Đề thực nghiệm số 9 (10-11)

Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 9) Năm học : 2010-2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 : a). Chứng minh rằng : với mọi n N *  , ta có : 1 1 1 2 (n 1) n n n 1           suy ra tổng 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2008 2007     không phải là số nguyên tố. b). Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 (a b) (b c) (c a)      là số hữu tỉ (với a, b, c là 3 số hữu tỉ đôi một khác nhau) Bài 2 : Cho phương trình bậc hai ẩn x : 2 2 x 2(m 1)x 2m 3m 1 0       (1) a). Chứng minh rằng : phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1   b). Gọi 1 2 x ; x là nghiệm phương trình. Chứng minh : 1 2 1 2 9 x x x .x 8    Bài 3 : Giải phương trình và hệ phương trình sau : 2 a). 2x 3 5 2x 3x 12x 14       x 1 y 4 b). x y 7           Bài 4 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Gọi M là điểm tùy ý trên đường thẳng AB, nằm ngoài đoạn AB. Vẽ qua M hai cát tuyến MCD và MC’D’ với (O) và (O’). Chứng minh tứ giác CDD’C’ nội tiếp. Bài 5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm bất kì trên đường tròn hạ các đường vuông góc xuống các cạnh. Chứng minh chân ba đường vuông góc này thẳng hàng (đường thẳng Sim-sơn) Trư ờ ng THCS TT Phú Hoà Họ - tên : ………………………… L ớ p : … Điểm Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 2 ĐÁP ÁN Bài 1 : a). Với mọi n N *  , ta có : 1 1 1 2 (n 1) n n n 1 1 1 1 2.(n 1). n n n 1 1 2n 2 2. n 1. n 0 n 1 2. n 1. n n                                   2 0 n 1 n     (đúng) Do đó : 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2008 2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 3 3 4 2007 2008 2008                             Vậy 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2008 2007     không phải là số nguyên tố. b). Ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 . . . (a b) (b c) (c a) a b b c c a a b b c b c c a c a a b 1 1 1 c a a b b c 2. a b b c c a (a b)(b c)(c a) 1 1 1 a b b c c a                                                                  1 1 1 a b b c c a       là một số hữu tỉ. Bài 2 : a). Ta có : 2 Δ ' m m 0 0 m 1        b). Khi 0 m 1   . Theo định lí Vi-ét, Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 3 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x 2(m 1) x .x 2m 3m 1 Q x x x .x 2(m 1) 2m 3m 1 2m m 1 m 1 1 9 2 m 2 m 2 2 4 16                                  Vì 2 1 1 3 1 9 0 m 1 m m 4 4 4 4 16                 Do đó : 2 9 1 9 Q 2 m 16 4 8                   Bài 3 : a). Điều kiện: 3 5 x 2 2   Áp dung BĐT Cô-si cho hai số không âm ta có :     2x 3 1 5 2x 1 2x 3 5 2x 2 2 2           (1) Mặt khác : 2 2 3x 12x 14 3(x 2) 2 2       với mọi x (2) Từ (1) và (2) ta thấy x thỏa mãn phương trình khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức. Ta có (2) trở thành đẳng thức khi x = 2, thay vào (1) thì (1) củng trở thành đẳng thức. Do đó pt có nghiệm duy nhất x = 2. b). Đặt u x 1 (u 0) v y (v 0)           Hệ đã cho trở thành : 2 2 u v 4 u v 4 uv 4 u v 8 u v 2 x 1 y 2 (x, y) (3,4)                        Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 4 Bài 4 : Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên   CDA CBM  (cùng bù với góc ABC) Do đó : ΔMBC ΔMDA(g.g) MA MD MC MB MA.MB MC.MD (1)      Chứng minh tương tự : MA.MB MC'.MD' (2)   Từ (1) và (2) suy ra : MC.MD MC'.MD' (2)   Do đó :   ΔMCC ' ΔMDD ' (g.g) MCC ' MD 'D    Vậy tứ giác CDD’C’ nội tiếp. Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 5 Bài 5 : Gọi chân các đường vuông góc hạ từ M lần lượt xuống các cạnh AB, BC, CA là H, K, I Ta có tứ giác AHMI nội tiếp (vì   0 AHM AIM 180   ) Suy ra :   HAM HIM  (1) (cùng chắn cung HM) Tương tự tứ giác HIKC nội tiếp (vì   0 MIC MKC 90   ) Suy ra :   0 MIK MCK 180   (2) Mặt khác : ABCM nội tiếp (O) Nên   HAM MCK  (3) Từ (1) và (3) suy ra :   HIM MCK  (4) Từ (3) và (4) suy ra :   0 MIK HIM 180   Vậy 3 điểm H, I, K thẳng hàng. . tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung 197 5 Page 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 9) Năm học : 2010-2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 : a) 3 2 4 3 2008 2007     không phải là số nguyên tố. b). Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 (a b) (b c) (c a)      là số hữu tỉ (với a, b, c là 3 số hữu tỉ đôi một khác nhau) Bài 2 : Cho. (1) a). Chứng minh rằng : phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1   b). Gọi 1 2 x ; x là nghiệm phương trình. Chứng minh : 1 2 1 2 9 x x x .x 8    Bài 3 : Giải phương trình