Chuyên đề PT nghiệm nguyên => Ôn 10

2 CáC PHơNG PHáP GIảI PHơNG TRìNH NGHIệM NGUYêN: 2.1 - PHơNG PHáP 1: Phơng pháp đa dạng tổng Phơng pháp: Phơng pháp thờng sử dụng với phơng trình có biểu thức chứa ẩn viết đợc dới dạng tổng bình phơng - Biến đổi phơng trình dạng vế tổng bình phơng biểu thức chứa ẩn; vế lại tổng bình phơng số nguyên (số số hạng hai vế nhau) 2 A + B + C + = m + n + p + ( x, y, ) ( x, y ) ( x, y, ) Với (m; n; p, Z ) - Giải hệ tơng ứng: = m2 A ( x, y, ) B( x, y, ) = n = p2 C ( x, y, ) = n2 A ( x, y, ) B( x, y, ) = m = p2 C ( x, y, ) = p2 A ( x, y, ) B( x, y, ) = m = n2 C x , y , ( ) Các ví dụ minh hoạ: 2 - Ví dụ 1: Tìm x;y Z thoả mãn: 5x 4xy + y = 169 (1) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy hai vế phơng trình biểu diễn đợc tổng hai bình phơng Giải: ( x y ) + x = 144 + 25 (1) (1) 4x 4xy + y + x = 144 + 25 = 169 + 2 ( x y ) + x = 169 + (2) Từ (I) ta có: ( x y ) = 122 x = x = ; x = 52 y = m2 y = m22 ( x y ) = 52 x = 12 ; x = 122 y = m19 Tơng tự từ (II) ta có: ( x y ) = 132 x2 = 2x y ( x = 12 y = m29 x = y = 13 ) = x = 13 x = 13 y = 26 ( 5; ) ; ( 5; 22 ) ; ( 5; ) ; ( 5; 22 ) ; ( 12; 19 ) ; ( 12; 29 ) ( 12; 19 ) ; ( 12; 29 ) ; ( 0; 13) ; ( 0; 13) ; ( 13; 26 ) ; ( 13; 26 ) Vậy ( x, y ) - Ví dụ 2: Tìm x;y Z thoả mãn: x + y - x - y = (2) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy hai vế phơng trình biểu diễn đợc tổng hai bình phơng Giải: x2 + y2 - x - y = x x + y y = 32 x x + + y y + = 34 ( x 1) + ( y 1) = 52 + 32 ( x 1) = 32 x = 2; x = y = 3; y = ( y 1) = 52 ( x 1) = 52 x = 3; x = y = 2; y = ( y 1) = 32 Vậy ( x; y ) { ( 2;3) ; ( 2; ) ; ( 1;3) ; ( 1; ) ; ( 3;2 ) ; ( 3; 1) ; ( 2;2 ) ; ( 2; 1) } Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên; a/ x + y = 115 x b/ x + y + z = xy + 3x + z 2.2 - PHơNG PHáP 2: Phơng pháp đa dạng tích Phơng pháp: Phơng pháp thờng sử dụng với phơng trình có biểu thức chứa ẩn phân tích đợc thành nhân tử - Biến đổi phơng trình dạng vế tích đa thức chứa ẩn; vế lại tích số nguyên (số nhân tử hai vế nhau) A .B C = m.n p ( x, y, ) ( x, y ) ( x, y, ) Với (m; n; p, Z ) - Giải hệ tơng ứng: A =m ( x , y , ) A ( x , y , ) = n A = p ( x , y , ) A =n ( x , y , ) B ( x , y , ) = m C = p ( x , y , ) A = p ( x , y , ) B ( x , y , ) = m C =n ( x , y , ) Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x;y Z thoả mãn: x3 y = 91 (1) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy vế trái phơng trình dễ dàng phân tích thành nhân tử Giải: 2 2 (1) ( x y ) ( x + xy + y ) = 91.1 = 13.7 (Vì x + xy + y > ) ( Ta có: ) ( x y ) ( x + xy + y ) x y = x = x = ; x + xy + y = 91 y = y = x y = 91 = 91.1 = 7.13 VN x + xy + y = x y = x = x = ; y = x + xy + y = 13 y = x y = 13 VN 2 x + xy + y = - Ví dụ 2: Tìm x;y Z thoả mãn: x + x y = (2) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy vế trái phơng trình hiệu hai đa thức bậc hai độc lập x y, nên ta phân tích thành nhân tử Giải: x + x y = x2 + x y = ( x + 1) ( y ) = 2 ( x + y + 1) ( x xy + 1) = x + y +1 = x = x y + = y = x + y + = x = x y + = y = Vậy: ( x; y ) { ( 0;0 ) ; ( 1;0 ) } Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên; a/ x xy = 25 b/ 3x3 xy = c/ x + y = x y 2.3 - PHơNG PHáP 3: Phơng pháp cực hạn Phơng pháp: Phơng pháp thờng sử dụng với phơng trình đối xứng - Vì phơng trình đối xứng nên x; y; z có vai trò bình đẳng nh Do đó; ta giả thiết x y z ; tìm điều kiện nghiệm; loại trừ dần ẩn để có phơng trình đơn giản Giải phơng trình; dùng phép hoán vị để suy nghiệm Ta thờng giả thiết x y z Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y; z Z + thoả mãn: x + y + z = x y.z (1) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy phơng trình đối xứng  Giải: Giả sử x y z Khi đó: (1) x y.z = x + y + z 3z x y (Vì x; y; z Z + ) x y { 1;2;3} Nếu: x y = x = y = + z = z (vô lí) Nếu: x y = x = 1; y = 2; z = Nếu: x y = x = 1; y = z = < y (vô lí) Vậy: x; y; z hoán vị ( 1;2;3) 1 - Ví dụ 2: Tìm x; y; z Z + thoả mãn: + + = (2) x y z Nhận xét Tìm hớng Giải: Đây phơng trình đối xứng Giải: Giả sử x y z Khi đó: 1 3 (2) = + + x x = x y z x 1 Với: x = = + y y { 1;2} y z y Nếu: y = = (vô lí) z Nếu: y = z = Vậy: x; y; z hoán vị ( 1;2;2 ) Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng: a/ x + y + z + t = x y.z.t 1 1 + + = b/ x y z 1995 x y z.x y.z c/ z + y + x = d/ x + y + = x y.z 2.4 - PHơNG PHáP 4: Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết Phơng pháp: Phơng pháp thờng sử dụng với phơng trình có dạng phân thức mà tử số nguyên; đợc dùng để Giải toán: Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên - áp dụng tính chất chia hết Z để xác định tập giá trị biểu thức chứa ẩn (thờng biểu thức dới mẫu) Các ví dụ minh hoạ: x2 + x - Ví dụ 1: Tìm x; y Z để: A = nhận giá trị nguyên x + x +1 Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy A phân thức có tử mẫu số nguyên Do ta biến đổi A thành tổng đa thức phân thức có tử số nguyên Giải: x2 + x x2 + x + 11 = = 1+ Ta có: A = Khi đó: x + x +1 x + x +1 x + x +1 Để A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x + x +1 1M( x + x + 1) ( x + x + 1) U ( 1) = { 1;1} x = 2 Vì V: ( x + x + 1) > 0; x  x + x + = x = Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: x = x = - - Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả mãn: y x + x + y + = x + y + x y (2) (Đề thi Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán đại học KHTN Hà Nội) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta nhận thấy hạng tử chứa biến đôi có chứa nhân tử chung nên nhóm hạng tử hợp lí cho ta đa thức có nhân từ chung (x 1), nên chia hai vế ph ơng trình cho (x 1) ta có vế nhận giá trị nguyên Giải: Ta có: (2) y ( x 1) x.( x 1) y.( x 1) + = ( *) Với: x = 1; ( *) = x = nghiệm phơng trình = ( **) Nên: y x y + x x =  ( x 1) U ( 1) = { 1; 1} Phơng trình có nghiệm nguyên x x = - Ví dụ 3: Tìm x; y Z + thoả mãn: 3x + = (y + 1)2 (3) Nhận xét Tìm hớng Giải: Vì 3x số lẻ; suy (y + 1) chia hết cho Sử dụng tính chất ta xét điều kiên nghiệm phơng trình GIảI: Ta có: (3) 3x = ( y 1) = y ( y + ) 3x số lẻ y; ( y + ) hai số lẻ liên tiếp ( y; y + ) = y; y + luỹ thừa 3, nên: y = 3m ( *) ( m + n = x ) 3m + = 3n m < n n y + = ( **) Với: m = 0; n = y = 1; x = yM3 ( y; ( y + ) ) ( vô lí) Với: m 1; n > Từ ( *) ; ( **) ( y + ) M3 x = Phơng trình có nghiệm nguyên: y =1 Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng: a/ b/ c/ d/ x2 y = 19 x + 28 y = 729 xy + x y = Chứng tỏ phơng trình sau vô nghiệm: x + y + z = x + y + z + 2000 2.5 - PHơNG PHáP 5: Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Phơng pháp: Phơng pháp thờng sử dụng với phơng trình mà hai vế đa thức có tính biến thiên khác - áp dụng bất đẳng thức thờng gặp: Bất đẳng thức Cô si: Cho n số không âm: a1; a2 ; a3 ; ; an Khi đó: a1 + a2 + a3 + + an n a1.a2 a3 .an n Dấu = xảy a1 = a2 = a3 = = an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho 2n số thực: a1; a2 ; a3 ; ; an b1; b2 ; b3 ; ; bn Khi đó: ( a1.b1 + a2 b2 + a3.b3 + + an bn ) ( a1 + a2 + a3 + + an ) ( b1 + b2 + b3 + + bn ) Dấu = xảy = kbi ( i = 1; n ) Bất đẳng thức giá trị tuyết đối: a + b a.b a + b = a b a.b < Các ví dụ minh hoạ: x y y.z z.x + + = (1) - Ví dụ 1: Tìm x; y Z + thoả: z x y Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy phơng trình đối xứng, nên dùng phơng pháp (phơng pháp cực hạn) Tuy nhiên, hạng tử tổng có giá trị dơng nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô si để xác định điều kiện tích ẩn GIảI: x y y.z z.x x y y.z z.x + + 3 = 3 x y.z áp dụng BĐT Cô si Ta có: = z x y z x y x y.z x y.z x = y = z = Vậy nghiệm phơng trình là: x = y = z = - Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: ( x + y + 1) = ( x + y + 1) (2) (Toán Tuổi thơ 2) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta nhận thấy hai vế phơng trình có dạng: bình phơng tổng tổng bình phơng; nên ta vận dụng BĐT Bunhiacôpxki GIảI: Theo Bunhiacôpxki, ta cự: ( x + y + 1) ( 12 + 12 + 12 ) ( x + y + 1) = 3( x + y + 1) x y = = x = y =1 1 Vậy nghiệm phơng trình là: x = y = - Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: x + x 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 (3) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta nhận thấy: 2104 = + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 a = a Giải: Ta có: (3) x + 10 x + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 Dấu = xảy x x 10 x 10 x Mà a a x + 101 x + 101 2004 x + 101 + 2003 x + 101 x + 990 x + 990 x + 1000 x + 1000 Do đó: ( x + 101) ( x + 101) { 1;0;1} x { 102; 101; 100} Với x = 101 2004 = 2003 (vô lí) Vậy nghiệm phơng trình là: x { 102; 100} Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng: a/ x xy + y = b/ x + y + z xy yz z = 2.6 - PHơNG PHáP 6: Phơng pháp lựa chọn Phơng pháp: Phơng pháp đợc sử dụng với phơng trình mà ta nhẩm (phát dể dàng) đợc vài giá trị nghiệm - Trên sở giá trị nghiệm biết áp dụng tính chất nh chia hết; số d; số phơng; chữ số tận ta chứng tỏ với giá trị khác phơng trình vô nghiệm Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y Z + thoả: x + 3x3 + = y Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy với x = 0; y = phơng trình đợc nghiệm Ta cần chứng minh phơng trình vô nghiệm với x Giải: + Với x = 0; y = phơng trình đợc nghiệm + Với x > Khi đó: x + x + < x + 3x + < x + x + ( x + 1) < y < ( x + ) (*) + 1) ; ( x + ) hai số nguyên liên tiếp nên giá trị y thoả mãn (*) Vậy x = 0; y = nghiệm phơng trình - Ví dụ 2: Tìm x; y Z + thoả: x + x = 32 y +1 (2) ( Toán học tuổi trẻ) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta nhận thấy vế phải luỹ thừa bậc lẽ nên có tận Ta cần xét chữ số tận vế trái Giải: Gọi b chữ số tận x Vì b { 0;1;2; ;9} Khi đó: ( x + x 1) có chữ số tận là: 1, (*) y +1 Mặt khác: luỹ thừa bậc lẻ nên có tận (**) Từ (*)và v (**)suy phơng trình vô nghiệm.s - Ví dụ 3: Tìm x; y Z + thoả mãn: x xy + 13 y = 100 (3) Nhận xét Tìm hớng Giải: Với trờng hợp ta sử dụng phơng pháp (Phơng pháp đa dạng tổng) Tuy nhiên vế phải số phơng nên ta sử dụng tính không âm luỹ thừa bậc chẳn để giới hạn tập giá trị, sau sử dụng lựa chọn Giải: y 2 (3) ( x 3) = ( 25 y ) 2 ( 25 y ) = n ( n Ơ ) Do : y { 5; 4; 3;0;3;4;5} x { 3;9;11;13} Phơng trình có nghiệm nguyên: ( x; y ) { ( 5;3) ; ( 4;9 ) ; ( 3;11) ; ( 0;13) ; ( 3;11) ; ( 4;9 ) ; ( 5;3) } Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng: a/ x.( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) = y Vì (x b/ x y = 74 2.7.- PHơNG PHáP 7: Phơng pháp lùi vô hạn (xuống thang) Phơng pháp: Phơng pháp thờng sử dụng với phơng trình có (n 1) ẩn mà hệ số có ớc chung khác - Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm hạ (giảm bớt) số tự do, để có đợc phơng trình đơn giản - Sử dụng linh hoạt phơng pháp để Giải phơng trình Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Giải phơng trình: x y z = (1) Nhận xét Tìm hớng Giải: 3 3 3 3 Ta thấy x y z = ( x y z ) M3 mà ( y z ) M3 nên x M3 Giải: 3 3 Ta có: (1) ( x y z ) M3 x M3 xM3 x = x1 3 3 3 Khi đó: (1) ( 27 x1 y z ) M3 ( x1 y 3z ) M3 y M3 y M3 y = y1 ( x13 27 y13 3z ) M3 z M3 z M3 y = 3z1 * Tiếp tục biểu diễn gọi x0 ; y0 ; z0 nghiệm (1) 3U ( x0 ; y0 ; z0 ) x0 ; y0 ; z0 Thực thử chọn ta đợc: x0 = y0 = z0 = Vậy nghiệm phơng trình là: x0 = y0 = z0 = Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a/ x + y = z b/ x y z = c/ x y = 2.8 - PHơNG PHáP 8: Phơng pháp sử dụng điều kiện nghiệm phơng trình bậc hai Phơng pháp: Phơng pháp đợc sử dụng với phơng trình có dạng: f ( x ; y ) = Trong đó: f ( x; y ) đa thức bậc hai - Biến đổi phơng trình đa dạng phơng trình bậc hai (một ẩn ẩn phơng trình bậc hai; ẩn tham số) Biện luận nghiệm theo điều kiện nghiệm phơng trình bậc hai * Chú ý: Nên chọn ẩn có hệ số Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y Z + thoả: x + y + xy + x + y + = (1) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy phơng trình xem phơng trình bậc hai ẩn y tham số x Giải: (1) y + ( x + 1) y + x + x + = Ta có: = x 4; ( ) y1,2 = ( x + 1) Do đó: y nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x nhận giá trị nguyên = x = n ( n Ơ ) x = (áp dụng phơng pháp 2: Đa dạng tích) + Với x = y = + Với x = y = Vậy nghiệm phơng trình là: ( x = 2; y = ) ; ( x = 2; y = 3) - Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả: 12 x + xy + y = 28 ( x + y ) (2) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta thấy phơng trình xem phơng trình bậc hai ẩn y tham số x Giải: (2) y + ( 3x 14 ) y + 12 x 28 x = Ta có: y nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x = 27 x + 196 = k x x { 0; 1; 2} + Với x = y = + Với x = y = + Với x = y = 10 + Với x = y  Vậy nghiệm phơng trình là: ( x = 0; y = ) ; ( x = 1; y = ) ; ( x = 1; y = 10 ) - Ví dụ 3: Tìm x; y Z + thoả mãn: x xy + 13 y = 100 (3) Nhận xét Tìm hớng Giải: Với trờng hợp ta sử dụng phơng pháp (Phơng pháp đa dạng tổng) Giải phơng pháp (phơng pháp lựa chọn) Tuy nhiên, ta đa phơng trình bậc hai ẩn x tham số y Giải: (3) = ( y 25 ) y Do : y { 5; 4; 3;0;3;4;5} x { 3;9;11;13} Phơng trình có nghiệm nguyên: ( x; y ) { ( 5;3) ; ( 4;9 ) ; ( 3;11) ; ( 0;13) ; ( 3;11) ; ( 4;9 ) ; ( 5;3) } Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng: a/ x + y xy + x + y 10 = b/ x xy + y x + = 3) ứNG DụNG CủA BàI TOáN PHơNG TRìNH NGHIệM NGUYêN: Bài toán phơng trình nghiệm nguyên có nhiều ứng dụng công cụ để giải dạng loại tập khác Việc vận dụng đòi hỏi t kết hợp phơng pháp giải cách hợp lí Sau đây, số ứng dụng thờng gặp toán phơng trình nghiệm nguyên Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm n Ơ cho 28 + 211 + 2n số phơng (*) HD Giải: Ta có: 28 + 211 + n = a ( a Ơ ) n = a ( 28 + 211 ) = a 482 = ( a + 48 ) ( a 48 ) (*) + Đặt: n = p + q ( p, q Ơ ; p q ) Ta có: a 48 = 2q p 2q = 96 2q ( p q 1) = 25.3 (*) p a + 48 = q = p = n = 12 Ví dụ 2: Tìm tất cặp số nguyên tố (x;y) cho: (x y ) = x y + (2) HD Giải: Ta có: (x y ) = x y ( x y + 1) ( x y 1) = xy (**) + Vì (2) phơng trình đối xứng x, y số nguyên tố nên đặt: ( Vì (2 pq 1) lẻ ) nên: x y x< y y số lẻ (I) Ta có: x + y x y + = xy xy = ( a ) 2 x y = 2 x y + = xy xy = ( b ) x y = x y + = y x + y = ( c) (**) 2 x y = x 2 x y + = x x y = d ( ) x y = y x y + = xy xy = ( e ) x y = + Kết hợp với điều kiện (I) ta có cặp số nguyên tố cần tìm là: ( x; y ) = ( 2; ) Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình nghiệm nguyên dơng: (1) x + y + z = 15 3 x + y + z = 495 (2) ( Toán học tuổi trẻ số 373; tháng 7/2008) HD Giải: Ta có: Hệ hệ phơng trình đối xứng 73 = 343 < 495 < 512 = 83 7 < x3 + y + z < 83 x y Giả sử: x y nên: x + y + z = 15 ( x3 x ) + ( y y ) + ( z z ) = 480 (*) 3 x + y + z = 495 Vì: ( a a ) = ( a 1) a.( a + 1) ; a  ; nên: (x x ) + ( y y ) + ( z z ) = 480 Kết hợp phơng pháp lựa chọn phơng pháp đa tổng ta có nghiệm hệ phơng trình cho (x; y; z) hoán vị (3; 5; 7) Ví dụ 4: Bài toán cổ Trăm trâu Ăn trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụm khụm trâu già Ba bó HD Giải: Gọi a; b; c lần lợt số lợng trâu đứng; trâu nằm; trâu già Ta có hệ phơng trình nghiệm nguyên dơng: a + b + c = 100 c = 100 ( a + b ) c 5a + 3b + = 100 14a + 8b = 200 + áp dụng phơng pháp (Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết) Ta có: 14a 200 a { 0;4;8;12} 14 a M * Nếu a = b = 25 c = 75 * Nếu a = b = 18 c = 78 * Nếu a = b = 11 c = 81 * Nếu a = 12 b = c = 84 Ví dụ 5: Tìm số nguyên x; y z thỏa mãn: x + y + z < xy + y + z (5) HD Giải: Ta có: (5) x + y + z < xy + y + z x + ( x y ) + ( y 3) + 2.( z 1) < 2 x x y 2 Đặt: A = x + ( x y ) + ( y 3) + 2.( z 1) y z 1 x.( x y ) ( y 3) ( z 1) = Xét x = x y = y y A (vô lí) Vậy x Xét x x = (a) + Nếu x y = y = x y A (vô lí) Vậy x y x y = (b) + Nếu y = y = x y A (vô lí) Vậy y y = (c) + Nếu z = z = (d) Từ (a); (b); (c); (d) ta có: x =1; y = 2; z = Bài tập tham khảo: Tìm số nguyên tố p cho 4p + số phơng Tìm số nguyên a lớn để: T = 427 + 41016 + 4a số phơng (Toán Tuổi thơ Số 11; tháng 1/2004) Tìm tất ba số nguyên dơng x; y; z thoả: xyz = x + y + z + 10 (Toán học tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008) Tìm số nguyên dơng x; y; z thoả: xy = z ( x 1) ( y 1) ( Toán học tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008) Tìm số nguyên dơng nhỏ thoả mãn điều kiện sau: phần hai số bình phơng số nguyên; phần ba số lập phơng số nguyên; phần năm số luỹ thừa bậc năm số nguyên (Toán Tuổi thơ Số 47) HD: Đa tập Tìm số nguyên dơng x; y; z x; y Z + x; y; z nhỏ thoả mãn : x1.3 y.5 z = a x y z 3 = b x.3 y.5z = c Tìm tất số nguyên dơng: x; y; z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) x y 2006 số hữu tỉ y z 2006 (ii) x + y + z số nguyên tố BI DNG HC SINH GII LP Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên A Phơng pháp giải + Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c số nguyên) Muốn tìm nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên biểu diễn x theo y ngợc lại + Đa phơng trình tích Ta biến đổi để vế phơng trình tích biểu thức nguyên ẩn cồn vế số nguyênbằng cách phântích số nguyên thành thừa số nguyên tố ta xét trờng hợp xảy từ tính nghiệm nguyên phơng trình + Phơng pháp loại trừ Từ phơng trình cho tìm số điều kiện loại bớt dần giá trị ẩn để tìm nghiệm + Dùng tính chia hết Ta dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa nghiệm đa phơng trình phơng trình đôn giản + Tách phần nguyên Ta tách phân nguyên riêng đặc điều kiện cho phân thức lại số nguyên từ tìm nghiệm phơng trình + Dùng vai trò bình đẳng ẩn Nếu phơng trình nguyên mà ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng, ta đặt điều kiện để giả sử x y z mà toán không tính tổng quát từ giới hạn bớt miền xác định ẩn tìm đợc nghiệm phơng trình + Chứng minh nghiệm Với số phơng trình có nghiệm nguyên ta thấy đợc vài nghiệm , cách chứng minh phơng trình nhận nghiệm ta kết luận đợc nghiệm phơng trình cho B Bài tập 3.1/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 3x + 4y = 29 3.2/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x + y = xy 3.3/Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình: xy- 4x= 35-5y 3.4/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x xy + 13 y = 100 3.5/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 3x + y = 345 3.6/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x + y = 74 3.7/Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 5x-3y = 2xy-11 3.8/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a/ x 25 = y ( y + 6) b/ x + 91 = y c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z 3.9/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau a/ x y = 1987 b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y 3.10/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình x+ y + z = x.y.z 3.11/ Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình a/ x y = b/ x y + = z 3.12/ Giải phơng trình nghiệm nguyên a/ x3 x y + 3x y = b/ x + x y + y y 15 = 3.13/ Tìm tất số nguyên m , n, p thoả mãn hai đẳng thức sau: m + n =3 , (1) mn 2p = m + n (2) 3.14/ Chứng minh phơng trình sau nghiệm nguyên : x y = 3.15/ Chứng minh phơng trình sau nghiệm nguyên: x y = x + 3.16/Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình: x + = y 3.17/ Tìm số có hai chữ số xy cho : xy yx = k 3.18/ Giải phơng trình nghiệm nguyên : ( x + 2) x = y3 3.19/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: a/ xy 2x 3y + =0 b/ x y = 1999 1 c/ x + y = p , (p số nguyên tố cho trớc) 3.20/ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : a/ x + y = 50 1 b/ x + y = z 3.21/ Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng 1 a/ x + y + z = b/ x + y + z + xyz = 20 3.22/ Tìm số nguyên x , y , z , t cho : x y + y z + z t + t x = 2003 3.24/ Tìm cặp số nguyên không âm x,y thoả mãn: y ( x + 1) = 1576 + x ; (p2) 3.25/ Tìm tất cặp số nguyên không âm x , y cho : x-y= x + xy + y 3.26/ Tìm số nguyên x , y cho : y = x + x + C Gợi ý giải 3.4/ x xy + y = 100 y ( x y )2 = 4(25 y ) Vậy y 25- y số phơng Với y=0 suy x=0, y=1 y=2 không thoả mãn , y=3 y=4 , y=5 thoả mãn suy nghiệm phơng trình 3.5/ 345 vừa chia hết cho vừa chia hết x x phải chia hết cho y phải chia hết cho suy x=5a, y=3b Khi 3.25a + 5.9b = 345 5a + 3b = 23 , từ tìm nghiệm phơng trình 3.6/ suy 6( x 4) = 5(10 y ) x = 5u 10 y = 6v suy u = v 5 Vì x = + 5u 0; y = 10 6v nên u ; v Hoặc u = v =0 10= y , vô nghiệm , u = v = x = 9, y = suy nghiệm nguyên phơng trình (x,y)= (3,2);(3 ,-2);(-3, 2);(-3, -2) 3.7/ Ta có 11+5x = y(2x + 3) y = 2(5 x + 11) = 5+ Vì x,y số tự nhiên khác o 2x + 2x + nên 2x + phải ớc Từ suy x tìm nghiệm phơng trình 3.8/a/ x y y = 16 x ( y + 3)2 = 16 (x-y-3)(x+y+z) = 16 Nhng x+y+3 x-y-3 có tổng 2x nên tính chẳn lẻ tích chúng viết thành: 2.8 = (-2).(-8) = 4 = (-4).(-4) suy nghiệm phơng trình b/ Tơng tự câu 2 xyz + x + z 11 z 1 = x+ = + x + = + 1 suy x=c/ Ta có yz + yz + 2y + 2+ z 2,y=1,z=3 3.9a/ Vì 1987 số nguyên tố nên ta có trờng hợp sau: x y =(x-y).(x+y)=1 1987=1987 =(-1).(-1987)= (-1987) (-1) Xét trờng hợp ta có nghiệm phơng trình b/ Ta có ( x + x).( x + x + 7) = y Đặt z= x +8x , z(z+7) = y x ( x 1).( x + 1) = Vì y nguyên tố nên xảy trờng hợp 2 x +1 = y , x = y suy x,y + 3.11a/ y = Ba trờng hợp lại không thoả mãn Từ suy nghiệm b/ Vì x 2, y nên x y 4, z nhng x y +1 số nguyên tố nên x y số chẳn tức x=2 Nếu y=2k+1 z= 22 k +1 + = (2 + 1).(22 k 22 k + + 1) tức chia hết cho Nếu z>5 lại chia hết cho số nguyên tố Vởy x=2 , y=2 , z=5 3.12a/ Ta có x3 x y + 3x y = y = x + x5 Vì x,y x2 + Z x 5Mx + ( x 5)( x + 5)Mx + suy 27 chia hết cho x + x số nguyên x + >1 nên x + nhận giá trị ớc 27 ,9 ,27 Kiểm tra điều kiện ta đợc nghiệm (x,y)=(-1;-3);(5,5) b/ 4( x x + y ) ( y + y + 4) = 11 4( x + y )2 ( y + 2) = 11 (2 x + y 2)(2 x + y + 2) = 11 Ta tìm đợc nghiệm phơng trình (x,y)=(0,3);(-2,-7);(2,-7) 2a; a 0; a < 3.22/ Nếu a Z a + a = Do a + a số chẳn Phơng trình tơng đơng với ( x y + x y ) + ( y z + y z ) + ( z t + z t ) + ( t x + t x) = 2003 Do vế trái số tự nhiên chẳn nên phơng trình nghiệm 3.24/ y ( x + 1) = 1576 + x = 1577 + x ( y x + 1)( x + 1) = 1577 = 19.83 3.25/ x y = x + xy + y Do x,y không âm nên x x y = x + xy + y 3xy - Nếu x=0 ta có y=0 - Nếu x khác suy y=0, x=1 Suy ngiệm phơng trình 3.26/ x + x + = ( x + 2) + > 0, x , nên y xác định với x y>0 y>0 y>0 y = ( x + 2) + ( y + x + 2)( y x 2) = Do phơng trình [...]... những nghiệm đó ta kết luận đợc về nghiệm của phơng trình đã cho B Bài tập 3.1/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 3x + 4y = 29 3.2/ Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: x + y = xy 3.3/Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: xy- 4x= 35-5y 3.4/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 2 6 xy + 13 y 2 = 100 3.5/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 3x 2 + 5 y 2 = 345 3.6/ Tìm nghiệm nguyên. .. số nguyên tố BI DNG HC SINH GII LP 9 Chuyên đề 1 : Phơng trình nghiệm nguyên A Phơng pháp giải + Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c các số nguyên) Muốn tìm các nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y và ngợc lại + Đa về phơng trình tích Ta có thể biến đổi để một vế của phơng trình là tích các biểu thức nguyên của ẩn cồn vế kia là một số nguyênbằng cách phântích số nguyên. .. x 2 + 5 y 2 = 74 3.7/Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 5x-3y = 2xy-11 3.8/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: a/ x 2 25 = y ( y + 6) b/ x 2 + 91 = y 2 c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z 3.9/ Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau a/ x 2 y 2 = 1987 b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y 2 3 .10/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x+ y + z = x.y.z 3.11/ Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình... phơng trình nghiệm nguyên a/ x3 x 2 y + 3x 2 y 5 = 0 b/ 4 x 4 + 8 x 2 y + 3 y 2 4 y 15 = 0 3.13/ Tìm tất cả các bộ số nguyên m , n, p thoả mãn hai đẳng thức sau: m + n =3 , (1) và mn 2p 2 = m + n 1 (2) 3.14/ Chứng minh rằng phơng trình sau đây không có nghiệm nguyên : x 2 2 y 2 = 5 3.15/ Chứng minh rằng phơng trình sau đây không có nghiệm nguyên: 9 x 2 y 2 = 9 x + 3 3.16/Tìm nghiệm tự nhiên... Giải phơng trình nghiệm nguyên : ( x + 2) 4 x 4 = y3 3.19/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: a/ xy 2x 3y + 1 =0 b/ x 2 y 2 = 1999 1 1 1 c/ x + y = p , (p là số nguyên tố cho trớc) 3.20/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : a/ x + y = 50 1 1 b/ x + y = z 3.21/ Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng 1 1 1 a/ x + y + z = 1 b/ x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 20 3.22/ Tìm các số nguyên x , y , z... số nguyên từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình + Dùng vai trò bình đẳng của ẩn Nếu phơng trình nguyên mà các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng, ta có thể đặt điều kiện để giả sử x y z mà bài toán không mất tính tổng quát từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn và tìm đợc nghiệm của phơng trình + Chứng minh nghiệm duy nhất Với một số phơng trình có nghiệm nguyên ta có thể thấy ngay đợc một hoặc vài nghiệm. .. thừa số nguyên tố ta có thể xét mọi trờng hợp xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phơng trình + Phơng pháp loại trừ Từ phơng trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt dần những giá trị của ẩn để tìm ra nghiệm + Dùng tính chia hết Ta có thể dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa nghiệm đa phơng trình về những phơng trình ôn giản hơn + Tách phần nguyên Ta có thể tách phân nguyên. .. Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phơng Tìm số nguyên a lớn nhất để: T = 427 + 4101 6 + 4a là một số chính phơng (Toán Tuổi thơ 2 Số 11; tháng 1/2004) Tìm tất cả bộ ba số nguyên dơng x; y; z thoả: 5 xyz = x + 5 y + 7 z + 10 (Toán học tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008) Tìm các số nguyên dơng x; y; z thoả: 2 xy 1 = z ( x 1) ( y 1) ( Toán học tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008) Tìm số nguyên. .. 3.24/ Tìm các cặp số nguyên không âm x,y thoả mãn: y 2 ( x + 1) = 1576 + x 2 ; (p2) 3.25/ Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x , y sao cho : x-y= x 2 + xy + y 2 3.26/ Tìm các số nguyên x , y sao cho : y = x 2 + 4 x + 5 C Gợi ý giải 3.4/ x 2 6 xy + 9 y 2 = 100 4 y 2 ( x 3 y )2 = 4(25 y 2 ) 0 Vậy y 5 và 25- y 2 là số chính phơng Với y=0 suy ra x=0, y=1 hoặc y=2 không thoả mãn , y=3 hoặc... ra nghiệm của phơng trình 3.5/ 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên x x phải chia hết cho 5 và y phải chia hết cho 3 suy ra x=5a, y=3b Khi đó 3.25a 2 + 5.9b 2 = 345 5a 2 + 3b 2 = 23 , từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình 3.6/ suy ra 6( x 2 4) = 5 (10 y ) 2 x 2 4 = 5u và 10 y 2 = 6v suy ra u = v 4 5 5 3 Vì x 2 = 4 + 5u 0; y 2 = 10 6v 0 nên u ; v Hoặc u = v =0 thì 10= y 2 , vô nghiệm ... 100 0 x + 100 0 Do đó: ( x + 101 ) ( x + 101 ) { 1;0;1} x { 102 ; 101 ; 100 } Với x = 101 2004 = 2003 (vô lí) Vậy nghiệm phơng trình là: x { 102 ; 100 } Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm. .. 990 + 100 0 =101 + 2003 a = a Giải: Ta có: (3) x + 10 x + x + 101 + x + 990 + x + 100 0 = 2004 Dấu = xảy x x 10 x 10 x Mà a a x + 101 x + 101 2004 x + 101 + 2003 x + 101 ... 1 Vậy nghiệm phơng trình là: x = y = - Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: x + x 10 + x + 101 + x + 990 + x + 100 0 = 2004 (3) Nhận xét Tìm hớng Giải: Ta nhận thấy: 2104 = + 10 + 101 +