Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 12) Năm học : 2010-2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 : a). Chứng minh rằng : số 0 x 2 2 3 6 3 2 3 là nghiệm phương trình 4 2 x 16x 32 0 . b). Chứng minh rằng : biểu thức 3 6 4 2 3. 7 4 3 x A x 9 4 5. 2 5 x không phụ thuộc vào biến x. Bài 2 : Cho phương trình : 2 (2m 1)x 2mx 1 0 a). Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) b). Xác định m để phương trình trên có hai nghiệm 1 2 x ; x thỏa mãn 2 2 1 2 x x 1 Bài 3 : a). Giải phương trình : 2 7 x x 5 x 12x 38 b). Giải hệ phương trình : (x 1)(y 1) 8 x(x 1) y(y 1) xy 17 Bài 4 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình 2 x (a b c)x ab bc ca 0 vô nghiệm. Bài 5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). I là trung điểm của BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D, tiếp tuyên của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q. Chứng minh : DM.IA = MP.IP và tính tỉ số MP MQ . Bài 6 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C). Tiếp tuyến qua M cắt AB và AC tại E và F. Đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. a). Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp được. b). Chứng minh tỉ số PQ PE không đổ khi M di chuyển trên đường tròn. Trư ờ ng THCS TT Phú Hoà Họ - tên : ………………………… L ớ p : … Điểm Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 2 ĐÁP ÁN Bài 1 : a). Ta có : 2 0 2 2 0 2 4 0 0 4 2 0 0 x 8 2 2 3 2 3 2 3 8 x 2 3 3(2 3) 2 3(4 3) 8 2 64 16x x 32 x 16x 32 0 Vậy x 0 là một nghiệm của pt đã cho. b). Ta có : 2 3 6 6 2 3 2 3 7 4 3 ; 2 4 4 2 5 2 5 9 4 5 Suy ra : A = 1 Bài 2 : a). Xét 1 2m 1 0 m 2 . Phương trình trở thành x 1 0 x 1 Xét 1 2m 1 0 m 2 . Khi đó : 2 Δ m 1 0, m . Hay pt có nghiệm với mọi m Ta thấy nghiệm x = 1 không thuộc (-1; 0) Với 1 m 2 , phương trình có nghiệm 1 x 2m 1 Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0), nên ta có 1 1 0 1 1 0 m 0 2m 1 2m 1 2m 1 0 Vậy phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0) khi m < 0 b). Ta có : Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2m 1 1 x x 1 1 1 1 2m 1 1 1 2m 1 2 2 m 4 Bài 3 : a). Điều kiện : 7 x 0 5 x 7 x 5 0 Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ha số không âm ta có : 7 x 1 x 5 1 7 x x 5 7 x .1 x 5 .1 2 2 2 Đẳng thức xảy ra 7 x 1 x 6 x 5 1 Mặt khác : 2 2 x 12x 38 x 6 2 2 Đẳng thức xảy ra x 6 Do đó : 2 7 x x 5 x 12x 38 2 x 6 (thỏa điều kiện) b). 2 x y xy 7 (x 1)(y 1) 8 x(x 1) y(y 1) xy 17 x y xy x y 17 Đặt x + y = S, x.y = P, giải hệ trên ta được : S 4 S 6 hay P 3 P 13 Theo ĐL Ta-lét đảo thì x, y là nghiệm của phương trình : 2 2 t 4t 3 0 hay t 6t 13 0 Khi đó ta có 2 nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 3) hay (x; y) = (3; 1) Bài 4 : Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên a, b, c > 0 và tổng hai số lớn hơn số còn lại. Do đó : 2 2 2 Δ a b c 2ab 2bc 2ca a(a b c) b(b c a) c(c a b) 0 Vậy phương trình vô nghiệm. Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 4 Bài 5 : A B C D I M P Q Vì DMP AMQ AIC và ADB BCA nên ΔMDP ΔICA Suy ra DM MP DM.IA MP.CI (1) CI IA Mặt khác : ADC CBA và 0 0 DMQ 180 AMQ 180 AIM BIA Nên DM MQ ΔDMQ ΔBIA BI IA DM.IA MQ.BI (2) Từ (1) và (2) suy ra : MP 1 MQ Bài 6 : A B C E F M H O P K J G Q I Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 5 a). Giả sử EO cắt đường tròn (O) tại I và J; FO cắt đường tròn (O) tại tại G và K. Ta có : 0 1 1 FEB sdMJ sdMI sdIJ 2sdMI 2 2 1 180 sdMB (1) 2 0 1 1 FQP sdGB sdCK sdMB sdMG sdCK 2 2 1 sdMB sdCG sdCK 2 1 FQP (sdMB 180 ) (2) 2 Từ (1) và (2), ta có : 0 FEP FQP 180 Vậy tứ giác PQFE nội tiếp. b). Ta có : 0 FQP FEO 180 (tứ giác EPQF nội tiếp) 0 FQP FQO 180 (hai góc kề bù) Suy ra : PQO FEO Mặt khác : ΔFEO ΔPQO (vì có góc EOF là góc chung) và PQO FEO Suy ra : PQ OH EF OM Vì điểm A và đường tròn (O; R) cố định nên OH và OM không đổi. Do đó tỉ số PQ EF không đổi khi M di chuyển trên đường tròn. Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 6 . http://violet.vn/tranquochung1975 Page 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 12) Năm học : 2010-2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 : a). Chứng minh rằng : số 0 x 2 2 3 6 3 2 3 là nghiệm phương. 1 0, m . Hay pt có nghiệm với mọi m Ta thấy nghiệm x = 1 không thuộc (-1; 0) Với 1 m 2 , phương trình có nghiệm 1 x 2m 1 Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0),. trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) b). Xác định m để phương trình trên có hai nghiệm 1 2 x ; x thỏa mãn 2 2 1 2 x x 1 Bài 3 : a). Giải phương trình : 2 7 x x 5 x 12x 38