Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 13) Năm học : 2010-2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 : a). Tính giá trị biểu thức 3 3 P x y 3(x y) 2004 . Biết 3 3 3 3 x 3 2 2 3 2 2; y 17 12 2 17 12 2 b). Tính giá trị biểu thức 2009 31 3 2010 Q x x x với 3 3(2 5). 17 5 38 x 5 14 6 5 Bài 2 : a). Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình 2 x mx 2m 3 0 b). Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình 2 (m 2)x (m 4)x 2 m 0 Bài 3 : a). Giải phương trình : 2 x 9x 20 2 3x 10 0 b). Giải hệ phương trình : 2 2 3 3 2y x xy 2y 2x 7 x y x y 8 Bài 4 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a b b c c a 6 Bài 5 : Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI. Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp. Bài 6 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM. Trư ờ ng THCS TT Phú Hoà Họ - tên : ………………………… L ớ p : … Điểm Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 2 ĐÁP ÁN Bài 1 : a). Ta có : 3 3 3 33 3 x 3 2 2 3 2 2 x 6 3 3 2 2 3 2 2 x 6 3x Tương tự : 3 y 3y 34 Vậy 3 3 P (x 3x) (y 3y) 2004 6 34 2004 2044 b). Ta có : 3 3 3 2 3(2 5). ( 5 2) 3(2 5). 17 5 38 x 5 14 6 5 5 (3 5) 3(2 5).( 5 2) 3.1 1 3 5 3 5 Suy ra : A = 1 Bài 2 : a). Phương trình có nghiệm m 2 Δ 0 m 6 Theo hệ thức Vi-ét : 1 2 1 2 S x x m P x .x 2m 3 1 2 1 2 P 2S 3 hay x x 2(x x ) 3 0 . Đây là hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình. b). Phương trình có nghiệm m 2 m 2 8 Δ 0 m hay m 0 5 Theo hệ thức Vi-ét : 1 2 1 2 m 4 2 S x x 1 m 2 m 2 2 m 4 P x .x 1 2 m m 2 Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 3 1 2 1 2 2S P 3 2(x x ) x x 3 . Đây là hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình. Khi 1 2 x x t , ta có 2 t 1 4t t 3 t 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x = 1 (khi m = 0), hay x = 3 ( khi 8 m 5 ) Bài 3 : a). Ta có : 2 2 2 2 x 9x 20 2 3x 10 0 3x 10 2 3x 10 1 x 6x 9 0 3x 10 1 x 3 0 3x 10 1 x 3 x 3 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 3. b). 2 2 3 3 3 3 (x 2y 2)(x y) 7 (1) 2y x xy 2y 2x 7 x y x y 8 (2) x y x y 8 Từ (1), do x, y nguyên ta có các trường hợp sau : a). x – y = - 1 và x + 2y + 2 = 7 suy ra x = 1 và y = 2 thỏa mãn (2) b). x – y = - 1 và x + 2y + 2 = - 7 suy ra x + 2y = - 9 suy ra y không nguyên. c). x – y = - 7 và x + 2y + 2 = 1 suy ra x = - 5 và y = 2 không thỏa mãn phương trình (2) d). x – y = 7 và x + 2y + 2 = 1 suy ra x + 2y = - 3 suy ra y không nguyên Vậy hệ đã cho có duy nhất một nghiệm nguên (x; y) = (1; 2) Bài 4 : Ta thấy rằng 1 1 1 2 2 2 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 Áp dụng BĐT Cô-si, ta có : Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 4 2 a b 2 3 . a b (1) 3 2 2 b c 2 3 . b c (2) 3 2 2 c a 2 3 . c a (3) 3 2 Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 a b c 3 Bài 5 : Gọi H là trung điểm của BE, khi đó KH là đường trung bình của hình thang vuông OEBI HK / /OE / /BI . Mà OE AB KH BE ΔKBE cân tại K KEB KBE Mặt khác : KBE KCA nên KEB KCA Suy ra : 0 KCA KEA KEB KEA 180 Do đó tứ giác AEKC nội tiếp. A B C I O E K H Giáo viên : Trần Quốc Hưng – THCS TT Phú Hoà E-Mail : tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 5 Bài 6 : Ta có : 2 2 ABCD AC BD .AB AD.AB AB S 2R (1) 2 2 2 Kẻ MH vuông góc AB, khi đó : 2 AMB 1 1 S MH.AB MO.AB R (2) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra : 2 2 2 ACM BDM ABCD AMB S S S S 2R R R Từ đó giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R 2 đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB. . tranquochung_phuhoa@yahoo.com.vn – Website : http://violet.vn/tranquochung1975 Page 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 13) Năm học : 2010-2011 Thời gian : 150 phút Bài 1 : a). Tính giá. a). Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình 2 x mx 2m 3 0 b). Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình 2 (m 2)x (m 4)x 2 m 0 . 2(x x ) 3 0 . Đây là hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình. b). Phương trình có nghiệm m 2 m 2 8 Δ 0 m hay m 0 5 Theo