳng ∆
(1; 1)
u
Ta có: 1(1 ) ( ; )1
2 2
OM u m m m M
Vậy số phức z thỏa mãn điều kiện cho có mơ đun nhỏ biểu diễn điểm M, tức là:
2
i z
Bài toán 6.3.5. Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| = |z – 2| đồng thời |z – 3i + 4| nhỏ Hỏi mơ đun số phức z bao nhiêu?
Giải:
Số phức z thỏa mãn điều kiện |z – + i| = |z – 2| đường thẳng ∆ tìm cách:
Gọi z = x + iy thay vào biểu thức ta được:
|x + iy – + i| = |x + iy – 2| |(x–1) + i(y+1)| = |(x–2) + iy| (x – 1)2 + (y+1)2 = (x–2)2 + y2 2x + 2y – = x + y – = (∆)
Giá trị biểu thức: P = |z – 3i + 4| = |z – (– + 3i)| = |z – zM|
Gọi M điểm biểu diễn số phức zM = – + 3i, biểu thức P chı́nh là khoảng cách từ
điểm M đến điểm chạy đường thẳng ∆ Giá trị nhỏ P ứng với khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆, điểm H nằm ∆ hình chiếu vng góc M lên ∆
Như vậy, giá trị nhỏ P Pmin = |zH – zM| = MH = d(M,∆) =
2
| 1|
1
x
O y
M
(73) Tọa độ điểm H = (a;b) = (a;1 – a) {Vì H nằm đường thẳng ∆}
Véc tơ: MH (a4; a 2) ; VTCP ∆ là: u (1; 1)
Suy ra: MH u 1(a4) 1( a 2)0a 3 H ( 3; 4)
Suy số phức zH = - + 4i Vậy suy |zH| =
Ví dụ 6.3.6 Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| = |z + – 5i| Tìm số phức |z| có mơ đun nhỏ thỏa mãn điều kiện cho?
Ví dụ 6.3.7 Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 2i| = |z + – 2i| đồng thời làm cho biểu thức P = |z – 3i| nhỏ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho?
Ví dụ 6.3.8 Cho số phức z thỏa mãn: |z + – i| = |iz + + 2i| đồng thời làm cho biểu thức P = |2z – 6i + 2| nhỏ Tìm số phức |z| thỏa mãn điều kiện cho?
Ví dụ 6.3.9 Cho số phức z thỏa mãn: |z2i3 | | z 4i1| đồng thời làm cho biểu thức P = |(1 +i)z – 4| nhỏ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho?
Bài toán 6.3.10. Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| = |z + + 3i| đồng thời P = |z – 1| + |z – 2i| nhỏ Hỏi mơ đun số phức z bao nhiêu?
Giải:
Số phức z thỏa mãn điều kiện |z – + i| = |z – 2| đường thẳng ∆:
|z – + i| = |z + + 3i| (x – 2)2 + (y + 1)2 = (x + 2)2 + (y + 3)2 2x + y + = (∆)
Gọi A điểm biểu diễn zA = ; B điểm biểu diễn zB = 2i ; M điểm nằm đường
thẳng ∆ Khi biểu thức: P = |z – zA| + |z – zB| = MA + MB
Ycbt tương đương với việc tìm điểm M nằm đường thẳng ∆ để P = MA + MB nhỏ Đây cực trị hình học quen thuộc
M = z1 = -4 + 3i = (-4;3)
(74)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
76 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Nếu hai điểm A B khác phía với ∆ thì: điểm M = (AB giao với ∆) Giá trị nhỏ P đó: Pmin = AB = |zA – zB|
Nếu hai điểm A B phía so với ∆ lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Rồi suy điểm: M = (A’B giao với ∆) Giá trị nhỏ P là: Pmin = A’B = |zA’ – zB|
Bài toán 6.3.11. Cho số phức z thỏa mãn: |z – – 2i| = |z + + 2i| đồng thời P = |z – 2| – |z – i| lớn Hỏi mơ đun số phức z bao nhiêu?
Giải:
Số phức z thỏa mãn điều kiện |z – – 2i| = |z + + 2i| đường thẳng ∆:
(x – 1)2 + (y – 2)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2 x + 2y = (∆)
Gọi A điểm biểu diễn zA = ; B điểm biểu diễn zB = i ; M điểm nằm đường
thẳng ∆ Khi biểu thức: P = |z – zA| – |z – zB| = MA – MB
Ycbt tương đương với việc tìm điểm M nằm đường thẳng ∆ để P = MA – MB lớn Đây cực trị hình học quen thuộc
Nếu hai điểm A B phía với ∆ M = AB giao với ∆ Từ suy M Giá trị lớn P đó: Pmax = AB = |zA – zB|
M = zM
B = zB A = zA
M = zM
A’ = zA’
A = zA
B = zB
M = zM
B = zB A = zA
A’ = zA’
M = zM
B = zB A = zA
(75) Nếu hai điểm A B khác phía so với ∆ lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Rồi suy điểm M = A’B giao với ∆ Giá trị lớn P là: Pmax = A’B = |zA’ – zB|
Ghi nhớ: Khi mà khơng hiểu cách làm tốn: Tìm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho (MA + MB) {hoặc (MA – MB) max} phải hiểu kiến thức nâng cao chúng ta hổng từ phần Oxy hình học lớp 10 Chứ khơng phải phần số phức khó Hãy tiến bộ mà nhận lỗi trả với nguyên nhân.
Ví dụ 6.3.12 Cho số phức z thỏa mãn: |z – 3i + 1| = |z – + i| Hãy tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: Biểu thức P = |z – 2| + |z – 3i| nhỏ
2 Biểu thức P = |z – 2i| - |iz – 4i + 1| lớn Biểu thức P = |z + 2| + |z – i| nhỏ Biểu thức P = |z – i| – |z – 5| lớn
Bài toán 6.3.13 Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z 3 | |i z 5 | 8i Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P = |z – + 4i| ?
Giải:
Gọi điểm M = z = x + iy; điểm A = zA = – 2i ; điểm B = zB = - – 2i ; điểm C = zC = – 4i Khi biểu thức giả thiết trở thành: MA + MB =
Ta lại có AB = |zA – zB| = |3 – 2i + + 2i| =
Suy ra: AB = MA + MB Suy ra: M nằm đoạn thẳng AB, hay nói cách khác phương trình cho biểu diễn đoạn thẳng AB
P = MC khoảng cách từ điểm M nằm đoạn AB đến điểm C
Bài toán tı́m khoảng cách lớn và khoảng cách nhỏ từ điểm C tới đoạn thẳng AB giải tổng quát tối ưu sau:
Tính độ dài hai cạnh: CA = |1 – 4i – + 2i| = 2 CB = |1 – 4i + + 2i| = 10 Suy khoảng cách lớn CB = 10 Xác định góc BAC Ta có: cos
2
> A
B
C 10
2
(76)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
78 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Vì góc α nhọn nên ta suy khoảng cách nhỏ là: CH = sin 2 2
CA
Vậy giá trị lớn biểu thức P là: Pmax = CB = 10 z = zA Giá trị nhỏ biểu thức P là: Pmin = CH = z = zH
Ghi nhớ: Khi góc α = 900 CA = CH = Pmin Khi góc α tù, tức là: cosα < thı̀ khoảng cách nhỏ
nhất P là: Pmin = CA, z = zA
Ví dụ 6.3.14 Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| + |z + – 7i| = Biểu thức P = |z – 3i + 2| Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P ?
Ví dụ 6.3.15 Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1+ 3i| + |z + – 5i| = 10 Biểu thức P = |z – 2i + 4| Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P ?
A
B
C Min
tù Max
(77)6.4 Quỹ tích đường trịn mặt phẳng phức:
Phương trình biểu diễn đường trịn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 ; tâm I = (a;b) bán kính R. Hoặc phương trình đường trịn (C) có dạng tổng qt: 2
2
x y ax by c ; có tâm I = (a;b) bán kính: 2
R a b c
Cho phương trình phức: |zz0|R; phương trình biểu diễn đường trịn (C) có tọa độ tâm z0 bán kính R
Bài tốn 6.4.1 Tìm điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z3i2 | 5
Giải: Ta có: |z3i2 | 5 |z ( ) | 5i
z0 = –2 + 3i R = Vậy phương trình cho biểu diễn đường trịn (C) có tâm I = (-2;3)
bán kính R =
Chúng ta làm cách tổng quát: Gọi z = x + iy thay vào phương trình cho:
|z3i2 | 5 |x iy 3i2 | 5 | (x2)i y( 3) | 5 (x2)2(y3)2 52
Đây phương trình đường trịn (C)
Ghi nhớ: Chúng ta nên xác định đường tròn phương pháp phức cho nhanh dễ trong các trường hợp phức tạp bên đây.
Ví dụ 6.4.2 Tìm điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |iz2i 1| (1) Giải:
(1) | (i z 2 i) | 4 | | |i z(2i) | 4 |z(2i) | 4
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình (1) đường trịn tâm z0 = + i
và bán kính R = Hoặc tâm điểm I biểu diễn số phức z0 có tọa độ I = (2;1) Ví dụ 6.4.3 Tìm điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình sau:
x O
y
R z0
I(a;b)
(78)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
80 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – |iz3i2 | 2
2 | (1 ) i z2i5 | 5
3 | (1i z) (z1)3i5 | 6i
Bài toán 6.4.4 Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z3i2 | 2 Hãy tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w = 2z + i ?
Giải:
Chúng ta khơng nhầm lẫn tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Ở tốn u cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + i
Cách 1: Giả thiết suy ra: | 2z6i4 | 4 | w i 6i4 | 4 | w | 4 i Điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm: – 5i = (4;-5) bán kính r =
Cách 2: Làm bình thường cách tổng quát:
Gọi z x iy w 2 (2 1)
1
X x
X iY z i x i y
Y y
Điểm biểu diễn số phức z M(x;y) điểm biểu diễn số phức w N(X;Y) Ta phải tìm phương trình biểu diễn X Y khơng phải tìm phương trình biểu diễn x y
Ta thay z x iy vào phương trình cho: | | | |
2
X Y
x iy i i i | (X 4)i Y( 5) | 4 (X 4)2(Y5)2 42
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn w đường tròn (C): 2
(X 4) (Y5) 4 có tâm I(4;-5) bán kính R = Hoặc viết lại: |w – + 5i| =
Bài toán 6.4.5 Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z i 1| (1) Hãy tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w = 3z + 2i –
Giải: Chúng ta suy ra: w
3
i
z thay vào phương trình (1) ta được:
|w 1| | w (2 ) |
3
i
i i
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I = (2;-1) bán kính R =
Hoặc làm nhanh: Từ w = 3z + 2i – 3z = w + – 2i
(1) |z i 1| 6| 3z3i3 | 6 | w 2 i3i3 | 6 | w 2 i|
(79)Bài toán 6.4.6 Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z2i 1| (1) Hãy tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w = 2z 4i3
Giải: (1) |z2i 1| |z 1 | 1i
Từ: w w + 4i
2
z i z
; ta thay vào phương trình được:
| | |w | | w + | | w ( ) |
2
i
z i i i i
Vậy điểm biểu diễn số phức w đường trịn (C) có tâm I(-5;8) bán kính R =
Ví dụ 6.4.7 Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z2i3 | 2 (1) Hãy tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w = 3z2i5
Ví dụ 6.4.8 Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z2i3 | 3 (1) Hãy tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w = 2z 3i1
Bài tốn 6.4.9. Cho đường trịn (C): |z – z0| = R Tìm đường trịn (C) điểm M điểm N biểu
diễn số phức z1 z2 cho: M gần O N xa O Hoặc tương đương với câu hỏi: |z1| nhỏ
nhất |z2| lớn nhất?
Giải:
Ta giải toán tổng quát: Gọi I tâm đường tròn biểu diễn số phức z0 Từ hình vẽ ta có kết quả:
Điểm M gần O biểu diễn z1 có mơn đun |z1| nhỏ Điểm N xa O biểu diễn z2 có
mơ đun |z2| lớn
Khoảng cách từ O tới tâm I là: OI = |z0|
x O
y
R z0 I(a;b)
(C) z1
M
(80)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
82 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – OM = OI – IM = |z0| – R ; ON = OI + IN = |z0| + R
Ta có:
0
(1 ) (1 )
| |
M
OM OI IM R R
OM OI OI OI z z
OI OI OI z
Tương tự: 0
0
(1 ) (1 )
| |
N
ON OI IN R R
ON OI OI OI z z
OI OI OI z
Số phức có mơn đun nhỏ nhất:
0
(1 )
| |
M
R
z z
z
, tương ứng với GTNN |z|min = ||z0| – R|
Số phức có mơ đun lớn nhất:
0
(1 )
| |
N
R
z z
z
, tương ứng với GTLN |z|max = |z0| + R
Bài tốn 6.4.10. Cho đường trịn (C): |z – z0| = R Tìm đường trịn (C) điểm M điểm N biểu
diễn số phức z1 z2 cho giá trị biểu thức P = |z – zA| nhỏ lớn nhất?
Giải:
Gọi I tâm đường trịn biểu diễn số phức z0 Từ hình vẽ ta có kết quả:
Giá trị biểu thức: P = |z – zA| khoảng cách từ điểm A (biểu diễn zA) tới đường
trịn (C) cho phương trình: |z – z0| = R
Điểm M nằm đường tròn (C) gần A biểu diễn z1 Điểm N nằm (C) xa A
biểu diễn z2 biểu diễn hình vẽ Ta có cơng thức tốn sau:
0 0 0
0
(1 ) (1 )( ) ( )
| | | |
M A A M A
A A
R R R
AM AI z z z z z z z z
AI z z z z
Khi GTNN là: Pmin = |z – zA|min = AM =| |z0 – zA| – R|
0 0 0
0
(1 ) (1 )( ) ( )
| | | |
N A A N A
A A
R R R
AN AI z z z z z z z z
AI z z z z
Khi GTLN Pmax = |z – zA|max = AN = |z0 – zA| + R
Bài toán 6.4.11. Cho đường tròn (C): |z – z0| = R đường thẳng ∆: |z – z1| = |z – z2| Tìm
đường trịn (C) điểm M điểm N biểu diễn số phức zM zN cho khoảng cách từ M N đến
đường thẳng ∆ nhỏ lớn nhất?
Giải:
A R
z0 I(a;b)
(C) z1
M z2
N
(81) Khoảng cách nhỏ ứng với hai trường hợp:
Nếu d I( , ) Rdmin 0
Nếu: d I( , ) Rdmin d M( , ) d I( , ) R
Khoảng cách lớn ln tính bằng: dmax d N( , ) d I( , ) R
Việc tìm tọa độ điểm M N để suy số phức tương ứng mà chúng biểu diễn đưa hình phẳng M N giao điểm đường thẳng (d) với đường trịn (C) Trong đường thẳng (d) qua tâm I, (d) vng góc với đường thẳng ∆
Bài tốn 6.4.12. Cho hai đường trịn (C1): |z – z1| = R1 đường tròn (C2): |z – z2| = R2 Tìm
đường trịn (C1) điểm M đường tròn (C2) điểm N biểu diễn số phức zM zN cho giá trị
của biểu thức P = |zM – zN| nhỏ lớn nhất?
Giải:
Bài tập tự giải gợi ý hình vẽ
Khoảng cách lớn nhất: dmax = |z1 – z2| + R1 + R2 Từ tự suy tọa độ điểm
M N tương ứng: M nằm (C1) xa I2 N nằm (C2) xa I1
Khoảng cách nhỏ nhất: dmin = |z1 – z2| – R1 – R2 Từ tự suy tọa độ điểm
M N tương ứng: M nằm (C1) gần I2 N nằm (C2) gần I1 z1
(C1)
(C2)
z2
∆ R
z0 I(a;b) (C)
zM M
zN N
d
dmax
(82)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
84 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
6.5 Elip mặt phẳng phức – Các toán nâng cao:
6.5/1 Cơ elip mặt phẳng Oxy mặt phẳng phức:
Đã biết hình phẳng Oxy, tập hợp điểm M có tổng khoảng cách tới hai điểm cố định F F’ số (2a) khơng đổi đường elíp (E) có hai tiêu điểm F F’; có tiêu cự: 2c = FF’ ; có trục dài bằng: 2a ; bán trục nhỏ bằng: 2
b a c ; tâm sai: e = c/a
Phương trình hình học: MF + MF’ = 2a (a khơng đổi)
Phương trình tắc (E):
2 2
x y a b
Tọa độ hai tiêu điểm: F’(–c;0) F(c;0)
Hình vẽ minh họa Elip hình học phẳng hệ tọa độ Oxy:
Khi M chạy elip, OM có giá trị nhỏ bán trục nhỏ b M(0;b) M(0;-b)
OM có giá trị lớn bán trục lớn a M(a;0) M(-a;0)
Diện tích hình elip: S = πab
Xét tứ giác ABCD nội tiếp elip (E) Trong ACBD, diện tích tứ giác ABCD là:
2
ABCD
AC BD S
Diện tích nhỏ nhất:
2 2
4a b S
a b
Diện tích lớn nhất: Smax 2ab
x y
O a
-a
b
-b
B A
C D
x y
O a
-a
b
-b
B A
C D
(E)
x y
O a
-a
b
-b |z|
M
F’ F
(83) Bây xét kĩ quỹ tích điểm biểu diễn elip (E) mặt phẳng phức
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình: { |z – z1| + |z – z2| = 2a }
đường elip (E) tổng quát có hai tiêu điểm z1 (biểu diễn F’) z2 (biểu diễn F) Tiêu cự elip là khoảng cách hai điểm F F’: 2c = FF’ = |z1 – z2|
Bán tiêu cự là: c
Trục lớn là: 2a ; bán trục lớn a
Trục nhỏ là: 2b; bán trục nhỏ b tính: 2
b a c
Tâm elip là:
0
z z z
Giá trị lớn |z – z0| bán trục lớn: |z – z0|max = a Giá trị nhỏ |z – z0| bán trục nhỏ: |z – z0|max = b
Cho ABCD tứ giác nội tiếp elip cho hai đường chéo AC BD vuông góc: diện tích lớn tứ giác ABCD là: Smax 2ab; diện tích nhỏ tứ giác ABCD là:
2 2
4a b S
a b
Trường hợp 1: Cơ nhất: Phương trình elip có dạng chuẩn: |z – c| + |z + c| = 2a
Khi hai tiêu điểm đối xứng qua gốc O Tâm elip trùng với gốc O: z0 =
(E)
x y
O a
-a
b
-b |z|
M
-c c
F F’
(E)
x y
z0 a
-a
b
-b
|z – z0| M
(84)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
86 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bán trục lớn bằng: a Bán tiêu cự c Bán trục nhỏ: 2
b a c
Khi max |z| = a z a ; |z| = b z ib
Phương trình tắc mặt phẳng Oxy mơ tả phương trình elip dạng chuẩn này:
2 2 2 2 2
|z c| |z c| 2a x y x y
a b a a c
Trường hợp 2: Phương trình elip có dạng: |z – ic| + |z + ic| = 2a
Khi hai tiêu điểm đối xứng qua gốc O Tâm elip trùng với gốc O: z0 =
Bán trục lớn: a Bán tiêu cự c Bán trục nhỏ: 2
b a c
Khi max |z| = a z ia ; |z| = b z b
Phương trình tắc mặt phẳng Oxy mơ tả phương trình elip dạng này:
2 2 2 2 2
|z ic| |z ic| 2a x y x y
b a a c a
Trường hợp 3: Phương trình elip có dạng tổng quát: |z – z1| + |z – z2| = 2a Hai tiêu điểm: F = z1 F’ = z2 Tiêu cự: FF’ = 2c = |z1 – z2|
Bán trục dài: a bán trục nhỏ: 2 b a c
Ghi nhớ: Khi a = c, b = elip bị suy biến đoạn thẳng: FF’
Tâm elip trung điểm hai tiêu tự: I = z0 = 2
z z
Giá trị lớn của: |z – z0|max = a Đạt hai điểm A B biểu diễn hai số
phức zA zB: zA z0 z2 z0 zA z0 a(z2 z0)
a c c
;
0 ( 0)
B
B
z z z z a
z z z z
a c c
(E)
x y
O a
-a
b -b
|z| M
-c c F
F
(85) Giá trị nhỏ của: |z – z0|min = b Đạt hai điểm C D biểu diễn hai số phức zA
và zB: zC z0 i z( z0) zC z0 ib(z2 z0)
b c c
;
0
( )
( )
D
D
z z i z z b
z z i z z
b c c
Phương trình tắc mặt phẳng Oxy mơ tả phương trình elip dạng này:
Nếu elip có dạng: |zz1| | zz2| 2 a tâm elip:
2
z z
z m in Thì phương trình tắc elip (E):
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1
x m y n x m y n
a b a a c
Bài toán 6.5.1. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 4| + |z + 4| = 10 (1)
1 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1) Tìm số phức z có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện (1)
3 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích lớn tứ giác ABCD ?
4 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích nhỏ tứ giác ABCD ?
Giải:
1 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường elip (E) có bán trục lớn a =
Bán tiêu c = Bán trục nhỏ: 2 2
5
b a c
Hai tiêu điểm là: z1 = 4; z2 = – Tâm elip là: z0 = Phương trình:
2 2
5
x y
2 Tìm số phức z có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện (1)
Số phức có mơ đun lớn bán trục lớn: max |z| = a = khi: z 5 z0
a
-a
b
-b |z – z0| M
z1
z2
zA
zB
c zC
(86)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
88 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Số phức có mơ đun nhỏ bán trục nhỏ: |z| = b = khi: z 3i
3 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích lớn tứ giác ABCD ?
Chúng ta áp dụng kết quả: Smax = 2ab = 2.3.5 = 30 (đvdt)
4 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích nhỏ tứ giác ABCD ?
Chúng ta áp dụng kết quả: Smin =
2 2 2 2
4 4.5 450
5 17
a b
a b Ví dụ 6.5.2. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 5| + |z + 5| = 14 (1)
1 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1) Tìm số phức z có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện (1)
3 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích lớn tứ giác ABCD ?
4 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích nhỏ tứ giác ABCD ?
5 Tìm giá trị lớn nhỏ của: |z +3|
Bài toán 6.5.3. Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 4i| + |z + + 2i| = (1) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
2 Tìm số phức w = (z – + 3i) có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện (1) Giá trị số phức z tương ứng đó?
3 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích lớn tứ giác ABCD ?
4 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích nhỏ tứ giác ABCD ?
Giải:
1 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
Phương trình (1) biểu diễn elip (E) có hai tiêu điểm: z1 = – 4i ; z2 = – – 2i Tâm elip là:
0
3
1
2
z z i i
z i
Bán trục lớn là: a =
Tiêu cự: 2c|z1z2| | 4 i 1 | | | 5i i Bán tiêu cự: c
(87) Bán trục nhỏ: 2 2
4 ( 5) 11
b a c
Hình vẽ minh họa:
Phương trình tắc elip mặt phẳng Oxy:
2
2
( 1) ( 3)
1
4 ( 11)
x x
2 Tìm số phức w = (z – + 3i) có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện (1) Giá trị số phức z tương ứng đó?
Nhận thấy: w = z – z0 Giá trị lớn |w| = |z – z0| bán trục lớn: max |z – z0| = Đạt số phức z hai điểm đầu A B elip biểu diễn hai số phức: zA zB
0 ( 0)
A
A
z z z z a
z z z z
a c c
0 ( 0)
B
B
z z z z a
z z z z
a c c
Giá trị nhỏ |w| = |z – z0| bán trục nhỏ: max |z – z0| = b = 11
Đạt số phức z hai điểm đầu C D elip biểu diễn hai số phức: zC zD
0
( )
( )
C
C
z z i z z b
z z i z z
b c c
0
( )
( )
D
D
z z i z z b
z z i z z
b c c
3 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích lớn tứ giác ABCD ?
Diện tích lớn áp dụng công thức elip tổng quát: Smax = 2ab = 2.4 118 11
4 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích nhỏ tứ giác ABCD ?
z0
a
-a
b
-b |z – z0| M
z1
z2
zA
zB
c zC
(88)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
90 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Diện tích nhỏ nhất: Smin =
2 2 2 2
4 4.4 ( 11) 704
27
4 ( 11)
a b
a b
Ví dụ 6.5.4. Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 3i| + |z + – i| = 20 (1) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
2 Tìm số phức w = (z – + 3i) có mô đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện (1) Giá trị số phức z tương ứng đó?
3 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích lớn tứ giác ABCD ?
4 Gọi ABCD có đỉnh biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) cho AC vng góc với BD Diện tích nhỏ tứ giác ABCD ?
6.5/2 Sự suy biến elip đoạn thẳng:
Bài toán 6.5.5. Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 4i| + |z + – 4i| = 10 (1) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
2 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị lớn nhất?
Giải:
1 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
Hai tiêu điểm F’ = z1 = – 4i ; F = z2 = – + 4i Trục lớn: 2a = 10 bán trục lớn: a =
Tiêu cự: 2c = FF’ = |z1 – z2| = | – 4i – (-2 + 4i)| = 10 bán tiêu: c =
Đây trường hợp đặc biệt: a = c , b = (trục lớn tiêu cự) nên elip đoạn thẳng xác định đoạn: FF’
y
x O
4
-4
4 -2
F
F’ H
(89)2 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị nhỏ nhất?
Số phức có |z| nhỏ hình chiếu H vng góc O lên đoạn thẳng FF’
Phương trình đoạn thẳng FF’ là: VTCP: FF'(6; 8) 2(3; 4) VTPT: n(FF') (4;3) Suy phương trình: (FF’): 4(x4) 3( y4)04x3y 4
Giá trị nhỏ |z| là: min
2
| |
| | ( , ( '))
5
4
z d O FF
Tương ứng với hình chiếu H O lên đường thẳng FF’: ( ;4 ) ( ;4 )
3
h h
H h OH h
Ta có: ' ' 8(4 ) 16 (16 12; )
3 25 25 25
h
OHFF OH FF h h H Suy điểm z ứng với |z|min là: 16 12
25 25
i z
Ghi nhớ: ở tốn này, hình chiếu H cịn nằm đoạn FF’ kết luận |z|min = OH =
d(O,(FF’)) Lưu ý tới trường hợp hình chiếu H khơng nằm đoạn FF’ giá trị |z|min ứng
với OF OF’.
3 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị lớn nhất?
Số phức có |z| lớn ứng với đoạn: OF OF’:
OF = |z2| = |-2 + 4i| = OF’ = |z1| = |4 – 4i| =
Vậy suy |z|max = khi: z = – 4i = F’
Bài toán 6.5.6. Cho số phức z thỏa mãn: |z – – i| + |z + – 5i| = (1) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
2 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị lớn nhất?
Giải:
1 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1)
Phương trình (1) biểu diễn dạng đường elip
Hai tiêu điểm F’ = z1 = + i ; F = z2 = + 5i Trục lớn: 2a = bán trục lớn: a = 2,5
(90)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
92 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Đây trường hợp đặc biệt: a = c (trục lớn tiêu cự) nên elip đoạn thẳng xác định đoạn: FF’
2 + Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1) có mơ đun |z| đạt giá trị lớn nhỏ nhất?
Nhận thấy hình chiếu H vng góc O lên đoạn thẳng FF’ khơng nằm đoạn FF’ nên ta kết luận |z|min = OH = d(O,(FF’))
Đoạn OF = |z2| = |4 + 5i| = 41 Đoạn OF’ = |z1| = |1 + i| =
Vậy suy giá trị lớn |z| là: |z|max = OF = 41 ứng với z = zF = + 5i Giá trị nhỏ |z| là: |z|min = OF’ = ứng với z = zF’ = + i
Ví dụ 6.5.7. Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| + |z – 3i| = Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z| M m Tìm tích số (Mm) đó?
Ví dụ 6.5.8. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 2i| + |z – – 10i| = 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| ?
6.5/3 Phương pháp đưa phương trình elip dạng tắc mặt phẳng phức: Đã biết điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z – z1| + |z – z2| = 2a đường elip (E) Thế đa số quen nhìn quen làm việc với dạng đường elip (E) chuẩn mực
trong hệ tọa độ Oxy là: |z + c| + |z – c| = 2a Vì đơn giản nằm đối xứng hai trục
(E)
x y
O a
-a
b
-b |z|
M
-c c
y
x O
5
1
1
F
F’
(91) Tác giả cung cấp cho bạn phép xoay hình elip tổng quát thành hình elip chuẩn sau:
Từ dạng tổng quát elip: |z – z1| + |z – z2| = 2a Ta có tâm elip xác định:
0
z z
z , sử dụng phép biến đổi:
2
1 0
| | | | | | | |
2
z z z z
zz zz a zz zz a
Nhân hai vế phương trình với: |z2z1| ta được:
| (z2z1)(zz0)c|| (z2z1)(zz0)c| | a z2z1|
Đặt
2 0
2
( )( )
2
z z
u u
u z z z z z z
z z z z
ta được:
|u + c| + |u – c| = 2a’ Đây phương trình đường elip chuẩn
Cụ thể đường elip sau đổi trục xoay hình là:
2
2 2
2
| | | |
| | | | | | | | | |
2
z z z z
u u a z z u c u c ac
Ghi nhớ: Cho elip tổng quát dạng: |z – z1| + |z – z2| = 2a Có tiêu cự: 2c = |z1 – z2| Qua
phép biến đổi, đặt:
2
z z u
z
z z
đưa dạng chuẩn: |u + 2c
2| + |u – 2c2| = 4ac.
Bài tốn 6.5.9. Cho phương trình đường elip tổng quát: |z + – i| + |z – – 7i| = 12 Hãy đưa elip dạng chuẩn
Giải: Tiêu cự: 2c|z1z2| | 2 i | 2i c3
Thực phép biến đổi:
2
2
1
2 2 6
z z
u u i i u
z i
i
z z i i
Ta được: 2
|u2c ||u2c | 4 ac|u36 ||u36 | 72 2
Bài tốn 6.5.10. Cho phương trình đường elip tổng qt: |z – 1| + |z + i| = Hãy đưa elip dạng chuẩn Từ tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m |z| ?
Giải:
Hai tiêu điểm cũ elip cho là: z1 = ; z2 = -i Tiêu cự: |1 | 2
2
c i c
Áp dụng phép xoay hình cách, đặt
2
1
2 2
z z
u u i u i
z
i
z z i
(92)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
94 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Đây phương trình ELIP chuẩn
Khi giá trị mô đun cần khảo sát là: | | | | | | | |
1 | 1|
u i u i
z u i
i i
Chúng ta tìm Max Min |u + i| với u đường ELIP: |u1||u 1| 2
Đã biết elip (E) có bán trục lớn: 2a2 2a Tiêu cự: 2c 2 c b
Giá trị |u + i| tương ứng là khoảng cách từ điểm A(0;-1) đến elip Dễ thấy MAX MIN hình: |u – 1|max = AP = ; |u – 1|min =
Suy giá trị lớn nhỏ |z| tương ứng là: 2; 0
2 2
AP
M m
Bài toán 6.5.11. Cho phương trình đường elip tổng quát: |z – 2– i| + |z + + i| = 10 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z – – 3i| M m, giá trị của: P = M2 – m2 tương
ứng bao nhiêu?
Giải:
Áp dụng phép quay trục elip: ta nhân hai vế giả thiết với |2 – i| được:
| (2i z) (2i)(2i) | | (2 i z) (2i)(2i) | 10 | 2 i| | (2i z) 5 | | (2 i z) 5 | 10 2
Đặt: u = (2 – i)z ta được: |u5 ||u5 | 10 2 biểu thức cần tìm MAX MIN tương ứng là:
| | | | | 15 | | 15 |
2 | |
u u
z i i u
i i
Nhận thấy: |u15 | là khoảng cách từ điểm (15;0) đến ELIP chuẩn: |u5 ||u5 | 10 2
x y
O 5 2
5
15
Min |u – 15| Max |u – 15|
P
x y
O 2
2
1
-1 A
(93) 15 15 2
3 10 ; 10 60
5
M m PM m
Bài toán 6.5.12. Cho phương trình đường elip tổng quát: |z – – 3i| + |z + + i| = Hãy đưa elip dạng chuẩn Từ tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m |z| ?
Giải:
Hai tiêu điểm: z1 = + 3i ; z2 = –3 – i Tiêu cự: 2c|z1z2| |1 3 i 3 i| 2c2 Ta có: z2z1 3 i (1 ) i 4 4i ;
1 3 1
2
z z i i
i
Đặt:
2
1
2 4
z z
u u
z i
i z z
Khi giả thiết đưa dạng chuẩn:
|u2c2||u2c2| 4 ac |u16 ||u16 | 32 (1)
Giá trị của: | | | | | |
4 4
u u i
z i
i
Giá trị nhỏ của: |u – 8i| là: (16 – = 8)
Suy giá trị nhỏ |z| là: m =
4
Giá trị lớn của: |u – 8i| là: 2
8 (16 2) 24
Suy giá trị lớn |z| là: M = 24
4
Ví dụ 6.5.13. Cho phương trình đường elip tổng quát: |z – 1– i| + |z + + i| = 10 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z – – 4i| M m Hãy xác định M m?
Ví dụ 6.5.14. Cho phương trình đường elip tổng qt: |z – 3– 3i| + |z + + 3i| = 12 Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ | z – + i| ?
x
O 16 2
16
16
(94)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
96 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – 6.6 Quỹ tích đường Hypebol bản:
Đã biết quỹ tích điểm M có: MF1 – MF2 = 2a = khơng đổi đường hypebol có tiêu điểm
là F2 tiêu điểm ảo F1
Tiêu cự 2c = F1F2, điều kiện để tồn hypebol là: ca 2a trục dài, a bán trục dài
2c tiêu cự, c bán tiêu cự
2b trục ảo b bán trục ảo, có: 2 b c a
Gốc hypebol trung điểm F1 F2: I trung điểm F1 F2
Khi c > a quỹ tích: MF1 – MF2 đường hypebol nằm phía F2 Thường gặp
hai dạng hypebol có trục F1F2 nằm hai trục Ox Oy sau:
Khi F1 = (-c;0) F2 = (c;0) hypebol: MF1 – MF2 = 2a, dạng tắc có F1F2 nằm
trục hồnh, nằm phía F2 có phương trình tắc là:
2 2
x y
a b x >
Khi F1 = (-c;0) F2 = (c;0) hypebol: MF2 – MF1 = 2a, dạng tắc có F1F2 nằm
trục hồnh, nằm phía F1 có phương trình tắc là:
2 2
x y
a b x <
x
O c
-c
(H) y
a
F2 F1
M
x
O c
-c
(H) y
a
F2 F1
M
(95) Khi F1 = (0;-c) F2 = (0;c) hypebol: MF1 – MF2 = 2a, dạng tắc có F1F2 nằm
trục tung, gần F2 có phương trình tắc là:
2 2
y x
a b y >
Khi F1 = (0;-c) F2 = (0;c) hypebol: MF2 – MF1 = 2a, dạng tắc có F1F2 nằm
trục tung, gần F1 có phương trình tắc là:
2 2
y x
a b y <
Khi c = a quỹ tích: MF1 – MF2 = 2a , nửa đường thẳng F2x tính F2, F2x ngược hướng
với F2F1
F1 F2 M
x O
c
-c (H)
y
a
F2
F1 M
x O
c
-c
(H) y
a
F2
F1
(96)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
98 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Khi c < a khơng tồn điểm M thỏa mãn điều kiện: MF1 – MF2
Một điểm M nằm hypebol gần gốc hypebol đỉnh hypebol Tức ta có: OMmin = |z|min = a M đỉnh tương ứng hypebol
Bài toán 6.6.1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – 5| – |z + 5| = Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
2 Giá trị nhỏ |z| bao nhiêu? Khi z bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – 1| ?
4 Xác định giá trị nhỏ biểu thức: Q = |z – 2i| ?
Giải: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
Đây dạng đường hypebol, hai tiêu điểm F1 = (-5;0) , F2 = (5;0)
Tiêu cự: F1F2 = 2c = 10 c Trục thực: 2a = bán trục thực: a =
Bán trục ảo (bán trục nhỏ): 2 2
5
b c a
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường hypebol nằm gần F1 hơn, nằm trục Ox Phương trình tắc hypebol là:
2 2 2 1
4 16
x y x y
với x <
Hình vẽ minh họa:
2 Giá trị nhỏ |z| bao nhiêu? Khi z bao nhiêu?
Quan sát kĩ biết giá trị nhỏ |z| là: |z|min = OA = a = Đạt
khi z = zA =
3 Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + 6| ?
Dạng toán này, quan sát nhanh kết luận ln Tuy nhiên x
O
-5
(H) y
4
F2 F1
M
A
(97)là biểu thức P = |z + 6| = MB Trong điểm B nằm bên hypebol nên khó sử dụng hình để quan sát
Chúng ta sử dụng phương pháp khảo sát sau:
P|z6 | (x6)2y2 (1)
Từ phương trình tắc hypebol suy ra:
2
9( 1)
16
x y
thay vào biểu thức P ta được:
2
2 25
( 6) 9( 1) 12 27
16 16
x x
P x x với x ( ; 4]
Lập bảng biến thiên (hàm căn) suy giá trị nhỏ biểu thức P
đạt x = -4 Khi đó:
min
25
( 4) 12( 4) 27
16
P
Ghi nhớ: Đơi quan sát hình suy giá trị nhỏ Pmin
4 Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Q = |z – 2i| ?
Biểu thức: 2
| | | | ( 2)
Q z i x iy i x y (2)
Từ phương trình tắc suy ra:
2
16( 1)
9
y x
thay vào biểu thức (2), ta được:
2
2 2 25
( 2) 16( 1) ( 2) 20
9
y y
Q x y y y với y ( ; )
Khi đó:
2
2
25 464 464 29
4 20 ( )
9 25 25
y y
Q y
Dấu “=” xảy 18 661
25 25
y x
Vậy giá trị nhỏ Q là: min 29
5
Q
Ghi nhớ: Đôi cách đưa dạng biểu thức z dạng tắc hypebol sẽ đưa toán cực trị khảo sát hàm số bậc hai đơn giản Yêu cầu dạng biểu thức mô đun cần khảo sát phải dạng: P = |z – zA| zA thực ảo.
Ví dụ 6.6.2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + 13| – |z – 13| = 10 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
2 Giá trị nhỏ |z| bao nhiêu? Khi z bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – 4| ?
(98)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
100 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Ví dụ 6.6.3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + 5i| – |z – 5i| = Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
2 Xác định giá trị nhỏ |z| bao nhiêu? Khi z bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – 2i| ?
4 Xác định giá trị nhỏ biểu thức: Q = |z – 5| ?
Bài toán 6.6.4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – + 4i| – |z + – 2i| = Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
2 Xác định giá trị nhỏ |z + + i| bao nhiêu? Khi z bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + + i| ?
4 Xác định giá trị nhỏ biểu thức: Q = |z + – 2i| ?
Giải: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
Đây dạng đường hypebol, hai tiêu điểm F1 = – 4i = (3;-4); F2 = -5 + 2i = (-5;2) Tâm hypebol trung điểm đoạn F1F2 xác định: I = -1 – i = (-1;-1) Suy ra: MF1 – MF2 = 2a
Tiêu cự: F1F2 = 2c = |3 – 4i – (-5 + 2i)| = 10 c Trục thực: 2a = bán trục thực: a =
Bán trục ảo: 2 2
5
b c a
Qũy tích điểm biểu diễn số phức z nhánh hypebol gần tiêu điểm F2 hơn, có phương trình
chính tắc:
2 2
2
( ) ( ) ( 1) ( 1)
1
3 16
I I
xx yy x y
(H)
2 Xác định giá trị nhỏ |z + + i| bao nhiêu? Khi z bao nhiêu?
Ta có: |z + + i| = |z – zI| đạt giá trị nhỏ bán trục thực a =
Suy |z + + i|min = z = zM = M = giao điểm đường thẳng F1F2 với hypebol (H) Phương trình đường thẳng F1F2:
3
3
5
x y
x y
Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: 2
3
( 1) ( 1)
9 16
x y
x
x y
y
3 Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + + i| ?
Giá trị của: 2
| | | | ( 2) ( 1)
P z i x iy i x y (1)
(99) Từ phương trình tắc (H) suy ra:
2 ( 1)
( 1) 16( 1)
9
x
y , vào (1) ta được:
2
2 2 ( 1) 25 68 92
( 2) ( 1) ( 2) 16( 1)
9
x x x
P x y x Điều kiện phần thực x là:
2
2 ( 1) 2
( 1) 16( 1) ( 1)
4 x x y x x Khảo sát hàm biểu thức P ta suy giá trị nhỏ P là:
Pmin = x 4 y 0 z
4 Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Q = |z + – 2i| ?
Giá trị của: 2
| | | | ( 1) ( 2)
Q z i x iy i x y (2)
Từ phương trình tắc (H) suy ra:
2 ( 1)
( 1) 9( 1)
16
y
x , vào (2) ta được:
2
2
2 2
23 4896
(5 )
( 1) 25 46 217 5 25
( 2) ( 2) 9( 1) ( 2)
16 16 16
y
y y y
Q x y y
23 4896 (5 ) 34 25 16 y Q
Giá trị nhỏ Q là: Qmin = 34
5
23 769
1
25 25
y x
Ghi nhớ: Chúng ta thực phép quay hypebol dạng tắc cho dễ làm dễ hình
dung cách đặt:
2
z z u z z z
suy phương trình tắc chuẩn hypebol.
Ở toán ta đặt:
2
5
1
2
z z
u u i i u
z i
i
z z i i
Thay vào phương trình ban đầu ta được: |u + 50| – |u – 50| = 80 Ví dụ 6.6.5 Cho số phức z thỏa mãn: |z + + i| – |z – – 7i| =
1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì? Xác định phương trình tắc ? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + – 3i| ?
3 Xác định giá trị nhỏ của: Q = |z + – i| ? Xác định giá trị nhỏ của: R = |z + – 3i| ?
5 Chuyển dạng tắc chuẩn đường hypebol?
(100)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
102 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 6.6.6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – + 3i| – |z + – 3i| = 10 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
2 Xác định giá trị nhỏ |z | bao nhiêu? Khi z bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + – 6i| ?
4 Cho biết | | 10z Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ T = |z – + 2i| ?
Giải: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
F1 = z1 = – 3i = (4;-3); F2 = z2 = -4 + 3i = (-4;3) F1F2 = |4 – 3i – (-4 + 3i)| = 10
Giả thiết cho biết: |z – + 3i| – |z + – 3i| = 10 MF1 – MF2 = F1F2 MF1 = MF2 + F1F2 Suy ra: M, F1 , F2 thẳng hàng Cụ thể là: F2 nằm F1 M Hãy nói cách khác M nằm tia
F2t hình vẽ (nửa đường thẳng F2t):
Phương trình đường thẳng F1F2 lập nhanh dạng tắc: F1F2 : 3
4 ( 4) 3
x x
x y
đó: x 4
2 Xác định giá trị nhỏ |z | bao nhiêu? Khi z bao nhiêu?
Quan sát nhanh ta nhận thấy giá trị nhỏ |z| là: |z|min = OF2 = |z2| = |-4 + 3i| = Đạt z = - + 3i
3 Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + – 6i| ?
P = |z – zA| A = zA = -4 + 6i = (-4;6)
Nhận thấy giá trị nhỏ P chı́nh là khoảng cách từ A đến đường thẳng F1F2
bằng độ dài đoạn AH
x O
4 -4
t y
F1 M
F2
-3
(101) min 1 2
2
| 3( 4) 4(6) | 12
( , )
5
3
P d A F F
Số phức z tương ứng biểu diễn điểm H hình chiếu vng góc A lên F1F2 Gọi H = (3h;-4h) hình chiếu A, suy ra: AH (3h4; 4 h6) ; F F1 ( 8; 6)
Suy ra:
1 2 8(3 4) 6( 6) 17 ( 17 17; ) 17 17
12 H
i AH F F h h h H z
4 Cho biết z thỏa mãn thêm:| | 10z Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ T = |z – + 2i| ?
Ta gọi:
4
z x iy x y y x thay vào điều kiện:
2 2
| | 10 100 100 8
16
x
z x y x x Kết hợp với điều kiện x trên, ta suy ra: 8 x 4
Xét biểu thức: 2
| | | | ( 5) ( 2) ( 5) ( 2)
4
T z i x iy i x y x x
2 25
13 29
16
x
T x
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ T đoạn [-8;-4] phương pháp hàm số đơn giản:
Tmax 233x 8 y6z 8 6i Tmin 106x 4 y 3 z 4 3i
x O
4 -4
t
y
F1 A
F2
(102)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
104 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Ví dụ 6.6.7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – + 2i| – |z + –i| = Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì?
2 Xác định giá trị nhỏ |z | bao nhiêu? Khi z bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z + – 6i| ?
4 Cho biết | | 6z Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ T = |z – + i| ? Ví dụ 6.6.8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + 3| – |z – 3| =
1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường gì? Xác định giá trị nhỏ |z | bao nhiêu? Xác định giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – + 2i| ?
4 Cho biết | | 12z Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ T = |z – + 3i| ?
(103)6.7 Các đường cong bất kì: Đường thẳng – Đường trịn – Elip – Hypebol – Parabol:
Không phải lúc quỹ tích đường cong như: đườngthẳng, đường tròn, đường elip…cũng cho dạng chuẩn phức Đơi ta phải biến đổi sau q trình đặt trực tiếp: z = x + iy rút phương trình đường cong
Các dạng đường cong bản:
Đường thẳng (∆) có dạng phương trình: ax + by + c =
Đường trịn (C) có dạng phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Trong tâm I(a;b) và
bán kính R >
Đường cong elip (E) có dạng phương trình:
2 2
( ) ( )
1
x a y b
m n
Hoặc viết theo dạng: 2
0
ax by cx dy e (a, b > ab)
Đường cong hypebol (H) có dạng phương trình:
2 2
( ) ( )
1
x a y b
m n
Hoặc
viết theo dạng: ax2by2cx dy e 0 (a,b > 0).
Đường cong parabol (P) có dạng:
2
a x bx c dy a y by c dx
Bài toán 6.7.1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z2z 3i2 | 4 (1)
Giải: Gọi z = x + iy, với x y hai số thực
(1) 2
|x iy 2(x iy ) 3 i2 | 4 | (3x2) i( y 3) | 4 (3x2) (y3) 16
Rút gọn ta phương trình: 2
9x y 12x6y 3 đường elip
Bài toán 6.7.2. Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z3i2 | 4 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: w z 2z ?
Giải:
Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z ta suy đường trịn tâm I(2;-3) bán kính R = Tuy nhiên, ý hỏi điểm biểu diễn số phức w?
Ta có: |z3i2 | 4 |x iy 3i2 | 4 (1)
Từ: w 2( ) 3
X x z z X iY x iy x iy x iy
y Y
Ta vào (1) được:
(1) 2
| ( ) | | ( 6) ( 9) | 12 ( 6) (3 9) 12
3
X
i Y i X i Y X Y
(104)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
106 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài toán 6.7.3. Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z3i2 | 4 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: w z 2z ?
Giải:
Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z ta suy đường trịn tâm I(2;-3) Ví dụ 6.7.3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: | 2zz i 1|
Ví dụ 6.7.4. Cho số phức z thỏa mãn: |z2i 1| Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: w3zz Ví dụ 6.7.5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
1 |z2i z 2 | 3 2.|z3i2 | | 2 z i z i| 3.|iz3z 1| | 3iz1|
(105)6.8 Phép quay số phức – Nâng cao tư véc tơ phức:
Cho số phức z = x + iy ; biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng phức
Gọi M’ ảnh M phép quay tâm O (gốc tọa độ O) với góc quay α biểu diễn số phức tương ứng là: z'e zi (cosi.sin ) z
Chứng minh điều dễ dàng: có OM’ = |z’| = |e zi | | | z { |ei | | cos i.sin| 1 }
Đặc biệt, quay góc 900 =
ta nhận thấy: cos .sin
2
i
e i i
Tức ta
việc nhân i vào trước số phức đồng nghĩa với việc quay mặt phẳng phức góc +900 =
2
Tương tự, ta nhân (-i) vào trước số phức đồng nghĩa với việc ta quay mặt phẳng phức góc -900 =
2
Phép quay bảo tồn mơ đun số phức Có ứng dụng nhiều việc tạo hình giải tốn hình học phẳng
Bài tốn 6.8.1 Cho hình vng ABCD biểu diễn số phức zA = + 4i, zB = – 5i, zC , zD Hãy tìm
số phức zC zD ?
Giải: Sử dụng phép quay để giải toán
Trường hợp 1: Hình bên
Điểm C ảnh A qua phép quay tâm B góc quay (-900 =
): Q(B,-900) = Q(B;-π/2) B
C D
A
D C
zA zB
(106)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
108 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Phép quay:
2
nhân với số phức: ei( 2) i
Vậy ta có: ( 2)
( ; )
( ) C B i ( A B) ( A B) C B ( A B)
B
C Q A z z e z z i z z z z i z z
Thay số: zC zBi z( AzB) 4 5i i (3 4 i 4 ) 13 4i iC(13; 4)
CDBAzD zC zAzB zD zC zAzB 13 4 i 3 4i 4 5i12 5 iD(12;5)
Trường hợp 2: Hình bên
Điểm C ảnh A qua phép quay tâm B góc quay (900 =
):
(2)
( ; )
( ) C B i ( A B) ( A B) C B ( A B)
B
C Q A z z e z z i z z z z i z z
Thay số: zC zBi z( AzB) 4 5i i (3 4 i 4 )i 5 6iC( 5; 6)
CD BAzD zC zAzB zD zCzAzB 5 6i 3 4i 4 5i 6 3iD( 6;3)
Ghi nhớ: Nếu dùng phương pháp tọa độ Oxy dài khó khăn
Bài tốn 6.8.2 Cho tam giác ABC biểu diễn số phức zA = + i, zB = – 2i, zC Hãy tìm số
phức zC ?
Giải: Sử dụng phép quay để giải tốn
Trường hợp 1: Hình bên
C ảnh A qua phép quay tâm B góc quay (-600 =
) B
C A
C
zA
zB zC
zC
3
(107) Ta có:
( 3)
( ; )
1 3
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2
i
C B A B A B C B A B
B
i i
C Q A z z e z z z z z z z z
Thay số: (1 3)( ) (1 3)(2 ) 3
2 2 2
C B A B
i i
z z z z i i i i
Suy tọa độ: (5 3; 3)
2
C
Trường hợp 2: Hình bên
C ảnh A qua phép quay tâm B góc quay (600 =
)
Ta có:
(3)
( ; )
1 3
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2
i
C B A B A B C B A B
B
i i
C Q A z z e z z z z z z z z
Thay số: (1 3)( ) (1 3)(2 ) 3
2 2 2
C B A B
i i
z z z z i i i i
Suy tọa độ: (5 3; 3)
2
C
Bài toán 6.8.3 Cho tam giác ABC biểu diễn số phức zA = + 2i, zB = + 2i, zC Biết góc
ABC
và BC = 2BA Hãy tìm số phức zC ?
Giải: Sử dụng phép quay để giải toán
B
C A
C
zA zB
zC
zC
(108)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
110 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Gọi C’ điểm nằm BA cho BC’ = BC = 2BA Suy ra: BC'2BAzC'zB 2(zAzB)
C ảnh C’ qua phép quay tâm B với góc quay:
Ta có: ( 4) ( 4)
'
( ) ( ) ( 2)( )
i i
C B C B A B A B
z z e z z e z z i z z
zC zB ( 2i 2)(zAzB) 3 2i( 2i 2)(1 2 i 3 )i (3 2) (2 2 2)i Ví dụ 6.8.4 Cho tam giác ABC biểu diễn số phức zA = – 2i, zB = + 3i, zC Biết góc
3
ABC BC = BA Hãy tìm số phức zC biểu diễn điểm C ?
Ví dụ 6.8.5 Cho tam giác ABC biểu diễn số phức zA = + 4i, zB = + 5i, zC Biết góc
ABC BC = 3BA Hãy tìm số phức zC biểu diễn điểm C ?
Ví dụ 6.8.6 Cho hình vng ABCD biểu diễn số phức zA = + 4i, zB = + i Hãy tìm số phức zC
và zD biểu diễn điểm C D?
Ví dụ 6.8.7 Cho hình bình hành ABCD biểu diễn số phức zA = + i, zB = + 4i Có AB = 2AD góc
60
BAD Hãy tìm số phức zC zD biểu diễn điểm C D?
(109)6.9 Bài toán tương giao mặt phẳng phức – Hệ phương trình mơ đun phức:
Đa số toán tương giao yêu cầu tìm số nghiệm hệ phương trình phức
Điển hình ba loại hệ phương trình là: hệ đường thẳng hệ hai đường tròn hệ đường thẳng đường trịn
Thường dạng tốn có hai loại là: định tính (cho biết số nghiệm số giao điểm) định lượng (tức tìm tọa độ giao điểm đường cong)
Hệ phương trình tương giao hai đường: Tìm nghiệm hệ phương trình phức dạng mơ đun thường xét tới hai loại đường là: đường thẳng đường trịn
Bài tốn 6.9.1 Bài tốn giao điểm hai đường thẳng: Tìm giao điểm hai đường thẳng sau:
| 1| | |
| | | |
z z i z i z i
Giải:
Gọi z = x + iy thay vào hệ phương trình cho, ta biết được:
2 2
2 2
| 1| | | | ( 1) | | ( 2) | ( 1) ( 2)
| ( 3) | | ( 1) ( 2) | ( 3) ( 1) ( 2)
| | | |
z z i x iy x i y x y x y
x i y x i y x y x y
z i z i
Rút gọn ta đưa hệ phương trình bậc ẩn:
2 2
2 2
11
2
( 1) ( 2) 2
2
( 3) ( 1) ( 2)
2
x
x y
x y x y
x y
x y x y
y
Vậy giao điểm điểm biểu diễn số phức: 11
2
z i
Ví dụ 6.9.2. Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng sau: | | | |
| | | |
z z i z i z
Ví dụ 6.9.3. Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng sau: | | | |
| 1| | |
z i z i
z z i
Bài toán 6.9.4. Bài toán giao điểm đường thẳng đường trịn: Tìm nghiệm phức hệ phương trình phức sau: | 1| | | (1)
| | (2)
z z i z i Giải:
Ta biến đổi pt (1) 2 2
| (x1)iy| | x i y ( 1) |(x1) y x (y1) x y0 ()
(110)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
112 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
đã cho, ta làm theo phương pháp định tính, sau:
Đã biết phương trình (2) đường trịn (C) có tâm I(2;1) bán kính R = Ta cần tı́nh khoảng cách từ I tới đường thẳng (d) song song với R xong:
(I, ) | 1| 3
1
d R
Vậy suy đường thẳng cắt (C) hai điểm phân biệt
Nếu toán định lượng, thì ta phải làm bình thường, tức viết phương trình đường trịn (C) phương trình (2) thế: y = -x từ (1) vào: (2) 2
(x2) (y1) 9 (3)
Thế y = -x vào phương trình trên, ta được:
2
2
1 1
( 2) ( 1) 2
2 2
x y z i
x x x x
x y z i
Ghi nhớ: Tùy vào toán định tính (đếm số nghiệm) hay định lượng (xác định rõ nghiệm) mà ta chọn phương pháp cho phù hợp
Ví dụ 6.9.5. Bài tốn giao điểm đường thẳng đường trịn: Tìm nghiệm phức hệ phương trình phức sau: | | | | (1)
| 1| (2)
z i z i z i
Bài toán 6.9.6. Tương giao hai đường trịn: Tìm nghiệm phức thỏa mãn: | 1| (1)
| | (2)
z i z i Giải:
Nếu tốn định tính: Ta biết cách xác định vị trí tương đối hai đường trịn
Phương trình (1) đường trịn tâm I1(1;-2) bán kính R1 = Phương trình (2) đường trịn tâm I2(-2;1) bán kính R2 = Khoảng cách I1I2 = 32 ( 3)2 3
R1 + R2 = |R1 – R2| =
Suy ra: | R1R | I I2 1 2 R1R2 hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt
Nếu toán định lượng: Ta phải lập hệ phương trình hai đường trịn giải làm hình phẳng Oxy
Ta có hệ phương trình:
2
2
( 1) ( 2) (1)
( 2) ( 1) 25 (2)
x y x y
Lấy (2) – (1) vế theo vế, ta được: 6 16
x
x y y , vào (1):
(1) 2 1
2
3
( 1) ( 2) 9 15 34
x y
x
x x x
x y
Ví dụ 6.9.7. Tìm nghiệm phức hệ phương trình phức sau: | | (1)
| | (2)
(111)6.10 Biểu diễn số phức miền hình phẳng – Cực trị phức miền D:
Bài toán 6.10.1 Cho số phức z = x + iy có điểm biểu diễn M(x;y) nằm miền D xác định bởi: D{0x y x, ; 2y2 ; xy4} Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – + i| ?
Giải:
Dạng toán dùng bất đẳng thức đại số đánh giá được, nhiên rườm rà khó khăn, đơi cịn q dễ nhầm ngộ nhận Cách tối ưu sử dụng phương pháp hình học mặt phẳng phức Chủ yếu phải xác định tương đối xác miền D từ rút cách làm nhận xét tối ưu cho toán
Miền D toán cho dạng miền xác định đường thẳng biết tỉ mỉ chương trình lớp 10
Xét biểu thức P = |z| = OM , M điểm thuộc miền D
Quan sát nhanh hình nhận thấy P = |z| = OM lớn M trùng với điểm A điểm B Khi đó: zM = zA = zM = zB = 4i Pmax | |z maxOAOB4
P = |z| = OM nhỏ M hình chiếu vng góc O lên đường thẳng ∆1 Cũng
tính nhanh giá trị nhỏ P = |z| = OM hệ thức lượng tam giác vuông
min min 1
2
1.2
| | ( , )
5
1
P z OH d O
Việc tìm tọa độ điểm H biểu diễn số phức zH để có Pmin đưa tìm hình chiếu vng góc
của O lên đường thẳng ∆1 Phương trình đường thẳng ∆1: x + 2y – = Gọi H = (2 – 2h;h) nằm ∆1 hình chiếu vng góc O lên ∆1
y
x O
D
H A
4
4
1 B
(112)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
114 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – VTCP ∆1 là: u1(2; 1)
Véc tơ: OH(2 ; ) h h
Suy ra: 1 2(2 ) 1( ) ( ; )2 4
5 5 H 5
i u OH h h h H z
Xét biểu thức: Q = |z – + i| = IM , M điểm thuộc miền D I điểm biểu diễn số phức zI = – i
Giá trị lớn Q tương ứng là: IB = Q max = |zB – zI| = |4i – + i| = 34 z = zB = 4i Giá trị nhỏ Q tương ứng là: IM = Qmin = |zM – zI| = |3 – + i| = z = zM =
Ghi nhớ: Khi xác định phác họa xác miền D việc xác định MAX MIN của biểu thức dễ dàng.
Bài toán 6.10.2 Cho số phức z = a + ib , a số thực khơng dương đồng thời hệ số tam thức bậc 2: f(x) = x2 + ax + b Biết rằng: f( 1) 6 f(2)2 Hãy xác định giá trị lớn
giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – 5i| ?
Giải:
Đơi tốn cho phần thực phần ảo dạng hệ số tam thức bậc hai, xác định phác họa miền D làm với toán
Số thực a không dương tức là: a0
Ta có: f( 1) 6 a b b a (∆1) f(2)2 4 2a b 2 b 2a2 (∆2) Suy miền D{a0 ;b 5 a b; 2a2}
Hình vẽ minh họa miền D mặt phẳng phức: y
x O
D
I
A
4
1 B
∆1 -1
M
(113) Giao điểm hai đường thẳng ∆1 ∆2 điểm I có tọa độ: ( 8; ) 3
I
Biểu thức P = |z| = OM, M điểm biểu diễn số phức z thuộc miền xác định D
Giá trị nhỏ P O nằm miền D Khi Pmin = M trùng với O Giá trị lớn P là: Pmax = OB = z = zB =5i
Khảo sát biểu thức Q = |z – – 5i| = AM, M điểm nằm miền D A điểm biểu diễn số phức zA = + 5i
a O
-2 I
-1
∆1
7
B b
∆2
-5
D
4 A
C
a O
-2 I
-1
∆1
7
B b
∆2
-5
(114)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
116 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Giá trị nhỏ biểu thức Q là: Qmin = AB = z = zB = 5i
Để xác định giá trị lớn biểu thức Q ta tính độ dài đoạn AI AC so sánh:
| | | ( ) | 410
3 3
A I
AI z z i i
AC|zAzC| | 5 i ( ) |i 65
Vậy giá trị lớn Q là: Qmax = AC = 65 z = zC = -2i
Ghi nhớ: Đôi miền xác định D cho điều kiện phần thực phần ảo thông qua việc chúng gán hệ số đa thức đại số từ điều kiện đa thức ta tìm được điều kiện phần thực vào phần ảo tương ứng.
Khi xác định giá trị lớn giá trị nhỏ việc quan sát nhanh nên tính tốn trường hợp có khả đạt cực trị để tránh ngộ nhận hình vẽ sai tỉ lệ. Bài tốn 6.10.3 Cho số phức z nằm miền D xác định bởi: D{ |z 2 | ; |i z 1 i| 3} Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ của: P = |z|?
Giải:
Miền D không cho giới hạn đường thẳng đường không biểu diễn thông qua phần thực phần ảo mà giới hạn trực tiếp bpt phức
|z 2 | 6i miền nằm hình trịn (C1) bao gồm đường trịn (C1) Có tâm đường
tròn là: I1 = zI1 = + 3i bán kính R1 =
|z 1 i| miền nằm ngồi hình trịn (C2) bao gồm đường trịn (C2) Có tâm đường
trịn là: I2 = zI2 = + i bán kính R2 = Miền D minh họa hình vẽ:
x -1
(C1)
B y
8
D
A
O I1
I2 (C2)
(115) Khảo sát biểu thức P = |z| = OM , M điểm nằm miền D (là phần gạch chéo hình vẽ minh họa)
Thử điều kiện thấy gốc tọa độ O nằm bên hình trịn (C2) hình vẽ: |zO 1 i| |1 i| 23
Suy giá trị lớn P là: Pmax = OA = OI1 + I1A = |zI1| + R1 = | | 6 i 6 13 Khi
số phức z = zA tìm cơng thức nhanh trình bày phần trước:
1
6
(1 ) (1 )(2 ) (1 )(2 )
| | | | 13
A I
I
R
z z i i
z i
Giá trị nhỏ P là: Pmin = OB = |I2B – OI2| = |R2 – |zI2|| = |3 – |1 + i|| = | 3 | 3 Khi số phức z = zB tìm cơng thức tính nhanh:
2
3
(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
| | |1 |
B I
I
R
z z i i
z i
Bài toán 6.10.4 Cho số phức z nằm miền: D{ |z 1 i| ; |z 1 i| |z 3 i|} Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ của: P = |z| Q = |z – + 2i|?
Giải:
|z 1 i| miền nằm hình trịn (C) bao gồm đường trịn (C) Có tâm đường tròn là: I = zI = – i bán kính R =
|z 1 i| |z 3 i| | (x1)i y( 1) | | ( x3)i y( 1) |(x1)2(y1)2(x3)2(y1)2 xy2y 2 x Đây miền nửa mặt phẳng nằm phía đường thẳng ∆1 có
phương trình: y 2 x (∆1)
Hình vẽ minh họa miền D hình vẽ bên dưới:
x
-2 O
y
D
∆1
2
I (C)
(116)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
118 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Khảo sát biểu thức: P = |z| = OM , với M điểm biểu diễn số phức z nằm miền D
Giá trị nhỏ P là: Pmin = OI = |zI| = |1 – i| = z = zI = – i Giá trị lớn P là: Pmax = OA = OI + IA = 2R = 2 z = zA = – 2i
Khảo sát biểu thức: Q = |z – + 2i| = BM, với B điểm biểu diễn: zB = – 2i hình vẽ
Giá trị nhỏ Q là: Qmin = BC = BI – IC = |zB – zI| – R =| 2 i(1i) | 2 5
Số phức: z = zC tìm cách trình bày phần đường trịn Giá trị lớn Q là: Qmax = BD =
Ví dụ 6.10.5 Cho số phức z = x + iy, x, y số thực không âm thỏa mãn đồng thời điều kiện: xy8 ; x3y6 Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – i| ? Xác định giá trị tương ứng z ?
Ví dụ 6.10.6 Cho số phức z = x + iy, x, y số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện: 0 y; 2xy6 ; 3xy3 Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – i| ? Xác định giá trị tương ứng z ?
Ví dụ 6.10.7 Cho số phức z = x + iy, x, y số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện: 0(x2)(y2) ; xy2 ; x2y10 Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – i| ? Xác định giá trị tương ứng z ?
Ví dụ 6.10.8 Cho số phức z = a + ib, a, b số thực khơng âm đồng thời hệ số tham thức bậc 2:
( )
f x x ax b Biết rằng: f(1)5 ; f(2)0 Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – 3i| ? Xác định giá trị tương ứng z ?
Ví dụ 6.10.9 Cho số phức z = a + ib, a, b số thực không âm đồng thời hệ số tham thức bậc 2:
( )
f x x ax b Biết rằng: f(1)7 ; f( 1) 3 Hãy xác định giá trị lớn x
-2 O
y
D
∆1
2 I
B C D
3
(117)và giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – 3i| ? Xác định giá trị tương ứng z ?
Ví dụ 6.10.10 Cho số phức z thỏa mãn: |z2 | ; | z2 | 4i Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – 2i| ?
Ví dụ 6.10.11 Cho số phức z thỏa mãn: |z 1| ; |z2 | 4i Hãy xác định giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z| Q = |z – – 5i| ?
(118)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
120 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – 6.11 Bài toán tâm tỉ cự mặt phẳng phức:
Tâm tỉ cự hệ thức véc tơ: Cho điểm A, B , C biểu diễn số phức tương ứng zA , zB , zC Tìm điểm N thỏa mãn hệ thức véc tơ (còn gọi N tâm tỉ cự hệ thức véc tơ):
0
NA NB NA
Đây tài liệu số phức, chứng minh hình học khơng thể trình bày hết Đôi số kết phải bắt buộc chấp nhận từ hình học véc tơ Ta chuyển từ véc tơ qua số phức:
(zAzN)(zBzN)(zCzN)0
Tọa độ tâm tỉ cự N số phức zN biểu diễn cần tìm là:
A B C
N
z z z z
Chú ý rằng: Khi 0 khơng tồn tâm tỉ cự N
Tại gọi tâm tỉ cự, ứng dụng tâm tỉ cự nghiên cứu kĩ tốn mẫu trình bày bên dưới:
Bài tốn 6.11.1 Tìm điểm M biểu diễn số phức zM cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
2 2
| A| | B | | C |
P zz zz zz Tính giá trị nhỏ đó: Pmin = ?
Giải:
Gọi điểm A, B, C biểu diễn số phức: zA , zB , zC N tâm tỉ cự biểu thức véc tơ:
0
NA NB NA
, biểu diễn số phức zN Khi ta biết: zN zA zB zC
Gọi M điểm biểu diễn số phức z Khi biểu thức tỉ cự cho viết dạng:
P.MA2.MB2.MC2
Ta có: 2 2 2
.( ) ( ) ( )
PMA MB MC MN NA MN NB MN NC
2 2
( ) ( )
P MN NA NB NC MN NANBNC
P( )MN2 .NA2.NB2.NC2
Ta có: ( 2
.NA NB NC
) khơng đổi A, B, C, N cố định biết rõ Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ MN2 nhỏ MN = M trùng với N zM = zN.
Ghi nhớ: Điều kiện để biểu thức tỉ cự: 2
| A| | B| | C|
P zz zz zz đạt giá trị nhỏ số phức zN tâm tỉ cự hệ thức: zN zA zB zC
Giá trị nhỏ tương ứng là:
Pmin .NA2NB2NC2 |zN zA|2 |zN zB|2 |zN zC |2
(119)Ví dụ 6.11.2 Tìm số phức zM cho P đạt giá trị nhỏ nhất: P2 |z 1 |i 3 |z2 |i |z3 |2
Tính giá trị nhỏ đó: Pmin = ?
Ví dụ 6.11.3 Tìm số phức zM cho P đạt giá trị nhỏ nhất: P|z 3 i|2 |z 4 i|2 3 |z2 |i
Tính giá trị nhỏ đó: Pmin = ?
Bài toán 6.11.4 Cho biểu thức tỉ cự: 2
| A| | B | | C|
P zz zz zz Tìm số phức zM cho:
1 Số phức zM thỏa mãn đường thẳng ∆: |z – z1| = |z – z2| giá trị P nhỏ nhất? Tính Pmin ?
2 Số phức zM thỏa mãn đường tròn (C): |z – z0| = R giá trị P nhỏ giá trị P lớn
nhất? Tìm giá trị Pmin Pmax ?
Giải:
Số phức zN tâm tỉ cự biểu thức cho P Suy ra: N A B C
z z z z
Biểu thức P biến đổi thành: 2 2
( )
P MN NA NB NC
Trong có: ( 2
.NA NB NC
) không đổi
Như P phụ thuộc hoàn toàn vào biến thiên giá trị đoạn MN
1 Số phức zM thỏa mãn đường thẳng ∆: |z – z1| = |z – z2| giá trị P nhỏ nhất? Tính Pmin ?
Khi điểm M chạy đường thẳng ∆ để Pmin MN nhỏ M hình chiếu vng
góc N lên đường thẳng ∆
Khi MNmin = d(N,∆)
Giá trị nhỏ P là: Pmin = P( )( ( , ))d N 2.NA2.NB2.NC2
2 Số phức zM thỏa mãn đường tròn (C): |z – z0| = R giá trị P nhỏ giá trị P lớn
nhất? Tìm giá trị Pmin Pmax ?
Khi M chạy đường tròn (C) có hai trường hợp cực trị
Khi M = M1 gần N , ta biết tìm điểm M1 phần trên, P đạt giá trị nhỏ nhất:
2 2
min ( ) P M N NA NB NC
Khi M = M2 xa N , ta biết tìm điểm M2 phần trên, P đạt giá trị lớn nhất: Pmax ()M N2 2.NA2.NB2.NC2
N zN
M zM
N zN M1
z0 M2
(120)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
122 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Ví dụ 6.11.5 Cho biểu thức tỉ cự: 2
| | | | | |
P z i z i z Tìm số phức zM cho:
1 Số phức zM thỏa mãn đường thẳng ∆: |z – 1| = |z – i| giá trị P nhỏ nhất? Tính Pmin ?
2 Số phức zM thỏa mãn đường tròn (C): |z – – 4i| = giá trị P nhỏ giá trị P lớn
nhất? Tìm giá trị Pmin Pmax ?
Ví dụ 6.11.6 Cho biểu thức tỉ cự: 2
2 | | | | | |
P zi z i z Tìm số phức zM cho:
1 Số phức zM thỏa mãn đường thẳng ∆: |z – 2i| = |z + 2| giá trị P nhỏ nhất? Tính Pmin ?
2 Số phức zM thỏa mãn đường tròn (C): |z – – 4i| = giá trị P nhỏ giá trị P lớn
nhất? Tìm giá trị Pmin Pmax ?
Bài toán 6.11.7 Cho biểu thức tỉ cự: 2
| A| | B | | C |
P zz zz zz Trong P biết giá trị Hãy tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn biểu thức trên?
Giải:
Gọi zN tâm tỉ cự biểu thức P Ta suy ra: zN zA zB zC
2 2 2 2 ( )
( ) P NA NB NC
P MN NA NB NC MN
Xảy trường hợp sau:
Trường hợp 1: 2
P NA NB NC , khơng tồn điểm M thỏa mãn
Trường hợp 2: 2
P NA NB NC , có điểm M N thỏa mãn
Trường hợp 3: 2
P NA NB NC , quỹ tích điểm biểu diễn đường trịn (C) có tâm tâm tỉ cự N (zN) có bán kính: R P( NA2.NB2.NC2)
Ví dụ 6.11.8 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : |z – 3i|2 + |z + – 2i|2 +
2|z|2 = 2018
Ví dụ 6.11.9 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |z –i|2 + |z + + i|2 + |2z –
4i + 2|2 = 12
Ví dụ 6.11.10 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |3z –6i|2 – |z + + 3i|2 +
|z – 2i + 3|2 = -34/3
(121)6.12 Bình phương vơ hướng số phức – Ứng dụng mặt phẳng phức: Cơng thức hẹp: Phép bình phương vơ hướng mặt phẳng phức:
Mỗi số phức z coi véc tơ u mơđun số phức độ dài véc tơ đó: | | |z u |
Suy ra: 2 2
1 2 2 2
|z z ||u u ||z z | |u u | |u | |u | 2 |u | |u | cos( ,u u )
(1)
Góc tạo hai véc tơ coi góc tạo hai số phức tương ứng: z z1, ( ,u u1 2)
Thay vào (1), ta được: 2
1 2 2
|z z | |z | |z | 2 |z | |z | cos( ,z z )
Tổng quát bình phương vô hướng số phức:
zmz1nz2 | |z 2|mz1nz2|2m2 |z1|2 n2|z2|2 2.mn z | 1| |z2| cos( ,z z1 2)
Góc tạo hai số phức z1 z2 góc tạo hai số phức liên hợp: z z1, z z1, Ứng dụng phép bình phương vơ hướng vào số toán số phức dạng đại số:
Bài toán 6.12.1 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |z1 – z2| = 13 Hãy:
1 Tính giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
2 Tính giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2|
3 Tính giá trị biểu thức: P = |2z1 – 3z2|
Giải: Gọi góc tạo hai số phức z1 z2 là: ( ,z z1 2)
1 Tính giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
Từ giả thiết : 2
1 2
|z z | 13 52 | z | |z | 2 |z | |z | cos (1)
P|z1z2|P2 |z1|2 |z2|2 2 |z1| |z2| cos (2)
Lấy (1) + (2), vế theo vế, ta được: 2
1
52 | | | | 200 37
P z z P (vì P0)
2 Tính giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2|
Bình phương vơ hướng biểu thức P ta được:
Ta có: 2
1 2
| | | | | | 12 | | | | cos
P z z P z z z z (3)
Kết hợp nhân hai vế (1) với cộng vế theo vế với (3), ta được:
2
2 2
1 2
1 2 2
1 2
312 | | | | 12 | | | | cos
312 10 | | 15 | | 1320 12
4 | | | | 12 | | | | cos
z z z z
P z z P
P z z z z
3 Tính giá trị biểu thức: P = |2z1 – 3z2|
Ta có: 2
1 2
| | | | | | 12 | | | | cos
(122)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
124 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Kết hợp với (1), ta được:
2
2 2
1 2
1 2 2
1 2
312 | | | | 12 | | | | cos
312 | | | | 120 12
4 | | | | 12 | | | | cos
z z z z
P z z P
P z z z z
Ghi nhớ: Phép bình phương vơ hướng hữu dụng dạng tốn Chúng ta có thể ghi nhớ cách làm cho lưu loát tốc độ bước vào thi trắc nghiệm.
Ví dụ 6.12.2 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |z1 – z2| = Hãy:
1 Tính giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
2 Tính giá trị biểu thức: P = |z1 + 2z2|
3 Tính giá trị biểu thức: P = |3z1 – 2z2|
Ví dụ 6.12.3 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |z1 – 2z2| = Hãy:
1 Tính giá trị biểu thức: P = |2z1 + z2|
2 Tính giá trị biểu thức: P = |2z1 – 5z2|
Ví dụ 6.12.4 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |2z1 – 3z2| = Hãy:
1 Tính giá trị biểu thức: P = |z1 + 2z2|
2 Tính giá trị biểu thức: P = |3z1 – 2z2|
Bài toán 6.12.5 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |2z – i| = |2 + iz| |z1 – z2| = Hãy tính:
1 Giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
2 Giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2|
3 Giá trị biểu thức: P = |2z1 – 3z2|
Giải:
Từ giả thiết ta suy ra: | 2z i | | i iz.( 2) | | z2 |i Bình phương vô hướng hai vế ta được:
| |z | |i 4 | | | | cos( , ) | |z i z i z 4 | |i 4 | | | | cos( , )z i z i | |z 2 1 | | 1z
Hai số phức z1 z2 có mơ đun: |z1| = |z2| =
Từ giả thiết: |z1 – z2| = , bình phương vơ hướng ta được:
| z1|2 |z2|2 2 |z1| |z2| cos 1212 2.1.1.cos cos 0,
Trong đó( ,z z1 2)
1 Giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
Bình phương vô hướng ta được:
P2 |z1|2 |z2 |2 2 |z1| |z2| cos 12122.1.1.( 0,5) 1 P1 Giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2|
P2 4 |z1|2 9 |z2|2 2.2.3 |z1| |z2| cos 4.129.122.2.3.1.1.( 0, 5) 7P
(123)3 Giá trị biểu thức: P = |2z1 – 3z2|
2 2
1 2
4 | | | | 2.2.3 | | | | cos 4.1 9.1 2.2.3.1.1.( 0, 5) 19 19
P z z z z P
Ví dụ 6.12.6 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |3z – i| = |iz + 3| |z1 – z2| = Hãy tính:
1 Giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
2 Giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2|
3 Giá trị biểu thức: P = |2z1 – 3z2|
Ví dụ 6.12.7 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |3z – i| = |iz + 3| |z1 – z2| =1 Hãy tính:
1 Giá trị biểu thức: P = |z1 + z2|
2 Giá trị biểu thức: P = |3z1 + z2|
3 Giá trị biểu thức: P = |z1 – 2z2|
Bài toán 6.12.8 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 – 2z2| = |3z1 + z2| = Hãy tìm giá trị lớn
nhất biểu thức: P = |z1| + |z2| ?
Giải:
2 2
1 2 2
2 2
1 2 2
| | | | | | | | | | cos 12 | | 12 | | 12 | | | | cos
| | 9 | | | | | | | | cos 18 18 | | | | 12 | | | | cos
z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z
Cộng vế với vế ta được: 2
1
3021|z | 14 |z | (1)
Áp dụng BĐT bunhia ta có:
(| 1| | 2|)2 ( 21 | 1| 14 | 2|)2 (1 1)(21| 1|2 14 | 2| )2 30 25
21 14 42
21 14
P z z z z z z
Suy ra:
7
P Vậy giá trị lớn P là: Pmax =
7
Ví dụ 6.12.9 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 – 2z2| = |2z1 + 3z2| = Hãy tìm giá trị lớn
nhất biểu thức: P = |z1| + |z2| ?
2 P = 2|z1| + 3|z2| ?
3 P = |z1z2| ?
Bài toán 6.12.10 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 + z2 = + 6i |z1 – z2| = Hãy:
1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + |z2|
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2|z1| + 3|z2|
Giải:
Ta có: 2
1 2
(124)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
126 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Từ: 2
1 2
|z z | 4 16 | z | |z | 2 |z | |z | cos (2)
Cộng phương trình (1) + (2) vế theo vế ta được:
1162(|z1|2 |z2| )2
1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + |z2|
Áp dụng BĐT bunhia: 2 2
1 2
(| | | |) (1 1)(| | | | ) 116 116 29
P z z z z P
Suy giá trị lớn P là: Pmax = 29
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2|z1| + 3|z2|
Áp dụng BĐT bunhia: 2 2
1 2
(2 | | | |) (4 9)(| | | | ) 13.58 754
P z z z z P
Suy giá trị lớn P là: Pmax = 754
Điều kiện xảy dấu “=” không quan trọng bất đẳng thức COSI hay BUNHIA mô đun Chỉ điều kiện bất đẳng thức tam giác khó xảy
Bài tốn 6.12.11 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 + 2z2 = + 6i |z1 – z2| = Hãy:
1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + |z2|
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2|z1| + 3|z2|
Giải:
Ta có: 2
1 2
|z 2z | | | 10 i 100 | z | 4 |z | 4 |z | |z | cos (1)
Từ: 2
1 2
|z z | 4 16 | z | |z | 2 |z | |z | cos
322 |z1|2 2 |z2|2 4 |z1| |z2| cos (2)
Cộng phương trình (1) + (2) , vế theo vế ta được:
1323 |z1|2 6 |z2|2|z1|2 2 |z2|244 (3) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + |z2|
BĐT bunhia: 2 2
1 2
1
(1 | | | |) (1 )(| | | | ) 44 66 66
2
2
P z z z z P
Suy giá trị lớn P là: Pmax = 66
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2|z1| + 3|z2|
Áp dụng BĐT bunhia:
2 2
1 2
3 17
(2 | | | |) (2 | | | |) (4 )(| | | | ) 44 374 374
2
2
P z z z z z z P
Suy giá trị lớn P là: Pmax = 374
(125)Ví dụ 6.12.12 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 + z2 = + 4i |z1 – z2| = Hãy:
1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + |z2|
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + 2|z2|
Ví dụ 6.12.13 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: 2z1 + 3z2 = + 4i |z1 – z2| = 12 Hãy:
1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |z1| + |z2|
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 3|z1| + 2|z2|
Ghi nhớ: Hai số phức vuông pha hai số phức tạo với góc: 90
Tính
chất quan trọng hai số phức vuông pha: 2
1 2
|z z | |z | |z | 2
1 2 |z z | |z | |z | Bài toán 6.12.14 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
|z 3 | | | z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| ?
Giải: Gọi góc tạo bởi: z2 là:
(z , 3)
Bình phương vơ hướng biểu thức giả thiết ta được:
|z23 | | | z |z2 2| 9 2.3 |z2| cos4 | |z 2| |z 9 | | cosz 4 | |z
Đặt ẩn phụ:
| |
t z (vì z = 0, không thỏa mãn)
Biểu thức trở thành:
2
2
9 cos cos
6
t t
t t t
t
Xét điều kiện:
2
4
1
6
t t
t t t
(hiển nhiên đúng)
Xét điều kiện:
2
2
4
1 10 9
6
t t
t t t
t
Suy ra:
1 t | |z 9 | | 3z
Vậy giá trị lớn |z| là: |z|max = Giá trị nhỏ |z| là: |z|min = Ví dụ 6.12.15 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
|z 2 | | | z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| ?
Ví dụ 6.12.16 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z 1| | |z z
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| ?
Bài toán 6.12.17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |12 |
z i iz
Tìm giá trị lớn |z| ?
(126)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
128 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Xử lí mô đun rút gọn biểu thức: |12 | | 12 | |12 | |12 | | |
3 (4 )
z i z i z i
z i z i iz i z i z i
Gọi góc tạo z i là: ( , )z i Bình phương vơ hướng biểu thức ta được:
|12z i | | 42 z3 |i 2144 | |z 1 24 | | cosz 16 | |z 9 24 | | cosz 128 | |z 28
1
| | | |
16
z z
Vậy giá trị lớn |z| là: |z|max = 1/4
Ví dụ 6.12.18 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |6 |
z i iz
Tìm giá trị lớn |z| ? Ví dụ 6.12.19 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |2 |
2
z i iz
Tìm giá trị lớn |z| ?
Bài toán 6.12.20 (TL) Cho số phức z thỏa mãn: |z i | |z i | 14 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| ?
Giải: Áp dụng BĐT bunhia, ta có:
2 2 2 2
196 |z i | | zi| (3 5 )(|zi| |zi| )34.(2 | |z 2 | | )i 68 | |z 68
| | 32 17
z Dấu “=” xảy 3|z + i| = 5|z – i| , không nên để ý tới điều kiện dấu “=” xảy BĐT bunhi số phức dễ thỏa mãn điều kiện dấu “=”
Suy giá trị nhỏ |z| là: | | 32 17
z Áp dụng BĐT tam giác trị tuyệt đối ta lại có:
143 |zi| | zi| | zi| | zi|2 |zi| | z i z i| | | z | i|
146 | | | | 2z z | | 2z
Điều kiện dấu “=” xảy Dấu “=” hai BĐT tam giác xảy z = –2i
Suy giá trị lớn |z| là: max | | 2z Vậy suy ra: 32 | |
17 z
Bài toán 6.12.21 (TL) Cho số phức z thỏa mãn: |z 1 | |i z5 | 30 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: |z 2 |i ?
Giải:
Đặt: z 2 3iu z u 3i Thay vào điều kiện ban đầu, ta được:
|z 1 | |i z5 | 30 3 |u(1i) | | u3(1i) | 30
(127) Áp dụng BĐT bunhia, ta có:
2
2 2
900 3 |u(1i) | | u3(1i) | (3 )(3 | u(1i) | |u3(1i) | )
2 111
900 19.(4 | | 12 |1 | ) 76 | | 456 | |
19
u i u u
Suy giá trị nhỏ |z – + 3i| = |u| là: | | | | 111 19
z i u Áp dụng BĐT tam giác trị tuyệt đối ta lại có:
30 | u(1i) | | u3(1i) |3 |u(1i) ||u3(1i) |3 |u3(1i) |
30| 3u3(1i) ||u3(1i) |3 |u3(1i) | | 3 u3(1i) u 3(1i) | | | | 3(1 u i) |
30 | | | | | | 30
7
u u u
Suy giá trị lớn |u| là: max | | 30
u
Vậy suy ra: 111 | | 30
19 z i
(128)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
130 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
6.13 Các số phức có mơ đun – Bài tốn phân bố số phức vòng tròn:
Ba số phức có mơ đun có tổng 0:|z1| = |z2| = |z3| = R z1 + z2 + z3 = Tập hợp số phức có giá trị mơ đun R nằm đường trịn (C) có tâm
gốc tọa độ O có bán kính R
Đặc biệt cho biết tổng số phức chúng biểu diễn đỉnh đa giác nội tiếp đường tròn (O;R)
Ứng với trường hợp ba số phức: |z1| = |z2| = |z3| = R z1 + z2 + z3 = chúng ba đỉnh
của tam giác có tâm tam giác gốc tọa độ O Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R =
2
a
Cách chứng minh: Sử dụng phương pháp bình phương vơ hướng biết
Từ: z1 + z2 + z3 = z1 + z2 = - z3 |z1 + z2| = |-z3| = |z3| = R
Bình phương vơ hướng hai vế: 2 2
1 2
|z z | R |z | |z | 2 |z | |z | cos R
2 2
2 cos cos 120
2
R R R R
Vậy số phức đơi tạo với góc 1200 phân bố đặn vòng tròn (O;R). Theo quan điểm lượng giác cơng thức Ơ LE ba số phức biểu diễn:
Số phức thứ nhất: z1R.(cosi.sin ) R e i
Số phức thứ 2:
2 ( )
3
2
.(cos( ) sin( ))
3
i
z R i R e
Số phức thứ 3:
2 ( )
3
2
.(cos( ) sin( ))
3
i
z R i R e
Ba số phức lệch góc 1200 = 2π/3 vịng tròn, tương tự học ở
ĐXC với dịng điện ba pha đối xứng
Ta có tính chất quan trọng tổng ba véc tơ có mơ đun lệch góc 1200 là: {
2 ( ) ( )
3 0
i i i
e e e
} với góc φ
Có vơ số cặp số phức thỏa mãn điều kiện ứng với góc φ Để đơn giản đơi cho góc: φ = ba giá trị cụ thể là: z1R.(1)R ;
2
1
( )
2
i
z R ; 3 ( 3)
2
i z R
Bốn số phức có mơ đun nhau: |z1| = |z2| = |z3| = |z4| = R có tổng: z1 + z2 + z3 + z4 = Điểm biểu diễn chúng bốn đỉnh hình vng có tâm gốc tọa độ O Bán kính
đường tròn ngoại tiếp R =
2
a
(129) Theo quan điểm lượng giác cơng thức Ơ LE bốn số phức biểu diễn:
Số phức thứ nhất: (cos sin )
i
z R i R e
Số phức thứ 2: ( 2)
2 (cos( ) sin( ))
2
i
z R i R e
Số phức thứ 3: ( )
3 (cos( ) sin( ))
i
z R i R e z
Số phức thứ 4:
3 ( )
2
4
3
.(cos( ) sin( ))
2
i
z R i R e z
Bốn số phức lệch góc 900 = π/2 vịng trịn.
Có vô số cặp số phức thỏa mãn điều kiện ứng với góc φ Để đơn giản đơi cho góc: φ = ba giá trị cụ thể là: z1R.(1)R ;
2 ( )
z R i iR ; z3R( 1) R ; z4 R i( ) iR
Bài toán 6.13.1 Cho ba số phức có mơ đun: |z1| | z2| | z3|R0 có: z1z2z3 0 Hãy trả lời câu hỏi sau:
1 Tính giá trị biểu thức: P|z1z2| | z2z3| | z3z1| ? Tính giá trị biểu thức: | 2| | 3| | 1|
n n n
P z z z z z z ? Tính giá trị biểu thức: P = z1z2 + z2z3 + z3z1 ?
4 Tính giá trị biểu thức: 2 2 P z z z ? Tính giá trị biểu thức: 3
1 P z z z ?
Giải:
Đây dạng toán nâng cao, xây dựng bổ đề hẹp (bổ đề sử dụng nội dùng cho kì thi trắc nghiệm chính)
Chúng ta có kết sau:
Cho số phức: |z1| | z2| | z3|R0 z1z2z3 0 Khi ta suy ra:
1 3
2 3
3
| | | |
| | | |
| | | |
z z z z z z R
z z z z z z R
z z z z z z R
Tương tự ta có: |z1| | z2| | z3| | z4 |R0 z1z2z3z4 0 Khi ta suy ra:
1 4
2 4
3 4
4
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
z z z z z z z z R z z z z z z z z R z z z z z z z z R z z z z z z z z R
(130)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
132 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
1 Tính giá trị biểu thức: P|z1z2| | z2z3| | z3z1| ?
Áp dụng kết ta có:
1 3
1 3
3
| | | |
0 | | | |
| | | |
z z z z z z R
z z z z z z z z z R
z z z z z z R
Suy ra: P|z1z2| | z2z3| | z3z1| c c c 3c
2 Tính giá trị biểu thức: P|z1z2|n |z2z3|n |z3z1|n ?
Áp dụng kết trên: | 2| | 3| | 1|
n n n n n n n
P z z z z z z R R R R Tính giá trị biểu thức: P = z1z2 + z2z3 + z3z1 ?
Cách 1: Biến đổi đại số túy:
Ta có: z1z2z3 0z1z2z3 0z1z2z3 0
Cũng có: 2 2
1 | 1| ; 2 ; 3 |
z z z R z z R z z R
Biến đổi biểu thức P sau:
P z z1 2 z z2 3 z z3 1 12 (z z z z1 2( 3 3) z z z z2 3( 1 1) z z z z3 1( 2 2)) 12 z z z z1 3( 3 z1 z2)
R R
Cách 2: Chúng ta thay số trực tiếp cách cho:
1 ; 2 ; 3
2 2
i i
z z z suy kết quả: P =
4 Tính giá trị biểu thức: 2 2 P z z z ?
Chúng ta sử dụng nhanh dạng lượng giác cho ba số phức có mô đun (đơn giản ta cho R = 1) có tổng sau:
z1 ei cosi.sin ( ) 2
cos( ) sin( )
3
i
z e i
( ) 3 2
cos( ) sin( )
3
i
z e i
Ta có:
2 ( ) ( )
3 0
i i i
e e e
với φ
Cách 1: Có thể cho góc φ = thay số cụ thể vào biểu thức
Cách 2: Làm tổng quát sau:
z1 ei cosi.sin z12 ei2 cos 2i.sin 2
2 4
( ) 2 2( ) (2 ) (2 ) (2 )
3 3 3
2
i i i i i
z e z e e e e
(131)
2 4
( ) 2 2( ) (2 ) (2 ) (2 )
3 3 3
3
i i i i i
z e z e e e e
Ghi nhớ: Ta có biến đổi: ( )
cos sin cos( ) sin( )
i i k
e i k i k e
Từ suy ra:
2 (2 ) (2 ) 2 2 3
1
i i
i
P z z z e e e
Cách 3: Ta có: 2 2 2
1 3 2( 2 3 1) ( 3) P z z z z z z z z z z z z z z z
5 Tính giá trị biểu thức: 3 3
| |
P z z z ?
Cách 1: Phương pháp đại số thơng minh mang tính chất chun chọn khơng có càn lướt kiến thức:
Ta có: 3 3
1 3 2 3
| | | ( ) 3( )( )( ) | | 3.( )( )( ) |
P z z z z z z z z z z z z z z z P3 | z z z1 2 3| 3 R3
Ghi nhớ: 3 3
1 ( 3) 3( 2)( 3)( 1) | 3.( 3)( 1)( 2) 3 z z z z z z z z z z z z z z z z z z Ví dụ 6.13.2 Cho ba số phức có mô đun: |z1| = |z2| = |z3| = thỏa mãn: z1 + z2 + z3 = Hãy
tính giá trị biểu thức sau: P|z1z2| | z2z3| | z3z1|
2 2
1 2 3
| | | | | |
P z z z z z z
3 3
1 2 3
| | | | | |
P z z z z z z
4 2
1 Pz z z
5 4
1 Pz z z
6 3
1
| |
P z z z
Ví dụ 6.13.3 Cho bốn số phức có mơ đun: |z1| | z2| | z3| | z4|R0 và: z1z2z3z4 0 Hãy trả lời câu hỏi sau:
1 Tính giá trị biểu thức: | 3| | 4| | 1| | 2|
n n n n
P z z z z z z z z z z z z ? Tính giá trị biểu thức: 2 2
1 P z z z z ? Tính giá trị biểu thức: 3 3
1 P z z z z ? Tính giá trị biểu thức: 4 4
1
| |
P z z z z ? Gợi ý giải:
Chỉ cần áp dụng tính chất: điểm biểu diễn bốn số phức tương ứng đỉnh hình vng có tâm gốc tọa độ O số phức chia thành cặp đối nhau: z1 = -z2 ; z3 = -z4
Chúng ta xét tổng quát bốn số phức Ơ LE:
3
( ) ( )
( )
2
1 ; ; ;
i i
i i
z e z e z e z e
Áp dụng tính chất: ( ) ( )
0;
i i k i i k
(132)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
134 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài tốn 6.13.4 Cho ba số phức mơ đun: |z1| = |z2| = |z3| = số phức: (z1 + z2z3) , (z2 +
z3z1) , (z3 + z1z2) thực Chứng minh rang: z1z2z3 = 1
Giải:
Ghi nhớ: Hai số phức có mơ đun có tổng số thực chúng số phức liên hợp số đối nhau: ( ') '
'
z z z z R
z z
Chứng minh điều ghi nhớ trên: Gọi z = a + ib ; z’ = a’ + ib’
z + z’ = (a + a’) + i(b + b’) R b b' 0 b' b
Lại có: 2 2 2 ' '
| | | ' | ( ') ( ') ( ')
' '
a a z a ib z z z a b a b a a
a a z a ib z
Áp dụng vào tốn sau:
Ta có: |z1| = ; |z2z3| = |z2|.|z3| = Suy hai số phức z1 (z2z3) mô đun lại có tổng
số thực: (z1 + z2z3) 3
z z z R
z z z
Trường hợp 1: Nếu
2 1 1 | 1| z z z z z z z z z
Trường hợp 2: Nếu
2
2 2 3 2 2 3
1
3
; ;
z z z
z z z z z z z z z z z z z z
z z z Tương tự suy ra: 2
1 1 1; 1; z z z z z z
Suy ra:
1
1 3
1
1; 1;
1; 1; 1
1; 1;
z z z
z z z z z z
z z z
Vậy suy được: z z z1 3 1
Bài toán 6.13.5 Cho ba số phức mô đun: |z1| = |z2| = |z3| = (z1 + z2 +z3 = 1) Hãy tính giá
trị biểu thức: 2 1
n n n
Pz z z , với n số nguyên dương?
Giải:
Cách 1: Giả sử trường hợp biến thỏa mãn giả thiết suy
Ta giả sử được: z1 = z2z3 0 z2 z3z2 ei;z3 ei( )
Suy ra: 2 2 2
1 ( )2 ( 2) 1
n n n n n n
Pz z z z z
Ghi nhớ: Khi thi trắc nghiệm mà khơng thể giải theo hướng có thể tự giả sử giá trị biến để phù hợp với giả thiết, sau thay vào biểu thức cần tính cũng cho ta đáp án tối ưu.
(133) Cách 2: Chứng minh theo sở
Gọi dạng lượng giác ba số phức là:
z1 cos1i.sin1 ; z2 cos2i.sin2 ; z3 cos3i.sin3
Suy ra: z1z2z3 (cos1cos2cos3)i.(sin1sin2sin3) 1
Suy ra:
1
cos cos cos (1)
sin sin sin (2)
Bình phương hai vế (1) (2) cộng chúng với vế theo vế ta được:
2cos( 12) 2cos( 23) 2cos( 31) 1 1 cos(12) cos( 23) cos( 31)0
2
1 2 3
2
{1 cos( )} {cos( ) cos( )} cos cos cos
2 2
2 2 3
2 cos (cos cos ) cos cos cos
2 2 2
Ta giả sử: 2
1 2
cos
2 2
Điều chứng tỏ tồn hai số phức đối nhau, vì:
z1 cos1i.sin1cos(2)i.sin(2) cos2i.sin2 z2
Thay vào giả thiết: z1z2z3 1 z3 1
Như ta chứng minh được: ba số phức có cặp đối nhau: z1 = -z2 số phức
bằng là: z3 = Từ kết luận: 12 22 32
n n n
(134)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
136 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
VII BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG TỰ LUẬN
Bài tập 7.1 Rút gọn biểu thức sau (có thể sử dụng máy tính cầm tay CASIO)
1
A = (2 3) (1 )
1
i i
i
2 2017
= (1 + ) ( 1)
1
i
B i i
i
3 2015 2015
(1 ) (1 )
3
i
C i i
i
4 (1 3)( 3)
3
i
D i i
i
5
3
i i
E i
i i
6 F i(2z1) (3 z2 )(i i3) với z 2i5 G(3i1)z(2z z i)(4i5) với z i H | | (z iz3) (2 z 5i3)(1 ) i với z 4 3i
Bài tập 7.2 Tính giá trị biểu thức sau:
1
1
A i i i i i
2 2018
1
B i i i
3 2019
C i i i
4 D(1i) (1 ) (1 ) (1 2017 ) i i i
5 2020
1 (1 ) (1 ) (1 )
E i i i
Bài tập 7.3 Tính giá trị hàm phức sau:
1 Cho hàm số f(x) = x3 + 2x2 – Hãy tính giá trị f(i) ; f(1 – i) ; f(2i + 1)
2 Cho hàm số:
2
2
( )
1
x x f x
x
Hãy tính giá trị
1
( ) ; (3 2) ; ( )
2
i f i f i f
i
Bài tập 7.4 Tìm số thực x, y thỏa mãn phương trình phức sau:
1 (2x + 3y) – i(3x + 1) = 4i +
2 (2x + iy)(i – 1) + (x – 3iy)(2i + 3) = 2i (x – iy)i + 3i – 2(x + 2iy) = + i (x + iy)(2i – 1) – (i + x)(i – 1) = (3i x( 2 ) 3(iy x iy i 1 2) 1 i
(135)Bài tập 7.5 Giải phương trình bậc ẩn số phức z: (z i 3)(3 ) i z i( 4) 6 i
2 ( 3)(2 )
2
z
iz i i
i
3 (3z4 )(2i i3) ( z i i ) 2i1
4 3
4
i i i
z i i
5
(i3)z (4i z 1)(i3)i 2
Bài tập 7.6 Giải phương trình bậc phức hợp sau: (zi)(3i2) (2 z 1)i4
2 (2i z i) (3 z1)(i1) i
3 i z( 1)i z 2 i
4 (zi i)( 1) (3 z 4)i0
Bài tập 7.7 Đưa dạng lượng giác số phức sau:
1 z 1 i z 1 i
2 z 4 4i z 3i
3 z 1 i z 3 4i
4 z 1 i z 2 3i
Bài tập 7.8. Đưa số phức z 3i dạng lượng giác tính: z200, z2017, z2018 Bài tập 7.9 Viết dạng lượng giác số phức: z = + 4i tính: z2017, z2018
Bài tập 7.10 Hãy tính giá trị biểu thức (theo hình thức tự luận): 2017 2018
(1i 3) (1i)
Bài tập 7.11 Tính bậc hai số phức sau:
1 -100 15 – 8i
2 -47 24 – 10i
3 -64 10 12 – 5i
4 -2i 11 i
5 – 4i 12 + 8i
6 +4i 13 1i
7 – 8i 14 3i
Bài tập 7.12. Khai bậc số phức:
1 3i 2 3
1i
(136)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
138 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Bài tập 7.13. Viết lại dạng lượng giác chuẩn xác định |z| argument φ số phức z z = 2(cos sin )
6 i
1(cos sin )
6
z i
i
2 2(cos sin )
5
z i (1 3)(cos sin )
4
z i i
3 zi(cos i.sin ) 2( )( cos sin2 )
3
z i i
Bài tập 7.14 Giải phương trình phức bậc hai bậc cao sau: z2 – 4z + = 0.
2 z2 + 10z + 29 = 0.
3 z2 + = 0.
4 (z – 2i + 1)2 + 16 = 0.
5 z4 – 16 = 0.
6 z4 – 2z2 – = 0.
7 (z – 3i + 2)2 + (i + 3)2 = 0.
8 (2z – i)2 + (3z – 4i)2 = 0.
9 z3 – = 0.
10 z3 + = 0.
11 z3 + 3z – = 0.
12 z3 + 3iz2 + 4i = 0.
13 z4 + 4z3 + 5z2 + 4z + = 0.
14 z4 – 3z2 + 2z + = 0.
15 z4 – 2z3 + 2z2 – 4z + = 0.
16 (z – i)2 + 2z – 2i - = 0.
18 z2 – (2i + 3)z + 2i + = 0.
19 z2 + 2iz – = 0.
20 z2 + (4i + 3)z + 7i – = 0.
21 z2 + (3i – 4)z + – 5i = 0.
22 z2 – 4iz – 13 = 0.
23 (z2 – 2iz – 1)2 – 2(z2 – 2iz) – = 0.
Bài tập 7.15 Cho hai số phức cho hệ thức sau xác định: 1
z2w z 3w |w| = Hãy tính
mơ đun số phức z: |z| = ?
Bài tập 7.16 Cho hai số phức z w cho thỏa mãn : 1
z2z + w z2w |w| = |z| + Hãy tính mơ đun số phức z: |z| = ?
(137)Bài tập 7.17 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: |z| =
| 3z z | 44 |z| =
|z 2z | 15 |z| =
| 5z 3z | 8 |z| =
|z 3 | 9i |z| =
|z 3 | 1i
Bài tập 7.18. Cho ba điểm A, B C biểu diễn số phức z1, z2 z3 mặt phẳng phức
Biết z1 3 2i; z2 1 4i z3 2 i
a Hãy nhận xét xem tam giác ABC tam giác gì? Tính chu vi diện tích tam giác ABC b Tìm số phức z4 tương ứng với trọng tâm G ABC
c Tìm số phức z5 tương ứng với trực tâm ABC
d Tìm số phức z6 tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
e Tìm số phức z7 tâm đường trịn nội tiếp ABC
Bài tập 7.19. Lập phương trình đường thẳng chứa điểm biểu diễn số phức z1 = – 2i z2 = -1 + i Bài tập 7.20. Cho điểm A biểu diễn số phức z1 = 2i, điểm B biểu diễn số phức z2 = – 3i Tìm điểm C
và số phức z3 mà biểu diễn, cho ABC vuông cân, biết z3 thực
Bài tập 7.21. Cho điểm A biểu diễn z1 = – 3i, điểm B biểu diễn z2 = – 6i Điểm P biểu diễn số phức
z3 cho thỏa mãn hệ thức véc tơ: PA3PB0
Bài tập 7.22. Lập phương trình đường trịn (C) mặt phẳng phức Biết nó: a nhận điểm biểu diễn số phức z1 = – 2i làm tâm có bán kính R =
b nhận điểm biểu diễn số phức z1 = – i làm tâm qua điểm biểu diễn số phức z2 = 3i –
c có đường kính hai điểm biểu diễn số phức z1 = i – z2 = – 2i Bài tập 7.23 Lập phương trình elip đây:
1 Có bán trục lớn a = có hai tiêu điểm F’(-3;0), F(3;0) Có bán trục nhỏ có hai tiêu điểm F’(-4;0), F(4;0) Có bán trục lớn có hai tiêu điểm F’(0;-5), F(0;5) Có bán trục lớn có hai tiêu điểm z1 = + 2i, z2 = – i
5 Có hai tiêu điểm z1 = + i , z2 = – 3i qua z3 = + 4i
Bài tập 7.24 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình đây: |z – 2i + 1| =
(138)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
140 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – |(3+ 4i)z – 6| = 20
5.|iz3 | | z i |
6.|z i 1| | 2z z 2 |
7.| 3z z i| |z2z 1|
8 (z + i)(z – i) số phức ảo
9 (z + 3i – 2)(z – i) số phức thực
Bài tập 7.25 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : |z – i + 2|2 + |2z + – 2i|2 – 2|z – 1|2 = 2018.
2 |z + i|2 + |z + + i|2 + |3z – 6i + 3|2 = 4.
3 |3z + 3i|2 – |z + – 3i|2 + |z – i + 2|2 = 1102.
Bài tập 7.26 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |3z – i| = |iz + 3| |z1 – z2| = Hãy tính:
1 Giá trị biểu thức: P = |z1 + 2z2|
2 Giá trị biểu thức: P = |2z1 + z2|
3 Giá trị biểu thức: P = |3z1 – 2z2|
Bài tập 7.27 Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1| = 1, |z2| = |z1 – z2| = Hãy tính:
1 Giá trị biểu thức: P = |z1 + 2z2|
2 Giá trị biểu thức: P = |2z1 + z2|
3 Giá trị biểu thức: P = |3z1 – 2z2|
Bài tập 7.28 Cho số phức z thỏa mã: |z| = Hãy xác định phần thực số phức sau:
1
1
u z
1
u z
3 2
1
u z
1
u z
Bài tập 7.29 Tính tổng sau: S1 = i + 2i2 + 3i3 + … + 2020.i2020
2 S2 = i2 – 2i3 + 3i4 – … + 2019.i2020
Bài tập 7.30 Cho ba số phức: z1, z2, z3 Hãy chứng minh đẳng thức bất đẳng thức sau:
1 |z1 + z2|2 + |z1 + z2|2 + |z1 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z1 + z2 + z3|2
2 |z1 + z2 + z3|2 + |z1 + z2 – z3|2 + |z1 – z2 + z3|2 + |– z1 + z2 + z3|2 = 4(|z1|2 + |z2|2 + |z3|2)
3 z1z2 z2z3 z3z1 |z1||z2||z3||z1z2z3| z1 z2 z3 |z1z2z3||z1z2z3| | z1z2z3|
5 z1z2 z2z3 z3z1 |z1||z2||z3||z1z2z3|
(139)Bài tập 7.31 Chứng minh rằng: Nếu z1kz2k znk 0
1
1 1
k k k n
z z z Trong đó: k , n số nguyên dương
Bài tập 7.32 Cho ba số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn điều kiện: |z1| = |z2| = |z3| = Chứng minh rang :
|z1 – z2|.|z2 – z3| + |z2 – z3|.|z3 – z1| + |z3 – z1|.|z1 – z2|
Bài tập 7.33 Chứng minh rang: Nếu: |zz1| 1 thì: 2 1
|1 | ||
| |
2
(140)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
142 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
VIII TUYỂN TẬP NHỮNG CÂU TRẮC NGHIỆM CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Câu (2) Phần thực số phức z(1 )(3 i i)
A.5 B.6 C.3 D.2
Câu (2) Phần ảo số phức z = (4 + i)(i – 2)
A.2i B.4 C.3 D.2
Câu (2) Mô đun số phức z = (2i + 1)(3i – 4)
A.25 B.5 C.5 D. 5
Câu (2) Cho số phức z = a + ib, nhận xét sai
A.số phức đối là: a – ib B.số phức liên hợp là: a – ib
C. mô đun số phức là: 2
a b D.điểm biểu diễn số phức z M(a;b) Câu (2) Số phức thực số phức có
A.phần thực B.phần ảo
C.phần thực số nguyên D.phần thực vô lớn
Câu (2) Số phức z = (m +i)(4i – 5) thực ứng với giá trị m
A.4 B.1,25 C.0,8 D.1,0
Câu (2) Số phức ảo số phức có
A.phần thực B.phần ảo
C.phần ảo D.phần ảo -1
Câu (2) Cho số phức z = 11 + 7i Số phức liên hợp
A. 18 B. 170 C. -11 + 7i D.11 – 7i
Câu (2) Chọn hệ thức sai?
A. z1z2 z1z2 B. z z1 2 z z1 2 C. 1 2
(z ) z
z z D. z1z2 z z1
Câu 10 (2) Số phức z = (m + 4i)(m + i) ảo ứng với giá trị m
A. -2 B.3 C.-4 D.4
Câu 11 (2) Phần thực số phức z = (2 )(4 ) (5 )
i i i
A.11 B.97/29 C.-4/29 D.31/29
Câu 12 (2) Chọn hệ thực sai?
A.|zn| | | z n B.|z z1 2| | z1 | |z2| C.|z1|z1 D.
1 2
| |
| |
| |
z z
z z
Câu 13 (2) Cho số phức z = (3 + 2i)i Số phức liên hợp z
A.–2 – 3i B.2 + 3i C.3 – 2i D.–2 + 3i
(141)Câu 14 (2) Cho số phức
3
(1 3)
1
i z
i
Mô đun số phức wz iz
A.2 B.1 C.0 D.1,41
Câu 15 (2) Rút gọn số phức:
2
i i z
i i
Phần thực số phức w = (1 + i)z
A.-19/13 B.49/26 C.-13/26 D.47/26
Câu 16 (2) Chọn hệ thức sai? A.
2 | |z
z
z B.
2 | |z
z
z C.
2
| |z z z D. | |
| |
z z
z z
Câu 17 (2) Giá trị của:
3
1i i
A.-1 – 2i B.-1 + 2i C.-2 – 3i D.-2 + 3i
Câu 18 (3) Biết số phức z thỏa mãn: |z2 | | | 2i z Số phức z
A.4i B.3 C.3 + 4i D.3 – 4i
Câu 19 (2) Chọn phát biểu phát biểu sau đây?
A.Hai số phức hai số phức có mơ đun B.Hai số phức liên hợp hai số phức có tổng
C.Hai số phức liên hợp có mơ đun phần thực nhau, phần ảo đối D.Hai số phức gọi đối có mơ đun đối
Câu 20 (3) Cho số phức
16 12
(1 )(1 3)
(1 )
i i
z
i
Mô đun số phức (1 – 2i)z
A.1024 B.1204 C.4092 D.5120
Câu 21 (2) Số phức liên hợp tổng: z1z2
A. z1z2 B. z1z2 C. z1i z2 D. z1i z2 Câu 22 (3) Chọn hệ thức sai?
A.|z i | | | 1z B.|z2 | | | 2i z C.|z i | | | 1z D.|z 2 i| | | 3z Câu 23 (2) Khi nói liên hợp tích hai số phức, đáp án
A. z z1 2 z1z2 B. z z1 2 z1z2 C. z z1 2 z z1 2 D. z z1 2 z z1 2 Câu 24 ( 2) Cho số phức z = (1 + 2i)(3 – 4i) Số đối số phức z
A.11 – 2i B.– 11 – 2i C.– 11 + 2i D.2 + 11i
Câu 25 (2) Cho số phức z = (2m – i)(3i + 4) ảo (với m tham số thực) phần ảo
A. 25
B.11 C. 15
4
(142)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
144 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Câu 26 (2) Cho số phức z thỏa mãn: 11
2
i z i
i
Tỉ số phần ảo so với phần thực
A 89/62 B.62/89 C.11/35 D.31/17
Câu 27 (2) Chọn mệnh đề sai mệnh đề đây?
A. zz luôn số thực B. zz số phức ảo
C. z i z số phức ảo D.
z z i
luôn số thực
Câu 28 (2) Cho số phức:
2
(1 3)
(3 )(1 )
i z
i i
Số phức z
A. 7
25 25 i
B. 7
25 25 i
C.1 3
25 25 i
D. 17 3
25 25 i
Câu 29 (2) Cho số phức z thỏa mãn:
3
(1 3)
1
i z
i
Mô đun số phức: z iz
A.8 B. C.5 D.
Câu 30 (3) Tổng: A = i + i2 + … + i51
A.1 B.-1 C.-i D.i
Câu 31 (3) Tổng: A = + i + i2 + … + i2017
A.1 – i B.i C.1 D.1 + i
Câu 32 (3) Rút gọn biểu thức:
3 57 62
A =
i i i i i i
A.i B.-1 C.-i D.1 + i
Câu 33 (3) Tổng: Sn 1 (1i) (1 ) (1 2016 ) i i có phần ảo b Khi b/144
A.14119 B.19114 C.11491 D.14911
Câu 34 (3) Tổng: Sn 1 (2i) (3 ) (200 199 ) i i có phần thực a phân ảo b Khi (a + b)/100
A.200 B.400 C.144 D.289
Câu 35 (3) Cho tổng: 19
1 (1 ) (1 ) (1 )
n
S i i i Rút gọn tổng Sn
A.1+210i B. 10
(2 1)i C.1025 D.1023
Câu 36 (3) Cho tổng: 20
(1 ) (1 ) (1 )
n
S i i i Rút gọn tổng Sn A.-1025(1 + i) B. 10
2 (1i) C.1025(1 – i) D.1023i –
Câu 37 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: (z + 2i)(3 – 4i) + 2z(i + 1) = 3i Số phức z
(143)A. 5 i B. 17 21
29 29i
C. 34 31
29 29i
D. 13 11
8 i
Câu 38 (2) Cho số phức z thỏa mãn: (2 ) i z(1 ) i z2i5 Phần thực số phức z
A.– 5/3 B.5/3 C.2/3 D.– 2/3
Câu 39 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: z i( 2) ( z 1)(3 ) i 3 4i Giá trị biểu thức A = |z + 2i 1|
A. 746
10 B.5 C.
127
8 D. 13
Câu 40 (2) Cho số phức z thỏa mãn: iz(2i z) 2 i Phần ảo số phức z
A.1/2 B.–1/2 C.2 D.–
Câu 41 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: z(2i3) (1 z)(2i) 3 i Số phức z
A.
26 26i
B.
2626i C.
11
262i D.
7
26 26i
Câu 42 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình phức: (iz i)( 1) ( z1)(i2) 1 Số phức iz tương ứng
A.1 + 3i B. 11
5 5i C.–4i D.2i
Câu 43 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: (2i + 1)z + (z – 2)(1 – i) = 3i + Giá trị |z| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 44 (2) Cho z thỏa mãn: (z – 2i)(3 + 4i) = i w = 2z – 4i Tích phần thực với phần ảo số phức w
A.43/225 B.48/425 C.61/625 D.48/625
Câu 45 (2) Số phức z thỏa mãn điều kiện: (3zz)(1i)8i1 tương ứng A.
48i B.
7
44i C.
7
48i D.
7
4 4i
Câu 46 (2) Cho biết w = (m + i)(4i – 5) số phức thực, m số thực, giá trị thực w
A. 31
B. 21
4
C. 41
4
D. 11
4
Câu 47 (3) Cho số phức z = a + ib, a b hai số thực Biết số phức z thỏa mãn phương trình phức:
2
| | 25( )
2
3
z z i
z
i z
Tỉ số
b
a có giá trị
A 3/8 B.1/3 C.3 D.4/3
Câu 48 (2) Cho số phức z thỏa mãn: (2z3 )(3 )z i 4 i Phần thực số phức iz
(144)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
146 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 49 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình Mơ đun số phức w = z – + 3i
A.
105 B. C.
1
205 D.5
Câu 50 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình (z 2 )(4 )i i 2 i Mô đun số phức w = (iz + + 2i)
A. B.
5 C.
1
15 D.3
Câu 51 (2) Phương trình phức (3 ) i z(2 )( i z i)2i7 có số nghiệm
A.1 B.2 C.0 D.3
Câu 52 (2) Cho số phức z thỏa mãn: (1 ) i z(3i2)(z 4 )i i Mô đun số phức z i z
A. 11
6 B.
19
4 C.
11
6 D.
19
4
Câu 53 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình:
| | 2( 1)
0
z z
iz
z i
Tích số phần thực phần
ảo số phức z bằng?
A.1/4 B.1/2 C.-1/4 D.-1/2
Câu 54 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: (1i z i)( ) 2 z2i Khi mơ đun số phức: w z 22z
z
A. 10 B. C. D. 13
Câu 55 (2) Cho số phức z thỏa mãn: (2z1)(1i) ( z1)(1i) 2 2i Mô đun |z|
A. B. 2 C.
3 D.
Câu 56 (2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 2z3(1i z) 1 9i Giá trị |z|
A. B. 13 C. D. 25
Câu 57 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: z(2i z) 3 5i Tổng phần thực phần ảo
A.17 B.12 C.-5 D.-1
Câu 58 (2) Cho số phức z thỏa mãn (1i z i)( ) 2 z13i Mô đun số phức |z|
A. 17 B.
17 C. D.
( 1)(4 )
2
i
z i i
i
(145)Câu 59 (2) Cho số phức z thỏa mãn: (2 ) 2(1 )
i
i z i
i
Giá trị |z + + i|
A.10 B.5 C.15 D.4
Câu 60 (2) Cho số phức z thỏa mãn 5( )
z i
i z
Giá trị |1 + z + z
2|
A. B. 13 C. 15 D. 13
Câu 61 (2) Cho số phức z thỏa mãn: z(2 ) i z 1 9i Tổng phần thực phần ảo
A.14/3 B.5 C.1/3 D.5/6
Câu 62 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình:
(1 ) i z z(3 ) i 0 Giá trị |z|
A. B. 8,5 C.0, 10 D.
Câu 63 (2) Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z24z 5 Giá trị biểu thức 2
1
| | | |
A z z
A. 10 B. C. D. 10
Câu 64 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z2(5i2)z 1 Giá trị
của biểu thức: 1 2
1
1
A = |z + | + |z + |
z z
A. 31 B. 29 C. 29 D. 58
Câu 65 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z23z 5 Giá trị
biểu thức: 1 2
1
5
A = |z + | + |z + |
z z
A. B. C. 15 D. 30
Câu 66 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z22z170 Giá trị
biểu thức: 2
1
A = |z | + |z |
A. 34 B. 17 C. 17 D. 34
Câu 67 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: 2
(2i z) m z.( ) Giá trị m
A. B. C. D.
Câu 68 (3) Cho số phức z thỏa mãn:
(1 ) i z z(4 ) i 0 Giá trị |z|
A. B. C. 10 D.
Câu 69 (3) Cho z1 , z2 , z3, z4 bốn nghiệm phương trình trùng phương: z45z240 Giá
trị biểu thức: A = |z | |z | |z | |z |1 2 3 4
(146)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
148 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 70 (3) Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình: z22iz3i 2 Giá trị 2
1
|z i| + |z i|
A. B. C. 12 D. 26
Câu 71 (3) Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình: z2 4iz3i 3 Giá trị 2
1
|z 2 | + |zi 2 | i
A. 20 B. 13 C. 15 D. 10
Câu 72 (3) Hai nghiệm phương trình phức:
(3 ) 10 11
z i z i
A.1 + 4i – 5i B. + 4i + 3i C.1 – 4i + i D.1 – 4i + 11i Câu 73 (3) Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: z2(4i5)z 3 8i0 Mơ
đun số phức w = (z1 + i)(z2 + i)
A. B. 15 C. 13 D. 173
Câu 74 (3) Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: z2(2i7)z 1 5i0 Mô
đun số phức w = (z1 + 2i + 1)(z2 + 2i + 1)
A. 626 B. 215 C.5 11 D.11
Câu 75 (3) Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: z2(2i1)z 2 3i0 Mô
đun số phức w = (z1 + 2i + 1)(iz2 + i – 2)
A. 137 B. 5 C.5 D.
Câu 76 (3) Cho số phức w = (m – i)(2i + 3) Biết |w| = 4m Khi giá trị m A. 13
3 B.
13
C.11
3 D.
13 Câu 77 (3) Số nghiệm phương trình 2
| |
z z z
A.0 B.2 C.3 D.1
Câu 78 (3) Cho phương trình: 2
| |
z z z Số phức nghiệm phương trình trên?
A.0 B.
2
i
C.
2
i
D.
2
i
Câu 79 (3) Cho phương trình bậc phức: z3 –(3 + 2i)z2 + z – 4i + = Gọi ba nghiệm lần
lượt z1 , z2 , z3 Giá trị số phức: w = (z1 + 1)(z2 + 1)(z3 + 1)
A.4 + 5i B.4 + 6i C.3 + i D.-3 + 4i
Câu 80 (3) Cho biết x số thực hàm số f(x) = 2 42
( 1)( 4)
x
x x
Nếu viết hàm f(x) dạng:
(147)f(x) = A2 B C2 D
1
x x
x x
hệ số B
A.2 B.1 C.3/4 D.4/3
Câu 81 (4) Cho biết x số thực hàm số f(x) = 2 52 2
( 1)( 4)( 9)
x
x x x
Nếu viết hàm f(x)
dạng: f(x) = A2 B C2 D E2 F
1
x x x
x x x
, hệ số A, B, C, D, E , F giá trị thực Khi giá
trị (C + D)
A.-3/7 B.-9/15 C.-3/2 D.-14/15
Câu 82 (4) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 2z
| 3z z | 10 Số nghiệm z thỏa mãn điều kiện
A.1 B.2 C.3 D.4
Câu 83 (4) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: | | 3z
|z z| 12 Số nghiệm phức z thỏa mãn điều kiện
A.4 B.1 C.2 D.3
Câu 84 (2) Cho số phức z thỏa mãn: |z i 2 | | z 2i1| Trong nghiệm đây, nghiệm có mơ đun nhỏ
A.1 + 2i B.2 – 6i C.1 – 3i D.1 + i
Câu 85 (3) Cho hai số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: z2 + (1 + 2i)z + = Giá
trị biểu thức: 2
1
A = |2z 2i1| |2z 2i1|
A. 41 B. 65 C. 67 D. 34
Câu 86 (3) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | | 4z
|z 3 | 21i Số nghiệm thỏa mãn
A.2 B.3 C.1 D.4
Câu 87 (3) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | | 3z
|z 3 | 4i Gọi z1
nghiệm thỏa mãn Khi tổng phần thực phần ảo z1
A.2 B.3 C.1 D.4
Câu 88 (3) Cho phương trình phức: z3 + 4z – 3i = Gọi z1 z2 hai nghiệm phức (khơng
ảo) phương trình cho Khi giá trị của: 2
1 2
3
A = |z | |z |
z z
A.4 B.5 C.2 D.3
Câu 89 ( 3) Cho phương trình phức:
2 ( 2)
z iz i z i Nếu gọi z1 , z2 , z3 ba
nghiệm phương trình |(z1 + 1)(z2 + 1)(z3 + 1)|
(148)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
150 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Câu 90 (2) Cho phương trình phức bậc 4:
4
z z Gọi z1 , z2, z3 , z4 bốn nghiệm
Khi giá trị của: A = |z1| + |z2| + |z3| + |z4|
A. 2 3 B. C. 4 3 D.
Câu 91 (3) Cho phương trình phức bậc 4:
6 25
z z Gọi z1 , z2, z3 , z4 bốn nghiệm
Khi giá trị của: A = |z1| + |z2| + |z3| + |z4|
A. 25 B. 12 C. D. 5
Câu 92 (3). Cho phương trình bậc phức với tham số thực m:
3 ( ) 2
z iz m i z i m Gọi nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 |(z1 + 1)(z2 + 1)(z3 + 1)| = Giá trị
của m
A. B. -4 C. D. -2
Câu 93 (3) Cho phương trình bậc phức với tham số thực m:
(2 )
z iz m i z im Gọi
nghiệm phức phương trình (1) là: z1 , z2 , z3 Biết
1
1 1
| (1 )(1 )(1 ) |
z z z
Giá trị
thực m
A.m = B.m = -8 C.m = D.m = -3
Câu 94 (3) Cho phương trình phức bậc hệ số thực:
0
z az b có nghiệm z = + i Nghiệm cịn lại
A.1 – i B.1 + 2i C.1 – 2i D.– + i
Câu 95 (3) Cho phương trình phức bậc hệ số thực:
0
z az b có nghiệm z = + 2i Tích số a.b
A.2 B.5 C.10 D.12
Câu 96 (3) Cho phương trình phức bậc 2: z22(2 ) i z 5 10i0có nghiệm z Biết z2
= a + ib Giá trị 3b/a
A. 12 B.– 72/7 C.– 12 D.-21/5
Câu 97 (3) Cho phương trình phức bậc 2: z2(5 ) i z21i Hai nghiệm phương trình lần lượt
A.3 + 5i – 4i B. + 4i – 2i C.4 – 2i – 3i D. + 5i – 3i Câu 98 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: z i
z
Số số phức thỏa mãn phương trình cho
A.2 B.3 C.1 D.0
Câu 99 (3) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: 2
| |
z z z z2 số ảo Số số phức
thỏa mãn phương trình cho
A.3 B.0 C.1 D.2
(149)Câu 100 (3) Cho số phức z = + 2i Gọi z1 , z2, z3 ba giá trị khai bậc số phức z
Khi giá trị: z1.z2.z3 có phần thực a phần ảo b Giá trị (3a + 2b)
A.7 B.-7 C.5 D.3
Câu 101 (3) Cho số phức z = + 2i Gọi z1 , z2, z3 ba giá trị khai bậc số phức z
Khi giá trị: (z1+ 1)(z2 + 1)(z3 + 1) có phần thực a phần ảo b Giá trị (a.b)
A.2 B.4 C.-2 D.3
Câu 102 (2) Cho số phức w = (1 + i)z – 2i – ảo có phần ảo Số phức z A.
2
i
B.
2
i
C.
2
i
D.
2
i
Câu 103 (4) Cho hệ phương trình phức:
2
3
(3 ) (1 )
(1 3) ( 1)
i z i z i z m z
Trong m số thực Giá trị m
A.11 B.– 7/5 C.10 D.8/3
Câu 104 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ phương trình: | 1|
| |
z z i
Số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình
A.0 B.1 C.2 D.3
Câu 105 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ phương trình: | 1|
| |
z i z i
Số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình
A.0 B.1 C.2 D.3
Câu 106 (3) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: |z + i| = |z| + |z + 2| = Giá trị |z|
A. B. C. D.
Câu 107 (3) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: |z + 2i| = |z| – |z + 2i| = Giá trị |z|
A. B. C. D.
Câu 108 (3) Biết số phức z thỏa mãn: |z – + 3i| = |z| + thỏa mãn |z| = Vậy z
A.4/5 + 3i/5 B.-12/5 + 9i/5 C.2/5 + 3i/5 D.-2/5 + 5i/2
Câu 109 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện | |z z2 số ảo Một số phức z1 = a +
ib nghiệm Khi tổng (a + b)
A. B.4 C. 2 D.
Câu 110 (3) Cho số phức z thỏa mãnđiều kiện: |z(2i) | 10 z z 25 Một nghiệm phức z1 = a + ib Khi tỉ số b/a
(150)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
152 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 111 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ phương trình phức: | | | |
| | | |
z z i z i z i
số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình cho
A.0 B.1 C.2 D.vô số
Câu 112 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ phương trình phức: | | | 1|
| |
z i z z i
số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình cho
A.0 B.1 C.2 D. vô số
Câu 113 (3) Cho hệ phương trình phức: | | | |
| | | |
z i z i z i z i
Số phức z = a + ib thỏa mãn hệ phương trình cho có: (a + b)
A.-3 B.3 C.7 D.-6
Câu 114 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ phương trình phức:
| | | |
6 10
| (1 ) |
5
z z i
i z i
số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình cho
A.0 B.3 C.2 D.1
Câu 115 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ phương trình phức: | | | |
| (1 ) |
z z i i z i
số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình cho
A.1 B.0 C.2 D.3
Câu 116 (3) Cho hệ phương trình phức: | 1| | |
| |
z z i
z i
Số phức z = a + ib thỏa mãn hệ phương trình cho có: 2a + 3b
A.13 B.4 C.-11 D.-8
Câu 117 (2) Cho điểm M biểu diễn số phức z1 = – i N biểu diễn số phức z2 = + 3i Độ dài đoạn
thẳng MN
A. 17 B. 34 C.13 D.
Câu 118 (2) Trên mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số phức z điểm B biểu diễn số phức z Hai điểm A B
A.đối xứng qua trục Ox B.đối xứng qua trục Oy
C.đối xứng qua gốc O D.trùng
Câu 119 (2) Trên mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số phức z điểm B biểu diễn số phức –z Hai
(151)điểm A B
A.đối xứng qua trục Ox B.đối xứng qua trục Oy
C.đối xứng qua gốc O D.trùng
Câu 120 (2) Trong mặt phẳng phức cho điểm M N biểu diễn hai số phức: – 2i + 4i Trung điểm P MN biểu diễn số phức tương ứng
A.2 + 3i B.4 – i C.1 + 2i D.5 + i
Câu 121 (2) Trên mặt phẳng phức cho ba điểm M , N , P biểu diễn ba số phức (1 + i) , (3 + 6i) , (8 – i) Khi trọng tâm G tam giác MNP biểu diễn số phức
A.2 + 2i B.4 + 2i C.3 – 2i D.2 + 3i
Câu 122 (3) Trên mặt phẳng phức cho hai điểm A B biểu diễn hai số phức (2 + 3i) (4 – i) Một điểm M thỏa mãn hệ thức véc tơ: 2MA3MB 0 Điểm M biểu diễn số phức tương ứng
A. 16
5
i
B. 11
5
i
C. 13
5
i
D.
5
i
Câu 123 (3) Cho điểm A biểu diễn số phức z1 = + 3i điểm B biểu diễn số phức z2 = m – i Biết
độ dài đoạn thẳng AB Chu vi tam giác OAB
A. B. 13 25 C. 26 11 5 D. 5 3 14
Câu 124 (3) Trên mặt phẳng phức cho tam giác MNP, ba đỉnh M, N, P biểu diễn ba số phức: z1 = – 3i, z2 = + i, z3 = m + 6i Biết MNP vuông điểm M Giá trị m
A.12 B.3 C.17 D.15
Câu 125 (3) Trên mặt phẳng phức cho ba điểm M, N, P biểu diễn ba số phức z1 = + 2i, z2 =
4 – 3i, z3 = 2m – i Để ba điểm thẳng hàng giá trị m phải có giá trị
A.3/4 B.2 C.9/10 D.9/5
Câu 126 (3) Trên mặt phẳng phức cho MNP đều; ba điểm M, N, P biểu diễn ba số phức , 1 i i z, Số phức z = a + ib (a + b)
A. B.
2 C.
5
2 D.
9
2
Câu 127 (3) Trên mặt phẳng phức cho hai điểm A B biểu diễn hai số phức ( + 2i) (3 + 4i) Điểm D thỏa mãn điều kiện tứ giác OABD hình bình hành Điểm D biểu diễn số phức
A.2 + 2i B.4 + 6i C.2 + 3i D.3 – 2i
Câu 128 (4) Trên mặt phẳng phức cho hình vng ABCD. Biết A C biểu diễn hai số phức (1 + 3i) ( – i) Gọi zB zD hai số phức biểu diễn điểm B điểm D mặt
phẳng phức Tích số zB.zD
A.8 – 2i B.5 + 4i C.1 – 3i D.3 + 7i
(152)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
154 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – A.đường tròn tâm I(2;3) bán kính R = B.đường trịn tâm I(2;-3) bán kính R =
C.đường trịn (C) có phương trình: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16. D.đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x + 3y – = 0.
Câu 130 (2) Trên mặt phẳng phức cho đường tròn (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 25 Một điểm M
nằm đường trịn (C) biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
A.|z – + i| = B.|z + – i| = 25 C.|z + – i| = D.|z – + i| = 25 Câu 131 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: | |
2
z i z i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z mặt phẳng phức tương ứng
A.đường phân giác góc phần tư thứ B.đường phân giác góc phần tư thứ hai
C.đường thẳng có phương trình: 2x – 3y – = D.đường thẳng có phương trình: 3x + 2y – =
Câu 132 (2) Trên mặt phẳng phức, cho đường trịn tâm I(-2;1) bán kính R = Phương trình phức biểu diễn đường tròn tương ứng
A. |z – + i| = B. |z + i – 2| = C. |z + – i| = D. |z + – i| = Câu 133 (3) Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn: |2z + – i| =
A.đường tròn tâm I(2; -1) có bán kính R = B.đường trịn tâm I(-2;1) có bán kính R = C.đường trịn tâm I(-1;1/2) có bán kính R =
D.đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 + 4x – 2y – 16 = 0.
Câu 134 (3) Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |iz 3 | 6i
A.đường tròn (C) có phương trình: (x + 3)2 + (y – 2)2 = 36. B.đường trịn (C) có phương trình: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 36. C.đường tròn có tâm I(2;3) bán kính R = 36
D.đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 + 4x – 6y – 19 = 0.
Câu 135 (3) Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: | (1i z) 2 | 4i
A.đường tròn tâm I(1;5) bán kinh R =
B.đường tròn (C):
( ) ( ) 16
2
x y C. đường tròn tâm I ( ; )1
2 bán kính R =
(153)D.đường tròn (C):
( ) ( )
2
x y
Câu 136 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: | |
z i z i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z
sẽ
A.đường trịn tâm I(-1;2) bán kính R = B.đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 1. C.đường thẳng y = 2x –
D.đường thẳng 2y – =
Câu 137 (2) Trên Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình:
|z3i2 | | z 2i1| có dạng
A.đường tròn B.đường thẳng C.đường elip D.đường parabol
Câu 138 (3) Hệ thức biểu diễn đường thẳng có phương trình: 2x – 8y + = tương ứng
A.|z 2 | 5i B.| 2z8z 5 | 0
C.|z 1 i| |z 3i2 | D.|z 2 i| |z 3i1|
Câu 139 (3) Trên mặt phẳng phức số phức z thỏa mãn phương trình: | 2z3z 1| A.đường thẳng có phương trình 2x + 3y + =
B.đường tròn tâm I(2;3) bán kính R = C.một điểm có tọa độ (-1/5;0)
D.đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 1.
Câu 140 (3) Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức w = 2z + i – đường đây? Biết z số phức thỏa mãn phương trình: |z – 2i +1| = |z + i|
A.Đường tròn (C): 2
(x1) (y2) 4 B.Đường thẳng d: x + 2y – 11 =
C.Đường thẳng d: x – 3y + = D.Đường elip (E):
2
4
x y
Câu 141 (2) Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình: | 3z i | | 2 i 1 |z tương ứng
A.3x + y = B.3x – y – = C.3x + y + 11 = D. 3x – y =0
Câu 142 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z2z 1| Tập hợp điểm biểu diễn số phức z tương ứng
(154)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
156 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 143 (2) Số phức z có phần thực phần ảo quỹ tích điểm biểu diễn số phức z A.đường phân giác góc phần tư thứ nhất: y = x
B.đường phân giác góc phần tư thứ hai: y = – x C.đường thẳng có phương trình: y = x +
D.đường thẳng có phương trình: y = x –
Câu 144 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: | 2zz i| |z2 | Tập hợp điểm biểu diễn số phức z
A.đường elip B.đường tròn C.đường thẳng D.đường parabol
Câu 145 (2) Cho số phức z có phần thực phần ảo quỹ tích điểm biểu diễn số phức liên hợp z
A.đường phân giác góc phần tư thứ nhất: y = x B.đường thẳng có phương trình: y = 2x –
C.đường thẳng có phương trình: y = x +
D.đường phân giác góc phần tư thứ hai: y = - x
Câu 146 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z + 2i – 1| = Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên hợp z
A.đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9. B.đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9. C.đường thẳng x + 2y – =
D.đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9.
Câu 147 (2) Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z2i3 | 4 A.miền hình trịn có tâm I(-3;2) bán kính R =
B.là đường trịn (C) có tâm I(2;3) bán kính R = C.là đường trịn (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = 16.
D.là miền hình chữ nhật đối xứng quanh gốc O
Câu 148 (2) Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + iy thỏa mãn đồng thời điều kiện: 2 x3 1 y4
A.hình chữ nhật có bốn đỉnh tương ứng (-2;1), (-2;4), (3;4) , (3;1) B.là hình trịn có tâm I(-2;3) bán kính R =
C.là hình vành khun có tâm I(-2;3) bán kính R1 = 1, bán kính ngồi R2 = D.là đường tròn tâm I(1;4) bán kính R = – =
Câu 149 (2) Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + iy thỏa mãn điều kiện: | | 4 z
(155)A.hình chữ nhật có bốn đỉnh tương ứng (0;1), (0;4), (1;1) , (1;4) B.là hình trịn có tâm I(1;4) bán kính R =
C.là đường trịn có phương trình: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16.
D.hình vành khăn tâm gốc O bán kính R1 = 1, bán kính ngồi R2 =
Câu 150 (3) Cho số phức z thỏa mãn |z2z 2 | 4i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w2zz tương ứng
A.đường elip: 2
9x (y2) 16
B.đường tròn (C) có phương trình : (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. C.đường trịn (C) có tâm I (0;2) bán kính R =
D.đường trịn (C) có tâm I(0;-2) bán kính R =
Câu 151 (2) Trên Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình: |z i 1| |z3i2 | có dạng
A.đường tròn B.đường hypebol C.đường elip D.đường thẳng
Câu 152 (2) Số phức z thực đường biểu diễn
A.trục tung B.đường thẳng y = C.trục hoành D.đường thẳng x = Câu 153 (3) Số phức z thỏa mãn: |(1 + 2i)z – (z + 1)i – 4| = có điểm biểu diễn thuộc
A. đường tròn tâm I ( ;5 3)
2
bán kính R = B.đường trịn tâm I ( ;5 3)
2
bán kính R = C.đường trịn tâm I(1; 4) bán kính R = D.đường trịn tâm I ( 3; )
2
bán kính R =
Câu 154 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z 1 | |z3 |i Số phức z = a + ib có mơ đun nhỏ Khi (a.b)
A.12/25 B.8/25 C.16/9 D.15/49
Câu 155 (2) Số phức z ảo đường biểu diễn
A.trục hoành B.đường thẳng y = x C. đường thẳng y =1 D. trục tung
Câu 156 (3) Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức w = 2z – đường đây? Biết z số phức thỏa mãn phương trình: |z – 2i +1| =
A.Đường tròn (C): 2
(x3) (y4) 64
B.Đường tròn (C): 2
(x3) (y4) 16 C.Đường thẳng d: 2x + y – =
(156)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
158 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 157 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z| = Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức: w(1i 3)z1 đường trịn (C) có bán kính r
A.2 B.4 C.3 D.
Câu 158 (2) Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình: |z i| | 3i 1 z | tương ứng
A.4x + y = B.2x + 8y – = C.2x – y – = D. x + 3y – =0 Câu 159 (2) Trên mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z
z
A.Đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 1. B.Đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 4. C.Đường tròn (C): x2 + y2 = 1. D.Đường thẳng: x – y + = 0.
Câu 160 (3) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z i | | (1i z) | A.đường tròn (C): x2 + (y + 1)2 = 4.
B.đường tròn (C): 2
( 1)
x y C.đường thẳng: x – y + = D. đường tròn (C): 2
( 1)
x y
Câu 161 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z3 | | zi| Số phức z = a + ib có mơ đun nhỏ Khi (a + b)
A.31/24 B.25/16 C.11/15 D.8/5
Câu 162 (3) Cho phương trình phức: |z – i| = Số phức z = a + ib thỏa mãn phương trình cho có mơ đun lớn có: 3a + 2b
A.8 B.5 C.10 D.14
Câu 163 (3) Cho phương trình phức: |z – 3| = Số phức z = a + ib thỏa mãn phương trình cho có mơ đun nhỏ có: 11a + 23b
A.15 B.11 C.22 D.8
Câu 164 (3) Cho phương trình phức: |z – 2i + 3| = 13 Số phức z = a + ib thỏa mãn phương trình cho có mơ đun nhỏ có: 4a + 3b
A.1 B.3 C.6 D.4
Câu 165 (3) Cho phương trình phức: |z – 3i + 4| = 10 Số phức z = a + ib thỏa mãn phương trình cho có mơ đun lớn có: (a + b)
A.18/5 B.-24/5 C.-11/5 D.-13/5
Câu 166 (3) Cho biểu thức: A = + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)30 Rút gọn biểu thức A A.230. B.215 – (215 + 1)i. C.-215 – (215 –1)i D. 215 + 215i. Câu 167 (3) Cho biểu thức: B = + (1 – i) + (1 – i)2 + … + (1 – i)20 Rút gọn biểu thức B
A.–210 + (210 + 1)i B. 210 – (210 –1)i. C.211 + i. D.–210 – (210 + 1)i.
(157)Câu 168 (3) Cho biểu thức A = + 40
(1i 3) (1 i 3) (1 i 3) Rút gọn biểu thức A
A. 40 40
(1 ) i2 B.
40 40 2
3 i
C. 40 40
2 i
D. 40
2 Câu 169 (2) Dạng lượng giác số phức z 3i
A. 2(cos sin )
6 i
B. cos sin
6 i
C. 2(cos sin )
6 i
D. 2(cos sin )
3 i
Câu 170 (2) Cho số phức z có dạng lượng giác: zcosisin Dạng lượng giác số phức iz tương ứng
A. cos(1)isin(1) B. cos()isin() C. cos( ) sin( )
2 i
D. sinicos
Câu 171 (3) Cho số phức z 1 i Gọi z1 z2 hai bậc hai z Tổng z1 + z2
A. B. 2 i C. – i D. 32i
Câu 172 (3) Gọiz1 z2 hai nghiệm phương trình z22i 3z 4 Dạng lượng giác
một nghiệm
A.| | (cos sin )
3
z i B.| | (cos sin )
6
z i
C.| | (cos sin )
3
z i D.| | (cos2 sin2 )
3
z i
Câu 173 (2) Phương trình phức z3 + = có số nghiệm phức với phần thực dương
A.0 B.1 C.2 D.3
Câu 174 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z + 2i – 3| = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 3z – 2i +
A.đường tròn (C) có tâm I(13;8) bán kính R = B.đường tròn (C): (x – 13)2 + (y + 8)2 = 324.
C.đường thẳng d: 2x – 3y + =
D.đường trịn (C) có tâm I(3;2) bán kính R =
Câu 175 (2) Cho phương trình bậc hệ số phức: z2(14 10 ) i z17 94 i0 Hai nghiệm phương trình
(158)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
160 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – A.đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25. B.đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25. C.đường elip (E):
2
4
x y
D.đường tròn tâm I(3;2) bán kính R =
Câu 177 (2) Cho hai số phức z1 z2 có tích tổng là: 29 10 Tổng mô đun hai số
phức
A. 29 B. 68 C. 29 D. 10
Câu 178 (2) Cho hàm số phức:
( )
f z z z z Giá trị hàm số z1 = – 2i
A.-21 – 6i B.3 – 2i C.– + i D.11 + 32i
Câu 179 (2) Cho bốn đường biểu diễn phương trình phức: |z – 2i| = 4; |z – 3i + 1| = |z – i| ; |z2i3 | 31 ; |z4 | |i z i | Số đường thẳng
A.4 B.1 C.3 D.2
Câu 180 (3) Cho phương trình phức:
2
z i Gọi ba nghiệm phức là: z1 , z2 ,
z3 Giá trị biểu thức: A = |z1| + |z2| + |z3|
A. C. 2 C.3 D. 3
Câu 181 (2) Cho số phức có phần thực lần phần ảo điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ
A.đường thẳng B.đường tròn C.elip D.hypebol
Câu 182 (2) Cho hàm số phức:
( )
f z z iz i Giá trị | (1f i) |
A. 13 B. 26 C. D. 13
Câu 183 (3) Cho phương trình phức bậc 2:
2
z za , với a tham số thực Gọi A B hai điểm biểu diễn hai nghiệm phương trình cho mặt phẳng phức, điều kiện để tam giác OAB vuông cân
A.a = 2. B.a = 5. C.a = 0. D.a = 2/3.
Câu 184 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn hệ phương trình: 2
2
2 (1 )
iz z i z i z i
Khi số phức z1
A. 10 10
i
B.
10 10
i
C.
5
i
D.
5
i
Câu 185 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn hệ phương trình:
1
(2 )
(1 )
i z iz i iz i z i
Khi số phức w = z1 + z2
A. 17 13 13
i
B. 15 15
i
C. 41
13 13
i
D. 15 14
31 31
i
Câu 186 (3) Cho phương trình phức bậc 2:
2
z za , với a tham số thực Gọi A B
(159)là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phương trình cho mặt phẳng phức, điều kiện để tam giác OAB
A. 2/3 B. C. D. 4/3
Câu 187 (3) Cho phương trình phức bậc hai với hai tham số phức a b là: (1 ) i z2az b 0 Phương trình có nghiệm z1 = + 4i z2 = - + 2i Nhận xét sai là:
A. a = 10 – 10i B.b = -15 – 20i C.a + b = -5 – 30i D. a = -10 + 10i Câu 188 (3) Cho phương trình phức bậc bốn:
2 10
z z z z Phương trình có bốn nghiệm là:
A. + i; – i; + 3i ; – 3i B.2i ; 3i ; – 3i ; + 3i C.1 + i; – i; -2 – i; -2 + i D.1 – i; + 3i; – 2i; + 2i Câu 189 (2) Cho số phức z = (1 + 2i)(3 – 4i) Mô đun số phức w = 2z2 + iz –
A. 33 58 B. 51 13 C. 25 D.17 31
Câu 190 (3) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: |z i 2 | 20 z z 13 Gọi z1= a + ib
nghiệm Khi a + b
A.11 B.7 C.5 D.6
Câu 191 (3) Cho phương trình bậc phức với a, b , c ba tham số thực:
0
z az bz c Biết phương trình có hai nghiệm: z1 = + i z2 = Giá trị của: (a + 2b + 3c)
A.7 B.-1 C.3 D.21
Câu 192 (3) Cho hai số phức z w có mơn đun tích Khi số
A.thuần thực B.thuần ảo C.số phức D.số ảo âm
Câu 193 (4) Cho điểm số phức z thỏa mãn: |z – 5i| = số phức w thỏamãn: |w – 1| = |w – i| Số phức z1 số phức w1 hai số phức thỏa mãn điều kiện |z1 – w1| nhỏ Khi
số phức (z1 + w1)
A. B. C. D. – 7i
Câu 194 (3) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z + 2i| + |z – 2i| = A.đường tròn (C): (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16.
B.đường tròn (C): x2 + y2 = 16. C.đường thẳng d: x – 2y + = D.đoạn thẳng trục tung
Câu 195 (3) Cho phương trình bậc với hai tham số phức a b: có hai nghiệm phức (1 + 2i) (5 – 6i) Giá trị b
A.41 – 43i B.43 + 46i C.19 + 23i D.45 + 41i
.w
z w
1 w
z z
5
2i2
5
2 ( 2)
2 i 2
5 15
2 ( 2)
2 i
2
(160)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
162 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 196 (3) Cho phương trình bậc hai hệ số phức: Mô đun số phức
A. B.25 C. D.
Câu 197 (3) Cho số phức , với m tham số thực Biết rằng: Tất giá trị m
A. B. C.m = 0; m = –8. D.
Câu 198 (3) Số nghiệm phương trình phức:
A.4 B.3 C.2 D.
Câu 199 (3) Cho phương trình phức với tham số thực m: Số giá trị m để phương trình có nghiệm thực
A.0 B.1 C.2 D.
Câu 200 (3) Cho phương trình phức với tham số thực m: Tích tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm thực
A.75/2 B.15/4 C.20/5 D.27/25
Câu 201 (2) Giải phương trình phức bậc bốn: hai số nghiệm
A. 3i B. – i C. -1 D. – i + 2i
Câu 202 (3) Cho điểm A, B, C, D biểu diễn số phức + 2i; – 3i; + i; + 2i Trong nhận xét sau, nhận xét sai
A.điểm C nằm tam giác ABD.
B.diện tích tam giác ACD nhỏ diện tích tam giác BCD.
C.trung điểm đoạn AC điểm biểu diễn số phức z = + 3i/2 D.trọng tâm tam giác ABC điểm G = (6;0)
Câu 203 (2) Cho ba điểm A, B, C biểu diễn ba số phức zA, zB, zC thỏa mãn: |zA| = |zB| = |zC|
Nhận xét là?
A.Ba điểm A, B , C lập thành tam giác B.Tam giác ABC có trọng tâm gốc O C.Tam giác ABC nhận O làm trực tâm
D.Ba điểm A, B, C nằm đường tròn tâm gốc O
Câu 204 (2) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
A.đường thẳng B.đường tròn C.đường elip D.đường hypebol
2
(2 3)
z i z i 4
1
wz z
13 17 29 13
2
m z
m i
z z 2
4
m m 1 3;m1 m 1 2;m2
2
4z 8 | |z 3
3
(2 1) ( )
z i z m i z i
3
( 1) ( )
z i z m i z i
4 (z i ) 4z 0
(2 3)
i i(2 3)
2
| |
2
z i
z i
(161)Câu 205 (3) Mô đun số phức
A. B. C. D.
Câu 206 (3) Giải phương trình: nghiệm có tổng mơ đun tất nghiệm
A.0 B.2 C.1 D.3
Câu 207 (3) Cho số phức z = a + ib Hệ thức
A. B. C. D.
Câu 208 (3) Phương trình phức: có số nghiệm phức
A.6 B.2 C.4 D.3
Câu 209 (3) Cho số phức z khác có Argument Số phức i.z có Argument
A. B. C. D.
Câu 210 (3) Cho số phức z khác có Argument Nhận xét sai là? A.Argument số phức iz là:
B.Argument số phức là:
C.Argument số phức (-z) là: D.Argument số phức 1/z là:
Câu 211 (2) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: A. hình trịn tâm I = (-1;4) bán kính R =
B.hình trịn tâm I (1;-4) bán kính R = C.đường trịn tâm I(-1;4) bán kính R = D.đường trịn tâm I(1;2) bán kính R =
Câu 212 (3) Cho số phức z khác có Argument Số phức có Argument
A.iz B.z3. C. z3/i. D.–i.z.
Câu 213 (3) Phương trình phức: có tất
A.3 nghiệm B.4 nghiệm C.2 nghiệm D.1 nghiệm
2 2
x y i xy z
x y i xy
2
x y |x y|
x y
2
2
x y xy
2
| |
z z
| | | | | |z a b | | | | | |
2
a b
z | | | |z a | |b | | | | | |z a b
6
7
z z
2
2
2
z
1
| (1i z) 3 | 4i
2
2
2
4
1
z i z i
(162)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
164 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 214 (2) Tập hợp số phức z có giá trị Argument
A.đường thẳng qua gốc tọa độ O B.đường tròn tâm gốc tọa độ O C.elip có tiêu cự đối xứng qua gốc tọa độ O D.Parabol có tiêu điểm gốc tọa độ O Câu 215 (2) Cho phương trình phức bậc hệ số thực: z3 + az2 + bz + c = Biết phương trình có
một nghiệm phức z = + 3i Trong số phức đây, số phức nghiệm phương trình cho
A.2 + 4i B.2 – 5i C.-2 + 3i D.2 – 3i
Câu 216 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: Khi giá trị |z|
A. B. C. D.3
Câu 217 (3) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: Khi giá trị |z|
A. B. C.2 D.
Câu 218 (2) Cho số phức z thỏa mãn phương trình |z – + 2i| + |z + – 3i| = 12 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z
A.đường elip B.đường tròn C.đường thẳng D.đường hypebol
Câu 219 (4) Cho số phức z thỏa mãn phương trình |z – 3| + |z + 3| = 12 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z| M m Khi (M + m)
A.9 B.12 C.15 D.10
Câu 220 (4) Cho số phức z thỏa mãn phương trình |z – 1| + |z + 7| = 12 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z| M m Khi (M + m)
A.12 B.24 C.16 D.18
Câu 221 (4) Cho số phức z thỏa mãn phương trình |z – + i| + |z + – 5i| = 12 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z + - 2i| M m Khi (M + m)
A.6 B.18 C.12 D.24
Câu 222 (4) Cho pt đối xứng bậc 6: có
nghiệm z1, z2 , z3, z4 , z5 , z6 Giá trị:
A.20132. B.20142. C.20152. D.20162.
Câu 223 (4) Cho pt đối xứng bậc 4: có nghiệm z1, z2 , z3, z4
Giá trị:
A.64 B.81 C.100 D.144
Câu 224 (3) Cho hai số phức z w cho hệ thức xác định: |z| = Khi mơ đun |w| có giá trị nhỏ tương ứng
A. B. C. D.
(1 ) | | 2( i z z i ) (2 z)
4 2 2 3
2 30
(1 ) | |i z i
z
2
6
2015 2016 2017 2016 2015
z z z z z z 2 2 2
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)
T z z z z z z
4
2 12
z z z z 2 2
1
( 1)( 1)( 1)( 1)
T z z z z
1
2zzw z 3w
10
10
3
2 75 75
(163)Câu 225 (3) Cho hai số phức z w cho hệ thức xác định: |w| = Khi mơ đun |z| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 226 (3) Cho hai số phức z w cho hệ thức xác định: |w| = |z| – Khi mơ đun |z| nằm khoảng là:
A. B. C. D.
Câu 227 (3) Cho phương trình bậc với a b hai hệ số thực: z2 + az + b = Phương trình có hai
nghiệm là: (w + 3i – 5) (2w + – 2i) Tích phần thực phần ảo số phức w có giá trị tương ứng
A.8/3 B.14/2 C.30/4 D.1/5
Câu 228 (3) Cho phương trình bậc với a b hai hệ số thực: z2 + az + b = Phương trình có hai
nghiệm là: (w + i – 2) (3w + – 3i) Mô đun |w|
A. B.10 C. D.
Câu 229 (3) Cho biết z = a + ib, với a b hai số thực khác Gọi z4 = a0 + ib0 Giá trị nhỏ
a0/b4
A.– B.0 C.-12 D.-4
Câu 230 (3) Cho biết z = a + ib, với a b hai số thực khác Gọi z3 = a0 + ib0 Giá trị nhỏ
b0/b3
A.0 B.– C.-1 D.-2
Câu 231 (4) Cho phương trình bậc hệ số thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = Có nghiệm phức lần
lượt là: (w + i) , (2w + 3i) , (3w – 2i + 2) Nghiệm cịn lại giá trị đây?
A. B. C. D.
Câu 232 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| = đồng thời P = |z – 2i + 1| đạt giá trị nhỏ Mô đun số phức w = (2z + i) tương ứng
A. B. C.20 D.
Câu 233 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 2i| = đồng thời P = |z – 3i + 4| đạt giá trị lớn Phần thực số phức w = (iz + 3) tương ứng
A. B.34 C. D.
Câu 234 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1| = |z – 3i| đồng thời P = |z – 2i| nhỏ Mô đun
1 2
zw z w
2
1
zw z 3w
4 | z | 5 | z | 6 | z | 3 | z | 2
10
3 10
10
5
4i
4i
2i
4i
365
3 10
5 17
185
1730
(164)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
166 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – số phức z tương ứng
A. B. C. D.
Câu 235 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1| = |z – i| đồng thời P = |z – 2i| + |z + 3i + 4| nhỏ Mô đun số phức z tương ứng
A. B. C. D.
Câu 236 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – 3i| = |z – 3| Giá trị nhỏ P = |iz – 2| + |z + 2i + 1| tương ứng
A. B. 17 C. D.
Câu 237 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z + 2i| = |z + 1| Giá trị lớn P = |z – 2i| – |iz + 1| tương ứng
A. 170
5 B. C. D.
Câu 238 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z + i| = |z + 3| Giá trị lớn biểu thức: P = |z – 4i + 1| – |z + 3| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 239 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 3i| = Giá trị lớn của: P = |z – i|2 – |z + 3|2
tương ứng
A. 18 B. C. D.
Câu 240 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn: |z – + 4i| = đồng thời biểu thức: P = |z – i|2 – 2|z + 3|2 + 3|z + i + 2|2 đạt giá trị nhỏ Mô đun số phức z tương ứng
A.5 B. C. D.
Câu 241 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều P = |z – 2|2 + 2|z + 3i|2 + 2|z + i – 1|2 = 2018 Quỹ tích
điểm M biểu diễn số phức z
A.đường trịn có tâm I(4/5;-8/5) B.đường elip có tiêu cự C.đường trịn (C) có tâm I(3;-4)
D.đường thẳng ∆ có phương trình: x + 2y + =
Câu 242 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều P = |z – i|2 + 3|z – 2i|2 + |z + 2i – 5|2 = 2018 Quỹ tích điểm
M biểu diễn số phức z
A.đường trịn (C) có bán kính R = B.đường elip có tiêu cự 2018
C.đường trịn (C) có bán kính R =
2
2
310
230
110
2
2 11 12 10 14 10 10
205
185
177
1983
2018
(165)D.đường tròn (C) có bán kính R =
Câu 243 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều P = |z – + 2i|2 – 3|z – 1|2 + 3|z + 2i – 1|2 = 2019 Quỹ tích
điểm M biểu diễn số phức z
A.đường trịn (C) có phương trình: x2 + (y + 11)2 = 2019. B.đường trịn (C) có phương trình: (x – 3)2 + (y + 8)2 = 2067. C.đường tròn (C) có tâm I(0;3) có bán kính R =
D.đường trịn (C) có tâm I(-5;1) có bán kính R = 209
Câu 244 (3) Cho số phức z biểu diễn đường cong: |z – 3| + |z + 3| = 10 Gọi bốn điểm A, B, C, D bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho Biết tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Diện tích lớn tứ giác ABCD
A.30 B.50 C.90 D.40
Câu 245 (3) Cho số phức z biểu diễn đường cong: |z – 3| + |z + 3| = 10 Gọi bốn điểm A, B, C, D bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho Biết tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Diện tích nhỏ tứ giác ABCD
A.1600/41 B.40 C.1540/37 D.2017/41
Câu 246 (3) Cho số phức z thỏa mãn: w = (z + 2i – 3)( + i – 4) thực Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z
A.đường trịn (C) có tâm O bán kính R =
B.đường thẳng d có phương trình: 4x + y – 13 = C.đường thẳng d có phương trình: 5x + 2y – 11 = D.đường thẳng d có phương trình: x + 2y – =
Câu 247 (3) Cho số phức z thỏa mãn: thực Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z tương ứng
A.đường thẳng d có phương trình: x – y – = B.đường thẳng d có phương trình: x – =
C.đường trịn (C) có phương trình: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16. D.đường thẳng d có phương trình: 4x – y – 11 =
Câu 248 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |2iz + – 3i| = Gọi M m giá trị lớn nhỏ |z| Khi |M + 2mi| có giá trị tương ứng
A. B. 10 C. D.
Câu 249 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z – 3i + 4| = 10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (2 + 1979
5
2019
2z
(2z i 2)(z 1)
5
(166)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
168 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – 3i)z – 12 tương ứng
A.đường thẳng d có phương trình: 2x + 3y – 12 = B.đường trịn (C) có tâm I = (-4;3)
C.đường trịn (C) có tâm I = (-11;06) D.đường trịn (C) có tâm I(-29;-6)
Câu 250 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Tích số phần thực phần ảo số phức z tương ứng
A. 20 B.-20 C.12 D.-12
Câu 251 ( 3) Tập hợp điểm biểu diễn số phức: A.đường tròn tâm O có bán kính R =
B.đường thẳng d có phương trình: x + y = C.đường trịn tâm I(1;0) có bán kính R = D.đường trịn I(0;1) có bán kính R =
Câu 252 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1| = 2, |z2| = 3, |2z1 – 3z2| = Giá trị |3z1 + 4z2|
tương ứng
A.15 B.25 C.18 D.24
Câu 253 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 + z2| = 2, |z1 – z2| = Trong
nhận xét đây, nhận xét là?
A. B. C. D.
Câu 254 (3) Cho ba số phức z1, z2, z3 nghiệm phương trình bậc 3: z3 + az2 + bz + – 3i =
Giá trị nhỏ biểu thức: P = |z1| + |z2| + |z3|
A. B. 15 C. D.
Câu 255 (3) Cho số phức z = a + ib (a, b số thực, a > 0) có |z| = Khí hiệu a0 phần thực số
phức Giá trị nhỏ của:
A. 16 B. C. D.
Câu 256 (4) Cho số phức z có mơ đun Xét biểu thức: có giá trị lớn giá trị nhỏ M m Tích số (mM)
A. -3/4 B.9/4 C.11/4 D.12
Câu 257 ( 3) Cho phương trình phức bậc hai với hai hệ số thực a b: z2 + az + b = Gọi z1 z2
hai nghiệm Khi biểu thức tương ứng | | 4z iz 9 3z
1 w
| 1|
z z
1
| | | |
z
z
1
|z | 3 | 1|2 107
12
z | 2| 12
5
z
2 13
| |
34
z
6
3 13 13
3 13
3
wz 3z2z 2a0
a
12 24
26 18
14
3
| | | |
P z z z z z
3
(z 1)(z 1)
(167)A. B.
C. D.
Câu 258 (3) Cho phương trình phức: có nghiệm phức z1, z2, z3 , z4 Tổng
phần thực phần ảo nghiệm giá trị sau đây?
A.3 B.-2 C.-2/5 D.-4/3
Câu 259 (3) Cho Nhận xét
A. B. C. D.
Câu 260 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T = |1 – z| + |1 – z + z2| Nhận xét là:
A.max T = 11; T = B.max T = 5; T =
C.max T = 3; T = D.max T = 7; T = -
Câu 261 (4) Cho số phức z có mơ đun Khi xét giá trị biểu thức: P = |1 – z| + |1 + z2|
Nhận xét là:
A. < P < B. C. D.
Câu 262 (4) Cho z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: Kí hiệu z1 z2
hai số phức có mơ đun nhỏ lớn Khi |z1 – z2|
A. B. C. D.
Câu 263 (4) Cho z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: Kí hiệu z1
z2 hai số phức có mơ đun nhỏ lớn Khi |(1 + 2i)z1 + (1 – i)z2|
A. B. C. D.
Câu 264 (3) Cho số phức z thỏa mãn: (4z + 5i) = (4 – 5iz)z6 Giá trị |z|
A.1 B. C.2 D.3
Câu 265 (4 ) Cho số phức z thỏa mãn: |z2 + 4| = 2|z| Gọi M m giá trị lớn giá trị
nhỏ |z| Khi (m + M) tương ứng
A. B. C. D.
Câu 266 (3) Cho số phức: Giá trị biểu thức:
A. B. C. -6 D.12
Câu 267 (3) Cho điểm A biểu diễn số phức: mặt phẳng phức hình vẽ Biết số phức w có |w| = 10 Điểm biểu diễn số phức w
3
2
a b ab a33b2a1
3
3( )
a b ab b3a33ab1
4
2
1
z i z
| | 1z
| |
2
z i iz
2
| |
2
z i iz
2
| |
2
z i iz
2
| |
2
z i iz
2P 4 3P 4 P 4
|z i 1| |z2 | 5i
41 10 2 13 2 20 3
|z2i 1| |z 1 i|
3 5 3 55 11 2 14 3
2 52
1
2
i
z (z2 12)2 (z3 13)3 (z4 14)4
z z z
10
3
(168)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
170 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
A.A. B. O C.B. D.C.
Câu 268 (4) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Giá trị lớn giá trị nhỏ của: P = 2|1 – z| + |1 + z| M m Khi tích (Mm) tương ứng
A. 10 B. C. D. 12
Câu 269 (3) Cho phương trình bậc hệ số phức: az2 + bz + c = (1), a, b, c hệ số
phức z1 , z2 hai nghiệm phương trình phức (1) cho Khi giá trị biểu thức:
tương ứng
A. B. C. D.
Câu 270 (3) Cho số phức: |z1| = 2; |z2| = Giá trị của: P = |z1 + z2|2 + |z1 – z2|2 tương ứng
A.5 B.20 C.1 D.10
Câu 271 (3) Cho số phức có mô đun: |z1| = |z2| = |z3| = thỏa mãn: z1 + z2 + z3 = Khi
đó giá trị của: P = |z1 + z2|3 + |z2 + z3|3 + |z3 + z1|3 tương ứng
A. B. C. D.
Câu 272 (3) Cho số phức có mơ đun: |z1| = |z2| = |z3| = thỏa mãn: z1 + z2 + z3 = Khi
đó giá trị của: P = 2|z1 + z2| + 3|z2 + z3|2 + |z3 + z1|3 tương ứng
A.0 B.6 C.24 D.18
Câu 273 (3) Cho số phức có mơ đun: |z1| = |z2| = |z3| = thỏa mãn: z1 + z2 + z3 = Khi
đó mệnh đề sai là:
A.
B. C. D.
2
2 2
1 2
| | | | 2(| | | |)
P z z z z z z
|c|
a | |
b a
4 |c|
a
|b|
c
3
2 2 Pz z z
3 3 3 3
| | | | | | | |
P z z z z z z 3
1 3
| | | | | | | |
P z z z z z z 4 4 4 3
| | | | | | | |
P z z z z z z y
O
M
A B
C
(169)Câu 274 (3) Cho số phức có mơ đun: |z1| = |z2| = |z3| = thỏa mãn: z1 + z2 + z3 =
Khi giá trị của: P = |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 tương ứng
A. B. C. D.6
Câu 275 (3) Cho bốn số phức có mơ đun: và: Giá
trị biểu thức: tương ứng
A.3 B.4 C.12 D.8
Câu 276 (3) Cho bốn số phức có mô đun: và: Giá trị
của biểu thức: tương ứng
A.0 B.1 C.4 D.12
Câu 277 (3) Cho bốn số phức có mơ đun: và: Giá
trị biểu thức: tương ứng
A.1 B.4 C.0 D.8
Câu 278 (3) Giá trị biểu thức: P = (1 + i)4001 + (1 – i)4001
A.22000. B.-22001. C.24000. D.24001.
Câu 279 (3) Giá trị biểu thức:
A.0 B.1 C.-1 D.2
Câu 280 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z – 4| M m Khi |M + im|2 tương ứng
A.54 B.63 C.64 D.96
Câu 281 (3) Cho phương trình phức ẩn z bậc ba hệ số thực a, b, c là: z3 + az2 + bz + c = Biết
phương trình có hai nghiệm z1 = z2 = + 2i Giá trị biểu thức (a + 2b + 3c)
A.0 B.-12 C.20 D.-16
Câu 282 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z| = Số nghiệm z thỏa mãn điều kiện toán tương ứng
A.3 B.4 C.5 D.6
Câu 283 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị lớn |z|
A. B. C. 1/3 D.
Câu 284 (4) Cho số phức z = a + ib thỏa mãn: |z2 + 4| = 2|z| (b2 – a2) = Khi mơ đun số
3
1
|z | | z | | z | | z | 2 z1z2z3z4 0
2 2
1 3 4
| | | | | |
P z z z z z z z z z
1
|z | | z | | z | | z | z1z2z3z4 0 3 3
1 P z z z z
1
|z | | z | | z | | z | 1 z1z2z3z4 0 4 4
1
| |
P z z z z
5000 5000
1 3
( ) ( )
2 2
i i
P
5
| | | | 12
3 4
iz iz
i i
| z z |
z z
6
| |
2
z i iz
2
(170)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
172 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – phức z tương ứng
A. B. C. D.
Câu 285 (3) Cho số phức z = a + ib thỏa mãn: |z2 + 4| = 2|z| P = 8(b2 – a2) Biểu diễn biểu thức
P theo |z| hệ thức tương ứng
A.P = (|z|2 – 2)2 + 12. B.P = (|z|2 – 4)2 C.P = (|z|2 – 3)2 + 9. D.P = (|z|2 – 1)2 + 15.
Câu 286 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi M giá trị lớn Nhận xét là:
A.0 < M < B.5/2 < M < C.2 < M < 5/2 D.M >
Câu 287 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi M giá trị lớn Nhận xét là:
A.1 < M < B.0 < M < C.2 < M < 5/2 D.5/2< M <4
Câu 288 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |z1 – z2| = Giá trị biểu
thức: P = |z1 + z2|tương ứng
A. B. 10 C. D.
Câu 289 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |z1 – z2| = Giá trị biểu
thức: P = |z1 + 2z2|tương ứng
A. 20 B. C. 14 D.
Câu 290 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 | = , |z2| = |z1 – z2| = Giá trị biểu
thức: P = |3z1 – 2z2|tương ứng
A. 26 B. C. D.
Câu 291 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z| = |z1 – z2| = Giá trị biểu thức: P = |z1
+ z2|tương ứng
A. 12 B. C. D.
Câu 292 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z| = |z1 – z2| =4 Giá trị biểu thức: P = |2z1
+ 3z2|tương ứng
A. B.20 C.12 D.
Câu 293 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |2z – i| = |2 + iz| |z1 – z2| = Giá trị biểu
thức: P = |3z1 – z2|tương ứng
A. B. C. D.
4 2
2
1
|z |
z
|z 1|
z
3
1
|z | 18
z
|z 1|
z
5
2 13
5 13 13
2 13
2 73 11 13
6
4 19
2
7 2
(171)Câu 294 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1| = 1, |z2| = |2z1 – 3z2| = Giá trị biểu
thức: P = |3z1 + z2|tương ứng
A.10 B. C. D.
Câu 295 (4) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 + z2 = + 4i |z1 – z2| = Giá trị lớn
biểu thức: P = |z1| + |z2| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 296 (4) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 + z2 = – 8i |z1 – z2| = Giá trị lớn
của biểu thức: P = 3|z1| + 2|z2| tương ứng
A. 10 B. C. D. 30
Câu 297 (4) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 + 2z2 = + 4i |z1 – z2| = Giá trị lớn
biểu thức: P = |z1| + |z2| tương ứng
A.16 B. C. D.
Câu 298 (4) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: 3z1 + z2 = + 8i |z1 – z2| = Giá trị lớn
biểu thức: P =3 |z1| + 2|z2| tương ứng
A. 24 B. C. D.
Câu 299 (4) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 – 2z2| = |3z1 + z2| = Giá trị lớn
biểu thức: P = 2|z1| + 3|z2|
A. 12 B. C. D.
Câu 300 (4) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời: Khi nhận xét mơ đun z
A.0< |z| < B.2 < |z| < C.3 < |z| < D.|z| >
Câu 301 (4) Cho hai số phức z thỏa mãn: Khi giá trị lớn biểu thức
tương ứng
A. B. C. D.
Câu 302 (4) Cho hai điểm A B khác gốc tọa độ O biểu diễn hai số phức z1 z2 thỏa mãn hệ thức:
Mệnh đề ?
A.∆OAB vuông B B.∆OAB tam giác
C.∆OAB vuông cân A D.∆OAB cân B
5
2
82
4 37 41
2
2 195 5
4 13 114
2
2 19
4 59 91 13
4 44
5
22
4
z z 2z z (1i) | |z
1 2
| |
| | | |
z z
z z
1 2
| |
| | | |
z z
P
z z
6
3
2
15
(172)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
174 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 303 (3) Cho hai số phức khác không z1 z2 biểu diễn hai điểm A B. Biết chúng
thỏa mãn hệ thức phức: |z1 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 Nhận xét dạng ∆OAB
A.∆OAB vuông O B.∆OAB vuông A
C.∆OAB tam giác D.∆OAB tam giác cân O
Câu 304 (4) Cho phương trình phức z với hệ số phức a, b, c: az2 + bz + c = , đó: |a| = |b|
= |c| > Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi giá trị |m + Mi| tương ứng
A. B. C.1 D.
Câu 305 (3) Cho ba số phức thỏa mãn: Giá trị nhỏ biểu thức sau:
tương ứng
A. B. 3/2 C. D.
Câu 306 (4) Cho phương trình bậc biến z hệ số thực: z4 + az3 + bz2 + cz + d = , có bốn nghiệm
phức: z1 , z2 , z3 , z4 Biết rằng: z1z2 = 13 + i ; z3 + z4 = + 4i Giá trị (a + b + c)
A.210 B.18 C.119 D.137
Câu 307 (3) Cho ba số phức mô đun: |z1| = |z2| = |z3| = Giá trị nhỏ biểu thức:
tương ứng
A.3/2 B.1 C.4/3 D.3/4
Câu 308 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: 8z10 + 7iz9 + 7iz – = Khi |z| tương ứng
bằng
A.1 B.0 C.2 D.
Câu 309 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – i| + |z + – 5i| = Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z| M m Khi |M + mi| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 310 (3) Cho số phức z có phần thực nhỏ thỏa mãn: cho P = |z – – 2i| đạt giá trị cực tiểu Số phức thỏa mãn là: z = a + ib Khi đó: (a + 2b) tương ứng
A.10 B.12 C. D.
Câu 311 (3) Cho số phức z thỏa mãn: cho P = |z – + 3i| đạt giá trị cực tiểu Giá trị cực tiểu P tương ứng
A.2 B.4 C. D.
2
1
1
2
i z z z
2 2 2
2 3 1
1 2 3
| | | | | | | |
| | | |
| | | | | | | | | | | |
z z z z
z z P
z z z z z z
3
1 2 3
1 1
| | | | | | | | | | | |
P
z z z z z z z z z z z z
2
2 26 35
|z 1 i| | 2z z 5 |i
3
2
3
|z2 | | z2z 2 |i
2
(173)Câu 312 (4) Cho số phức z có: |z| = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |1 + z3| + |1 + z + z2| Khi (M + 2m) tương ứng
A.5 B.6 C.8 D.7
Câu 313 (3) Cho số phức z có: |z| = Giá trị lớn của: P = |1 + z| + |1 + z2| + |1 + z3| tương ứng
bằng
A.5 B.6 C.8 D.7
Câu 314 (3) Cho số phức z có: |z| = Giá trị nhỏ của: P = |1 + z| + |1 + z2| + |1 + z3| tương ứng
bằng
A. B. C. D.
Câu 315 (4) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = Giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: P = |1 + z3| + |1 + z + z2| tương ứng m M Khi tổng (m + M)
A.4 B.7 C.5 D.6
Câu 316 (3) Cho phương trình phức ẩn z: z4 + az3 + bz2 + cz + d = với tham số thực: a, b, c, d
Biết phương trình có hai nghiệm phức: z1 = – 2i z2 = + i Giá trị (a + b + c – d)
A.-20 B.24 C.12 D.16
Câu 317 (3) Cho phương trình phức ẩn z hai tham số thực a b: 4z5 + 3iz4 + 3iz – = Giá trị
của |z| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 318 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |(3 – 4i)z + 50| = 10 Gọi giá trị lớn biểu thức M , giá trị nhỏ biểu thức m Khi giá trị
biểu thức: tương ứng
A.251 B.212 C.247 D.220
Câu 319 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị lớn |z| tương ứng
A.2 B. C.1 D.
Câu 320 (3) Cho biểu thức: biểu diễn đường trịn có bán kính 30 (trong k > 1) Tâm đường tròn biểu diễn số phức tương ứng
A.-4 + 2i B.6 – 3i C.1 + 2i D.2 – i
Câu 321 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ |z| tương ứng M m Khi (M + m)
A.1 B.2 C. D.
2
2
| |
P z i Q| (1i z) 4i2 |
2
(m2 ) (M2)
8
| |
4
z i iz
3
1 2
|z i| k
z
1
|z |
z
(174)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
176 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 322 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình: z2 – 2z + = Giá trị biểu
thức: tương ứng
A.0 B.22020. C. D.
Câu 323 (3) Cho biểu thức: biểu diễn đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0
= – 4i (trong k > 0) Bán kính đường tròn tương ứng
A. B. C. D.
Câu 324 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Khi giá trị |z| tương ứng
A.1 B.2 C. D.
Câu 325 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Khi mệnh đề nhận xét |z| ?
A. B. C. D.
Câu 326 (3) Cho số phức z có |z| = Phần thực số phức: tương ứng
A.1 B.0 C. D.
Câu 327 (3) Cho số phức z có |z| = Phần thực số phức: tương ứng
A.1 B.1/4 C.1/2 D.3/2
Câu 328 (3) Cho số phức z có |z| = Phần thực số phức tương ứng
A.1/18 B.1/9 C.1/4 D.1/3
Câu 329 (4) Cho hai số phức z thỏa mãn: |z – w| = 2|z| = |w| Khi phần thực số phức tương ứng
A.1 B.1/2 C.-1/4 D.1/8
Câu 330 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 – z2| = Giá trị
biểu thức P = |2z1 + z2| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 331 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1| = Giá trị lớn của: P = |z + 2i| + |z – – 2i| tương 2018 2018 2019 2019
1 2
Pz z z z
2018
3.2 2018
5.2
1
| z i| k
z
10 17
2 |z1| | z i| 2
1
3
3 |z3 | | z4 | 15i
0 | | 1 z | | 3 z | | 5 z | | 5z
2 1z
3
1
2z
2 9z
w
z u
1
2
| | | 1|
| | | 1|
z i iz z i iz
3
3 2
(175)ứng
A. B. 12 C. D.
Câu 332 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: z2 – (3i + 1)z – + i = Giá trị biểu thức:
|z1 – z2| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 333 (3) Tổng S = + 2i + 3.i2 + 4.i3 + … + 2017.i2016 tương ứng
A.2018 B.– + 2017i C.2018i – D.1009 – 1008i
Câu 334 (3) Tổng S = i – 2i2 + 3.i3 – … + 2017.i2017 tương ứng
A.1008 – 1009i B.0 C.2017i – D.1009i + 1009
Câu 335 (3) Cho số phức z số thực thỏa mãn: số thực Khi giá trị
biểu thức tương ứng
A.1 B.1/2 C.1/4 D.
Câu 336 (4) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – i| = Khi giá trị lớn biểu thức: P = |z – 1| + |z – 3i + 2|
A. B. C. D.
Câu 337 (4) Cho số phức z số thực thỏa mãn: số thực Trong m n hai số thực Khi giá trị biểu thức tương ứng
A. B. C. D.
Câu 338 (4) Tổng Khi |S2020| nằm khoảng
A. B. C. D.
Câu 339 (4) Tổng Khi |S2019| nằm khoảng
A. B. C. D.
Câu 340 (3) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ P = 2|z – 3| + 3|z + 3| tương ứng M m Khi tích (mM) tương ứng
A. 120 B. C. D.
2 w z z | | | |
z z
1
2
w mz n
z | | | | P z z m n m n
n m
m n
1
m n
2020
2020 A B
2 2020
i i i
S i i
1 (0; ) (1; ) ( ; 2)
2
1 ( ;1)
2 2019
2
2019 A B
2 2018
i i i
S i i
1 ( ;1) (1; ) ( ; 2)
2
1 (0; )
2
(176)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
178 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 341 (3) Cho hai số phức z, u thỏa mãn: |z + u| = |z – 2u| = Khi giá trị biểu thức P = |z|2 + 2|u|2 tương ứng
A. B. C. D.
Câu 342 (3) Cho phương trình bậc ẩn phức z với hệ số thực a, b: z2 + az + b = Biết phương
trình có hai nghiệm phức z1 z2 thỏa mãn: |z1 – 1| = |z2 – 2| Giá trị nhỏ biểu thức:
P = 3|z1| + 5|z2|
A. B.12 C. D.
Câu 343 (3) Cho số phức z khác thỏa mãn: Số phức: w = có mơ đun tương ứng
A. 10 B. C. D.
Câu 344 (4) Cho số phức z thỏa mãn: |z – + i| = Giá trị lớn của: P = |z + 1| + |z – + 2i| tương ứng
A. 22 B. C. D.
Câu 345 (3) Cho số phức z số thực thỏa mãn: số thực, m số thực Giá trị của:
A. B. 2. C. D.
Câu 346 ( 3) Cho số phức z số phức liên hợp biểu diễn hai điểm A A’ mặt phẳng phức Số phức (3 + 2i)z số phức liên hợp biểu diễn hai điểm B B’ mặt phẳng phức Biết AA’B’A hình chữ nhật Giá trị nhỏ biểu thức P = |z – + 4i|
A.3 B. C. D.
Câu 347 ( 3) Cho số phức z số phức liên hợp biểu diễn hai điểm A A’ mặt phẳng phức Số phức (4 – 3i)(z + 1) số phức liên hợp biểu diễn hai điểm B B’ mặt phẳng phức Biết AA’B’A hình vng Giá trị |iz + – 4i | tương ứng nằm
A. B. C. D.
Câu 348 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z2 – 4z + 13| = |(z – – 3i)(z – + i)| Giá trị nhỏ
biểu thức: P = |z – 5| tương ứng
A.1 B. C. D.
21
44
48
68
34 15
2 (3 )
3 | |
iz i z z i
5iz 2 i
2 10 12
4 11 10
2 w
4
m z z
2 | | | |
z P
z
11
4
13
2 3
3
3 2
(0;1) (1; 4) (4; 7) (7;)
5
10
1 10
(177)Câu 349 (3) Cho ba số phức mô đun: |z1| = |z2| = |z3| = R > thỏa mãn: z1 + z2 + z3 =
Mệnh đề sai ?
A. B.
C. D.
Câu 350 (3) Cho đa thức P(z) với hệ số thực Biết số phức z (không thực) thỏa mãn: P(z) = mệnh đề mệnh đề là:
A. B. C. D.
Câu 351 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Xét biểu thức: Mệnh đề là:
A. B. C. D.
Câu 352 (3) Cho hai số phức z thỏa mãn: |z – 2u| = 2|u| = |z| Khi giá trị biểu thức: tương ứng
A. B. C. D.
Câu 353 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z + – 3i| = |z – + i| Biết số phức w = iz + Khi giá trị nhỏ |w| tương ứng
A.1 B.1/2 C.3/4 D.3/2
Câu 354 (3) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: |z| = ?
A.0 B.2 C.1 D.3
Câu 355 (3) Cho hai số phức z u thỏa mãn: |z| = |u| = Khi số phức có phần ảo tương ứng
A.0 B.1 C.-1 D.1/2
Câu 356 (3) Gọi (H) hình biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: số phức z có phần thực khơng âm Diện tích hình (H) tương ứng
A. B. C. D.
Câu 357 (3) Cho số phức z thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i)z + – i hình trịn có chu vi
A. B. C. D.
Câu 358 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Biết điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm I bán kính R Giá trị bán kính R nằm khoảng
A. B. C. D.
1 2 3
|z z | | z z | | z z | Bz z1 2z z2 3 z z3 1 0
2 2
C z z z Dz13z23z33 0
(| |)
P z
( )
P z P( )1
z P z( )0
| | 1z
4
z i P
iz
|P| 1 | P| 1 |P| 1 |P| 2
2 ( )z 16( )u
P
u z
4
3i 17 1 i
| z z3 | 9z
w
z u zu
| 3z z | 4
2 2 4
|z 2 | 2i
20 16 8 4
12
(3 ) | |i z 5i
z
w(3 ) i z 5 2i
(178)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
180 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 359 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi M điểm biểu diễn số phức Biết góc tạo với trục Ox Khi góc có giá trị nằm cung phần tư tương ứng
A.góc phần tư thứ B.góc phần tư thứ
C.góc phần tư thứ D.góc phần tư thứ
Câu 360 (3) Cho số phức z không thực cho: số phức thực Khi giá trị biểu thức: tương ứng
A.1 B. C. D.
Câu 361 (3) Cho z số phức không thực cho phần thực số phức Khi |z| có giá trị
A.1/4 B.1/2 C.1/8 D.1
Câu 362 (3) Cho phương trình bậc hai hệ số thực a b: z2 – bz + 3a + a2 = Biết phương trình có
một nghiệm z1 không thực thỏa mãn: |z1| = Mênh đề là:
A.a = a = -1 B.a = b >
C.a = -4 < b < D.a = a = -4 b < -
Câu 363 (4) Cho số phức z thỏa mãn |z + – i| + |z – – 7i| = Gọi M m giá trị lớn nhỏ |z – + i| Khi tổng (M + m)
A. B. C. D.
Câu 364 (3) Cho số phức z không thực thỏa mãn: số thực Giá trị biểu
thức: tương ứng
A. B. C. D.
Câu 365 (4) Cho số phức z = a + ib a, b thỏa mãn: Giá trị lớn |z| tương ứng
A. B. C. C.
Câu 366 (3) Cho phương trình phức: z2017 + z2016 + … + z + = có 2017 nghiệm phức lần
lượt là: z1, z2 , … , z2017 Khi tổng: có giá trị
A. B.2018 C.2017 D.–
325
(3 )
3
i z
i
w(i2)z3i1 MOx OM 2
2 2017 w
1
z z
| | | |
z P
z
1
1
1
1 | |
u
z z
6
5 2 73
2
13 73 2 73 73
2
2
w
z z z z
1 | |
P z
5
, 0; 2; 12
a b a b a b
113 107
3 14
106
2018 2018 2018 2017
Sz z z
(179)Câu 367 (3) Cho phương trình bậc hai hệ số a thực: z2 – 2az + a2 – 3a = Biết phương trình có
nghiệm phức z1 khơng thực có |z1| = Giá trị |2a + (a2 – 2)i| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 368 (3) Cho số phức z = x + iy, x, y số thực không âm thỏa mãn đồng thời điều kiện: Giá trị lớn giá trị nhỏ Q = |z – – i| tương ứng M m Khi (M + 2m) tương ứng
A. B. C. D.
Câu 369 (3) Cho số phức z = x + iy, x, y số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện: Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ của: P = |z – – 4i| M m Khi (M.m) tương ứng
A. B.12 C. D.
Câu 370 (3) Cho số phức z = x + iy, x, y số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện: Giá trị lớn giá trị nhỏ P = |z – – i| M m Khi (M + m) tương ứng
A. 12 B. C. D.
Câu 371 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Số phức nằm đường tròn (C) có bán kính R
A. B.6 C.3 D.1
Câu 372 (3) Cho số phức z = a + ib, a, b số thực không âm đồng thời hệ số
của tham thức bậc 2: Biết rằng: Giá trị lớn biểu
thức P = |z – – 4i| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 373 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị lớn P = |z – – 4i| tương ứng
A. B. C.5 D.
Câu 374 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị lớn giá trị nhỏ P = |z – + 2i| M m Khi (Mm) tương ứng
A. B. C. D.9
2
6 ;
xy x y
4 5
0 y x; 2y8 ; x y
16 85
12
7
0(x2)(y2) ; 3x2y8 ;x2y10
2 32 13 1 22
(3 ) 12 12
| |
3
i z i z i
1 w
3
iz
2
( )
f x x ax b f( 1) 3 ; f( 2) 9
2 13 17
|z 1| ; |z2 | 4i
124 71 11
4 13 545 80 11
5 |z2 | ; | z 1| |z i |
3 22 10
2
2
(180)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
182 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 375 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: Giá trị biểu thức:
tương ứng
A.1 B.0 C.-1 D.3
Câu 376 (4) Cho biểu thức: P = |z – 1| + |z – – 3i| + |z – – 2i| + |z – + i| Giá trị nhỏ biểu thức P tương ứng
A. B. C. D.
Câu 377 (4) Cho biểu thức: P = |z | + |z – – 2i| + |z – 3i| + |z – + 2i| Biết z = a + ib biểu thức P đạt giá trị nhỏ Khi (a + 2b) tương ứng
A.1 B.4 C.6 D.-3
Câu 378 (4) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn: |z1 – z2| = |z2 – z3| = 12; |z3 – z1| = 14 Giá trị nhỏ
nhất biểu thức: P = |z – z1| + |z – z2| + |z – z3| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 379 (4) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: |z1 | = |z2 | = |z1 – z2| = 12 Giá trị nhỏ biểu
thức: P = |z – z1| + |z – z2| + |z| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 380 (4) Giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – 6| + |z – 8i| + |z – 12 – 8i| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 381 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z – 2i| = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w
thỏa mãn: tương ứng
A.miền D xác định bởi:
B.miền D xác định bởi:
C.miền D xác định bởi:
D.miền D xác định bởi:
Câu 382 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Tập hợp điểm biểu diễn số phức tương ứng
A. đường thẳng: x + 2y – =
B.đường tròn (C):
C.đường tròn (C):
D.đường tròn (C):
1 2
|z | | z | ; | z z |
1 2 Pz z z z
2 36 10 5 17 5 13
4 5 13 957 11 97
12 15
4 3 3 11 12
| wz| 1
2 1x y 3
2 1x (y2) 9
2 1x y 9
2 ( x1) y 3
(2 )
| |
3
i z i iz
1 w
3
z i
2
1 36
( ) ( )
17 17 221
x y
( 1) ( ) 36
2
x y 2 (x5) (y1) 6
(181)Câu 383 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z – + 3i| - |z + – i| = Khi giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – 3i + 2| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 384 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – 4| - |z + 4| = Giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – + 4i|
A. 12 B. C. D.
Câu 385 (4) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – + 3i| – |z + – 3i| = đồng thời làm cho giá trị biểu thức P = |z – 1| đạt giá trị nhỏ Biết z = a + ib Khi giá trị tổng (10a + 10b)
A.1 B.2 C.5 D.3
Câu 386 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – + 4i| – |z + – 2i| = Giá trị nhỏ biểu thức P = |z – + i|
A.3 B.6 C.4 D.5
Câu 387 (4) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – + 4i| – |z – 2i| = Giá trị nhỏ biểu thức P = |z + + i|
A. B. C.6 D.3
Câu 388 (3) Cho số phức z không thực cho: số thực Khi giá trị lớn biểu thức P = |z + – 2i| tương ứng
A. B. C. D.
Câu 389 (3) Cho số phức z không thực cho: số thực đồng thời biểu thức đạt giá trị lớn Khi số phức z = a+ ib Giá trị (a – b)2
A. B. C. D.
Câu 390 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ
biểu thức: M m Giá trị (M/m)
A. 20172 B. 2018 C. D.
Câu 391 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z – z0| = Giá trị nhỏ biểu thức: tương
ứng
A.1 B.0 C.1/2 D.2
Câu 392 (3) Cho số phức z1 không đổi số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – z1| = Xét biểu thức:
Để biểu thức P đạt giá trị nhỏ thì: gần nhất giá trị đây?
A.0 B.1 C.5/2 D.7/2
4
3
3 65 13
2
2 w
3
z z
3 2 13 3 13
2 w
4
z z
| |
P z i
3 2
|z 1 | 2i
| 1| 2017 | |
P z z i
2 2017 2017
2
| |
P z z
2
1
| 2 |
(182)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
184 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 393 (3) Cho số phức z không thực thỏa mãn điều kiện số phức:
thực Khi gọi z = a + ib, giá trị biểu thức:
A. B.0 C.2/3 D.1/2
Câu 394 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình: |6 – 3i + iz| = |2z – – 9i|, thỏa
mãn: Giá trị biểu thức: tương ứng
A. B. C. D. 10
Câu 395 (4) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình: |z – + i| = 2, thỏa mãn:
Giá trị lớn biểu thức: tương ứng
A. B. C. D.
Câu 396 (4) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình: |z – + 4i| = 3, thỏa mãn:
Giá trị lớn biểu thức: tương ứng
A. B. C. D.12
Câu 397 (4) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình: |z – + 3i| = 2, thỏa mãn:
Giá trị nhỏ biểu thức: tương ứng
A. B. C. D.10
Câu 398 (4) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình: |z – + 2i| = 2, thỏa mãn:
Giá trị lớn nhỏ biểu thức: M m Khi tổng (M + m) tương ứng
A. B. C. D.
Câu 399 (3) Cho điểm M biểu diễn số phức z hình vẽ Trong điểm cho (P, Q, R , S) điểm biểu diễn số phức nghịch đảo z tương ứng
A. P B. R C.S D.Q
2
1 w
1
z z z z
4
6
1 ( )
1 ( )
a b a b
1
|z z | 2 P |z1z2|
26
1
|z z | 2 P |z1z2|
4 2
1
|z z | 2 P |z1z2|
4 10 2
1
|z z | 3 P |z1z2|
4 5 13 10 3
1
|z z | P| 2z13z2 |
10 5 82 82 10 5 19 20
y
x O
M 1
Q
P
R S
(183)Câu 400 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: Giá trị nhỏ biểu thức: tương ứng nằm khoảng
A. (1;3) B.(3;5) C.(5;7) D.(7;9)
Câu 401 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z + + i| = Giá trị nhỏ của: P = |z2 + 2i|
A. B. C. D.
Câu 402 (3) Cho ba số phức z phân biệt thỏa mãn: |z1| = |z2| = |z3| Biết z1 , z2 ,
z3 biểu diễn điểm A, B, C. Khi góc tương ứng ?
A. 900. B.1200. C.600. D.1500.
Câu 403 (3) Cho phương trình bậc hệ số thực: z2 + az + b = có hai nghiệm phức không
thực là: w + 2w – 2i Khi tổng (8a + 9b)
A.8 B.0 C.-8 D.12
Câu 404 (4) Cho phương trình phức hệ số thực: z3 + az2 + bz + c = Biết phương trình có
nghiệm thực hai nghiệm phức không thực Gọi nghiệm thực z1
nghiệm phức z2 Biết z1 iz2 có phần thực có |z2| = Giá trị lớn hệ số thực
b tương ứng
A.2 B.4 C.6 D.8
Câu 405 (3) Cho phương trình phức hệ số thực: z2 + az + 2a + = Biết phương trình có hai
nghiệm phức z1 z2 thỏa mãn điều kiện: z1 = iz2 Khi biểu thức (a – 2)2 có giá trị
A.0 B.6 C.4 D.3
Câu 406 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z + + 2i| = Giá trị nhỏ của: P = |z2 + 4i – 3|
A. B. C. D.
Câu 407 (4) Cho số phức z khác không thỏa mãn: đặt: ; Giá trị (M + m) tương ứng
A.12 B.24 C.20 D.18
Câu 408 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: Giá trị lớn biểu thức: tương ứng
A. 21 B. 14 C. D.
Câu 409 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn điều kiện: Giá trị nhỏ của:
P = tương ứng
A.1 B.0 C. D.2
|z 1 i| |z 1 i|
| 2 |
| |
P z i z z
z
1
2
1
1 1
z z z
ACB
2 3 10
2
13
2
3
|z |
z
M max | |z
2 | |
m z
|z 2 |i
2
| | | |
P z i z i
2 134 10 641
1 |z | | z | 1 2
|z 1| | z 1| |z z 1|
(184)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
186 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 410 (4) Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện: Khi giá trị nhỏ biểu
thức: P = tương ứng
A.0 B.3 C.2 D.4
Câu 411 (3) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn: |z1| = ; |z2| = a > Giá trị nhỏ biểu thức:
nằm khoảng
A.(0;1) B.(1;3) C.(4;6) D.(6;8)
Câu 412 (4 ) Cho hai số phức z1 z2 nằm đường trịn (C) có bán kính R qua gốc tọa độ
Biết rằng: |z1| + |z2| = ; |z1z2| = ; |z1 – z2| = Tìm bán kính R?
A. B. C. D.
Câu 413 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Tổng mô đun tất số phức z thỏa mãn phương trình cho tương ứng
A. B. C. D.
Câu 414 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: Khi điểm biểu diễn số phức đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R Trong đó: a, b, R số thực Giá trị (a + b + R2)
A.0 B.2 C.3 D.-2
Câu 415 (3) Cho ba số phức u, v, w thỏa mãn hệ thức: Biết phương trình nghiệm với v Khi |u + w|
A.2 B.1/2 C.3/2 D.1
Câu 416 (3) Cho u w thỏa mãn hệ thức: Biết |u| = Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w?
A. đường trịn (C) có phương trình:
B.là đường thẳng có phương trình: 2x – 3y – = C.là đường trịn (C) có phương trình:
D.là đường trịn (C) có phương trình:
Câu 417 (3) Cho z w thỏa mãn hệ thức: Biết |w| = Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z
A. đường trịn (C) có phương trình:
B.đường thẳng d có phương trình:
C.đường thẳng d có phương trình:
D.đường thẳng d có phương trình:
1 |z | ;| z | 2 2
|z 1| | z 2 | | z z 1|
1 2
| | | | | |
P z z z z
7 10 10
10 7
10 10
14 10
2
2
1
z z z
z
3 2
|z i |
(3 )
w
1
i z i iz
(u2i3)v2iw3i 4
(1 ) w 3 i u i4u0 2
4
( ) ( )
5 80
x y
2 (x1) (y2) 9
2
2
( ) ( )
5
x y (w ) i z(3i)w 2 i0
2 (x1) y 25 8x2y11 0 8x2y 9
2x11y 8
(185)Câu 418 (3) Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức: Biết góc đạt giá trị nhỏ Khi số phức z = a + ib Giá trị (2a + 2b) tương ứng
A. B. C. D.
Câu 419 (3) Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức: Biết góc đạt giá trị nhỏ Khi phần thực số phức z
A. B. C. D.
Câu 420 (3) Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức: Biết góc đạt giá trị lớn Khi phần ảo số phức z
A. B. C. D.-2
Câu 421 (3) Cho số phức z không thực, cho số phức: số thực Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – + 3i| M m Khi (Mm)
A.16 B.14 C.19 D.12
Câu 422 (4) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z2 + 2az + a2 + 2a + = 0, với a
tham số thực Khi giá trị lớn biểu thức: 2 2
1
| | | |
P
z z
A. B. C. 2 D.
Câu 423 (4) Cho số phức z thỏa mãn: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Khi tổng (M + m)
A. 12 B. 13 1 C. 6 D. 2
Câu 424 (4) Gọi z1 z2 hai số phức thỏa mãn điều kiện: |4z – 3i| = |4 + 3iz| Biết chúng
cũng thỏa mãn điều kiện: |z1 – z2| = Hãy tính giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2| ?
A. 19 B. C. D.
Câu 425 (3) Cho hai số phức thỏa mãn: |z1| = |z2| = Khi giá trị biểu
thức: 2
1
| |
P z z bao nhiêu?
A. 12 B. 26 C. 10/3 D.
Câu 426 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 108) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: (z – 1)2 ảo ?
A. B.4 C.2 D.0
Câu 427 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 108) Cho số phức z thỏa mãn: Đặt: z = a+ ib Khi giá trị S = (4a + b) tương ứng
A. B.4 C.2 D.0
Câu 428 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 103) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện:
và Tính |z| ?
A. 17 B. C.10 D.
|z 1 i |1 MOy
2 3 3
|z 1 i |1 MOx
3
3
2
|z 1 i |1 MOy
7
4
2
1
2
w
z z z z
2
|z 4 |i z
| |
P z i
2 2
| 4z 9z | 48
|z 2 i| 2
2 | |
z i z
|z3 | 5 |z2 | |i z 2 |i
(186)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
188 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu 429 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 103) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: số ảo ?
A. B.4 C.2 D.0
Câu 430 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 107) Cho số phức z = a + ib, (có a b số thực) thỏa mãn điều kiện: z + + 3i – |z|i = Tính S = (a + 3b) ?
A. -5 B.5 C.7/3 D.-7/3
Câu 431 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 107) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: số ảo ?
A. Vô số B.2 C.0 D.1
Câu 432 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 120) Cho số phức z thỏa mãn: |z| = |z + 3| = |z + – 10i| Tìm số phức w = z – + 3i ?
A. w = + 3i B.w = - + 7i C.w = - + 8i D.-3 + 8i
Câu 433 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 120) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn đồng thời: Tìm số phần tử S?
A. B.4 C.1 D.3
Câu 434 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z i | | z i | 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi (M + m) tương ứng thuộc khoảng ?
A. (1; 2) B. (2; )5
2 C.
5 ( ; )
2 D.
7 ( ; 4)
2
Câu 435 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z i | |z2 | 20i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi (M + m) tương ứng thuộc khoảng ?
A. (1;3) B. (4;11)
2 C.
11 13
( ; )
2 D.
13
( ;8)
2
Câu 436 (3) Cho số phức z thỏa mãn: |z 3 | |i z1| 12 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z + i + 2| Khi (M + m) tương ứng thuộc khoảng ?
A. (1; 2) B. (2;3) C.(3; 4) D. (4;6)
Câu 437 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = Khi giá trị nhỏ biểu thức
| | | |
P z i z i tương ứng
A. B. C.3 D.
Câu 438 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + i| = Khi giá trị nhỏ biểu thức
| | | |
P z i z i tương ứng
A. 29 B. C. 13 D. 15
|z3 |i 13
2
z z
|z3 | 5i
2
z z
z z |z 3i|m
(187)ĐÁP ÁN CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO
Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A
01 A 31 D 61 C 91 C 121 B 151 D 181 A
02 D 32 C 62 C 92 D 122 A 152 C 182 B
03 D 33 A 63 A 93 B 123 B 153 A 183 A
04 A 34 B 64 C 94 A 124 C 154 A 184 B
05 B 35 B 65 B 95 C 125 D 155 D 185 C
06 B 36 A 66 A 96 B 126 D 156 A 186 D
07 A 37 C 67 A 97 D 127 A 157 B 187 D
08 D 38 C 68 D 98 A 128 A 158 B 188 C
09 D 39 A 69 B 99 D 129 B 159 C 189 A
10 A 40 B 70 A 100 A 130 C 160 B 190 C
11 B 41 D 71 D 101 B 131 A 161 D 191 B
12 C 42 C 72 B 102 A 132 D 162 A 192 A
13 A 43 A 73 D 103 B 133 C 163 C 193 C
14 C 44 D 74 A 104 A 134 B 164 C 194 D
15 A 45 A 75 A 105 C 135 D 165 D 195 B
16 B 46 C 76 D 106 A 136 D 166 C 196 A
17 B 47 D 77 C 107 D 137 B 167 D 197 C
18 A 48 D 78 C 108 B 138 D 168 B 198 A
19 C 49 C 79 B 109 D 139 C 169 A 199 C
20 D 50 B 80 D 110 A 140 C 170 C 200 A
21 A 51 A 81 B 111 B 141 A 171 A 201 C
22 A 52 D 82 C 112 C 142 C 172 D 202 D
23 C 53 B 83 D 113 A 143 A 173 C 203 D
24 B 54 A 84 C 114 D 144 D 174 B 204 A
25 A 55 C 85 B 115 B 145 D 175 C 205 D
26 A 56 B 86 A 116 C 146 B 176 B 206 B
27 C 57 D 87 B 117 A 147 A 177 C 207 C
28 B 58 A 88 C 118 A 148 A 178 B 208 A
29 A 59 B 89 D 119 C 149 D 179 D 209 C
(188)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
190 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A
211 A 241 A 271 A 301 A 331 C 361 A 391 B
212 C 242 D 272 C 302 B 332 C 362 C 392 C
213 A 243 B 273 D 303 A 333 D 363 A 393 C
214 A 244 D 274 B 304 D 334 A 364 D 394 D
215 D 245 A 275 C 305 A 335 B 365 D 395 B
216 A 246 C 276 A 306 C 336 A 366 C 396 A
217 D 247 B 277 B 307 B 337 C 367 D 397 B
218 A 248 A 278 D 308 A 338 D 368 D 398 D
219 B 249 D 279 C 309 D 339 A 369 A 399 D
220 C 250 B 280 B 310 C 340 C 370 C 400 D
221 B 251 A 281 D 311 A 341 D 371 A 401 C
222 A 252 C 282 B 312 D 342 B 372 D 402 B
223 C 253 D 283 C 313 B 343 B 373 D 403 A
224 B 254 A 284 D 314 A 344 C 374 B 404 D
225 C 255 C 285 A 315 D 345 A 375 A 405 B
226 A 256 B 286 C 316 D 346 D 376 D 406 C
227 A 257 D 287 D 317 B 347 C 377 B 407 B
228 D 258 A 288 A 318 C 348 B 378 C 408 D
229 A 259 C 289 C 319 D 349 D 379 A 409 D
230 C 260 B 290 B 320 A 350 D 380 C 410 B
231 A 261 D 291 D 321 C 351 B 381 B 411 C
232 A 262 A 292 A 322 D 352 A 382 B 412 A
233 D 263 B 293 A 323 B 353 B 383 D 413 B
234 C 264 A 294 D 324 A 354 C 384 C 414 D
235 B 265 C 295 D 325 C 355 A 385 B 415 C
236 B 266 C 296 B 326 D 356 D 386 A 416 A
237 A 267 D 297 C 327 B 357 A 387 D 417 C
238 D 268 B 298 C 328 A 358 D 388 D 418 D
239 C 269 C 299 A 329 D 359 A 389 C 419 B
240 C 270 D 300 C 330 B 360 B 390 D 420 A
(189)Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A Câu Đ/A
421 C 451 481 511 541 571 601
422 D 452 482 512 542 572 602
423 B 453 483 513 543 573 603
424 A 454 484 514 544 574 604
425 C 455 485 515 545 575 605
426 A 456 486 516 546 576 606
427 B 457 487 517 547 577 607
428 D 458 488 518 548 578 608
429 C 459 489 519 549 579 609
430 D 460 490 520 550 580 610
431 B 461 491 521 551 581 611
432 C 462 492 522 552 582 612
433 A 463 493 523 553 583 613
434 D 464 494 524 554 584 614
435 C 465 495 525 555 585 615
436 B 466 496 526 556 586 616
437 B 467 497 527 557 587 617
438 A 468 498 528 558 588 618
439 469 499 529 559 589 619
440 470 500 530 560 590 620
441 471 501 531 561 591 621
442 472 502 532 562 592 622
443 473 503 533 563 593 623
444 474 504 534 564 594 624
445 475 505 535 565 595 625
446 476 506 536 566 596 626
447 477 507 537 567 597 627
448 478 508 538 568 598 628
449 479 509 539 569 599 629
(190)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
192 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
X HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Lời tựa: Với câu trắc nghiệm trình bày cách bắt buộc đầu tiên, cách trình bày tự luận giúp em học sinh học phần số phức nắm vững chất Tuy nhiên, tác giả trình bày thêm nhiều cách trắc nghiệm: có cách dễ nhớ dài dịng hơn, có cách ngắn gọn tốc độ lại yêu cầu nhớ cơng thức chun dụng nhiều Tóm lại, em học sinh bạn đọc tham khảo xem cách nào, hướng giải phù hợp với tư khả thiết thực thân nên ghi nhớ sử dụng thường xuyên để tạo cho kĩ trắc nghiệm
Ở sau câu trắc nghiệm có kí hiệu (2) , (3) , (4) mức độ khó tăng dần Cần phân biệt rõ, cách làm nhanh tốc độ so sánh triển khai làm trực tiếp, không so sánh số dịng chữ dẫn giải Vì đơn giản, cách trắc nghiệm, số dịng chữ dẫn giải có tốc độ xử lí đo tư Phần trình bày lời giải câu mức (3) mức (4); với câu mức (2) câu lí thuyết phải tự hoàn thiện
Câu 18 (3) Biết số phức z thỏa mãn: Số phức z
A. 4i B. C. + 4i D. – 4i
Giải:
Cách 1: Tự luận
Áp dụng bất đẳng thức tam giác số phức, ta có:
Bài toán cho dấu “=” xảy Khi hai số phức (z) (2i) đồng dạng dương, tức ta có: z = k.(2i) ; với số thực:
Vậy chứng tỏ: z = 2k.i số phức ảo Quan sát đáp án ta nhận thấy có đáp án A thỏa mãn Vậy ta chọn đáp án A.
Cách 2: (Thay số thử nghiệm) Nếu không nắm vững nhiều kiến thức nâng cao việc thay số đáp án vào đề phương pháp hữu dụng thi trắc nghiệm
Lần lượt thay đáp án vào hệ thức cho:
Với đáp án A z = 4i Ta thay vào hệ thức cho: ; Vậy ta chọn đáp án A.
Nhận xét: Khi ta gặp may, câu trắc nghiệm cho đáp án A thì cần thay lần ngay đáp án Thế nhưng, mà đáp án C. D.và đồng thời hệ thức thay khó khăn coi như ko gặp may.
|z2 | | | 2i z
|z2 | | | | | | | 2i z i z
0
k
| 4i2 | | | 2i i 6
(191)Câu 20 (3) Cho số phức Mô đun số phức (1 – 2i)z
A.1024 B.1204 C.4092 D.5120
Giải:
Cách 1: Tự luận
Số phức: (1 – 2i)z =
Suy ra:
Vậy ta chọn đáp án D.
Cách 2: Bài tốn hỏi |(1 – 2i)z| ta dùng CASIO bấm giá trị:
Câu 22 (3) Chọn hệ thức sai?
A. B. C. D.
Giải:
Xuất phát từ bất đẳng thức tam giác:
Lần lượt kiểm tra đáp án:
Đáp án A. ra: mà đáp án A là: Vậy suy hệ thức đáp án A. sai
Đúng làm đề thi trắc nghiệm đến xong Nhưng ta xét thêm sai đáp án lại cho thông suốt mạch lạc kiến thức:
Đáp án B. đúng với bất đẳng thức tam giác tổng hai cạnh
Đáp án C đúng với bất đẳng thức tam giác hiệu hai cạnh
Đáp án D Đây đáp án mồi, em học sinh học giỏi nhìn vào dùng tư khoanh bừa đáp án D sai Vì nhận thấy đáp án có xuất dấu ; đồng thời đáp án ngấp nghé xuất mô đun
Thế nhưng, phân tích kĩ:
Nhận xét: Khi khơng dùng tư Tốn học để chọn đáp án mà dùng tư loại trừ linh cảm, đưa tới kết tốt 50/50 Đó lại câu đáp án mồi nguy hiểm
Câu 30 (3) Tổng: A = i + i2 + … + i51
A.1 B.-1 C.-i D.i
16 12
(1 )(1 3)
(1 )
i i
z
i
16 16 16
12 12 12
(1 )(1 3) {(1 )(1 )}(1 3) 5(1 3)
(1 )
(1 ) (1 ) (1 )
i i i i i i
i
i i i
16 16 16
10 12 12 12
5(1 3) |1 |
| (1 ) | | | 5 5.2 5120
(1 ) |1 | ( 2)
i i
i z
i i
16 12
(1 )(1 3)
| (1 ) | 5120
(1 )
i i
i
i
|z i | | | 1z |z2 | | | 2i z |z i | | | 1z |z 2 i| | | 3z
1 2
|z z | | z ||z | |z1z2| | z1||z2|
|z i | | | | | | | 1z i z |z i | | | 1z
|z2 | | | | | | | 2i z i z |z i | | | | | | | 1z i z
|z 2 i| | | 3z
(192)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
194 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Giải:
Cách 1:
Tổng cấp số nhân có số hạng đầu u1 = i công bội q = i:
Chọn đáp án B. Cách 2:
Tổng lũy thừa liên tiếp số ảo i là: i + i2 + i3 + i4 = i(1 + i2) + i2(1 + i2) = 0 Như vậy, tổng 4k lũy thừa liên tiếp số ảo
Vậy ta có: A = (1 + i + i2 + … + i51) – = – = –1. Câu 31 (3) Tổng: A = + i + i2 + … + i2017
A.1 – i B.i C.1 D.1 + i
Giải:
Tổng lũy thừa số ảo liên tiếp 0: A = + i + (i2 + i3 + … + i2017) = + i + = + i. Chọn đáp án D.
Câu 32 (3) Rút gọn biểu thức:
A.i B.-1 C.0 D.1 + i
Giải:
Chúng ta nhận thấy: i + i3 = i(1 + i2) = 0; i2 + i4 = i2(1 + i2) = Khi ta có:
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 33 (3) Tổng: có phần ảo b Khi b/144
A.14119 B.19114 C.11491 D.14911
Giải:
Chúng ta nhận thấy Sn tổng 2017 số hạng, số hạng lập thành cấp số cộng
với công sai d = i {muốn biết công sai d ta cần xác định hiệu hai số hạng liên tiếp}
Vậy áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng ta được:
51 52 26 26
1 ( ) ( 1)
A = u
1 1 1
n
q i i i i i i i
i
q i i i i i
3 57 62
A =
i i i i i i
3 57 55 57 62 60 62
( ) ( ) ( )
A =
( ) ( ) ( )
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
1 (1 ) (1 ) (1 2016 )
n
S i i i
1 (1 2016 )
1 (1 ) (1 ) (1 2016 ) 2017 2017 2033136
2
n
i
S i i i i
(193) Phần ảo Sn là: b = 2033136 Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 34 (3) Tổng: có phần thực a phân ảo b
Khi (a + b)/100
A.200 B.400 C.144 D.289
Giải:
Sn tổng cấp số cộng có đơng sai d = + i có 200 số hạng Ta có:
Suy ra:
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 35 (3) Cho tổng: Rút gọn tổng Sn
A.1+210i B. C.1025 D.1023
Giải:
Sn tổng cấp số nhân có số hạng u1 = cơng bội q = + i, có 20 số hạng Áp dụng công thức:
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 36 (3) Cho tổng: Rút gọn tổng Sn
A.-1025(1 + i) B. C.1025(1 – i) D.1023i –
Giải:
Áp dụng công thức tổng 20 số hạng cấp số nhân:
Vậy ta chọn đáp án A
Câu 47 (3) Cho số phức z = a + ib, a b hai số thực Biết số phức z thỏa mãn 14119
144
b
1 (2 ) (3 ) (200 199 )
n
S i i i
1 (200 199 )
1 (2 ) (3 ) (200 199 ) 200 20100 19900
2
n
i
S i i i i
20100 19900 400
100 100
a b
2 19
1 (1 ) (1 ) (1 )
n
S i i i
10 (2 1)i
20
2 19 10
1
1 (1 )
1 (1 ) (1 ) (1 ) (2 1)
1 (1 )
n n
q i
S i i i u i
q i
2 20
(1 ) (1 ) (1 )
n
S i i i 10
2 (1i)
20 20
1
1 (1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1025)(1 )
1 (1 )
n n
q i
S i i i u i i
q i
(194)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
196 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
phương trình phức: Tỉ số có giá trị
A.3/8 B.1/3 C.3 D.4/3
Giải:
Chúng ta có: Lại có:
Phương trình cho (1)
Đến ta thấy (1) phương trình bậc hai ẩn đơn giản biết làm
(1)
Suy tỉ số: Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 53 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: Tích số phần thực phần ảo số phức z bằng?
A.1/4 B.1/2 C.-1/4 D.-1/2
Giải:
Tương tự câu 47 ta có:
Phương trình cho (1)
Thay z = a + ib vào phương trình (1) ta được:
(1)
Suy tích số phần thực phần ảo số phức z: a.b = 1/2 Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 54 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: Khi mơ đun số
phức:
A. B.5 C. D.
Giải:
Giải nhanh phương trình bậc để tìm số phức z:
Phương trình cho
2
| | 25( )
2
3
z z i
z i z b a 2 | |
| | z
z z z z z
25
3 4 i i
2 (3 )( ) (3 )
z z i z i z i z i
3
3( ) (3 )( ) ( 4) ( 3)
1
a
a ib i a ib i b i a b
b b a
| | 2( 1)
0 z z iz z i
(1 )( 1) (2 1)
z iz i z z i z i
1
( ) (2 1)( ) ( 1) (2 1) 1
2
a a ib i a ib i b i a b
b
(1i z i)( ) 2z2i
2
2
w z z
z
10 13
2 (1 )
(1 2) (1 )
1
i i i
z i i i i z CASIO i z i
i
(195) Mô đun số phức w:
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 62 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: Giá trị |z|
A.5 B.8,5 C. D.
Giải:
Cách 1: Gọi z = a + ib thay vào phương trình cho Rồi sau nhiều phút suy z
Cách 2: Đây dạng tốn xử lí mơ đun:
Phương trình cho
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 64 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: Giá trị
của biểu thức:
A.31 B.29 C. D.
Giải:
Cách 1: Giải phương trình bậc hai phút thay vào biểu thức A
Cách 2: Đây toán xử lí mơ đun
Chia phương trình cho z ta được:
Suy ra:
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 65 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: Giá trị
biểu thức:
A.3 B.6 C. D.
Giải:
Phương trình cho
2
| 1| | 1|
| w| = 10
| | | |
z z i i
z i
2
(1 ) i z z(3 ) i 0
0, 10
2 2
(1 ) i z z(3 ) i | (1 ) i z | | (3 ) | z i |1 | | |i z | | | |z i
5 10
10 | | | |
2 10
z z
2
(5 2)
z i z
1
1
1
A = |z + | + |z + |
z z
2 29 58
1 1
(5 2) | | | | 29
z i z i z i
z z z
1
1
1
A = |z + | + |z + |= |25 i| + |2 5i| = 29
z z
2
3
z z
1
1
5
A = |z + | + |z + |
z z
2 15 30
1
3
z z
z z
(196)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
198 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Thay vào biểu thức A, ta được:
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 66 (3) Cho số phức z1 z2 hai nghiệm phương trình phức: Giá trị
biểu thức:
A.34 B.17 C. D.
Giải:
Bài tốn khơng xử lí mơ đun Mà thực chất phương trình bậc hai đơn giản Sử dụng CASIO bấm nhanh hai nghiệm phức:
Thay vào biểu thức A, ta được:
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 67 (3) Cho số phức z thỏa mãn phương trình: Giá trị m
A. B. C.3 D.
Giải:
Từ phương trình cho ta lấy mơđun hai vế:
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 68 (3) Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị |z|
A. B. C.10 D.
Giải:
Xử lí mơ đun: Phương trình
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 69 (3) Cho z1 , z2 , z3, z4 bốn nghiệm phương trình trùng phương: Giá
trị biểu thức:
A.10 B.6 C.4 D.8
1
1
5
A = |z + | + |z + | = | | | | z z
2
2 17
z z
2 2
A = |z | + |z |
2 17 34
1
2
1
2 17
1
z i
z z
z i
2 2
1
A = |z | + |z | | | i | |i 34
2
(2i z) m z.( )
5
2
2 2
| (2i z) | | m z || 2i| | |z |m| |z | | 2 i| |m| 5m
3
(1 ) i z z(4 ) i 0
5
3
(1 ) i z z(4 ) i | (1 ) i z | | (4 ) | z i
3
|1 | | | | i z z | | | i | |z 5 | |z
4
5
z z
1 A = |z | |z | |z | |z |
(197)Giải:
Bấm CASIO giải phương trình trùng phương ta được:
Thay vào biểu thức A ta được:
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 70 (3) Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình: Giá trị
A. B. C.12 D.26
Giải:
Phương trình cho
Suy ra: Thay vào biểu thức mô đun cần tính, ta được:
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 71 (3) Cho z1 z2 hai nghiệm phương trình: Giá trị
A.20 B. C.15 D.
Giải:
Phương trình cho
Suy ra: Thay vào biểu thức mô đun ta được:
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 72 (3) Hai nghiệm phương trình phức:
A.1 + 4i – 5i B. + 4i + 3i C.1 – 4i + i D.1 – 4i + 11i Giải:
Cách 1: Tự luận
Đây phương trình bậc hai hệ số phức ẩn nên ta làm bình thường:
1,2
3,4
1
4
z z
z z
A = | 1| |+1| | | | | 6
2
2
z iz i 2
1
|z i| + |z i|
6
2 2 2
2 ( ) 3 ( ) 3
z iz i i i z i i z i i
2 2
(z i) (z i) 3 3i
2 2
1 2
|z i| + |z i| = |(z i) | + |(z i) | = | 3 | + | 3 | i i 6
2
4 3
z iz i 2
1
|z 2 | + |zi 2 |i
13 10
2 2 2
4 4 3 ( ) ( )
z iz i i i z i i z i i
2
1
(z 2 )i (z 2 )i 1 3i
2 2
1 2
|z 2 | + |zi 2 | = |(zi 2 ) | + |(zi 2 ) | = | |i i | | 10 i
2
(3 ) 10 11
z i z i
2
(3 )i 4( 10 11 )i 2i (1 i) (1 i)
(198)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
200 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Vậy ta chọn đáp án B
Nhận xét: Bài toán khai biệt số dễ dàng nên ta cảm giác đơn giản Nếu gặp toán khai phức tạp hoang mang
Cách 2: Thay số
Chúng ta thay số cặp nghiệm vào phương trình
thời gian Sử dụng định lí VIET đảo cho tổng tích hai nghiệm:
Với đáp án A: z1 + z2 = – i , loại
Với đáp án B: z1 + z2 = + 7i , thỏa mãn điều kiện tổng Ta tiếp tục thử với điều kiện tích: z1z2 = –10 + 11i , thỏa mãn điều kiện tích Vậy ta chọn đáp án B
Câu 73 (3) Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: Mơ
đun số phức w = (z1 + i)(z2 + i)
A. B. C. D.
Giải:
Số phức w biểu thức VIET {phải tự hiểu biểu thức VIET biểu thức đưa dạng tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai xét}:
w = z1z2 + i(z1 + z2) + i2 = (3 + 8i) + i(4i +5) – Đến ta dùng CASIO bấm kết cho nhanh:
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 74 (3) Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: Mơ
đun số phức w = (z1 + 2i + 1)(z2 + 2i + 1)
A. B. C. D.
Giải:
Ta có:
Dùng CASIO bấm mô đun:
Vậy ta chọn đáp án A
1
3 (1 ) (1 )
1 ;
2
i i i i
z i z i
1
1
3 10 11
b
z z i
a c
z z i
a
2
(4 5)
z i z i
15 13 173
| w | | 8 ii i(4 5) 1| 173
2
(2 7)
z i z i
626 215 11 11
2
1 2
wz z (2i1)(z z ) (1 ) i (1 ) (2 i i1)(2i7) (1 ) i
|w| | (1 ) (2 i i1)(2i7) (1 ) | i 626
(199)Câu 75 (3) Hai số phức z1 z2 nghiệm phương trình: Mơ
đun số phức w = (z1 + 2i + 1)(iz2 + i – 2)
A. B. C. D.
Giải:
Biểu thức w nhìn qua ta khơng nhận biết biểu thức VIET Biến đổi sau:
Thay hệ thức VIET vào:
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 76 (3) Cho số phức w = (m – i)(2i + 3) Biết |w| = 4m Khi giá trị m
A. B. C. D.
Giải:
Lấy mô đun hai vế phương trình cho ta được: (từ )
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 77 (3) Số nghiệm phương trình
A.0 B.2 C.3 D.1
Câu 78 (3) Cho phương trình: Số phức khơng phải nghiệm phương trình trên?
A.0 B. C. D.
Giải:
Gọi z = a + ib thay vào phương trình cho ta được:
Suy hệ phương trình hai ẩn đơn giản:
Với b = 0, thay vào (2) suy a = Ta số phức thỏa mãn phương trình là: z =
(2 1)
z i z i
137 5
2
1 2
w(z 2i1) (i z 1 )i i z z{ (1 )( i z z ) (1 ) } i
2
wi{(2 ) (1 )(2 i i i1) (1 ) } i |w | | {(2 ) (1 )(2i i i i1) (1 ) }| = 137 i
13
13
11
3
13
| w | 4 mm0
2 2 13 13
| w | | || | 13 16 13 13
3
m i i m m m m m m
2
| |
z z z
2
| |
z z z
1
2
i
2
i
2
i
2 2 2 2
(a ib ) a b a iba b 2abia b a ib(2b a)b a(2 1)i0
2
0
(2 1) 1
2
2 (2)
b b a
a
b a
(200)Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
202 |T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h –
Với , thay vào (2) ta được: Vậy ta hai số phức thỏa
mãn phương trình cho là:
Vậy tất có ba nghiệm phức thỏa mãn phương trình cho
Ở Câu 77 ta chọn đáp án C. Câu 78 ta chọn đáp án C.
Câu 79 (3) Cho phương trình bậc phức: z3 –(3 + 2i)z2 + z – 4i + = Gọi ba nghiệm lần
lượt z1 , z2 , z3 Giá trị số phức: w = (z1 + 1)(z2 + 1)(z3 + 1)
A.4 + 5i B.4 + 6i C.3 + i D.-3 + 4i
Giải:
Số phức w có dạng biểu thức VIET ba nghiệm, ta biến đổi sau:
w = (z1 + z2 + z3) + (z1z2 + z2z3 + z3z1) + (z1z2z3) + Thay hệ thức VIET vào ta được:
w = (3 + 2i) + (1) + (4i – 1) + = + 6i
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 80 (3) Cho biết x số thực hàm số f(x) = Nếu viết hàm f(x) dạng:
f(x) = hệ số B
A.2 B.1 C.3/4 D.4/3
Giải:
Cách 1: Tự luận lạc hậu
Sử dụng phép đồng thức:
Từ đó, suy ra:
Vậy chọn đáp án D.
Nhận xét: Cách áp dụng cho toán đơn giản, với tốn có tới nhân tử mẫu khó khăn việc quy đỗng mẫu đồng thức
Cách 2: Ứng dụng quà tặng sống mà số phức mang lại
2
a 2 0
2
b b
1
2
z i
2
3
( 1)( 4)
x
x x
2
A B C D
1
x x
x x
3
2 2 2
3 A B C D (A + C) (B + D) (4A + C) 4B + D
( )
( 1)( 4) ( 1)( 4)
x x x x x x
f x
x x x x x x
4 B
B + D = 3
4B + D = 4
D = -3