chuyen de trac nghiem nguyen ham tich phan ung dung

Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Chủ đề III Tr a n g NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I Ngun hàm tính chất Vấn đề cần nắm: Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng I Nguyên hàm tính chất II Hai phương pháp tìm nguyên hàm III Khái niệm tính chất tích phân IV Hai phương pháp tính tích phân V Ứng dụng hình học tích phân Định nghĩa f x F x Cho hàm số   xác định K Hàm số   gọi nguyên hàm f x F ' x  f  x hàm số   K với x thuộc K Định lý 1 Nếu F  x số C, hàm nguyên hàm hàm số G  x  F  x  C Đảo lại F  x K với nguyên hàm hàm G  x tồn số C cho f  x hai nguyên hàm hàm số F  x  G  x  C f  x f  x K K Định lý Nếu f  x STUDY TIP Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được: F  x nguyên hàm K có dạng F  x  C f  x K nguyên hàm , với C số Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K.” Từ hai định lý ta có - Nếu F  x nguyên hàm hàm số họ tất nguyên hàm Chú ý f  x f  x K Kí hiệu f  x  dx  F  x   C � Biểu thức vi phân ngun hàm , Tính chất ngun hàm Tính chất f '  x  dx  f  x   C � Tính chất kf  x  dx  k � f  x  dx � Từ ta suy hệ Với có u  ax  b,  a �0  f  ax  b  dx � Tính chất ta K F  x   C , C �� Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB f  x  dx �� g  x  dx � �f  x  �g  x  � �dx  � � II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm Phương pháp đổi biến số Định lý Cho hàm số u  u  x tục cho hàm hợp hàm f có đạo hàm liên tục K hàm số liên f� u  x � � �xác định K Khi F nguyên f� u  x � u '  x  dx  F � u  x � � � � � C �  x  1 Ví dụ 1: Tìm ngun hàm � STUDY TIP Với phương pháp đổi biến ta cần trọng công thức mà suy từ định lý sau: Nếu , y  f  u 10 dx Lời giải Theo định lý ta cần viết dạng Mà u '   x  1 '   x  1 � 10 f  u  du � , dx  �  x  1  x  1 ' dx  �  x  1 d  x  1 10 10  x  1  11 11 C Từ ví dụ ta có bước gợi ý để xử lý tốn tìm ngun hàm theo phương pháp đổi biến Nếu tính ngun hàm theo biến sau tính nguyên hàm xong, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u Dạng 2: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất x% = r tháng theo hình thức lãi kép Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng Tính số tiền gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn Từ “STUDY TIP” bên ta thấy đưa ghi nhớ quan trọng: Trong kỳ hạn, lãi suất giống mà khơng cộng dồn vào vốn để tính lãi kép Ví dụ kỳ hạn tháng lãi suất tháng ar, tháng 2, tháng ar, sau hết kỳ hạn tháng mà không rút số tiền lãi kỳ hạn cộng dồn vào tiền gốc Lời giải tổng quát Đặt u  g  x Biến đổi x dx u du Giải toán dạng nguyên hàm hàm hợp f  u  du � , sau thay biến Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Tr a n g x vào nguyên hàm tìm kiểm tra lại kết Ta đến với ví dụ x  1 x Ví dụ 2: Tìm � dx Ở toán này, ta thấy số mũ cao mà lại có biểu thức ngoặc phức tạp   x  để đổi biến, lời giải áp dụng gợi ý x Do ta đặt bước Lời giải Đặt u   x � du    x  ' dx � du   dx x 1 x ta có � dx  �   u  u  1 du  �  u  2u  u9  du  1 x  21 x   1 x u 2u u10    C   10 10 10 C Phương pháp lấy nguyên hàm phần Định lý Chú ý Đẳng thức định lý dc viết dạng Nếu u v hai hàm số có đạo hàm liên tục K u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   � v  x  u '  x  dx � p  x  q  x  dx Nếu nguyên hàm có dạng � ta nghĩ đến phương pháp nguyên hàm phần Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm p  x  q  x  dx � Hàm dấu tích phân Cách đặt p  x đa thức, q  x u  p  x � � � dv  q  x  dx � p  x đa thức, q  x   f '  e x  e x u  p  x � � � dv  q  x  dx � p  x đa thức, q  x   f  ln x  u  q  x � � � dv  p  x  dx � p  x hàm lượng giác, hàm lượng giác q  x   f  ex  u  q  x � � � dv  p  x  dx � Cơng Phá Tốn – Lớp 12 q  x   f '  ln x  p  x đa thức, p  x đa thức, lượng giác Ngọc Huyền LB u  p  x � � � dv  q  x  dx � x q  x   f '  u  x    u  x   ' u  x  , hàm  sin x, cos x, tan x, cot x  Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho tốn “Tìm Hằng có ba cách giải khác sau Bạn Huyền giải phương pháp đổi biến số sau: u  sin x , “Đặt du  cos xdx Vậy  ta u2 sin x C  C 2 ” sin x cos xdx � ” ba bạn Huyền, Lê Bạn Lê giải phương pháp lấy nguyên hàm phần sau: u  cos x, v '  sin x “Đặt có: u '   sin x, v   cos x sin x.cos xdx  � udu � u  p  x � � � dv  q  x  dx � Ta Bạn Minh Hằng chưa học đến hai phương pháp nên làm có sau: sin x.cos xdx � “ Cơng thức nguyên hàm phần cho ta sin x sin x cos xdx   cos x  � sin x cos xdx � dx � Giả sử F nguyên hàm sin x.cos x cos x  C Theo đẳng thức ta có ” F  x    cos x  F  x   C cos x C F  x    2 Suy Điều chứng tỏ hàm sin x.cos x Vậy  sin x.cos xdx   � cos x nguyên cos x C ” Kết luận sau đúng? STUDY TIP Bài toán củng cố định lý nêu trên, củng cố cách giải nguyên hàm A Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê Huyền giải sai B Bạn Lê sai, Huyền Hằng C Ba bạn giải sai D Ba bạn giải Đáp án D Nhận xét: Sau soát kĩ ba lời giải, ta thấy ba lời giải không sai bước cả, nhiên, đến cuối đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích lời giải sau Lời giải Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Tr a n g sin x cos x cos x   Cả ba đáp số đúng, tức ba hàm số ; nguyên hàm sin x.cos x chúng khác số Thật sin x � cos x � �  � � � ; 2 sin x � cos x � 2sin x    2sin x  �   � 4 � � Bảng số nguyên hàm mở rộng  ax  b   ax  b  dx  � a    1  1  dx  C ,  �1 sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C � a 1 ax  b e C a tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   C � a m ax b  C ,  m   a ln m cot  ax  b  dx  ln sin  ax  b   C � a  ln ax  b  C � ax  b a ax b e � dx  m � dx  ax  b dx � a x 2 �x  x arctan  C a a   cot  ax  b   C � sin  ax  b  a  ax ln C 2a a  x � x a dx 2 dx � a x cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C � a  a2  dx dx   ln x  x  a  C a  x2  a2   ln C � a x x x2  a dx � b� 2  xa ln C 2a x  a dx  tan  ax  b   C � cos  ax  b  a 2 �a  x dx  dx x a2  x2 a2 x  arcsin  C 2 a ln  ax  b  dx  �x  � ln  ax  b   x  C�  ln tan � sin  ax  b  a � a� eax sin bxdx  � ax  b C eax  a sin bx  b cos bx  eax  a cos bx  b sin bx  ax  C e cos bxdx  C � a  b2 a  b2 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB III Các dạng toán nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm F  x f  x hàm số D �� Các tốn dạng u cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm thường gặp Chú ý với nguyên hàm hàm hợp để áp dụng cơng thức! Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số A cos xdx  � B cos xdx  3sin x  C � cos xdx   � C STUDY TIP f  x   cos x sin 3x C D sin x C cos 3xdx  sin 3x  C � Đáp án B Lời giải cos 3xdx  � d  sin x   � Ta có sin x C Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số dx f  x  1 5x  dx �    ln 5x    C B x  �  ln x   C A x  dx dx �  5ln x   C C x  �  ln x   C D x  Đáp án A Lời giải dx d  5x  2 f  x  dx  �  � x  �5 x  Ta có Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số A dx  � x C dx  � x 1 x x ln  C C  ln x   C f  x   7x B D Đáp án B Lời giải x dx  � 7x C ln 7 x dx  � x 1 C x 1 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Ta có x dx  � x � d  7x  d  7x  7x   C x.ln �ln ln f  x  Ví dụ 4: Nguyên hàm hàm số F  x   A F  x  C Tr a n g  x  1  x  1 3 x  1 x F  x  C B   x  1 F  x  C D  x  1 C   x  1 Đáp án D Lời giải Đặt u  x  u '  x Khi �  1 x u 1 �1 � dx  �5 du  � du  � u 4 du  � u 5 du � 5� u �u u � 1 1    C u u x Thay u  x  ta �  x  1 dx   x  1   x  1 C Ví dụ 5: Nguyên hàm hàm số x.ln x STUDY TIP Ở xuất tích nên ta áp dụng nguyên hàm phần x ln x C A x ln x x  C B x ln x x  C C x2 C D Đáp án B Lời giải � ln x  u � dx  du � � x � x2 � dv  xdx � v  x.ln xdx Ta có � Đặt � Theo phương pháp nguyên hàm phần ta có x2 x2 x.ln xdx  � udv  uv  � vdu  ln x  � dx � 2 x x ln x x x ln x x   �dx   C 2  x  1 C Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Dạng 2: Chứng minh Ví dụ 1: Cho đây? Chú ý Sai lầm thường gặp cách đạo hàm hàm hợp Ở ta cần đạo hàm sau: với ta kết bên A C F  x nguyên hàm hàm F  x   ln  ln  ln x   f  x  x.ln  ln x  f  x  ln x.ln  ln x  Ngọc Huyền LB Hỏi F  x D �� nguyên hàm hàm số f  x  ln  ln  ln x   f  x  x.ln x.ln  ln x  B D f  x Đáp án D Lời giải Để tìm hàm F  x Ta có  F  x nguyên hàm hàm số số hàm số trên, ta đạo từ suy f  x 1 F ' x  � ln  ln  ln x   � ln  ln x  � � �'  ln ln x ln x  ln x  ' � �'  ln  ln x  �   1 1   f  x ln  ln x  ln x x x.ln x.ln  ln x  x 3 F  x   ln  x  12 Hỏi F  x  nguyên hàm hàm số Ví dụ 2: Cho đây? A STUDY TIP Công thức cần nhớ: C f  x  x 9 f  x  x  x  12 B D f  x  x 9 f  x  x  x  12 Đáp án A Lời giải �1 x  � �1 1� F '  x   � ln  � '  � ln x   ln x   � ' x  12 � �6 12 � �6 Cách 1: Ta có 1 1    2  x3 x3 x 3 x 9 Cách 2: Thực chất công thức nguyên hàm mà giới thiệu bảng ngun hàm phía (dòng số bảng) Áp dụng cơng thức ta có f  x  x 9 Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Tr a n g Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng 3: Xác định nguyên hàm hàm số với điều kiện ràng buộc Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm F  x hàm số f  x   sin x  cos x thỏa mãn � � F � � �2 � A F  x   cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  D F  x    cos x  sin x  Đáp án D Với tốn đơn giải ví dụ 1, ta tìm ngun hàm thơng thường, sau dùng điều kiện ràng buộc có sẵn để tìm số C Lời giải Ta có F  x  � f  x  dx  �  sin x  cos x  dx  sin x  cos x  C � �   F � � sin  cos  C  �  C  � C  2 Do �2 � nên Vậy hàm số cần tìm Ví dụ 2: Cho hàm số đề đúng? F  x   sin x  cos x  f  x thỏa mãn f '  x    5sin x f    10 A f  x   3x  5cos x  B f  x   3x  5cos x  C f  x   3x  5cos x  D f  x   3x  5cos x  15 Mệnh Đáp án A STUDY TIP Rõ ràng toán này, việc sử dụng công thức nguyên hàm phần mang lại kết nhanh Do có xuất tích hai phần tử, sử dụng nguyên hàm phần xuất kết hợp kiện đề có đáp án Lời giải Ta có Do f  x  � f '  x  dx  �   5sin x  dx  3x  5cos x  C f    10 Ví dụ 3: Cho f  x   3x  5cos x  nên 3.0  5cos  C  10 � C  Vậy F  x   x2 hàm hàm số f ' x e A � f ' x e C � f ' x e 2x 2x nguyên hàm hàm số f  x  e2 x Tìm nguyên 2x ?  x2  2x  C f ' x e B �  2x2  x  C f ' x e D � 2x 2x   x2  x  C  2 x  x  C Đáp án D Lời giải Cách 1: Sử dụng tính chất nguyên hàm Từ giả thiết, ta có f  x  dx  F  x  � F '  x   f  x  � Câu 18: Đáp án C Ta tìm phương trình parabol  P  : v  t   32t  32t Quãng đường s mà người chạy khoảng thời gian 0,75 (h) là: 0,75 0,75 32 � s �  t  16t �  32t  32t  dt  � � � �0  4,5  km  X Tổng ôn tập chủ đề Q độc giả vui lòng khai báo sách hãng web: congphatoan.com để nhận đáp án chi tiết BÀI KIỂM TRA SỐ Câu 1: Nguyên f  x   2sin x  cos x hàm hàm số A 2cos x  sin x  C B 2cos x  sin x  C C cos x  sin x  C D cos x  sin x  C Câu 2: Biết F  x nguyên hàm hàm số f  x  x  F    Tính F  1 A F  1  ln  F  1  B C F  1  ln  F  1  D ? D b  b  A  x3  sin x  dx  � B C e2  D hàm x � D  sin x  dx  b x4  cos x  C x4  cos x  C 4 x  cos x  C t   3ln x Mệnh đề sai? A I B 2 I  t3 C D I 2 t dt 3� 14 x , x ln a e f  e  dx � x x B I  C I  c b D I  e  e f  x  dx   � A B f  x   x  2x x2 2x  C ln f  x  dx  � x2  x ln  C f  x  dx  � x2  2x  C D 2x C ln f  x  dx  � Câu 10: Biết nguyên hàm hàm số y  f  x hàm số F  x  x2  4x 1 y  f  x Khi đó, giá trị x  A f  3  30 B f  3  C f  3  22 D f  3  10 e e tdt 3� e f  e  dx  � A I  5 C  3ln x I � dx x Câu 6: Cho tích phân đặt I ln e ln b số  x3  sin x  dx  � d  x  sin x  dx  x4  12 cos x  C � f  x Câu 8: Cho  b  d  a  c hàm số liên tục � thỏa mãn Câu 9: Nguyên hàm hàm số x  2ln x I � dx x Câu 4: Giá trị tích phân hàm D a  b  12 Tính C b  b  Câu 5: Tìm nguyên f  x   x  sin x C a  b  20 I B b  b  B e B ab  64 ln c e2  C  a, b �� Mệnh A ab  48 a A b  b  A e  Câu 7: Biết đề sau đúng? 3e a  b f  x  dx  10, � f  x  dx  �  x   dx  � e x ln xdx  � d b Câu 3: Giá trị b để e Câu 11: Biết a x ln xdx  e � b  c a d , với b c a c  d hai phân số tối giản Khi đó, b d bao nhiêu? a c   A b d a c   B b d Cơng Phá Tốn – Lớp 12 a c   C b d Ngọc Huyền LB a c   D b d A 18 mét 45 B mét C 36 mét 27 D mét Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể  H giới hạn hai mặt phẳng có phương a  b trình x  a x  b  Câu 15: Tìm nguyên S  x  H  bị cắt Gọi diện tích thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, với a �x �b Giả sử hàm số  H V vật thể b 2 A tính công thức V � � S  x � � �dx a b C a Câu 13: Cho hàm số thỏa mãn B a b D y  f  x V � S  x  dx a liên tục � f  x   f   x    cos x , với I x �� Khi đó, giá trị tích phân  f  x  dx �   bao nhiêu? A C I I  2  1 B D I I 3 2  1 Câu 14: Một ô tô dừng bắt đầu chuyển động theo đường thẳng với gia tốc a  t    2t f  x  dx  x � D số (m/s2), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động Hỏi quãng đường ô tô kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến vận tốc ô tô đạt giá trị lớn mét? x  cos  C x  cos  C x  cos  C 2 x I �  3x  1 e dx  a  be Câu 16: Biết V � � S  x � � �dx b V � S  x  dx f  x  dx  x � C  a; b  Khi đó, thể tích hàm x  cos  C 2 f  x  dx  x � B liên tục đoạn 1� x� f  x   �x  sin � 2� 2� f  x  dx  x � A y  S  x hàm , với a, b số nguyên Tính S  a  b A S  12 B S  Câu 17: Biết số f  x   xe F  x  C S  16 nguyên hàm hàm F    1 D S  10 Tính F  4 A F    4e  B C F    4e  F  4  e2  4 D 2 F  4  I  �2 dx x Câu 18: Xét Đẳng thức sau đúng? I A 1  1  x1 2 �1 � I    �  1� x1 �2 � B C I  ln x 2 I  D  ln 1   1 x1 1 ln I Câu 19: Biết dx �e  2e x x ln 3  3ln a  ln b với A a, b số nguyên dương Tính P  ab A P  15 B P  10 C P  20 D P  10 Câu 20: f  x  Tìm nguyên hàm C hàm số f  x  dx  cot x  C � A B C f  x  dx  2 cot x  C � 21: f  x  Tìm nguyên f  x  dx  x e � x f  x  dx  xe C � D x x  ln 16 hàm số I  ln 16 x2  x  b dx  a  ln � x 1 Câu 24: Biết với a, b số nguyên Tính S  a  2b A S  10 B S  C S  D S  2  H giới hạn �1 � x  k �  k  2� �2 �chia  H  thành Đường thẳng S S hai phần có diện tích hình vẽ S  3S2 Tìm tất giá trị thực k để C C C f  x  dx   x  1 e � x C a dx I  �2 a  0  a  x Câu 22: Cho đặt x  a tan t Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề mệnh đề sai? B k  C k  D k  A k Câu 26: Cho a A D  ln 16 1 y  ,x  ,x  x đường trục hoành sin 2 x f  x  dx   x  1 e A � B hàm I B I Câu 25: Cho hình thang cong f  x  dx   cot x  C � D Câu  ln 16 sin 2 x f  x  dx  cot x  C � I I  �dt a f  x  dx  �  Tính  I � f  sin 3x  cos 3xdx A I  B I  �dt a C a  x  a   tan t  D dx  a   tan t  dt B I  C I  I � x  x  3 dx D I  ln x I  �3 dx x Câu 23: Tính tích phân Câu 27: Xét Bằng cách đặt u  x  , đẳng thức sau đúng? A C I u du 4� B I u du 16 � D I u du 12 � I � u du Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB ln m e x dx  ln x � e  Câu 28: Cho A m Khi giá trị m dx � Câu 34: Tìm x  ta D m  0, m  Câu 29: Tìm nguyên hàm F  x hàm số f  x   e x   3e 2 x  C ln  x  1  C B  ln x   C D Câu 35: Cho biết f  x F  x F  x   e x  3e 3 x  C hàm số B F  x   e x  3e  x  C A I  xF  x    C C F  x   e x  3e  x  C B I  3F  x    C D F  x   e x  3e 2 x  C C I  3F  x   x  C D I  xF  x   x  C Câu 30: Tính tích phân  x  1 ln xdx � e2  A e2  B e2  C e2  D Câu 31: Gọi F  x B C nghiệm nguyên v t A 12 m/s D B 10 m/s C m/s D 16 m/s Câu 37: Cho  a  3 Tính A 25 ln  x  1 dx  a  ln b �  a, b �� , b B C 16 D Câu 38: Diện tích hình phẳng hình vẽ sau Câu 32: Cho n số tự nhiên cho x �  sin �  1 xdx  n n 1 20 Tính tích phân x cos xdx A 10 B 15 C D 20 Câu 33: Tính 2xdx � 1 có a  t   3t  t gia tốc (m/s2) Vận tốc ban đầu vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 2s bao nhiêu? � � F � � �3 � Tính thỏa mãn C 2 � � F� � �6 � A 12  x  1 Câu 36: Một vật chuyển động với vận tốc nguyên hàm hàm số f  x   cos x cos x Tìm I � � f  x   1� � �dx A e D 6 C ln x   C A B m  C m  B 3 A Chọn kết 16 A 22 B 10 C D Câu 39: Một nguyên hàm hàm số y  x x x A B x x x C x D F  x Câu 40: Cho số f  x Khi hiệu số F  1  F   f  x  dx � B A K   f  x  dx � D B C dx  x  2C � x n dx  �  F  x  dx � e dx  e D � x Câu 43: Cho a �0 , ta có A C 3 D A 3 C D I � u  u  1 du I trục Ox điểm có hồnh độ (C số) f  x  dx  F  x   C � Khi với B aF  ax  b   C F  ax  b   C D a hàm số chẵn  1;1 , B 16 C D e2 x C e dx  e � 2x B x  �x �3 2x C hình chữ nhật có hai kích thước x  x A V � x  x dx B V  4 �   x2  dx C D   V  2� x   x dx   V � x   x dx Câu 49: Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t tính theo cơng thức Câu 45: Mệnh đề đúng? A 298 15 C x f  x dx  x �   Câu 44: Cho hàm số e x dx  � u  x  (C số) f  ax  b  dx � A D K  �u u � I �  � �5 � 1 1 C K  81 Câu 48: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với F  ax  b   C C a  b �f  x  dx Tìm K 2 I � u  u  1 du B (C số) F  ax  b   C y  f  x x n 1 C n 1 (C số; n ��) 0dx  C � dx  ln K � 2x 1 Câu 47: Cho Mệnh đề sai? Câu 42: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A e x 1 C 2x 1 hàm số y  x đường thẳng y  x B D e x dx  � I � x  xdx Câu 41: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị 23 A 15 C B K   F  x  dx � 2x Câu 46: Giả sử C C nguyên hàm hàm A e dx  2e � 2x f  t   45t  t , �t �25 Nếu coi f  t  hàm số xác định 0; 25 f ' t  đoạn  đạo hàm xem tốc Cơng Phá Tốn – Lớp 12 độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn nhất? A Ngày thứ 16 B Ngày thứ 15 C Ngày thứ D Ngày thứ 19 y  f  x Câu 50: Cho đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O, ngồi cắt trục Ox điểm có hồnh độ 3 hình bên Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục Ox Ngọc Huyền LB S A 3 S B S C S D �f  x  dx 3 0 3 0 3 f  x  dx �f  x  dx  � f  x  dx �f  x  dx  � f  x  dx �f  x  dx  � BÀI KIỂM TRA SỐ Câu 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   sin x A sin xdx  2 cos x  C �  I :  III  : A  I C  II  e I  4� x   ln x  dx  a.e  b M  ab   a  b  B M  2 C M  D M  6 dx  16  II  f  x  dx  � Mệnh đề sau đúng? �3 � m �� ;3 � �2 � C �7 � m �� ;5 � �2 � D Câu 4: Cho hàm số F  x f  x   x  sin x  cos x hàm số f  x B  I  ,  II  D  I Tính B I  C I  D I  đường  III  I � f  x  1 dx I Câu 7: Cho hình phẳng � 3� m �� 0; � 2� � B F  0  Câu 6: Cho A � 7� m �� 3; � 2� � A nguyên hàm nguyên hàm Câu 3: Cho m số thực dương thỏa mãn x kf  x  Những mệnh đề mệnh đề đúng? A M  5 �1  x   F  x  G  x  f  x  g  x  sin xdx  cos x  C � D m nguyên hàm  k �� sin xdx  cos x  C C � ; với a, b số nguyên Tính nguyên hàm f  x  g  x  II  : k.F  x  sin xdx   cos x  C � B Câu 2: Cho tích phân F  x  G  x H giới hạn y  x , y  0, x  0, x  Đường thẳng y  k   k  16  chia hình  H  thành hai phần có S ,S diện tích (hình vẽ) Tìm thỏa mãn A x  cos x  2sin x  B  cos x  2sin x Tìm k để C x  cos x  2sin x A k  D x  cos x  2sin x  Câu 5: Cho hai hàm số tục R, có hàm f  x , g  x F  x ,G  x f  x , g  x S1  S2 hàm số liên nguyên Xét mệnh đề sau B k  C k  Câu 8: Tìm nguyên hàm hàm số x f  x  dx   x  tan  C � A x f  x  dx  x  tan  C � B D k  f  x   tan x Câu x f  x  dx  tan  C � 3 C �2 �x � � x f  x  dx  tan  C � D Câu 9: Hàm số sau nguyên hàm hàm số A f  x  2x 1 ? người thiết kế tạo hai hình tròn nhỏ hình tròn lớn cách lấy điểm M A B dựng hình tròn đường kính MA, MB Trong hai hình tròn nhỏ nhà trường dự định trồng hoa hồng đỏ phần lại trồng hoa hồng vàng Biết giá gốc hồng 5000 đồng, giá gốc hồng vàng 4000 đồng 0,5m trồng gốc hồng Hỏi chi phí thấp để trồng bồn hoa bao nhiêu? A 622000 đồng B 702000 đồng C 706858 đồng D 752000 đồng  x  1 ln xdx  a ln  b � với a, b số thực Khi a  b A C 1 F  ax  b   C C a D với a B 2 C x  x  C 1 dx B x  x  C  x2 C x2 D dx � Câu 15: Nguyên hàm tan x  x  ln 2sin x  cos x  C A 5 2x  ln 2sin x  cos x  C B 5 x  ln 2sin x  cos x  C D 5  x  2 12 �  x  1 10 f  x  dx  F  x   C � , F  ax  b   C A  x2 C x �x x  ln 2sin x  cos x  C C 5 f  ax  b  � hàm x3  3ln x  x C A Câu 14: Nguyên hàm Câu 10: Một trường THPT dự định xây bồn hoa hình tròn có đường kính AB  10m Để tạo ấn tượng khác ta có � 2 x� dx x � 2x2  1 F  x   ln  x  x  1  D Câu 12: Cho hàm x3  3ln x  x C D F  x   ln x   C B nguyên x3  3ln x  x C F  x   ln x   2 B A  Tìm x3  3ln x  x B F  x   ln x   Câu 11: Giả sử 13: aF  ax  b   C F  ax  b   C D 2a Câu 16: Nguyên hàm dx 11 �x  � � �C x  � � B 11 �x  � � �C D 33 �x  � 1 �x  � � �C 11 x  � � A �x  � � �C C 11 �x  � 11 11 sin x dx � Câu 17: Nguyên hàm sin x  cos x số � 3  cos � 3x  � A � � � � cos �x  � C � � 4� � 3 sin � 3x  � � � � � sin �x  � C � � 4� � 3  sin � 3x  � C � � � � sin �x  � C � � 4� � 3 sin � 3x  � � � � � cos �x  � C � � 4� B D   Câu 18: Nguyên hàm A C ln x  C x2 ln x  C x Câu 19: Nguyên hàm x2  dx � x  x  1 B D C C x ln x   C x B ln x  ln x  C x2 D ln x  C x2 x sin x � dx Câu 20: Nguyên hàm cos x x2  x tan x  ln cos x  C C cos x x2  x tan x  ln cos x  C D cos x hàm số chẵn, liên tục � �f  x  dx  2 Tính A f  x  dx  � f  x  dx � B f  x  dx  � 0 có đạo hàm đoạn  1; 4 , f  1 f    2017 �f '  x  dx  2016 , 1 Tính A f  1  B f  1  C f  1  1 D f  1  F  x nguyên hàm hàm số � � F� � f  x   sin x.cos x F  0   Tìm �2 � � � F � �  A �2 � � � F � �    B �2 � � � F � �   C �2 � � � F � �  D �2 � Câu 24: Tìm nguyên hàm hàm số A f  x  dx  2e � 2x f  x  dx  e � B f  x  dx  e � 2x f  x   e2 x C C 2x C 2x ln  C Câu 25: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) Cho x  x tan x  ln cos x  C B cos x f  x f  x  dx  � D f  x D Câu 22: Cho hàm số f  x  dx  e C � x2  x tan x  ln cos x  C A cos x Câu 21: Cho C 1 f  x  dx  � Câu 23: Biết C x ln x  x3  dx � x  x  1 ln x   C x A biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng / m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? Câu 29: Tìm nguyên hàm hàm số A f  x  dx  xe � f  x   e2 x x 1 e2 x f  x  dx  C � B A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng Câu 26: Cho hình thang cong H C f  x  dx  2e D � giới hạn y  , y  0, x  1, x  x đường Đường thẳng x  k   k  5 chia  H thành hai phần  S1  e x 1 C 2x 1 f  x  dx  � Câu 30: f ' x  Tìm S  S  (hình vẽ bên) Cho hai hình quay quanh trục Ox ta thu hai khối tròn xoay V V V  2V2 tích Xác định k để C D   sin x  A B C hàm k B C k  25 D k  ln sin x   sin x  C f  x  C  cos x f  x  sin x C  sin x f  x   C  sin x A f  x  dx  x.2 � B f  x  dx  � Câu 27: Biết ln  x  1 dx  a ln  b ln  c � C A S  D B S  C S  f  x nguyên hàm liên tục � F  0  Tính A F    6 C F    12 F  9 f  x , biết C ln  C x 1 C x 1 f  x  dx  � 2x C ln Câu 32: Với số tự nhiên n, ta đặt: Mệnh đề sau đúng? F  x f  x   2x D S  2 Câu 28: Cho hàm số x x 1 f  x  dx  � với a, b, c số nguyên Tính S  a  b  c biết Câu 31: Tìm nguyên hàm hàm số 15 k A f  x số cos x f  x   S2  2x f  x  dx  � B F  9  D F    12 A I n  2e   n  1 I n 1 B I n  e  nI n 1 C I n   nI n 1 D I n  e   n  1 I n 1 In  � x n e x dx Câu 33: Cho hàm số y  f  x liên tục � hàm số chẵn �f  y  dx  4 Biết f  x  dx  � , I � f  t  dt �f  y  dx  4 Câu 38: Cho hàm số Tính giá trị tích phân I � f  t  dt A I  10 C A B I  3 dx I  �2 x  4x  B  a; b  C y  f  x , a f  x  g '  x  dx � a b b � f '  x  g  x  dx �f  x  g  x  � �� a a b đường D f  x  g '  x  dx � a b b � f  x  g '  x  dx �f  x  g  x  � �� S� � dx �f  x   g  x  � � a a a b Câu 39: Tính nguyên hàm S� f  x   g  x  dx a b  A  S  �f  x   g  x  dx a B b S � � dx �f  x   g  x  � � a Câu 36: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường b b b D a a phẳng D giới hạn hai đồ thị hàm số liên tục đoạn thẳng x  a , x  b f  x  g '  x  dx � b I  ln 2 D y  g  x a � f '  x  g  x  dx �f  x  g  x  � � � Câu 35: Viết công thức tính diện tích S hình C b b I  ln B I   ln 2 C B a b D I  21 Câu 34: Tính tích phân A f  x  g '  x  dx � � f '  x  g '  x  dx �f  x  g  x  � �� A  a; b  Khi a I  ln y A x ,x 3 x 1 trục tọa độ? B 10 C D x2 Câu 37: Cho hàm số hàm số có đạo hàm b I liên tục đoạn f  x , g  x G  x G  x  � cos tdt Đạo hàm  x  1 e � 3x  x  1 e D � 3x dx x  1 e3 x 2e3 x  dx   C  x  1 e3 x dx  �  x  1 e � C  x  1 e �  x  1 e3 x  2e3 x  C 3  x  x  e3 x  C 3x dx  3x dx   x  x  e3 x  C Câu 40: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi v t  3t  theo thời gian tính cơng thức   , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính theo đơn vị m Biết thời điểm t  s vật quãng đường 10m Hỏi thời điểm t  30 s vật quãng đường bao nhiêu? A G '  x   x cos x B G '  x   x cos x C G '  x   x cos x D G '  x   x sin x A 1410 m B 1140 m C 300 m D 240 m Câu 41: Tìm nguyên hàm f  x   3x  A F  x  , biết F  0  F  x hàm số mãn 38 3x   3 16 F  x    x   3x   3 B C F  x  C 11 D 0 B thị hàm số y  x  x y  Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox 18 C 15 19 D 15 x y chia hình tròn có tâm Câu 44: Parabol gốc tọa độ, bán kính 2 thành phần, tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào? A  0, 7; 0,8  B  0,5; 0,  C  0, 6; 0,  D  0, 4; 0, 5 Câu 45: Nếu A sin n x.cos xdx  � 64 D 4 Giá trị I � f  cos x  sin xdx  n �� n B C  y  f  x D  liên tục miền D   a; b  có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x  a; x  b Người ta chứng minh diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành xoay S quanh Ox b S  2 � f  x    f '  x   dx a  thỏa Khi giá trị C f  x  dx  � Câu 49: Xét hàm số hình phẳng giới hạn đồ 16 B 15 10 P� f  x  dx  � f  x  dx A 2 17 A 15  0;10  thị hàm số y   x y  x Câu 43: Kí hiệu f  x  dx  �f  x  dx  7; � Câu 48: Cho H liên tục đoạn Câu 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ B A 10 F  x    3x   3x   3 D A 10 biểu thức 56  3x   3x   9 f  x Câu 47: Cho Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối tròn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới x  ln x f  x  hạn đồ thị hàm số đường thẳng x  1; x  e quanh Ox 2e   A 4e   B 64 4e4  16e   16 C 4e   D 16 Câu 50: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số B C D Câu 46: Nguyên hàm hàm số y  cos x.sin x cos x  C A 3 B  cos x  C  cos3 x  C C 3 sin x  C D y  x x  , trục Ox đường thẳng x   a b  ln  b  c với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị a  b  c A 11 B 12 C 13 D ... định để tìm giá trị tham số nguyên hàm F  x    ax  bx  cx  d  e x f  x    x  x  x  5 e F  x Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Tr a n g IV Bổ sung số vấn đề nguyên hàm... hết cho Q Hàm f  x f  x  P  x Q  x P Q đa thức, P gọi hàm phân thức hữu tỉ thực deg  P   deg  Q  Trong tốn tìm nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ, f  x chưa phải hàm phân... �vdu  2�f  x  e dx sau cho uv  f  x  e2 x sau 2x / sử dụng hệ số bất định để tìm giá trị tham số Ví dụ 1: Nguyên hàm hàm số A f  x  dx  x  ln  e � f  x  dx  � C x  1  C ln  e